CC BY
4
of numerals and under unlimited consecutive permutation of a numeral of prime number from the 1-st place to the last one.
The appropriatenesses in structure of some prime numbers subsets with quantity of numerals from two to six are found. For each natural number n a «tree» of prime numbers is constructed.
УДК 514.75
ВЫРОЖДЕННЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
К.В. П о л я к о в а
(Калининградский государственный университет)
Поверхность проективного пространства рассмотрена как многообразие точек. Произведено оснащение Бортолотти этой поверхности, которое позволило задать центропроективные связности 2-х типов. Условия их совпадения фиксируют гиперплоскость Бортолотти. Эти условия являются необходимыми и достаточными для обращения в нуль псевдотензора кривизны индуцированной центропроективной связности. Описаны параллельные перенесения гиперплоскости Бортолотти в связностях обоих типов, которые оказались вырожденными.
1. Центропроективная связность. Отнесем n-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу R={A,AI }, инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
dA = 0A + юIAI, dAj =0Aj + юjA + юJAj (I,J,K= 1,n),
причем базисные формы ю1, ю I, ю J проективной группы GP(n) удовлетворяют структурным уравнениям Картана
dю1 = юJ люJ, dюI=юJ люj,
dюJ = юJ лю1 + юK люK + 8JюK люK.
В проективном пространстве Pn рассмотрим поверхность Xm (1 ^ m<n) как m-мерное многообразие точек. Произведем специализацию подвижного репера R, совмещая вершину A с точкой, описывающей поверхность Xm . Система дифференциальных уравнений поверхности Xm в полученном репере R0 нулевого порядка имеет вид:
юa = Ла ю(1)
где i,j,k= 1,m; a,b,c = m + 1,n. Базисные формы ю1 поверхности Xn удовлетворят структурным уравнениям
dю1 = юJ л ю1, (2)
где ю j = ю j + Ла ю \. Продолжая уравнения (1), получим
да* + юa = юj (ла^=л^1). (3)
Дифференциальный оператор Д действует следующим образом:
ДЛа = dAa + ЛЬюb - Л*-® j.
Объект Л* является фундаментальным объектом 1-го порядка поверхности Xm.
С поверхностью Xm в репере R0 ассоциируется главное расслоение центро-проективных реперов G(Xm) со структурными уравнениями (1) и следующими:
j = ю j лю k + ю1 аю j¡ , | = юj аю j,
где
ю j =-5 }(ю 1 + Л* ю а) -ю j (51 +5 a A1), 81 - обычный, 5J, 51 - обобщенные символы Кронекера [1,c.16]. Базой главного расслоения G(Xm) служит поверхность Xm, а типовым слоем - центропроектив-ная (коаффинная) подгруппа G=GA*(n)^GP(n) стационарности точки A . Расслоение G(Xm) содержит подрасслоение линейных реперов L(Xm) с той же базой, типовым слоем которого является линейная группа L=GL(n), действующая во множестве всех направлений, исходящих из точки A. Рассмотрим формы
~ =ю j -глю s ю1 =ю и -гл ю j.
Дифференцируя их внешним образом и применяя теорему Картана-Лаптева [2,c.63], получим систему уравнений для компонент объекта Г = {Г^, Гц}
ДГ/j + ю Jj = rj-юj, ДГК + rJюj = Гк-юj, (4)
где, например,
ДГи = ^Ги юJ -Гию
Объект Г задает центропроективную связность в расслоении G(Xm) и содержит
и с» "i ' т с»
подобъект линейной связности i ¿, определяющий связность в подрасслоении
L(Xm). Формы центропроективной связности ¿5J, GOj удовлетворяют структурным уравнениям
dcoJ = юК люК + ^ю1 л юj, dcSj = ЮJ aSj + Я11-ю1 л юj,
где
RJ1j = Jj] - JГКП , RJ1j = Г1[1-] - Г/[1 J • (5)
компоненты объекта центропроективной кривизны R={R ^ ,R¡j}. Квадратные
скобки означают альтернирование по крайним индексам в них. Продолжая уравнения (4) и альтернируя результат, получим
ДГду] + J юKj] + ГК[-юК] = 0, ДГЦШ - Г1р ю 1j] + Г/^юj = 0, откуда с помощью уравнений (4) и формул (5) найдем
Д^У = 0, ДЯл-+ RJÍ-ЮJ = 0,
где символ = означает сравнение по модулю базисных форм ю\
Теорема 1. Объект центропроективной кривизны R и подобъект линейной кривизны RJij являются псевдотензорами [3,c.46].
2. Оснащение Бортолотти. Произведем оснащение Бортолотти поверхности Xm , т.е. к каждой точке A поверхности присоединим гиперплоскость Pn-l, не проходящую через эту точку. Зададим эту гиперплоскость точками BI = AI + X ^, дифференцируя которые, получим
dBI =eBI + (ю' +ХIюJ)BJ + (АХI + юI -XIX;юJ)A. (6)
Откуда с учетом уравнений (1) вытекают условия инвариантности гиперплоскости Pn-1
АХ I + ю 1 = X Ii юi. (7)
Продолжая уравнения (7), найдем
АХ Ii -Х J ю К =Х 11]ю' ( Х 1ц =Х и,).
Теорема 2. Оснащение Бортолотти поверхности Xm индуцирует центропро-ективные связности 2-х типов в ассоциированном расслоении G(Xm).
Доказательство. Фундаментальный объект Ла и оснащающий квазитензор
X = {X;, X,,} охватывают компоненты объекта связности Г по формулам [4]
0 '
Г л =-5 'ц, -X Л 51 +5 а Л?), (8)
1 0 3
ГI, =Г I, X +X1 ц,, (9)
где введено обозначение Xa. Коэффициенты ц, удовлетворяют
1 0 1
уравнениям Ац, +ю, + Л2, ю а =ц ^юОбъект Г={ Г ^, Г к } будем называть объектом связности 1-го типа. Компоненты Гп можно охватить с помощью продолженного оснащающего квазитензора { X ц, Xl} и функций (8)
ГI, =Г I, X J +XЕ. (10)
2 0 2
Получили объект связности 2-го типа Г ={ Г ^, Г п }.
Теорема 3. Связности 2-х типов совпадают тогда и только тогда, когда гиперплоскость Бортолотти неподвижна.
Доказательство. Подставляя соотношения
XI, = *<IЦ(11) являющиеся аналитическими условиями совпадения 2-х типов охватов, в (6), убеждаемся в том, что Pn-1 неподвижна. И обратно, при фиксации гиперплоскости, т.е. при выполнении равенств (11) охваты совпадают.
В силу теоремы 1 обращение кривизны R в нуль инвариантно, в этом случае из формул (5) получим
ГлШ] = Г{1^], Г1[Ш = Г|'| Гл]. (12)
1
Однако, исходя из охватов (8-10) альтернированные пфаффовы производные Г^, Гщ-] компонент объекта Г выражаются следующим образом:
о I
Г= -5-Хл|(8¡] +5а
1 0 1 2 0 1 0 1
Г Цу] = Г Цу] Х I Г Щ] = Г Щ] Х; + ХJ[j ГII]. (13)
Сравнивая полученные формулы (13) с (12), обнаруживаем, что выражения (12) имеют место (т.е. R=0) в случае выполнения (11). Если m=1, т.е. в случае кривой Х1, кривизна обращается в нуль без дополнительных условий. И обратно, в общем случае, т.е. если пфаффовы производные компонент Г выражаются по формулам (13), кривизна не равна нулю. При выполнении условий (11) формулы (13) принимают вид (12) и R=0.
Теорема 4. Кривизна индуцированной центропроективной связности (1-го и 2-го типов) равна нулю тогда и только тогда, когда гиперплоскость Бортолотти неподвижна.
Замечение. В случае кривой, т.е. когда m=1, кривизна равна нулю без ограничений на смещение плоскости Бортолотти.
3. Вырожденные параллельные перенесения. Опишем параллельные перенесения оснащающей гиперплоскости в связностях обоих типов. Вводя в соотношения (7) формы связности ¿51, ю15 получим УХ = У;Хй1, где ковари-антный дифференциал У;Х квазитензора X относительно центропроективной связности имеют вид:
УХ| = ^| - X^^ + , У|X| = X|| + X^ - Ги. Внешний дифференциал ковариантного дифференциала УХ приведем к виду:
аух = -ух а¿51 + тщю1 лйj, (14)
где Тщ = -X Ящ. Коэффициенты Тц. образуют псевдотензор, т.к. удовлетворяют сравнениям АТ^^О. Равенства ТЕ- =0 инвариантны. В этом случае дифференциальные уравнения АХ 1 = 0 вполне интегрируемы.
Линия р на поверхности задается уравнениями й 1 =р1 й . Из структурных
уравнений (14) следует, что система уравнений УХ 1 / р = 0 вполне интегрируема. Действуя оператором А на У ¡X, получим
ау 1 х I - у jхIлайа = 0,
т.е. ковариантные производные УХ составляют псевдотензор. В связности 1-го
типа ковариантные производные объекта X выражаются по формуле
1
У1 Х| = Х|| - Х| .
1
Равенства У1 X = 0 эквивалентны условиям (11). В связности 2-го типа ковари-
2
антные производные объекта X1 обращаются в нуль, т.е. У1 X1 = 0, откуда
0 j 2
dX, = Xj ееi — ееi. Следовательно, объект Xj является инвариантным [5] отно-
2
сительно Г. Внешнее дифференцирование определяющих его дифференциальных уравнений дает
2 0 J (Riij -X j Riij )ю1 лю j = 0
2
или Т iij =0.
Образуем в выражении для дифференциалов точек Bi ковариантные диффе-
1 2
ренциалы VXj, VX, объекта X относительно связностей 1-го и 2-го типа
1 2 2 dBj =0B + (юJ J)B + (VX+V^)A (VX; = 0).
Определение. Будем говорить, что параллельное перенесение гиперплоскости Pn-1, состоящее в том, что она неподвижна (смещается произвольно в Pn) является вырожденным 1-го (2-го) типа.
Теорема 5. Параллельное перенесение гиперплоскости Бортолотти в связно-
1 2
сти Г( Г) является вырожденным 1-го (2-го) типа, причем в связности 2-го типа параллельное перенесение абсолютно, т.е. осуществляется вдоль любой линии р.
Работа выполнена по теме гранта Минобразования РФ (СПбКУ).
Библиографический список
1. Golab S. Tenzor calculas. Warshava, 1974. 371p.
2. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. 248с.
3. Шевченко Ю.И. Оснащение голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998. 82с.
4. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многомерной поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1977. N8. С.135-150.
5. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. Т.2. 1953. С.273-382.
K.V. P o l y a k o v a
DEGENERATE PARALLEL DISPLACEMENTS ALONG THE SURFACE OF THE PROJECTIVE SPACE
Surface of the projective space is considered as point manifold. Bortolotti's equipment of the surface is made. It permits to give centerprojective connections of two types. Their coincidence conditions fix Bortolotti's hyperplane. The conditions are necessary and sufficient ones for curvature pseudotensor of induced senterprojective
connection to be vanishing. There are discribed parallel displacements of Bortolotti's hyperplane in the connections of the both types, which are degenerate.
УДК 514.76
THREE THEOREMS ON PROJECTIVE SUBMERSIONS
S. S t e p a n o v, I. T s y g a n o k
(Vladimir State Pedagogical University)
Projective mappings have been extensively studied in the literature. The theory of projective submersions is less investigated (see for example [1] - [4]). This paper is devoted to study of the global theory and the local theory of projective submersions. In particular, we generalize two results from [2] and [4] to a noncompact Riemannian manifold.
1. Introduction
A submersion of an m-dimensional pseudo-Riemannian manifold ( M, g ) onto an n-dimensional ( m > n ) pseudo-Riemannian manifold ( N, g' ) is a C® - surjective map л: ( M, g ) ^ ( N, g' ) such that at each point x e M the induced tangential map лх: T^M ^ is of maximal rank. The inverse image л-1 ( y ) of a point
y e N is said to be a fibre of л. For a submersion л: ( M, g ) ^ ( N, g' ), the implicit function theorem tells us that the fibres of л are closed submanifolds of ( M, g ) and at each point y of ( N, g' ) dim л"1 ( y ) = m - n.
Let gv denotes the metric of л-1 ( y ) induced by g. If det ( gv ) Ф 0 then л-1 ( y ) is called ( see [ 5 ] ) a nondegenerate submanifold of ( M, g ). Fibres of л which we discuss in this paper are assumed to be nondegenerate. Then a foliation V of ( M, g ) is given by V = { л-1 ( y ) | y e N }, which determines the almost product structure
TM = kerя.ф ker л
i
where ker n, will always be integrable and will be called the vertical distribution and ker n * will be called the horizontal distribution.
Consider a curve y : J ^ ( M, g ) in ( M, g ), where J is being an interval, and denote n ( y ) = n o y : J ^ ( N, g' ) the image of y by n. Then for each a curve y which is tangent to the distribution ker n* we have n ( y ) to be a point in ( N, g' ).
The curve y is called geodesic if its tangent vector field y is parallel, i. e.
V y = 0 where V denotes the Levi-Civita connection. That it follows ( see [ 6 ] )
y
that a geodesic is either regular at every point, or its image degenerates to a point. A
*
