АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ СВЯЗНОСТИ ГРАФА С НИЗКОНАДёЖНЫМИ РЁБРАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2013 Прикладная теория графов №1(19)

УДК 519.248:62-192+519.176

АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ СВЯЗНОСТИ ГРАФА С НИЗКОНАДЁЖНЫМИ РЁБРАМИ1

Г. Ш. Цициашвили, М. А. Осипова, А. С. Лосев

Институт прикладной математики ДВО РАН, г. Владивосток, Россия

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Для графов с низконадёжными ребрами построены асимптотики вероятностей связности всего графа и любой пары его вершин. Параметрами полученных соотношений являются характеристики остовных деревьев графа и кратчайших путей. Для вычисления характеристик остовных деревьев получены формулы с помощью теорем Кирхгофа — Трента, а для вычисления характеристик кратчайших путей разработаны модификации классических алгоритмов.

Ключевые слова: остовное дерево, матрица Кирхгофа, кратчайший путь, вероятность связности, вычислительная сложность.

Введение

В работе [1] для планарных графов с высоконадёжными рёбрами построен алгоритм вычисления вероятности несвязности на основе асимптотической формулы Бур-тина — Питтеля [2], параметрами которой являются минимальное число рёбер в разрезах графа и число таких разрезов. Асимптотические константы вычислены с помощью теоремы Уитни [3] о соответствии разрезов планарного графа циклам в двойственном графе и формул Харари [4], определяющих число простых циклов. Предложенный алгоритм имеет сложность не более кубической по числу граней двойственного графа, что значительно проще известных методов перечисления всех разрезов минимального объёма, имеющих геометрическую сложность.

В настоящей работе для случайных графов с низконадёжными рёбрами построены удобные в реализации алгоритмы вычисления вероятности связности в основном кубической сложности. При различных условиях, накладываемых на вероятности работоспособности рёбер, доказаны асимптотические соотношения для вероятности связности всего графа и любой пары его вершин. Параметрами полученных соотношений являются характеристики остовных деревьев графа и кратчайших путей. Для вычисления характеристик остовных деревьев получены формулы с помощью теорем Кирхгофа— Трента, а для вычисления характеристик кратчайших путей разработаны модификации классических алгоритмов. Особенностью предлагаемых алгоритмов является тот факт, что в них требуется не перечислять экстремальные подграфы (остовные деревья, кратчайшие пути между узлами), а лишь определять их количество. Ещё одним существенным фактором упрощения вычислений является рассмотрение графов с ограниченным диаметром, которые в последние годы вызывают большой теоретический и практический интерес [5-7].

1. Вероятность связности всего графа

Рассмотрим неориентированный связный простой (без петель и кратных рёбер) граф G с множеством узлов U = {1,... ,n} и множеством рёбер V. Определим матрицу

хРабота поддержана грантом РФФИ № 12-01-00114-а.

КиРхгофа К = \ \кЦ,])|Щ=1:

{степень узла *, * = 3,

— 1, (г,з) е V,

0 иначе.

Под степенью узла понимается число инцидентных этому узлу рёбер. Обозначим т число остовных деревьев в графе С и предположим, что каждое ребро V = (*,3), * = 3, 1 ^ *,3 ^ п, графа С с вероятностью р(V) работоспособно, причём все рёбра функционируют независимо. Если р(V) = к, V е V, то для вероятности связности Р(С) графа С справедливо соотношение [8, формула (5)] (далее запись f (х) — д(х), х ^ х0 означает, что существует и равен единице предел Пт f (х)/д(х))

Х^ХО

Р(С) - ткп-1,к ^ 0. (1)

В силу теоремы Кирхгофа — Трента (см., например, [9]) алгебраические дополнения всех элементов матрицы К равны между собой и совпадают с т. Известно (см., например, [10]), что вычисление определителя порядка п — 1 и, значит, коэффициента т методом Гаусса требует 0(п3) арифметических операций.

Замечание 1. Если р(V) = к1('и'), V е V, при некоторых натуральных I(V), то, заменяя каждое ребро графа на I(V) последовательно соединённых рёбер, можно к построенному таким образом графу применить формулу (1). Одним из приложений этого результата является исследование распределения случайного времени потери связности сети при р(V) = Р(т(V) > Т), Т ^ ж, где т(V) —случайное время до отказа ребра V.

Теорема 1. Если при некоторых в(V) > 0, V е V, выполняется р^)-в^)к, к ^ 0,

то

Р(С) - т1кп-1,к ^ 0. (2)

Здесь т1 — алгебраическое дополнение любого элемента (они все совпадают) матрицы К1 = \ \к1(*,3 Ж,3=1 вида

к1(г,3)

Е s((i,t)), * = 3,

геи, (г,г)еУ

— s((i,j)), (*,3) е V,

0 иначе,

причём вычислительная сложность определения коэффициента т1 равна 0(п3).

Доказательство. Обозначим С1,..., Ст остовные деревья графа С, каждое из которых имеет п — 1 ребро. Положим Ак событие, состоящее в работоспособности всех

рёбер дерева Ск, 1 ^ к ^ т. Тогда справедлива формула Р(С) = Р I и Ак\ и

\к=1 /

вытекающие из неё неравенства

тт

Е Р(Ак) — Е Р(Ак1 Ак2 ) ^ Р(С) ^ Е Р(Ак).

к=1 1^к1<к2^т к=1

Из условий теоремы на р(V) следует, что

т т т

Е Р(Ак) - Е П кв(V) = кп-1т1, к ^ 0, т1 = Е П Ф),

к=1 к=1 гоеОк к=1 гоеОк

E P(AkiAk2) — E П hs(v) —hn E П s^ = °{hn).

l^ki<k2^m vGG^iUG^ 1^ki<k2^m vGG^iUG^

Из полученных соотношений приходим к формуле (2). В силу обобщения теоремы Кирхгофа — Трента (см., например, [9, теорема 1]) выражение m1 совпадает с алгебраическим дополнением любого элемента матрицы K1, вычислительная сложность определения которого O(n3). ■

Замечание 2. Утверждение теоремы 1 автоматически переносится на мультиграф, полученный из графа G заменой каждого ребра v Е V на s(v) параллельно соединённых и независимо функционирующих рёбер с вероятностью работоспособности h. Такое параллельное соединение имеет вероятность работоспособности — s(v)h, h ^ 0.

2. Вероятность связности пар вершин графа

Обозначим D(i,j) минимальное число рёбер в путях, соединяющих узлы i,j графа G, C (i,j) —число путей с D(i,j) рёбрами, ri(i,j),..., rc(ij)(i,j) —пути с D(i,j) рёбрами. Для вероятности связности Pij(G) узлов i,j графа G доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.

1. Если p(v) = h, v Е V, то

Pij(G) — C(i,j)hD(ij), h ^ 0. (3)

2. Если при некоторых s(v) > 0, v Е V, выполняется p(v)—s(v)h, h ^ 0, то

Pij(G) — m(i,j)hD(i,j), h ^ 0, m(i,j)= П s(v). (4)

t=1 veFt(i,j)

Доказательство данной теоремы аналогично доказательству теоремы 1, с тем лишь отличием, что в нем остовные деревья заменяются на кратчайшие пути между узлами i, j.

Следствие 1. Если p(v) = h, v Е V, то

min Pij(G) — ChD, h ^ 0,

1^i,j^n

D = max D(i,j), C = min C(i,

1^i,j^n (i,j): D(i,j)=D

Остановимся на вычислении коэффициентов D(i,j), C(i,j) асимптотической формулы (3). Найдем все элементы матриц ^D(i, j)llnn,j=1, IIC(i,j)llrnj=1, так как это более экономичная процедура, чем последовательное определение элементов этой матрицы.

Для вычисления матрицы llD(i,j)l\nj=1 воспользуемся алгоритмом Флойда — Стейнберга. Следуя [11], введём матрицу R = \lr(i,j)||nj=1 равенствами

< 1, (i,j) е V, r(i,j) = S °, i = j,

У иначе.

На множестве квадратных матриц размера n х n введём операцию произведения ® следующего вида: T 0 Q = ll(t 0 q)(i,j)\lnj=1, где

(t 0 q)(i,j) = mm (t(i,p) + q(p,j)), 1 ^ i,j ^ n.

1^p^n

Обозначим Ь = шт(/ : 2? ^ п), тогда матрицу ЦБ({,])||П^=1 можно вычислить с помощью рекуррентной процедуры

Я2 = Я 0 Я, Я2'+1 = Я2' 0 Я2', 1 ^ / <Ь, ЦБ(г])Ц,п1=1 = Яп

Я2

(5)

Для вычисления матрицы ЦБ(г,]в соответствии с алгоритмом Флойда — Стейнберга требуется 2п3 ^2 п арифметических операций. Зная матрицу ЦБ (г,] мож-

но вычислить диаметр Б графа О.

Перейдём теперь к вычислению матрицы ЦС(г,])\1Г^^=1. Обозначим 11С1(г,])11г^^=1 матрицу смежности графа О :

С1(г,])

1, (г,]) е V,

0 иначе.

Известно [12], что матрицы ЦСк(i,j)||'ij=1, элементами которых являются количества путей длины к между узлами г,] в графе О, удовлетворяют равенствам

11Ск+1(г])^=1 = ЦСк(г,])^=1 ■ ЦС1(г,]Щ=ь 1 ^ к < п. В свою очередь, справедливы очевидные соотношения

С(г,]) = Св^)(1]), 1 ^ г,] ^ п.

(6)

(7)

Таким образом, для вычислении матрицы ЦС(г,]с помощью формул (6), (7) требуется определить матрицы ЦС^г,])ЦГ1^=1,... , 11Сп-1(г,])ЦГ1^=1. Эта процедура имеет вычислительную сложность 0(п4.)

Замечание 3. Для сетей с ограниченным диаметром Б в формуле (5) можно заменить величину Ь на шт{/ : 2? ^ Б}, при этом сложность вычисления матрицы ЦБ(г,]) 11^=1. составляет 2п3 log2 Б арифметических операций. В свою очередь, для вычисления матрицы ЦС(г,]с помощью формул (6), (7) понадобится вычислить матрицы ЦСг(г,])^^^, I = 1,... , Б, что потребует 0(Бп3) арифметических операций.

Замечание 4. Для вычисления матрицы Цт(г]в соотношении (4) надо ввести матрицу ЦС^г,])|Щ7=1 следующим образом:

С1(г,])

s((i,j)), (г,]) е V,

0 иначе

и, воспользовавшись равенством (6) и т(г,]) = Св(1^)(г,]), 1 ^ г,] ^ п, найти матрицы 11С1(г,] 1 = 1,...,п - 1

3. Вычислительный эксперимент

Зададим граф О графически (рис. 1).

Составим для графа О матрицу Кирхгофа:

К

( 3 -1 0 -1 0 -1

-1 3 -1 0 0 -1

0 -1 2 -1 0 0

-1 0 -1 3 -1 0

0 0 0 -1 2 -1

-1 -1 0 0 -1 3

Рис. 1. Граф G

Число остовных деревьев графа т совпадает с алгебраическим дополнением любого элемента матрицы К. В нашем случае т = 35. Полагая, что вероятность работоспособности рёбер равна р(у) = к = 0,1, вычислим вероятность связности графа по формуле (1) и методом Монте-Карло при 107 итераций, обозначив её Р*(О):

Р(О) « 0,00035, Р*(О) « 0,000283.

Время счета по формуле (1) составило 2 с, а методом Монте-Карло —12 ч.

Для заданного графа вычислим вероятности связности между всеми парами вершин, полагая р(у) = к = 0,01. С использованием рекуррентных процедур (5) и (6) вычислены матрицы \\Б(г,], \\С(г])\\ГП-=1, характеризующие минимальное число рёбер в путях и количество путей с минимальным числом рёбер:

\m,j Жз=1

0 l 2 l 2 l

l

0

l

2

2

l

2

l

0

l

2

2

l

2

l

0

l

2

2

2

2

l

0

l

l l 2 2 l 0

\\C (г,j Жэ=1

0 l 2 l 2 l

l

0

l

2

l

l

2

l

0

l

l

l

l

2

l

0

l

2

2

l

l

l

0

l

l l l 2 l 0

Результаты вычислений вероятностей связности пар вершин Р^(О), 1 ^ і, і ^ п, по формуле (3) и методом Монте-Карло (Р^(О)) при 106 итераций следующие:

\\Pij (G) ||

n i,j = 1

/ l 0,0l 0,0002 0,0l 0,0002 0,0l \

0,01 l 0,0l 0,0002 0,000l 0,0l

0,0002 0,0l l 0,0l 0,000l 0,0001

0,01 0,0002 0,0l l 0,01 0,0002

0,0002 0,0001 0,0001 0,0l l 0,0l

V 0,01 0,0l 0,0001 0,0002 0,01 l /

up:, (G)\\n,j=l

l 0,0l035 0,000203 0,0l0027 0,000l92 0,0l0205

0,0l035 l 0,0l000l 0,000l98 0,000095 0,0097б4

0,000203 0,010001 1 0,010083 0,000094 0,000103

0,010027 0,000198 0,010083 1 0,010051 0,000208

0,000l92 0,000095 0,000094 0,0l005l l 0,009973

0,000208 0,009973 1 J

\ 0,010205 0,0097б4 0,000103

Время счета по формуле (3) составило l0 с, методом Монте-Карло — б ч.

ЛИТЕРАТУРА

1. Tsitsiashvili G. Sh.Complete calculation of disconnection probability in planar graphs // Reliability: Theory and Applications. 2012. V. 1. No. 1. P. 154-159.

2. Буртин Ю., Питтель Б. Асимптотические оценки надёжности сложных систем // Техническая кибернетика. 1972. Т. 10. №3. С. 90-96.

3. Whithney H. Nonseparable and planar graphs // Transact. Amer. Math. Soc. 1932. V. 34. P. 339-369.

4. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. 314с.

5. Мигов Д. А. Расчет надежности сети с ограничением на диаметр с применением точек сочленения // Автоматика и телемеханика. 2011. №7. С. 69-74.

6. Мигов Д. А. Расчет надежности сети с ограничением на диаметр с использованием сочленений // Проблемы информатики. 2011. №3. С. 4-9.

7. Райгородский А. М. Модели случайных графов и их применение // Труды МФТИ. 2010. Т. 2. №4. С. 130-140.

8. Ломоносов М. В., Полесский В. П. Нижняя оценка надежности сетей // Проблемы передачи информации. 1972. Т. 8. №2. С. 47-53.

9. Чеботарев П. Ю., Шамис Е. В. Матричная теорема о лесах и измерение связей в малых социальных группах // Автоматика и телемеханика. 1997. Т. 9. С. 125-137.

10. Ильин В. А, Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2004. 280 с.

11. Floid R. W. and Steinberg L. An adaptive algorithm for spatial grayscale // SID 75 Digest. New York, N.Y.: Lewis Winner, 1975. P. 36-37.

12. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000. 893 c.