CC BY
40
УДК 514.174+519.174.7+519.175.4+519.176+519.179.1
А. М. Райгородский
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Избранные задачи комбинаторной геометрии и теории графов
Рассматривается несколько современных направлений в комбинаторной геометрии и теории графов. Приводятся основные проблемы и обсуждаются наиболее перспективные области исследований.
Ключевые слова: граф, случайный граф, дистанционный граф, веб-граф, хроматическое число, теория Рамсея, гиперграф.
1. Введение
Комбинаторная геометрия — это очень современная и бурно развивающаяся наука, находящаяся на стыке геометрии и дискретного анализа. Основные задачи комбинаторной геометрии состоят в изучении комбинаторных свойств различных совокупностей геометрических объектов. В самостоятельную дисциплину, богатую красивыми и трудными проблемами, а также разнообразными приложениями комбинаторная геометрия оформилась лишь к середине ХХ века. И значительную роль в этом сыграли такие основополагающие задачи, как проблема Борсука о разбиении множеств на части меньшего диаметра и проблема Нелсона—Хадвигера о раскрасках метрических пространств. Именно этих двух проблем мы коснёмся во втором и третьем разделах настоящего обзора.
Впоследствии пришло понимание глубокой связи между задачами комбинаторной геометрии и теоретико-графовой проблематикой. Оказалось, что многие геометрические вопросы легко выражаются на языке теории графов и на языке теории кодирования. Таким образом, возникла возможность использования соответствующих методов для решения комбинаторно-геометрических задач. В частности, активно стала развиваться техника случайных графов в применении к геометрии. Некоторые из подобных подходов мы опишем в четвёртом разделе статьи.
В данном обзоре мы вовсе не претендуем на полноту изложения теории, а скорее, хотим познакомить читателя с рядом тесно связанных между собою задач, которыми активно занимаются ведущие специалисты в мире и которые особенно интересны сотрудникам нашей кафедры. В частности, мы поговорим о случайных графах и законах нуля или единицы (раздел 3), о случайных веб-графах (раздел 5), о проблемах теории Рамсея (разделы 6 и 7) и о раскраске гиперграфов (раздел 8).
2. Проблема Борсука
Эта классическая проблема комбинаторной геометрии возникла в 1933 году благодаря К. Борсуку (см. [1]). Пусть Q С К” — произвольное множество диаметра 1 (диаметр — это супремум попарных расстояний между точками множества; обозначается diam Q). Обозначим через /(Q) минимальное число частей меньшего диаметра, на которые можно разбить Q. Нетрудно видеть, что /(Q) всегда конечно. Например, можно покрыть Q кубом со стороной 1 и затем разбить куб на кубики диаметра < 1 (таких кубиков будет заведомо не больше пп). В итоге корректно определена величина /(п) = max /(Q), где максимум берётся по всем множествам диаметра 1. Иными словами, /(п) — это минимальное количество частей меньшего диаметра, на которые разбивается произвольное множество диаметра 1 в n-мерном евклидовом пространстве.
В 1933 году Борсук высказал гипотезу о том, что /(п) = п + 1. Мотивировками для гипотезы послужили следующие факты. Во-первых, очевидно, что /(п) ^ п + 1 (достаточно
взять множество О вершин правильного п-мерного симплекса со стороной 1 и убедиться в том, что /(О) = п + 1). Более того, сам Борсук доказал, что /(Вп) = п + 1, где Вп — шар в М”. Во-вторых, столь же очевидно, что /(1) = 2, и не очень сложно понять, что /(2) = 3 (достаточно показать, что любое множество диаметра 1 на плоскости можно движением перевести внутрь правильного шестиугольника с расстоянием 1 между параллельными сторонами, и затем разбить шестиугольник на три части диаметра = 0,866... < 1).
Интрига состояла в том, что большинство специалистов верило в справедливость гипотезы. И это немудрено: ещё в 1945 году Г. Хадвигер показал, что если у О граница С1 гладкая, то /(О) ^ п + 1 (см. [2]). Казалось бы, сгладим границу произвольного множества, и всё получится. Но не тут-то было. Целых 60 лет прошло в попытках доказательства гипотезы, и в 1993 году она была опровергнута.
Авторы первого контрпримера к гипотезе Борсука — Дж. Кан и Г. Калаи — сообразили, по сути, что можно использовать технику теории графов для опровержения гипотезы (см. [3]). Скажем несколько слов об основной идее результата.
Пусть О С М” — конечное множество точек в пространстве. Назовём графом диаметров этого множества граф Оп = (О,Е), где рёбра из множества Е возникают тогда и только тогда, когда расстояние между соответствующими вершинами равно диаметру О. Напомним, что хроматическим числом графа С называется минимальное число х(С) цветов, в которые можно так покрасить все вершины графа, чтобы вершины, соединённые ребром, имели разные цвета. Заметим, что /(О) = х(^п), и здесь важно, что О конечно. Хорошо известно, что х(С) ^ -щщ, где V — множество вершин графа С, а а(С) — число независимости графа, т. е. размер самого большого подмножества множества его вершин, элементы которого попарно не соединены рёбрами (такое подмножество само называется независимым). В итоге задача получения нижней оценки для величины /(п) может быть сведена к отысканию конечного графа диаметров с большим отношением числа вершин к числу независимости. Именно такой граф и нашли Кан и Калаи, использовав конструкцию, которую ещё в 1981 году предложили П. Франкл и Р. М. Уилсон (см. [4]).
У Кана и Калаи получилась оценка /(п) ^ (1,203 ... + 0(1))^, а минимальная размерность контрпримера оказалась равной 2015. Сейчас известно, что
(1,2255 ... + о(1))^ ^ /(п) ^ (1,224 ... + о(1))га
Нижняя оценка принадлежит А. М. Райгородскому [5], а верхняя — О. Шрамму [6] и Ж. Бургену и Й. Линденштрауссу [7]. Также известно, что гипотеза верна при п ^ 3 и неверна, начиная с размерности 298.
Сейчас основными вопросами являются следующие два.
1) Как устранить зазор между верхней экспоненциальной и нижней субэкспоненциаль-ной оценками величины / (п)?
2) Какова минимальная размерность контрпримера к гипотезе?
Мы рискнём предположить, что ответ на второй вопрос — это 5. Относительно первого вопроса трудно даже высказывать гипотезы.
Также изучают различные структурные свойства графов диаметров (максимальное число рёбер, клик и др.). Подробнее о проблеме Борсука и об устройстве графа диаметров можно почитать в источниках [8-15].
3. Проблема Нелсона—Хадвигера
Пусть (X, р) — метрическое пространство, а Л — множество положительных вещественных чисел. Назовём хроматическим числом пространства (Х,р) с множеством запрещённых расстояний Л величину %((Х, р); Л), равную минимальному количеству цветов,
в которые можно так покрасить все точки множества X, чтобы расстояние между одноцветными точками не принадлежало множеству Л: мы запрещаем точкам одного цвета отстоять друг от друга на расстояние из Л.
Изначально (на рубеже 40-50-х годов ХХ века) проблема отыскания хроматического числа ставилась только для евклидова пространства М” и одного запрещённого расстояния. Поскольку пространство М” однородно, это расстояние можно было выбирать произвольно — например, равным единице. В результате обозначение для хроматического числа было более простым — %(Мга).
Разумеется, х(М1) = 2. Однако — и это главная интрига текущего раздела — никто не знает, чему равно %(М2). Хорошо известно (и доказательство по силам продвинутому школьнику), что
4 < Х(М2) < 7.
И это всё! Существуют различные специальные результаты. Так, если потребовать, чтобы все цвета в раскраске были измеримыми по Лебегу, то возникнет так называемое измеримое хроматическое число \т и Хт(М2) ^ 5. А если считать, что каждый цвет — это объединение непересекающихся многоугольников, то и пятью цветами не обойтись.
Величину х(Мга) оценивали в разных размерностях. Сейчас, среди прочего, известны следующие результаты:
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
х(мга) ^ 2 4 6 7 9 11 15 16 21 23 25 27
Х(М3) < 15, х(М4) < 54, (1,239... + о(1))п < х(Мга) < (3 + о(1))"
Точные ссылки на все эти и многие другие результаты можно найти в статьях [8,13,15].
О хроматических числах других метрических пространств можно почитать как в уже указанных источниках, так и в книгах [16-18].
Проблема Нелсьона—Хадвигера имеет такой же выход на теорию графов, как и проблема Борсука. Только на сей раз речь идёт о графах расстояний. Пусть С = (V, Е) — граф, у которого V С М™, а
Е = {{х, у} : |х - у| = 1}.
Такой граф называется графом единичных расстояний. Понятно, что х(Мга) — это хроматическое число графа единичных расстояний, у которого множество вершин совпадает с М”. Любопытно то, что по некоторым соображениям компактности значение х(Мга) достигается на конечном графе расстояний. Любопытно также и то, что первая экспоненциальная нижняя оценка величины х(Мга) была получена в той же самой работе [4], которую Кан и Калаи использовали впоследствии для опровержения гипотезы Борсука. Иными словами, проблема Борсука и проблема Нелсона—Хадвигера не только внешне, но и методологически весьма тесно связаны.
Возвращаясь к случаю плоскости, можно сформулировать ещё один примечательный и сравнительно недавний результат, принадлежащий П. О’Доннеллу (см. [19,20]): для любого к существует граф расстояний на плоскости, имеющий обхват к и хроматическое число 4 (обхватом графа называется длина кратчайшего цикла в нём). Пафос результата в том, что, оказывается, ни наличие треугольников, ни присутствие циклов какой-либо малой длины не являются необходимыми условиями для того, чтобы граф расстояний на плоскости имел максимальное известное хроматическое число. Это довольно неожиданно, особенно в свете гипотезы Эрдеша (в которую мы тоже верим), состоящей в том, что х(М2) = 4. Отметим также, что если гипотеза верна, то ввиду неравенства Хт(М2) ^ 5 соответствующая четырёхцветная раскраска должна включать в себя неизмеримые по Лебегу цвета.
4. Классические случайные графы
В теории графов очень важно бывает оценивать «вероятности» тех или иных свойств графа. Это нужно и с точки зрения практики (например, речь может идти о надёжно-
сти сети или о качестве вероятностного алгоритма на графе), и для нужд чистой теории (зачастую доказательство существования графа с необходимыми нам свойствами — это доказательство того, что случайный граф этими свойствами обладает с положительной вероятностью). Соответственно на рубеже 50-60-х годов ХХ века П. Эрдеш и А. Реньи предложили модель случайного графа, которую теперь принято называть классической.
Итак, пусть п Є М, Уп = {1,... ,п} — множество вершин будущего графа, а рёбра мы выбираем случайно из множества рёбер полного графа Кп на вершинах из Уп: фиксируем р Є [0,1] и выбираем каждое ребро независимо от всех остальных рёбер с вероятностью р. В итоге конкретный граф С = (Уп, Е) возникает с вероятностью Рп,р(С) = p|E|(1 — р)С"-|е|. Такая вот простая схема Бернулли.
К настоящему времени развита колоссальная наука о классических случайных графах. И литература по ней имеется обширная (см., например, [21-24]). Приложения случайных графов есть и в физике, и в биологии, и в Интернете (об этом подробнее позже), и в очень многих других областях знаний. Ниже мы приведём несколько важных и интересных нам сюжетов.
Начнём со связности (надёжности сети). Скажем, что случайный граф обладает некоторым свойством почти всегда, если вероятность этого свойства (т. е. множества графов, которые этим свойством обладают) стремится к единице при п ^ те.
Теорема 1. Пусть р = • Если с > 1, то почти всегда случайный граф связен.
Если с < 1, то почти всегда случайный граф не является связным.
Оказывается, что если число вершин случайного графа растёт, то вероятности ребра можно разрешить стремиться к нулю и всё равно почти всегда случайный граф будет связным. В утверждении теоремы 1 содержится фазовый переход: резкий скачок от почти всегда связности к почти всегда несвязности при преодолении вероятностью ребра рубежа 1П^. «Внутри» фазового перехода (т. е. при р ~ 1Пг) вероятность связности может стремиться к пределу из интервала (0,1). В частности, если р = 1п»-+с+о(1), то
Теорему 1 доказали сами авторы модели (см. [25-27]). Также они доказали следующий красивый факт.
Теорема 2. Пусть р = ^. Если с < 1, то найдётся такая константа [3 = Р(с), что почти всегда размер каждой связной компоненты случайного графа не превосходит [31пп. Если же с > 1, то найдётся такая константа 7 = 7(с), что почти всегда в случайном графе есть ровно одна компонента размера ^ 7п.
Это теорема о возникновении «гигантской» компоненты в случайном графе. При преодолении вероятностью ребра рубежа ^ мы от «феодальной раздробленности» (все компоненты имеют логарифмический размер) переходим к «империи» (гигантской компоненте, у которой порядка п вершин). Более подробные комментарии к теоремам 1 и 2 можно найти в статье [28].
Перейдём к хроматическому числу графа, которое, по понятным причинам, мы не можем обойти стороной. Здесь хочется выделить следующие две замечательные теоремы, которые в 80-е годы прошлого века доказал Б. Боллобаш (см. [21,23,24,29]).
Теорема 3. Пусть р = 2. Тогда существует такая функция / = о (, что
Рп,р(С связен) ^ е е с
Теорема 4. Пусть р = п а, а > |. Тогда существует такая функция и = и(п,а), что Рп,р (и ^ х(С) ^ и + 3) ^ 1 при п ^ то.
Теорема 3 — это утверждение о том, что при р = 1/2 почти всегда хроматическое число асимптотически мало уклоняется от величины 2 ^ п. Теорема 4 ещё более удивительна: она говорит, что если вероятность ребра совсем маленькая, то почти всегда хроматическое число случайного графа — это одно из четырёх возможных чисел! Очень аккуратные доказательства обеих теорем приведены в книге [24], а многочисленные смежные результаты следует искать в [23].
В завершение раздела расскажем о так называемых законах нуля или единицы для случайных графов. Напомним, что язык первого порядка для графа состоит из символов х,у,хі,..., обозначающих вершины графа, отношений = и ~, где запись х ~ у означает, что вершины х,у соединены ребром, конъюнкции П и дизъюнкции и, а также кванторов, импликации и отрицания. Все фразы в языке конечны. Язык используют для записи свойств графов. Например, свойство «граф содержит треугольник» — это выражение
3 х 3 у 3 г (х ~ у) П (х ~ г) П (у ~ г).
Заметим, что свойство «граф связен» или свойство «хроматическое число графа больше п/2» на языке первого порядка выразить нельзя. Тем не менее класс свойств, которые подлежат записи на языке первого порядка, достаточно богат.
В 1969 году Ю.В. Глебский, Д. И. Коган, М. И. Лиогонький и В. А. Таланов доказали следующую теорему, которую в 1976 году переоткрыл Р. Фагин.
Теорема 5. Если р = р(п) — такая функция, что рпа — те и (1 — р)па — те для любого а > 0, а А — произвольное свойство графа, которое можно выразить на языке первого порядка, то либо почти всегда свойство А выполнено, либо почти всегда оно не имеет места. Иными словами, либо Рп,р(А) — 1, либо Рп,р(А) — 0.
Это и есть закон нуля или единицы. Фактически закону подчиняется вероятность ребра, ведь именно от неё, как видно из формулировки, зависит, будет иметь место жёсткая альтернатива «предел 0 У8. предел 1» или нет.
При других р (отличных от тех, что в теореме) всё ещё интереснее.
Теорема 6. Если р = п~а, где а > 0 — иррациональное число, а А — произвольное свойство графа, которое можно выразить на языке первого порядка, то либо почти всегда свойство А выполнено, либо почти всегда оно не имеет места. Иными словами, либо Рп,р(А) —у 1, либо Рп,р(А) —у 0.
Теорему 6 получили С. Шеллах и Дж. Спенсер в 1988 году. Замечательно то, что при а Є Q закона нуля или единицы нет.
Доказательства теорем 5 и 6 на уровне идей проведены в книгах [24] и [29].
Велась большая деятельность по уточнению результатов теорем 5 и 6. Например, изучались формулы, записанные на языке первого порядка и имеющие ограниченную заданным наперёд числом к кванторную глубину. Так, недавно сотрудник нашей кафедры М. Е. Жуковский показал, что если р = п~а и а — любое число, строго меньшее, чем , то для формул с кванторной глубиной, не превосходящей к, имеет место закон нуля или единицы; если же а = , то закон не выполнен.
5. Случайные графы расстояний
Как мы уже говорили в предыдущем разделе, случайность зачастую нужна для доказательства существования некоторых объектов. Приведём пример важной задачи такого типа, которая лежит на стыке комбинаторной геометрии и теории графов. Мы знаем, что %(Мга) ^ (1,239... + о(1))га. Иными словами, существует последовательность {Сп} графов расстояний, у которых х(Сга) ^ (1,239 ...+о(1))га. А существует ли последовательность графов расстояний, хроматические числа которых тоже экспоненциально растут и у которых тем не менее отсутствуют клики (полные подграфы) с данным числом вершин к? Вопрос абсолютно нетривиальный, ведь, казалось бы, хроматическое число тем больше, чем большие
клики есть в графе. Действовать можно по следующей схеме. Возьмём какую-нибудь последовательность графов расстояний с экспоненциально растущими хроматическими числами. Например, для большей простоты вычислений рассмотрим графы Франкла-Уилсона, упоминавшиеся во втором и третьем разделах. У них п = 4т,
Уп = {х = (жь ...,хп): Xi е {0,1}, Ж1 + ... + хп = 2т}, Еп = {{х, у} : |х - у| = /т} .
Хроматические числа у этих графов оцениваются снизу величиной (1,139 ... + о(1))га. Константа в основании экспоненты на одну десятую меньше наилучшей известной, но для нас это сейчас не так важно.
Станем удалять рёбра в графе Сп = (Уп, Еп) независимо друг от друга с одной и той же вероятностью д е [0,1]. Получится случайный граф. Если у этого графа с положительной вероятностью хроматическое число экспоненциально и одновременно нет клик размера больше к, то мы нашли то, что искали. При этом в выборе величины д мы вольны.
В последние годы изучению таких случайных графов, называемых случайными графами расстояний, уделялось много внимания (см. [13,24]). Во-первых, с их помощью действительно была полностью решена описанная выше задача. Во-вторых, исследовались вопросы связности этих графов, изучались задачи о концентрации их хроматических чисел, и даже законам нуля или единицы уделялось внимание. Как выяснилось, для случайных графов расстояний обычные законы нуля или единицы не выполняются. Однако эти законы можно ослабить (вводя ограничения на число кванторов и вид кванторов в формулах), и тогда снова возникают нетривиальные закономерности.
Бывают и совсем другого рода случайные графы расстояний. Наиболее типичные из них устроены так. Берётся компакт в М” и из него в соответствии с заданным совместным распределением (как правило, независимо и равномерно) извлекаются п точек. Пары этих точек соединяются рёбрами, если расстояния между их элементами не превосходят заданной величины. Разумеется, эти случайные графы совсем не похожи на случайные подграфы описанного выше графа Сп.
6. Случайные веб-графы
Одним из самых современных направлений в теории случайных графов является наука о построении адекватных моделей веба. Под «реальным» вебом мы понимаем здесь граф, вершинами которого служат сайты в Интернете, а рёбра образованы гиперссылками. Ещё на рубеже ХХ и ХХ1 веков появились статистические исследования, призванные определить наиболее существенные свойства реального веб-графа. Одно из наиболее важных исследований такого типа, осуществлённое в 1999 году А. Барабаши и Р. Альберт, показало, что имеют место следующие закономерности [30-32]:
1) веб-граф разрежен, т. е. у него на п вершинах примерно кп рёбер, где к — константа;
2) диаметр веб-графа (т. е. максимальное из кратчайших расстояний между парами его
вершин) — это величина порядка 5-6;
3) распределение степеней вершин веб-графа С = (V, Е) при правильном обрезании
«хвостов» подчиняется (асимптотически) степенному закону с показателем 2,1, т. е. если п — число вершин веб-графа и d е М, то
|{^ е V : deg V = ^}| с
-------------------- ----
п ^ ’
где Л 2,1, а с — константа, вычисляемая из соображений «сумма вероятностей равна единице».
В статье [28] мы подробно описали различные модели, которые так или иначе отражают перечисленные свойства. Кроме того, много подобной информации можно найти в [21]
и [33]. Ниже мы скажем несколько слов лишь об одной модели, которая замечательна тем, что одновременно сравнительно проста (и потому про неё можно доказывать нетривиальные теоремы) и достаточно адекватна реальности. Это модель Боллобаша—Риордана (см. [34-36]).
Сперва построим последовательность (случайных) графов {G™}, в которой у графа с номером п число вершин и рёбер равно п. Затем сделаем из неё последовательность {G^}, в которой у графа с номером п число вершин равно п, а число рёбер равно кп, к Є N.
Итак, пусть G1 = ({1}, {(1,1)}), т. е. в начальный момент времени есть одна вершина и одна петля. Пусть теперь граф G'1~1 уже построен. У него вершины образуют множество {1,... ,п — 1}, а количество рёбер у него тоже п — 1. Добавим вершину п и ребро (п, г), у которого І Є {1, . . . ,п}. Ребро (п,п) будет появляться с вероятностью ; ребро (п,г) возникнет с вероятностью 2^тт, где deg г - степень вершины г в графе G™~1. Очевидно, что распределение вероятностей задано корректно, поскольку
deg г 1 2п — 2 1
> —-------1-------=---------1------= 1.
^2п — 1 2п — 1 2п — 1 2п — 1
І=1
Случайный граф G™ построен.
Осталось перейти к Cfc. Берём Gl[a. Это граф с кп вершинами и кп рёбрами. Делим множество его вершин на последовательные куски размера к:
{1,...,к}, {к + 1,..., 2к}, ..., [к(п — 1)+ 1,... ,кп}.
Объявляем каждый кусок «вершиной», а рёбра сохраняем, т. е. если внутри куска были рёбра, то будут кратные петли, а если рёбра были между двумя различными кусками —
будут кратные рёбра. Вершин стало п, а рёбер — по-прежнему кп. Первое наблюдение
Барабаши—Альберт полностью учтено в модели.
Замечательно то, что второе и третье наблюдения получаются уже в качестве теорем.
Теорема Т. Для любого к ^ 2 и любого є > О
(ln 'Л ln 'Л \
(1 — є)—— < diam Gl < (1 + є)—— - 1, п -те.
v lnln п к lnln nj
При п ~ 2 ■ 1О7 имеем в аккурат 5,96 Є [5, 6], а как раз таким был размер Интернета в 1999 году.
Теорема 8. Для любого к ^ 1 и любого d ^ п1/15
м ( 1 {1 = 1,...,п : degGg і = 4 1 \___________2к(к + 1)__________ (1)
1 п I (d + к + 1)(d + к + 2)(d + к + 3).
Поскольку к — константа, выражение в правой части (1) имеет вид const/d3. Это в точности степенной закон.
У теоремы В есть всё же два неприятных момента. Первый состоит в том, что степень d в степенном законе, который в ней устанавливается, равна не 2,1, а 3. Второй — это ограничение d ^ п1/15, которое ставит крест на практической применимости теоремы. Даже при п ~ 1О12, чего в природе (пока) не бывает, мы имеем лишь d ^ 1О4/5, и это нелепо.
Последний недостаток недавно устранил Е. А. Гречников — исследователь-разработчик в Яндексе, который получил более точный результат практически без ограничений на d [37].
Первым же недостатком занимались много и, в частности, предлагали различные альтернативные модели [28].
Также изучалось распределение вторых степеней вершин случайного веб-графа в модели Боллобаша-Риордана при к = 1:
da(t) = \{(i,j): г = t, j = t, (i,t) Є Gt}, (i,j) Є G'i}\.
Теорема 9. Для любого (І > 1 выполнено
/ { Є С'І : ^) = гі}|
(
Иными словами, при полном отсутствии каких-либо ограничений мы имеем степенной закон и для вторых степеней. Теорема 9 недавно доказана Л. А. Остроумовой при участии Гречникова (см. [38]).
7. Некоторые вопросы теории Рамсея
Пусть даны натуральные числа 8 и £. Классическое число Рамсея К(,в,1) — это минимальное натуральное п, такое, что при любой раскраске рёбер полного графа Кп в красный и синий цвета либо найдётся подграф К3 С Кп, у которого все рёбра красные, либо найдётся подграф Къ С Кп, у которого все рёбра синие. Вопрос об отыскании величины К(,в, £) — один из наиболее глубоких вопросов современной экстремальной комбинаторики. Очевидно, что К(,в,1) = К(1,,в), К(1,Ь) = 1, Д(2,£) = £, и известно несколько значений величины К(,в,1) при маленьких ,в и £. Например, равенство К(3, 3) = 6 — это школьное утверждение о том, что среди любых шести человек либо есть трое попарно знакомых, либо есть трое попарно незнакомых. Другие подобные равенства можно найти в [39].
В асимптотике по в и £ получена масса результатов относительно величины К(,в,1). Упомянем лишь некоторые из них, отсылая заинтересованного читателя к книгам [21,29,
Верхние оценки — это так или иначе рекурсия, уточняющая известное неравенство Эрдеша—Секереша (см. [42]):
а нижние оценки — это исключительно вероятностный метод. Что значит сделать нижнюю оценку для К^в^в)? Это значит, для как можно большего п найти такую раскраску рёбер графа Кп в красный и синий цвета, что в этой раскраске Кп не имеет ни одного одноцветного подграфа К3. Можно сказать по-другому: для как можно большего п найти такой граф на п вершинах, что в нём нет ни клик (полных подграфов), ни независимых множеств (пустых подграфов) на 8 вершинах. Так вот, отыскание такого графа — это типичная задача теории случайных графов (см. раздел 4). Примечательно то, что явные конструкции подобных графов дают гораздо худшие оценки чисел Рамсея. Например, всё та же работа [4], которую мы уже неоднократно цитировали в разных контекстах (см. разделы 2, 3, 5), содержит оценку
и это практически лучшее, что известно сейчас. Вообще явные оценки очень важны для теории алгоритмов, и ими занимается огромное количество специалистов в мире.
Столь же (если не более) важны для теории алгоритмов «двудольные» числа Рамсея. Здесь &(.§,£) — это минимальное натуральное п, такое, что при любой раскраске рёбер полного двудольного графа Кп,п в красный и синий цвета либо найдётся подграф К3 3 С Кп,п, у которого все рёбра красные, либо найдётся подграф Кц С Кп,п, у которого все рёбра синие. Наилучшие оценки при ,в = Ь приведены ниже:
40,41]:
Д(«, і) ^ Д(« — 1, і) + Д(«, і — 1),
22
-(1 + о(1))«22 ^ Ь(в, в) ^ (1 + о(1))25+1 в.
Как видно, зазор между оценками для Ь(в, в) значительно меньше, чем для К(в, в). Нижняя оценка — это по-прежнему вероятностный метод, верхняя оценка принадлежит Д. Конлону
[43].
Рассматриваются многочисленные обобщения классических чисел Рамсея. Например, изучаются числа Рамсея в случае нескольких цветов, а также в случае, когда графы заменяются гиперграфами. Есть и другие нетривиальные обобщения (см. [41]). Однако в контексте этой статьи хочется сказать о так называемых дистанционных числах Рамсея. Чтобы определение, которое мы скоро выпишем, было понятнее, введём ряд дополнительных обозначений.
Пусть О = (V, Е) — некоторый граф. Если Н = (Ш, Е) является подграфом в С, то будем писать Н С С. Если, сверх того, Н — остовный подграф в С (т.е. Ш = V), то, желая подчеркнуть этот факт, напишем Н ^ С. Скажем, что Н — индуцированный или порождённый подграф в С, коль скоро Е = Е|^, т. е. пара вершин х,у из W образует ребро {х,у}, принадлежащее Е, тогда и только тогда, когда {х,у} € Е.
Если С = (У,Е) ^ Кп (т. е., попросту говоря, С — произвольный граф на п вершинах), то его дополнением (до полного графа) назовём граф [С] = (V, Ег) < Кп, у которого {х, у} € Е' тогда и только тогда, когда {х, у} € Е.
В новых терминах можно дать такое эквивалентное определение числа Рамсея: К(в, £) — это минимальное п € М, такое, что для любого С ■< Кп либо С содержит некоторый порождённый подграф Кп на в вершинах, либо [С] содержит некоторый порождённый подграф Кп на £ вершинах.
Рассмотрим графы Сп из раздела 5. Как мы уже поняли, они играют заглавную роль и в проблеме Борсука, и в задаче Нелсона—Хадвигера, и даже в вопросе получения явных оценок для классических чисел Рамсея. Эти графы назовём полными графами расстояний.
Пусть С ^ Сп. Тогда его дополнением (до полного графа расстояний) назовём граф [^]аи ^ Сп, у которого любые две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они не соединены ребром в С, но соединены ребром в Сп. Например, для С = (Уп, 0)
имеем [С],^ = Сп.
Для данных ,в,1 € N положим Дайз^,^ равным минимальному п € М, такому, что корректно определён граф Сп и для любого С ^ Сп либо С содержит некоторый порождённый подграф Сп на в вершинах, либо [С],^ содержит некоторый порождённый подграф Сп на Ь вершинах.
Иначе говоря, величина Дайв^,^ полностью аналогична величине Д(з,£), коль скоро мы Кп и дополнение в нём заменяем на Сп и дополнение в нём.
Величины К<И81($^) и их асимптотическое поведение в деталях изучены в книге [24]. Отметим, что порядок их роста — это вовсе не экспонента, но лишь полином от в.
8. Проблемы Эрдеша—Секереша
С задачами предыдущего раздела тесно связаны различные проблемы комбинаторной геометрии, которые восходят к работе П. Эрдеша и Д. Секереша [42], уже цитированной нами. Первая из них была предложена авторами указанной статьи в 1935 году.
Первая проблема Эрдеша—Секереша. Для любого целого п ^ 3 найти минимальное положительное число д(п), такое, что из любого множества точек на плоскости, находящегося в общем положении и содержащего по крайней мере д(п) точек, можно выбрать подмножество мощности п, элементы которого являются вершинами выпуклого п-угольника.
Под «общим положением» здесь понимается отсутствие троек точек на одной прямой.
Для первой проблемы Эрдеша—Секереша известно, что (см. [44,45])
д(3) =3, д(4) = 5, д(5) = 9, д(6) = 17, 2га"2 + 1 < д(п) < С.+ 1, и гипотеза состоит в том, что д(п) = 2п~2 + 1.
Первая проблема Эрдеша—Секереша неоднократно обобщалась. Известны, в частности, следующие постановки.
Вторая проблема Эрдеша—Секереша. Для любого целого п ^ 3 найти минимальное положительное число Н(п), такое, что из любого множества точек X на плоскости, находящегося в общем положении и содержащего по крайней мере Н(п) точек, можно выбрать подмножество мощности п, элементы которого являются вершинами выпуклого и пустого п-угольника, то есть этот п-угольник не содержит внутри себя других точек из X.
Третья проблема типа Эрдеша—Секереша. Для любых целых п ^ 3 и к ^ 0 найти минимальное положительное число Н(п,к), такое, что из любого множества точек X на плоскости, находящегося в общем положении и содержащего по крайней мере Н(п, к) точек, можно выбрать подмножество мощности п, элементы которого являются вершинами выпуклого п-угольника С с условием |(С\дС) ПЛ’! ^ к, то есть этот п-угольник содержит внутри себя не более к других точек из X.
Любопытно, что величина И(п) не всегда конечна. Начиная с п = 7, она не определена (см. [46]). Также известно (см. [44]), что Л,(3) = 3, Л,(4) = 5, Л,(5) = 10, и лишь для Л,(6) нет окончательного результата. Текущие рекорды здесь принадлежат М. Овермарсу и
В. А. Кошелеву [45].
Относительно третьей проблемы известно в каком-то смысле ещё больше (есть масса различных оценок для величин Ь(п,к)). Однако окончательных результатов тут, конечно, только меньше (см. [44] и [47]).
Имеется ещё несколько обобщений первоначального вопроса [44,48].
9. Раскраски гиперграфов
Напомним, что гиперграф, как и граф, — это пара Н = (V, Е), где V — произвольное конечное множество, называемое множеством вершин, а Е — совокупность некоторых подмножеств множества V, называемых рёбрами гиперграфа. Если все рёбра имеют одинаковую мощность п, то гиперграф называется п-однородным. В частности, любой 2-однородный гиперграф — это обычный граф.
Напомним также, что хроматическое число х(Н) гиперграфа Н — это минимальное количество цветов, в которые можно так покрасить его вершины, чтобы в каждом ребре присутствовали хотя бы два цвета.
В 1963 году П. Эрдеш и А. Хайнал заметили, что если для п-однородного гиперграфа Н = (V, Е) выполнено |^| ^ 2га_ 1, то х(Н) ^ 2. Это мотивировало их ввести величину
т(п) = шт {^(Н)| : Н — п-однородный гиперграф, %(Я) > 2} .
Поскольку недавно был написан очень подробный обзор [49] результатов, касающихся величины т(п) и её многочисленных обобщений, мы будем цитировать лишь его: все ссылки на оригинальные работы в нём есть.
Сейчас известно, что
Про неё известно довольно много, но до окончательного результата далеко. Наилучшие верхние оценки при различных соотношениях между параметрами п, г таковы:
и гипотеза гласит, что т(п) = 0 (п2га).
Важным и естественным обобщением величины т(п) служит величина
т(п, г) = шт {|^(Н)| : Н — п-однородный гиперграф, %(Я) > г} .
т(п,г) ^ С™п 1п П -—г1-----------------------------------т, (3)
гп 1пп - 1 \п/ 1пп\
т(п,г) = о(п3/2(1пп) ^4) с?(п_ 1)+^ , — те, п — те. (4)
Оценка (2) принадлежит Эрдешу, оценки (3) и (4) — Н. Алону. Соотношения между ними следующие.
1) Если г фиксировано, а п растёт, то наилучшей является оценка (2).
2) Если же, наоборот, п фиксировано, а г растёт, то наилучшей является оценка (3).
3) Если г = г(п) удовлетворяет условию (^)™ ^= о(1п г) при п — те, то асимптотически наилучшей является оценка (4).
Теперь о наилучших нижних оценках:
т(п, 2) = т(п) ^ 0,1 (2 2п, (5)
Vln п/
т(п,г) ^ е 4г^/( ) Г'П, г < л/1 /8 ln((lnп)/2), a = |_log2 rJ , (6)
i(n,r) ^ (V1 e 12(І^-2Л —(n — 1) • 22r rn+2/r, n ^ 2, r ^ 2, (7)
v / ev2n
1
т(п,г) ^ - п1 /2гп 1, п ^ 2, г ^ 3. (8)
Оценка (5) принадлежит Дж. Радхакришнану и А. Сринивасану, оценка (6) — А. В. Косточке, оценки (7) и (8) — Д. А. Шабанову. Соотношения между ними следующие.
1) Если г = 2, то наилучшей является оценка (5).
2) Если г = 3, то наилучшей является оценка (8).
3) Если 3 < г < д/ 1/81п((1пп)/2), то асимптотически наилучшей является оценка (6).
4) Если л/ 1/81п((1пп)/2) ^ г ^ с 11|1Щгга при с € (0,1/2), то асимптотически наилучшей является оценка (8).
5) Если г ^ спри с > 1/2, то асимптотически наилучшей является оценка (7).
Проблематика очень важная и популярная в мире, и есть огромное количество обобщений описанных задач и их приложений в теории Рамсея (см. [49]).
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 09-01-00294, гранта Президента РФ МД-8390.2010.1, гранта поддержки ведущих научных школ НШ-8784.2010.1.
Литература
1. Borsuk K. Drei Satze uber die n-dimensionale euklidische Sphare // Fundamenta Math. — 1933. — V. 20. — P. 177-190.
2. Hadwiger H. Uberdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers // Comm. Math. Helv. — 194Б/46. — V. 18. — P. 73-75.
3. Kahn J., Kalai G. A counterexample to Borsuk’s conjecture // Bulletin (new series) of the AMS. — 1933. — V. 29, N 1. — P. 60-62.
4. Frankl P., Wilson R.M. Intersection theorems with geometric consequences // Combinatorica. — 1981. — V. 1. — P. 357-368.
5. Райгородский А.М. Об одной оценке в проблеме Борсука // Успехи матем. наук. —
1999. — Т. 54, вып. 2. — С. 185-186.
6. Schramm O. Illuminating sets of constant width // Mathematika. — 1988. — V. 35. — P. 180-189.
7. Bourgain J., Lindenstrauss J. On covering a set in R by balls of the same diameter //
Lecture Notes in Math. — 1991. — V. 1469. — P. 138-144.
8. Райгородский А.М. Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств // Успехи матем. наук. — 2001. — Т. 56, вып. 1. — С. 107-146.
9. Райгородский А.М. Проблема Борсука. — М.: МЦНМО, 2006. — 56 с.
10. Райгородский А.М. Вокруг гипотезы Борсука // Итоги науки и техники. — 2007. — Т. 23. — С. 147-164.
11. Raigorodskii A.M. Three lectures on the Borsuk partition problem // London Mathematical Society Lecture Note Series. — 2007. — V. 347. — P. 202-248.
12. Raigorodskii A.M. The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary // Mathematical Intelligencer. — 2004. — V. 26, N 3. — P. 4-12.
13. Raigorodskii A.M. Coloring distance graphs and graphs of diameters //to appear.
14. Boltyanski V.G., Martini H., Soltan P.S. Excursions into combinatorial geometry. — Berlin: Springer, 1997. — 500 c.
15. Brass P., Moser W., Pach J. Research problems in discrete geometry. — Berlin: Springer, 2005. — 500 c.
16. Райгородский А.М. Хроматические числа. — М.: МЦНМО, 2003. — 44 с.
17. Райгородский А.М. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
18. Soifer A. The Mathematical Coloring Book. — Springer, 2009. — 800 c.
19. O’Donnell P. Arbitrary girth, 4-chromatic unit distnace graphs in the plane. Graph description // Geombinatorics. — 2000. — V. 9. — P. 145-152.
20. O'Donnell P. Arbitrary girth, 4-chromatic unit distance graphs in the plane. Graph embedding // Geombinatorics. — 2000. — V. 9. — P. 180-193.
21. Bollobas B. Random Graphs. — Cambridge Univ. Press, 2001. — 520 c.
22. Колчин В.Ф. Случайные графы. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с.
23. Janson S., Luczak T., Rucinski A. Random graphs. — New York: Wiley, 2000. — 333 с.
24. Райгородский А.М. Модели случайных графов. — М.: МЦНМО, 2011. — 136 с.
25. Erdos P., R6n,yi A. On random graphs I // Publ. Math. Debrecen. — 1959. — V. 6. — P. 290-297.
26. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs. // Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci. — 1960. — V. 5. — P. 17-61.
27. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs // Bull. Inst. Int. Statist. Tokyo. — 1961. — V. 38. — P. 343-347.
28. Райгородский А.М. Модели случайных графов // Труды МФТИ. — 2010. — Т. 2, № 4(8). — С. 130-140.
29. Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007. — 320 с.
30. Barabasi L.-A., Albert R. Emergence of scaling in random networks // Science. — 1999. — V. 286. — P. 509-512.
31. Barabasi L.-A., Albert R., Jeong H. Scale-free characteristics of random networks: the topology of the world-wide web // Physica. — 2000. — V. A281. — P. 69-77.
32. Albert R., Jeong H., Barabasi L.A. Diameter of the world-wide web // Nature. — 1999. — V. 401. — P. 130-131.
33. Bollobas B., Riordan O. Mathematical results on scale-free random graphs // Handbook of graphs and networks. — Weinheim: Wiley-VCH, 2003. — P. 1-34.
34. Райгородский А.М. Экстремальные задачи теории графов и анализ данных. — М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 120 с.
35. Bollobas B., Riordan O. The diameter of a scale-free random graph // Combinatorica. — 2004. — V. 24, N 1. — P. 5-34.
36. Bollobas B., Riordan O., Spencer J., Tusnady G. The degree sequence of a scale-free random graph process // Random Structures Algorithms. — 2001. — V. 18, N 3. — P. 279-290.
37. Grechnikov E.A. An estimate for the number of edges between vertices of given degrees in random graphs in the Bollobas-Riordan model // Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. — 2011. — V. 1, N 2.
38. Ostroumova L.A., Grechnikov E.A. The distribution of second degrees in the Bollobas-Riordan random graph model // arXiv:1108.5585v1.
39. Radziszowski S.P. Small Ramsey Numbers // http://www.combinatorics.org/Surveys/ds1/sur.pdf.
40. Райгородский А.М. Вероятность и алгебра в комбинаторике. — М.: МЦНМО, 2010. — 64 с.
41. Graham R.L., Rothschild B.L., Spencer J.H. Ramsey theory. — New York: John Wily and Sons, 1990. — 300 с.
42. Erdos P., Szekeres G. A combinatorial problem in geometry // Compositio Math. — 1935. — V. 2. — P. 463-470.
43. Conlon D. A new upper bound for the bipartite Ramsey problem // J. Graph Theory. —
2000. — V. 58. — P. 351-356.
44. Morris W., Soltan V. The Erdo's-Szekeres problem on points in convex position // Bulletin (new series) of the Amer. Math. Soc. — 2000. — V. 37, N 4. — P. 437-458.
45. Кошелев В.А. Задача Эрдеша-Секереша о пустых шестиугольниках на плоскости // Моделирование и анализ информационных систем. — 2009. — Т. 16, № 2. — С. 22-74.
46. Horton J.D. Sets with no empty 7-gons // Canad. Math. Bull. — 1983. — V. 26. — P. 482484.
47. Кошелев В.А. Почти пустые шестиугольники // Фундаментальная и прикладная математика. — 2008. — Т. 14, № 6. — С. 91-120.
48. Кошелев В.А. Теорема Эрдеша-Секереша и сравнения // Математические заметки. В печати.
49. Райгородский А.М., Шабанов Д.А. Задача Эрдеша-Хайнала о раскрасках гиперграфов, ее обобщения и смежные проблемы // Успехи матем. наук. — 2011. — Т. 66.
Поступила в редакцию 07.09.2011
