CC BY
17
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №2_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Илолов, Х.С.Кучакшоев, Д.Н.Гулджонов
О ДРОБНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ ВОЛЬТЕРРА В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Центр инновационного развития науки и новых технологий АН Республики Таджикистан, Институт математики им А.Джураева АН Республики Таджикистан
В работе изложены основы теории одного класса дробных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра в банаховом пространстве. Установлены условия существования а -резольвентных операторов, эквивалентные условиям корректности соответствующих начальных абстрактных задач.
Ключевые слова: производная Капуто, резольвентный оператор, задача Коши, скалярное ядро.
Пусть X— банахово пространство с нормой || • || . Пусть ос >0 и 111 - ближайшее целое число, большее, чем а. Рассмотрим задачу Коши для линейных интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка а в банаховом пространстве X вида
t
сДаи(0 = Аи(г) + ]В(г-s)u(s)ds + ДО, и(0) = и0, и(£)(0) = 0, £ = 1,...,ш-1, (1)
0
где сDа — дробная производная Капуто порядка а от X -значной функции и(г) [1], то есть
1 t
CD>(t) = ( _ ) {(' — 1—аи{т)(у)йт, (2)
I (т а) о
А - замкнутый линейный плотно определенный оператор в X , {В(?)}г>0 - семейство замкнутых линейных операторов в X с областями определения D(В(г)) з D(А), / : Я+ ^ X — непрерывная функция и начальное значение и0 е X.
Функция и : [0, а] = J ^ X называется решением задачи Коши (1), если и имеет непрерывную дробную производную Капуто (2) на J, и(г) е D(A), Аи(г) — непрерывная функция и и удовлетворяет (1).
Задача Коши для дробных дифференциальных уравнений
CDаu(t) = Аи(г), г >0, и(0) = и0 (3)
рассматривалась в работах [2,3]. В [3] даны условия для оператора А, необходимые и достаточные для разрешимости задачи (3). В частности, доказано, что (3) имеет голоморфное решение в случае,
Адрес для корреспонденции: Илолов Мамадшо. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 33, Центр инновационного развития науки и новых технологий АН РТ. E-mail: ilolov.mamadsho@gmail.com
когда оператор генерирует аналитическую С0 -полугруппу. Интегро-дифференциальные уравнения первого порядка были предметом анализа многочисленных публикаций [4-9]. В указанных работах при различных условиях на Л и В) доказаны теоремы существования решений и корректности задачи (1) . Некоторые работы посвящены исследованию обратной задачи, то есть вопросу о том, для каких классов операторов А и В из корректности задачи (1) следует существование резольвентных операторов. В случае, когда А является генератором аналитической С0 -полугруппы, В^)х принадлежит классу С1 для всех х е D(А) и В(/)0( А2) ^ D( А), ответ на вышеуказаный вопрос утвердительный. В работе [9] считается выполненным следующее условие (Н0) :
)) ^ D(А) для всех I > 0, функции В^)х сильно измеримые для х е D(А) и имеется скалярная Ь е /!1ас(И ) такая, что || В(1)х ||< Л(7)(| х || + || Ах ||) для всех х е 1ЦА) и для почти всех t > 0.
В [9] доказано, что условие (Н0) обеспечивает эквивалентность между корректностью
задачи (1) и существованием резольвентного оператора для (1).
Результаты работы [9] являются обобщением классических теорем С.Г.Крейна [10] для дифференциальных уравнений
= Аг
с неограниченными операторами А на случай интегро-дифференциальных уравнений первого порядка.
Настоящая работа посвящена изучению ( -резольвентных операторов задачи (1). Вводится семейство сильно непрерывных и ограниченных линейных операторов 0 в X ,
удовлетворяющих условию (0) = I, и резольвентных уравнений вида
t
^) = АSa ^) + Jв(t - s)Sa (4)
0
и
t
(г) = Sa (г) А + (г - s) B(s)ds. (5)
0
Доказано, что при достаточно общих предположениях относительно В ^) найдется не более одного (-резольвентного оператора. Любое решение задачи (1) представимо через формулу вариации параметров вида
t
и^) = Sa ^ )и0 + & ^ - s)f (s)ds, (6)
0
из которой следует корректность постановки задачи (1). И, обратно, из корректности задачи (1) следует существование а -резольвентных операторов.
Рассмотрим определение а -резольвентных операторов, основные свойства и условия корректности задачи (1).
Пусть Л - замкнутый линейный, плотно определенный оператор в X. Пусть семейство замкнутых операторов {В(10 удовлетворяет условию (Н0) .
Определение 1. Семейство ограниченных операторов {Sа (1)}>0 называется а -резольвентным семейством операторов для задачи (1), если выполняются следующие условия:
1) для всех х е X, ^ (1)х непрерывна на , и £а (0) = I (I — тождественный
оператор);
(Ба 2) £а (1 Л) ^ D(Л) для всех 1 > 0 и х е D(Л), функция Л^а (1)х непрерывная и ^ (1)х имеет непрерывную дробную производную порядка а по 1 на Я+;
(^3) для всех х е D(Л) и 1 > 0 имеют место а -резольвентные уравнения
Dа Б а (1) х = ЛБ а (1) х + \Б(г — s)Sа (8) xds, (7)
0
Dа Б а (1) х = Ба (1) Лх + ^ (1 — 8) Б(8) xds. (8)
0
Сначала покажем, что существует не более одного -резольвентного оператора.
Теорема 1. Существует не более одного а -резольвентного оператора (1) для задачи (1).
Доказательство. Пусть Sla(t) и Б2а{1) - а -резольвентные операторы для задачи (1) и пусть х е D(Л). Тогда из (4) и (5) следует
' d
(1) — ?а (1) = |—[БЦг — 8)^а (8)— = 0 —8
= \{Б1(1 — 8)^а(8)х — Б2а (1 — s)Sla(s)х}—8 =
0
г я
= ¡S 1(1 — 8) ]Б(8 — г )S1a(r ) х—г—8 —
0 0
—\\S 1(1 — 8 — г ) Б(г )^а(г ) х—Г—8 =
0 0
= ^¡(1 — 8) Б(8 — Г ^1(8) х—8—Г —
0 г
I г
—[(¿а (г—' )в(г—s) sа ^ х&ж=0,
0 s
поскольку — s)В(s — г)£\(т)х - измеримая и суммируемая функция в силу предположения (Н0) и в силу теоремы Фубини. Следовательно,
¿а (г) х = ¿а(г) X
для всех г >0 и х е D(A), и поскольку D(А) плотна в X и ¿1а(г),) ограниченные, то получим
¿а (г ) = ¿а(г).
Другим непосредственным заключением из существования а -резольвентного оператора является формула вариации постоянных.
Теорема 2. Предположим, что задача (1) допускает а-резольвентный оператор (г).
Пусть и0 е X и f е С^, X), где J = [0, а ]. Тогда, если и (г) решение (1) на J, то
г
и(г) = (г)и0 + (г — s)f для всех г е J. (9)
0
Доказательство. Так как и (г) решение (1), то из (6-8) и из теоремы Фубини о замене порядка интегрирования получим
г
и (г) — ¿а (гК — ([¿а (г — s)f ^ =
0
г !
= ( ~Т (¿а (г — — ¿а(г — s)f =
0
г s г г—s
= (г — £)(*В(£ — г )и(г )dгds — [ [ (г — s — г )В(г )и =
0 0 0 0
г г г г
= (г — s) В^ — г )и (г — (г — г) В(г — s)u = 0.
О г 0 s
Из теоремы 2 следует, что решение неоднородного уравнения единственное. Более того, если и0п ^ и0 и ^ ^ f в ь(J, X), то решение (1), полученное заменой и0 и f на и0п и fn , сходится к и равномерно на J.
Однако функция и (г), определенная с помощью (9), вообще говоря, не будет решением (1). Мы назовем такое решение слабым решением (1). Имеет место
Следствие 1. Пусть уравнение (1) допускает а -резольвентный оператор. Тогда задача (1) корректна в слабом смысле.
Далее обсудим вопрос о том, когда и для каких и0 и / слабое решение становится решением
задачи (1). По аналогии с полугруппами (случай Б(1 ) = 0) при и0 еD(Л) имеются два класса
неоднородностей / , для которых ответ утвердительный, а именно / е С (J, X) и / еW, X).
Через Ж, X) обозначено пространство абсолютно непрерывных на J функций таких, что
/е Ёу, X) и /(0 = /(0) + |/'(8)—8.
0
Рассмотрим частный случай уравнения (1), а именно
О и(1 ) = Ли(1) + {а(1 — 8) Ли(8)—8 + / (1), 1 >0, (10)
0
где а е 1}(Я+ ) — скалярнозначное ядро. Пусть /(1) е БС, X) - пространство ограниченных непрерывных функций и пусть р(1) - функция, заданная формулой
р(0:= ^ (1 — 8)/(8)—8, г >0. (11)
0
Тогда || (р ||вс<|| || || / ||вс . Если f(t)<ED(A) для всех t>0, то е для всех t>0.
Поскольку {^ (1 )}(>0 интегрируемая, (ре БС. Предположим, что О ар существует, и пусть
1к—1
Ь(1 ) = 9 а (1) + (9 а * а)(1X 1 > ^ где §а (1) = —- и 9 * а)(1 )= Г^а (1 — 8)а(8)—8, п = [ а ] +1. Из
Г(а) I
теоремы Фубини получим
°ар(1) = —Г \9п-а(1 — 8)р(8)—8 =
0
-77 ¡9^ — 8)^(8 — Г )/(Г )—Г—8
— 0
— п * 8
-¡П ¡9п-а (1 — 8) {[ § а (8 — Г )/(Г ) + (Ь * ЛSа )(8 — Г )/(г )]—Г—8
—П '
-¡П — 8) О-а/(8)—8
— п
+ -тп ¡9п—а (1 — 8){ { Ь(8 — Г — V)ЛSа (V)/(г
— 0 0 0
¡п ^ г о
/ 0) + -¡П ¡9п-а О " |[ 9а - о) + (9а* а)0 - о)] О - Г )/ (г
,п ¡=> п-а^ - ^ [ 9а(Я -О) + (9 а * <
Ш 0 0
Шп г
/(г) + АР(г) + — ¡9п-а (г - | ¡9 а О - -
0
(0) + Ау) + ¡9п-а (г - Я)\9а О - ^(а * AУ)(v)ШvШs =
Ш 0 0
/(г) + Ар(г) + (а + Ар)(г).
Итак, р есть решение уравнения (10). Так как в общем случае Dар может не существовать, то будем говорит что р(г), определенная через (11), является слабым решением (1).
Теорема 3. Предположим, что А генерирует а-резольвентное семейство {£а (г)}г>0 такое, что 11 £а (/) 11< сра(/) для всех t> 0 с сра^Ё{Я+). Если f еВС(Х), то уравнение (1) имеет единственное слабое решение.
Доказательство. Если / е ВС(X), то и (г) корректно определена посредством равенства
п г
г
и (г) = ¡£а(г - я)/
а
0
и по теореме 1 и е ВС(X). Далее, и является единственным решением (10). Введем для дальнейшего следующее обозначение
еар(Г) = ^1Еар(-рО, ре Ж, где Еа р (г) - функция Миттаг-Леффлера.
Хорошо известно [11,12], что для 0 < а < р <1,
1 ад
еа,р (г) = - (г)Шг, г > 0, (12)
тг *
Ж 0
где
= [га sln р7Г + р ^п(р - а)ж] *ар(Г) г2* + 2рга^(шт) + р2 ' ( )
Следующий результат показывает, что представление, подобное (12), справедливо и для случая 1 < р <а <2.
Теорема 4. Пусть \< /3 < а <2, и реК. Для всех ? > 0 имеем
г V
(t) —]e~rtka р(Г)dr + 2p^e^tcos(>/а) + £z£l*l, ж 0 а а
где ка р определена равенством (13).
Поступило 01.12.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987, 702 с.
2. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка. - Дифференциальные уравнения, 1989, т.25, 8, с.1359-1368.
3. Илолов М. Дробные эволюционные уравнения и динамическая память. - ДАН РТ, 2013, т.56, 8, с.591-597.
4. Kostin V.A. The Cauchy problem for an abstract differential equation with fractional derivatives. - Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1992, v.326, 4, pp.597-600.
5. Friedman A., Shinbrot M., Voltera integral equation in Banach space. - Trans. Amer. Math. Soa, 1967, v.126, pp.131-179.
6. Grimmer R.C. and Miller R.K. Existence Uniqueness and continuity for integral equations in a Banach Space. - J. Math. Anal. Appl., 1977, v.57, pp.429-447.
7. Grimmer R.C. and Pruss J. On Linear Voltera equations in Banach spaces. - Comp. and Maths. with Appl. 1985, v.11, Nov. 1-3, pp.189-205.
8. Pruss J. Evolutionary Integral Equations and Applications.- Basel: Birkhauser Verlag, 1993, 366 p.
9. Dhanapalan V., Thamilselvan M. and Chandrasekaran M. Existence and uniqueness of mild solutions for fractional integrodifferential equations. - Appl. Comput. Math-Bak, 2014, v.3, 1, pp.32-37.
10. Крейн С.Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967, 401 с.
11. Ponce R. Bounded mild solutions to fractional integrodifferential equations in Banach spaces. -Semigroup Forum, 2013, v.87, pp.377-392.
12. Gorenflo R., Mainardi F., Fractional calculus: Integral and differential equations of fractional order, in: A. Carpinteri, F. Mainardi (Eds.), Fractals and fractional Calculus in Continuum Mechanics, Wien, New York: Springer Verlag, 1997, pp.223-276.
М.Илолов, Х.С.Кучакшоев, Д.Н.Гулчонов*
ДАР БОРАИ МУОДИЛА^ОИ ХАТИИ КАСРИИ ВОЛТЕРРА
ДАР ФАЗО^ОИ БАНАХ
Маркази рушди инноватсионии илм ва технологиями нави Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, *Институти математикаи ба номи А. Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола асосдои назарияи як синфи муодиладои касрии интегродифференсиалии Волтерра дар фазодои Банах оварда шудаанд. Шартдои мавчудияти оператордои а -резолвентй дарёфт гардидаанд, ки бо садеднокии масъаладои абстрактии мувофик баробаркувва мебошанд.
Калима^ои калиди: уосилаи Капуто, оператори резолвентй, масъалаи Коши, ядрои сколярй.
M.Ilolov, Kh.S.Kuchakshoev, D.N.Guljonov* ON FRACTIONAL LINEAR VOLTERRA EQUATIONS IN BANACH SPACES
Center for Innovative Development of Science and new technology, Academy of Science of the Republic of Tajikistan, A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Science of the Republic of Tajikistan
In this paper, the foundations of the theory of a class of fractional integrodifferential equations of Volterra type in Banach spaces is present. Conditions for the existence of а -resolvent operators that are equivalent to the correctness of the corresponding initial abstract problems are established. Key words: Caputo derivative, resolvent operators, Cauchy problem, scalar kernel.
