CC BY
12
ВЫРОЖДЕННЫЕ ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ПОЛУГРУППЫ йп-ш- КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВА
М.А.Альшанский
Уральский государственный университет, г. Екатеринбург
В настоящей работе введено понятие равномерной п - и> - корректности вырожденной задачи Копии и с помощью вырожденных п раз интегрированных полугрупп получено достаточное условие равномерной п - ш - корректности задачи Коши на некотором классе начальных значений.
Теория п раз интегрированных полугрупп развитая в работах [1; 2], где был рассмотрен невырожденный случай, позволила изучить класс задач Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в банаховом пространстве X с линейным замкнутым оператором С:
и'(г) = г > о, ■ ,
и(0) = х, ^ '
не являющихся равномерно корректными на естественном для данной задачи множестве начальных данных подобласти из В этих работах получены необходимые и достаточные условия равномерной п - и> - корректности (ЗК) на множестве В С £)(СП+1) (для плотно определенного оператора С Б совпадает с 0(Сп+1)). Задача (ЗК) называется равномерно п - и - корректной на Ю, если для любого х Е О решение задачи существует, единственно и устойчиво относительно малых в смысле нормы ЦжЦп : - ||;г|| + + • • • + ЦС^Ц! более сильной, чем норма пространства X, изменений начального значения, равномерно на ограниченных подмножествах полуоси t > 0.
В настоящей работе введено понятие равномерной п - и> - корректности вырожденной задачи Коши:
Ви'{1) = Ли(<), I > О,
м(0) = х, '
где В и А - линейные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство Е, В ограничен, кегБ ф {0}, А замкнут, и с помощью вырожденных п раз интегрированных полугрупп получено достаточное условие равномерной п - ш - корректности (ЗК) на некотором классе начальных значений.
Обозначим через рв(А) множество всех А 6 С, для которых существует и ограничен оператор (АВ - А)-1 .В : X X. Для любых А,/х £ рв(А) выполняется резольвентное тождество
n-w- КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВА
31
(АВ - А)'1 В - (,иВ - А)~ХВ = (и - А)(АВ - А)~гВ(рВ - А)~гВ, (1)
| поэтому рв(А) будем называть Б-резольвентным множеством оператора А, а оператор (АВ-А)~1В - Б-резольвентой оператора А. Оператор-функцию М(-) : С £ Q(X, X), для которой выполняется резольвентное тождество, будем называть псевдорезольвентой.
Пусть А0 £ рв{А)- Введем обозначения Д = 1тп((\0В - А)~1В)г, где i = 1,2,3,.... Легко проверить, что множества Д не зависят от выбора Ао € Рв(А). На множестве Dn, п £ N, зададим норму:
4x£Dn |ж|п:= inf ||у||,
уе((\0В-А)-1В) пх
здесь ((А0В - А)~*В)~пх := {у € Х|((А0Б - = х}. Обозначим
получившееся линейное нормированное пространство через [Dn\. Очевидно, [Dn] - банахово пространство.
Определение 1. Пусть А и В - линейные операторы, действующие из X в Е, В - ограничен, А - замкнут, рв(А) ф О, Ао £ Рв{А). Будем говорить, что задача Коши () п - и - корректна на множестве D С [Д] (га £ N, и G R), если для любого х £ D решение задачи существует, единственно и для u(t) - решения () с начальным значением х £ D, верно неравенство
INOII < МеьЛ\х\п. (2)
Определение 2. Пусть п £ N. Однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов называется п раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппой, если
s
-^Jl(s-r)n-1V(t+r)-(t+s-r)n-1V(r)}dr = V(t)V(s), t,s > О, (VI) о
V(0) = 0;
\fx £ X V(t)x непрерывна по í, t > 0; (^2)
3M>0, cj£R ||V(t)|| < Меш<, í> 0. (V3)
Полухрупла называется невырожденной, если
Vi > 0 V(t)x = 0 х = 0. (V4)
Если условие (V4) не выполнено, то полугруппа называется вырожденной.
32
М А Алынанский
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 [1]. Пусть V(t) : [0,+оо) X - сильно непрерывная оператор - функция такая, что для некоторых М > О и> € R ||F(i)|| < Мешг, t > 0. Пусть п 6 N и имеет место равенство
оо
Я(А) = J Аne~xtV{t)
dt, А > cj.
Тогда R(А) является псевдорезольвентой тогда и только тогда, ког V(t) удовлетворяет соотношению (Fl).
Определение 3. Пусть X и Е — банаховы пространства. Линейные операторы А и В, действующие из X в Е, называются генераторами экспо ненциально ограниченной вырожденной п раз интегрированной полугруп пы {V(t), t > 0} С если А замкнут, В ограничен и верно равенство
оо
(ХВ- А)'1 В = J Xne~MV(t)dt,X> (3)
о
Пользуясь теоремой Арендта-Уиддера [1], получим следующий результат.
ТЕОРЕМА 1. Пусть А и В — линейные операторы, действующие из X в Е Следующие утверждения эквивалентны:
(I) А и В являются генераторами га + 1 раз интегрированной полугруппы V(t),t > 0, удовлетворяющей условию Липшица
lim ~\\V(t + h) - V(t)\\ < Меш\ t > 0. (4)
(II) Выполнены оценки
'{ХВ - А)-гВ
jk
ЗМ > 0. и е R: 1КА-
Хг>
А > и;, к = 0,1,2,...
I| S Мк\, (5)
ТЕОРЕМА 2 Пусть А и В генераторы п + 1 раз интегрированной вырожденной полугруппы > 0}, удовлетворяющей условию (4) Тогда
(ХВ - А)-ХВУ(Ь) = У(1)(ХВ - Л)_1В, ¿>0, А > и;; (6)
tU+l
(п+1)!
t
Вх = BV(t)x - А J V(s)xds, х £ Du t> 0; (7)
п-ю- КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВА 33
> 0} является вырожденной п раз интегрированной в пространстве _
Е:= (А В-Ау^Вфг).
Для любых к = 0,1,2,..., п, х £ ((АВ — А)~1В)к(Г) верно равенство
ВУ{Ш)(г)х = * Да + АуМ{г)х, I > 0; (8)
для любого х £ ((АВ - А)~1В)п+1(Р) имеем
х, г > о. (9)
Доказательство. Пусть операторы А и В удовлетворяют условию теоремы, тогда для любых А,/и > и, х £ X мы имеем
00 ,
IАБ - А)~гВх сИ = (р,В - А)~1В(\В - А)^Вх = о
оо
= (А В- А)~1 В{цВ- А)~хВх — I цп+1е-"\\В - А^ВУ^хМ,
о
откуда по теореме единственности для преобразования Лапласа следует равенство (6). Пусть х £ X, А > и, тогда
ОО ОО п
( \п+2е~Хг —-Вхй1 — [ Х^е-^-ВхсИ^ ...= 7 (п + 1)! У п!
о о
= Да: = (АБ - А)(ХВ - А)-1 Вх =
ОО ОО
= IАп+2е~Х1ВУ(1)х<И- АI \п+1е-Х1У(г)х(И. о о
Пусть теперь х £ х = (АоБ - А)~1Ву, у £ X, тогда, в силу оценки \\АУЩх\\ = \\АУ(ЩХ0В - А)-1Бу|| = ||А(А0Б - А)~1ВУШ\ = = ||А0Б(А0Б - А)-1ВУЦ)у - БУ(%|| < М||Б||е"г(|А0| ||х|| +
34 М.А.Алыпанский
при А > ш определено преобразование Лапласа АУ(^х, и, так как А замкнут, мы имеем
оо оо ОО
о
оо
у хп+2е~м [вУЦ)х - У АУ(з)х А. о о
По теореме единственности для преобразования Лапласа отсюда следует
--— Яг = - / АУ(8)хйз, хеБг.
(п 1). 3
В силу ограниченности операторов В и и замкнутости А отсюда следует (7).
Пусть х = (АБ - А)"1Ву, где у Е V1. Для у выполняется равенство (7). Применив к обеим частям этого равенства оператор (АВ - А)-1 и воспользовавшись свойством (6), получим
¿п+1
КМ)
г
= «>0. (10)
о
Пользуясь равенством
(ХВ - А)"! А = А(АБ - А)_1Б - /, А>ы, (11)
которое имеет место на £>(А), свойством (6) и неравенством (10), полу-
чим
1 1
Г
Г-У{г)х- [у{з)[\х-у}<18, I > 0. (12)
(га + 1 ! У
о
Отсюда следует непрерывная дифференцируемость и, следователь-
но, справедливо вложение (ХВ - А)~1В(Вх) С ^ := {ж 6 ЛГ|У(г)а: € Г'1([0, + оо); X)}. Линейное многообразие замкнуто, так как из свойства (4) следует ограниченность операторов У'(/):
ЦП011 < Мё*\\х\\, 4>0, (13)
Отсюда следует .Р := (АБ - А)~1В(Г>1) С Пользуясь равенством (6) и ограниченностью операторов У^), легко получить вложение У(1)(Р) С
п и, - КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВА 35
- е\ * > 0, из которого следует У({)(Г) С I > 0. Для У{1) на верно равенство
оо
! \пеХ1У'{1)(И= (ХВ- А)-1 В, X > и, о
откуда в силу (13) и предложения 1 следует, что У(Ь) является п раз ин-I тегрированной экспоненциально ограниченной полугруппой в Г.
Дифференцируя равенство (12) и действуя на него оператором В, получим
~Вх = вУ{г)х - в(хв - А)-хАУ{г)у, г > о,
шя любого у 6 х = (ХВ - А)~1Ву. В силу очевидного равенства
В(ХВ - А)~ХА - А(ХВ - А)~1В, X > и, ;оторое выполняется на -О(А), и свойства (6) отсюда следует
г—Вх = ВУ\1)х - АУ(г)х, />0, х е (ХВ - А)~1В(В1),
а так как операторы В, У(1) и ограничены, а А замкнут, отсюда
следует справедливость (8) при к = 0.
Докажем (8) для к = 1. Пусть ж е (ХВ - А)~гВ(Г), х = (XВ-А^Ву, у £ .Г. Для у верно равенство (8) при к = 0. Действуя на это равенство оператором (ХВ - А)-1 и пользуясь пересIановочностью (АВ - А)~1В и У(1), которая следует из (6), получим
¿и
У(1)х = —х + (ХВ - А)-1АУ(1)у, г > 0. п!
Воспользовавшись далее равенством (11), получим
гп
У'Н)х = —х + УШх[Хх + у], 1>(). (14)
п\
В силу юго, что Ах — у £ отсюда следует непрерывная дифференци руемооь У(1)х при ? > 0. Дифференцируя (14) и действуя на полученное равенство оператором В, получим
+п— 1
ВУ'(1)х = Вх + АУ(ф, (>0,16 (А В - А)~1В(Г),
(п — 1).
что и требовалось. С помощью аналогичных рассуждений равенство (8) последовательно доказывается для к = 2, 3,..., п. Аналогично доказывается и (9). Теорема доказана.
М А Алыпанский
ТЕОРЕМА з. Пусть А и В — линейные операторы, действующие| из X в Е, А замкнут, В ограничен и выполнены оценки (5), тогда задачи-() п - oj - корректна на множестве
D = ((ДоВ - А)~1В)п+1 [(\0В - A)~1B(D1)j С Dn.
Доказательство. По теореме 1, операторы А ж В, удовлетворяющие условию теоремы, порождают п + 1 раз инте1 рированную вырожденную полугруппу, удовлетворяющую условию Липшица (4).
По теореме 2, для любого а; е D определена функция u(t) := t > 0, которая является решением () с начальным значением х.
Пусть теперь х € D, Хо G F так, что хг — ((АВ - А)~1В)'х0, г = 1,2,3,..., п и хп — х. Пользуясь соотношениями
= + г = 1,2,3,..., п
(п — г)!
(при г = 1 это равенство получается дифференцированием (14), при - аналогично), и оценкой (13), получим последовательно
\\V"(t)xi\\ < Мхе^\\х0\\, t> О,
\\V"l{t)x2\\ < M2eu\\x0l t > 0,
||У(п+1)(/).г-а|| < Mneut\\x0\\, t> 0.
Переходя в правой части последнего неравеш тва к инфимуму по всем xq € ((AJ5 - А)-1^)-"^, получим
||K<n+1>(i)s|| < Мпе^\\хп\\, t > 0,
что и требовалось доказать.
Список литературы
1 Arendt W. Vector valued Laplace transforms and Cauchy problems // Israel J Math 1987 Vol 59 P 327 - 352
2 Neubrander F. Integrated semigroups and their application to the abstract Cauchy problem // Pacific J Math 1988 Vol 135 P 111 155
SUMMARY
The present work gives definition of uniform n - u> - correctness of degenerat Cauchy problem. The saffient condition of uniform n - и - coirectness of Cauchy problem on some class of initial values with help degenerate n times integrated semi-groups.
