ВЫРОЖДЕННЫЕ ДРОБНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С σ-РЕГУЛЯРНОЙ ПАРОЙ ОПЕРАТОРОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 4 (2016). С. 100-113.

УДК 517.9

ВЫРОЖДЕННЫЕ ДРОБНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С а-РЕГУЛЯРНОЙ ПАРОЙ ОПЕРАТОРОВ

М. КОСТИЧ, В.Е. ФЕДОРОВ

Аннотация. Рассмотрено вырожденное дифференциальное уравнение дробного порядка DfLu(t) = Mu(t) в отделимом секвенциально полном локально выпуклом пространстве. При условии ^-регулярности пары операторов (L, М) найдено фазовое пространство уравнения и его семейство разрешающих операторов. Показано, что образ единицы последнего совпадает с фазовым пространством. Доказана теорема об однозначной разрешимости и получен вид решения задачи Коши для соответствующего неоднородного уравнения. Приведен пример применения полученных абстрактных результатов к исследованию разрешимости класса начально-краевых задач для уравнений в частных производных, содержащих целые функции от неограниченного оператора в банаховом пространстве, в специальным образом построенных пространствах Фреше. Это позволило рассмотреть, например, периодическую по пространственной переменной х задачу для уравнения со сдвигом по х, имеющего дробный порядок производной по временной переменной t.

Ключевые слова: дробное дифференциальное уравнение, вырожденное эволюционное уравнение, локально выпуклое пространство, ^-регулярная пара операторов, фазовое пространство, разрешающий оператор.

Mathematics Subject Classification: 34A08, 34G10, 47D99, 35R11

где — дробная производная Капуто порядка а > 0 [1], Я и V — отделимые секвенциально полные локально выпуклые линейные топологические пространства, Ь : Я ^ V — линейный непрерывный оператор, М : Им ^ V — линейный замкнутый оператор с областью определения Им, плотной в Я. Это уравнение далее называется вырожденным, поскольку предполагается, что кег Ь = {0}. В работе рассматриваются вопросы однозначной разрешимости задачи Коши

для уравнения (1). Здесь т — наименьшее целое число, не превосходимое числом а.

M. KostiC, V.E. Fedorov, Degenerate fractional differential equations in locally convex spaces with a ct-regular pair of operators.

© М. Костич, В. Е. Фёдоров 2016.

Работа первого автора частично поддержана грантом 174024 Министерства науки и технологического развития Республики Сербия. Работа второго автора выполнена при поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского госуниверситета (грант правительства РФ № 14.Z50.31.0020).

Поступила 16 октября 2015 г.

1. Введение Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

D?Lu(t) = Mu(t) + f (t),

(1)

u(k)(0) = uk, k = 0,1,... ,m - 1,

(2)

Уравнения такого вида в банаховых пространствах рассматривались в работах [2, 3] в невырожденном случае, когда оператор Ь непрерывно обратим, в работе [4] при условиях вырожденности оператора Ь и сильной (Ь, р)-секториальности оператора М. Отметим также работы [5]-[10], в которых исследуются дробные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах.

Настоящая работа содержит обобщение результатов работы [11], в которой исследована разрешимость задачи Коши (2) для однородного уравнения (1) в банаховом пространстве с использованием условия (Ь, а)-ограниченности оператора [12], введенного в рассмотрение при изучении вырожденного уравнения порядка а = 1. В данной работе используется понятие (Ь, а)-регулярного оператора, использованное ранее в [13] для исследования вырожденного уравнения первого порядка в локально выпуклых пространствах. С помощью условия (Ь, а)-регулярности оператора М получены пары инвариантных подпространств операторов Ь и М, и исходное уравнение редуцировано к системе двух уравнений, заданных на двух подпространствах. Одно из полученных уравнений является разрешенным относительно производной и имеет регулярный оператор [14] при искомой функции. Условия разрешимости задачи Коши для такого уравнения и вид ее решения найдены в работе [14]. Другое из полученных уравнений имеет нильпотентный оператор при производной. В случае р-регулярности пары операторов (Ь, М) показана однозначная разрешимость такого уравнения без использования начальных данных. В однородном случае соответствующее решение тривиально. Этот факт позволил найти фазовое пространство и семейство разрешающих операторов однородного уравнения. В неоднородном же случае он приводит к необходимости выполнения условий согласования между начальными данными задачи Коши и правой частью уравнения.

Рассмотрена также обобщенная задача Шоуолтера-Сидорова, подразумевающая задание начальных данных не для всего решения, а только для его проекции на первое подпространство. Поэтому отличие теоремы о разрешимости такой задачи от теоремы о задаче Коши состоит лишь в отсутствии условий согласования, которое подчеркивает естественность такой задачи для вырожденных эволюционных уравнений.

Найденное в работе семейство разрешающих операторов построено в явном виде с использованием функции Миттаг-Лёффлера и использовано для представления решения.

Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании разрешимости класса периодических по пространствененой переменной х задач Коши и Шоуолтера-Сидорова для уравнений дробного порядка по времени и бесконечного порядка по х с целыми функциями от оператора дифференцирования по х и со смещением по этой переменной. Для этого смещение по пространственной переменной представлено как результат действия экспоненциальной функции от оператора А дифференцирования по х, и показана для полученных операторов (Ь, 0)-регулярность оператора М при рассмотрении задачи в пространстве Фреше, представляющем собой индуктивный предел шкалы пространств Фреше элементов А-экспоненциального типа из И(АХ).

2. Неоднородная задача Коши для невырожденного уравнения

Пусть 3 — отделимое секвенциально полное локально выпуклое пространство. Через ©3 обозначим фундаментальную систему полунорм в 3, определяющую в этом пространстве топологию.

Определение 1. Линейный непрерывный оператор А : 3 ^ 3 назовем регулярным (коротко, А € П(3)), если существует такое С € что для любой полунормы д € ©3 найдется такая полунорма г € ©3, что д(Апг) < Спг(г) для всех г € 3, п € N.

Замечание 1. Константу С из определения 1 будем называть константой регулярности оператора А. Понятно, что множество констант регулярности для заданного оператора не ограничено сверху.

Замечание 2. В случае банахова пространства 3 регулярность оператора в точности означает его принадлежность к классу £(3) линейных непрерывных на всем пространстве операторов.

Замечание 3. В случае квазиполного локально выпуклого пространства оператор А является регулярным в смысле данного определения тогда и только тогда, когда он является регулярным элементом выпуклой борнологической алгебры непрерывных линейных отображений из 3 в 3 с борнологией равностепенной непрерывности [14, с. 136].

Регулярным спектром аг (А) оператора А будем называть [14, с. 136] множество таких ц € С, при которых не существует регулярного оператора (ц1 — А)-1, а регулярным резольвентным множеством оператора А — множество рг(А) = С\аг(А). Регулярный спектр регулярного оператора в квазиполном локально выпуклом пространстве — непустое компактное множество [14, с. 137]. Для спектрального радиуса регулярного оператора А в таком случае имеем га(А) = т£{С > 0 : д(Апу) < Спг(у)}.

Обозначим дё(г) = Г(6)-Чг-1 при 5> 0, Ь> 0,

J.fh(t) = (gs * h)(t) = gs(t — s)h(s)ds.

Пусть a > 0, m — наименьшее целое число, не превосходимое числом a, D' — обычная производная порядка m G N, J° — тождественный оператор, D" — дробная производная Капуто, т. е. D™f(t) = J1'-aD'mf(t) в случае, когда выражение в правой части этого равенства имеет смысл. Далее будет также использовано равенство

/m-1 \

Dtf (t) = DmJm-al f(t) — f(k)(0)9k+1(t) ), справедливое в случае, когда определено

V k=0 J

выражение в его правой части [1, с. 11].

При а,@> 0 введем в рассмотрение функцию Миттаг-Лёффлера (г) = ^ г(ап+р)

п=0

и рассмотрим задачу Коши

г(к)(0) = гк, к = 0,1,...,т — 1, (3)

для дробного дифференциального уравнения

(1) = Аг(1) + №, 1€ [0,Т), (4)

где Т € (0, А — регулярный оператор в секвенциально полном локально выпуклом

пространстве 3. Решением задачи (3), (4) назовём функцию г € Ст-1 (К+; 3), для которой

т—1 \

— г(к\0)дк+1 I € Ст(Е+; 3) и выполняются равенства (3) и (4). Здесь и далее к=0 _ ) К+ = {х € К : ж > 0}, К+ = К+ и {0}.

Теорема 1. Пусть А € 'Я-(Ъ), / € Ст([0,Т); 3). Тогда щи любом г0 € 3 существует, единственное pешениe задачи (3), (4). При этом оно имеет вид

1 * т- 1

г(1) = ^ IкЕак+1(АЬа)гк + (1 — з)а-1Еа,а(А(1 — 8)а)/(8^8. (5)

к=0

Доказательство. Почленно дифференцируя ряды, получим в силу регулярности оператора А равенства

В?^ ^Еа,к+г(А1а)гк = А^ 1кЕа,к+1(А1а)гк, (6)

к=0 к=0 т— 1

В\ ^ 1к Еа,к+1(АГ )гк и = г,, I = 0, !,...,т - I, (7)

О? / (I - з)а~ 1Еа,а(А(1 - з)а)/(з)<1з = 8а-1Еа,а(Аза)/(I - з) <1з

о г

Зш-авш-1 1 (0) + Зш-авш-1 ^ 8»-1Еа а(А8»)1 '(Ь -

о

т—1

= ¿г-а ^ {Ъа—1Еа^(АГ)) /(т—1—к)(0)+

ч / у ^

к=0

I

+■]?-а I за-1Еа>а(Аза)¡(т)(1 - з)с1з = о

т— 1 оо

•г-°ЕЕ I

^ Т(ап + а - к)'

к=0 п=0 К '

I т

+ [ ( ¡(7 - з)а-1Еа,а(А(т - 8)°)/(т)(з)<18

3 Г(т -а) ] оо

т-1 Лп-/-ап+т—1—к

= УУ —-^т-1-к)(0)+

+ т -кУ () +

к=0 п=0 К '

I I

(+ — Т)т-1-а

\ ' ,л«—1 и1 I л ('_ г(т

+ Ыз -—(г - 8)а-1Еа,а(А(т - 8)а)Г}Шт

] ] Г(т - а) о

т— 1

,к

^2^Еа,к+1(А1а)/(к)(0)+

к=0

, ( 8 а)_„а—1р (

+ -^-ч-& Еа,а(А(г '(8)с1(г =

т— 1

Г(т - а)

оо

1-к Т71 ( ¿(к) /гл\ I I Г тт—а/1 „\а— 1 тг1 ( л (+ г(гп

— 8) йпп(А(1 — 8) ) Г '(8)а8

—

^ 1кЕа,к+1(А1а)¡(к)(0) + [ЗГ-—а(1 - з)а—1Еа,а(А(1

и_п ^

т—1 ^

^ 1кЕа,к+1(А1а)/(к)(0) + (I - з)т—1Еа,т(А(1 - з)

к=°° о

( )-

о

-ЕаЛ(А(1 - 8)а)

( )

= ^ (I — з)а-1Еа>а(А(1 — + ¡(1). (8)

о

В конце рассуждений использовано т-кратное интегрирование по частям. Из равенств (6)-(8) следует, что функция (5) — решение задачи (3), (4).

Если существуют решения г1 и задачи (3), (4), то их разность г = г1 — является решением задачи Коши (3) с начальными данными Хк = 0, к = 0,1,... ,т — 1, для однородного уравнения Б" г(1) = Аг(¿). Подействуем на обе части этого равенства оператором

" а-1

, тогда г({) = / "а—Аz(в)(1з (см. [1, с. 12, формула (1.21)]). Тогда в силу теоре-о

мы 4 [14, с. 169] единственное решение такой задачи в случае регулярного оператора А в секвенциально полном локально выпуклом пространстве имеет вид г = 0. □

3. ^-регулярная пара операторов

Пусть Я, V — секвенциально полные локально выпуклые пространства. Через С(Я; V) будем обозначать множество линейных непрерывных операторов, действующих из Я в V. Множество линейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве Я, действующих в V, обозначим через С1 (Я; V). Если V = Я, то сответствующие обозначения будут иметь вид С(Я) и С1 (Я) соответственно.

Пусть Ь,М е С1 (Я; V), через Д^, Бм будем обозначать области определения операторов Ь и М. Обозначим П^(М) = (рЬ — М)-1Ь, Ь%(М) = Ь(рЬ — М)-1.

Регулярным Ь-резольвентным множеством оператора М назовем множество р1(М) = [р е С : (рЬ — М)-1 е ¿(V;Я), П^(М) е Я(Я), Ь^(М) е Я^)}, регулярным Ь-спектром — его дополнение а1^(М) = С \ р^(М).

В дальнейшем нам понадобятся следующие тождества, справедливые при всех

р, X е р1(М), и е Бь П Бм:

(¡1Ь — М)-1 (ХЬ — М)и = и + (X — р)(рЬ — М)-1Ьи, (ХЬ — М )(рЬ — М )-1 = 1+(Х — р)Ь(рЬ — М )-1, (рЬ — М)-1 — (ХЬ — М)-1 = (Х — р)П^(М)(ХЬ — М)-1, (9)

Ь(рЬ — М )-1Ми = М (рЬ — М )-1Ьи.

Утверждение 1. Пусть Ь,М е С1 (Я; V), множество П Бм секвенциально плотно в Я. Тогда

(I) р1^(М) — открытое множество;

(II) оператор-функции (рЬ — М)-1, К1^(М), Ь^(М) сильно голоморфны на р1 (М);

(III) можно выбрать константы регулярности для операторов ) и Ь^(М), непрерывно зависящие от 1 е р1^(М).

Доказательство. Пусть р е р1^(М), С, — максимум из двух констант регулярности операторов Я^(М) и Ь1 (М), тогда

[X е С : |Х — р| <С-1}с р1(М).

Действительно, в этом случае согласно второму из тождеств (9) определен непрерывный оператор

те

[( ХЬ — М )(рЬ — М )-1]-1 = ^(Р — Х)к [Ь(рЬ — М)-1 ]к.

к=0

Домножим это равенство слева на Ь1^(М) и получим для любых V е V, д е ©V

С,г(V)

д(Ь1(М)у) = д ( X — р)к(Ь1(М))к+1У ) < к=о

1 — |Х — ¡1С,

~ ~ V к- ( п+ Т к- \

д((Ь$(М))пи) < £ ■ ■ ■ £ | А — (Ь%(М)) ¿1 ^ <

к1=0 кп=0 \ )

JX (м )) V) < ^ ■ ■ - ^ 1а — р\ — ч I кп=0 \ га £пг (у)

< — р1к1ск,1+1 ■■■¿21А - р1ктск+ г(ь) < —^

к1=0 кт=0 (1 -1А -РП)П

при некотором г Е ®v. Тем самым, оператор К\(М) регулярен с константой регулярности С,(1 -1А — р\С^)-1.

Для оператор-функций (рЬ — М) 1, К^ (М) доказательство проводится аналогично с помощью первого тождества из (9). Поэтому каждая точка р лежит в р^(М) вместе с некоторой окрестностью. Утверждения (11) и (111) следуют из доказанного очевидным образом. □

Определение 2. Пусть Ь Е С (Я; V), М Е С1 (Я; V). Оператор М называется (Ь, а)-регулярным, если

За> 0 У р Е с (\р\ > а) ^ (р Е р,(М)).

Иногда удобнее говорить не о (Ь, а)-регулярном операторе М, а о а-регулярной паре операторов ( Ь, М), что в нашем изложении будет означать то же самое.

Возьмем (Ь, а)-регулярный оператор М, построим замкнутый контур

7 = {р Е с : \р\ = К> а}.

Тогда имеют смысл следующие интегралы как интегралы от голоморфных функций по замкнутому контуру:

Ри = — I Кьи(М)ис1р, = — I Ььи(МЪАр. 2тг I И 2т I И

Нетрудно показать, что операторы Р и Q являются проекторами. Положим Я0 = кег Р, V0 = keгQ, Я1 = 1тР, V1 = \т<2, тогда Я = Я00Я1, V = V00V1. Через Ьк (Мк) обозначим сужение оператора Ь (М) на Як (ОМк = Ом П Як), к = 0,1. Кроме того, через а^к(М) будет обозначать регулярный Ьк-спектр оператора Мк, а через р1^к(М) — его регулярное Ьк-резольвентное множество.

Лемма 1. Пусть оператор М (Ь, а)-регулярен. Тогда для любого и Е Я Ри Е Ом. Доказательство. Действительно, в силу утверждения 1 (11) сходится интеграл

7 7

Из замкнутости оператора М получим требуемое. □

Теорема 2. Пусть оператор М (Ь, а)-регулярен. Тогда

(I) Ьк Е С(Як; Vk), к = 0,1;

(II) М0 Е С1 (Я0; V0), М1 Е С(Я1; V1);

(III) существует оператор Ь-1 Е С^1; Я1);

(1у) р^0( М) = С ив частности существует оператор М-1 Е С^0; Я0). (у) операторы Б1 = Ь-1М1, Т1 = М^^Ь-1 регулярны.

Доказательство теоремы можно найти в [13].

Обозначим Н = М-1Ь0. Если при некотором р Е N = {0} и N Нр = О, Нр+1 = О, то (Ь, а)-регулярный оператор М будем называть (Ь, р)-регулярным. При этом пара операторов (Ь,М) будет назваться (Ь,р)-регулярной.

Нетрудно показать, что степень нильпотентности оператора Н или отсутствие нильпотентности определяют характер особенности в бесконечно удаленной точке оператор-функции (¡Ь - М)-1 (см. [12, с. 92]).

Упорядоченное множество {рр0,р1,р2,...} С Я назовем цепочкой М-присоединенных векторов оператора Ь, если р0 е кет Ь \ {0},

Ьрк+1 = Мрк, к = 0,1,... , е кет Ь, 1 = 1, 2,...

Цепочка конечна, если существует такой М-присоединенный вектор <рр, что либо е ^м, либо Мрр е 1тЬ. Порядковый номер М-присоединенного вектора, под которым он входит в цепочку, назовем высотой этого вектора. Линейная оболочка всех М-присоединенных векторов оператора Ь называется М-корневым линеалом оператора Ь.

Рассуждая, как в монографии [12, с. 95], можно получить следующий результат.

Теорема 3. Пусть опеpатоp М (Ь, а)-регулярен. Тогда М-коpневой линеал опеpатоpа Ь содеpжится в Я0. При этом справедливы следующие утверждения.

(I) Опеpатоp М (Ь, р)-регулярен при р е N в том и только в том случае, когда М-коpневой линеал состоит из М-присоединенных векторов оператора Ь высоты не больше р и при этом существует М-присоединенный вектор высоты р. В этом случае М-коpневое пpостpанство опеpатоpа Ь совпадает с Я0.

(II) Опеpатоp М (Ь, 0)-регулярен в том и только в том случае, когда кетЬ = Я0. При этом 1шЬ = V1 и для любого р0 е кет Ь \ {0} выполняется р0 е Ом или Мр0 е 1тЬ.

Лемма 2. Пусть оператор М (Ь, а)-регулярен, ^ = {¡1 е С : Ц = Я> а}, а,@> 0,

1

иа,р(I) = 2~] Ч(М)Еа,р(¡Пй!, I > 0.

1

У»/(Ь) = 2~1 Ь^(М)Еа/3(¡е)й!, I > 0.

1

Тогда для любого I > 0 иа/(1)Р = Риа/(I) = иа/(I), Уа/(^ = 0>Уа#(¿) = Уа/(I). Доказательство. Пусть ^ = {¡1 е С : Ц = Я > а}, 71 = {А е С : |А| = Я + 1}, тогда

иа,/ (1)Р = Риаф (I) = 11 ЯЬХ(М )Я^(М )Еаф (¡ПйрйА =

1 11

= ёкр / Я»(М / - ёЬ? / Я^М У>А I =

1 11 11 1

= иар (г).

Утверждения леммы об операторах Уа,р (^ и Q доказываются аналогично. □

Отсюда очевидным образом получаем следствие.

Следствие 1. Пусть оператор М (Ь, а)-регулярен, > 0. Тогда для любого Ь > 0 Я0 С кетиар(г), 1шиар(г) С Я1, V0 С кетУ«,/(г), 1тУар(г) С V1.

Лемма 3. Пусть опеpатоp М (Ь, а)-регулярен, > 0. Тогда щи любом Ь > 0 иа,/(г) = Еа/(Ь-1М1 г)Р, уа/(г) = Еа/(М1Ь-1

Доказательство. По теореме 2 5 = Ь--1М1 е %(Я1). Для Ь > 0 в силу леммы 2

иа/(г) = иа/(г)Р =2- [ Яр (М1)РЕа/(¡е^ =

1 Г 1 г-Ж те цП+°

— (р I — б )-1РЕа,, (ре )йр = — $^р-к-1вкр£ г(р +й)«

.п+ап

7 7 к=0 п=0

оклак

= Е пж-щ Р= Е*>-)Р

Второе равенство доказывается аналогично. □

Замечание 4. Таким же образом можно показать, что если оператор Ь непрерывно обратим, то (£) = Еаф(Ь-1МЬа) в случае регулярности оператора Ь-1М, а Уа,р(1) = Еаф(МЬ-1 Ьа), если регулярен оператор МЬ-1.

4. Однородное вырожденное уравнение Решением уравнения

В-Ьи(Ь) = Ми(Ь), ЬЕ 1+, (10)

называется такая функция и Е С(ж+;Ом), для которой Ьи Е Ст-1(К+; V),

/ т-1 \ _ _

дт-а * ( Ьи — ^ (Ьи)(к\0)дк+И Е Ст(Е+; V), при этом для всех Ь Е Е+ выполняется ра-к=0

венство (10).

Уравнение (10) будем рассматривать наряду с эквивалентным ему уравнением на пространстве V

в-Ьр(М)ь(ь) = м(/зь — м)-1 V(г), гЕ (11)

где (/3Ь — М)-1 Е С^;Я). Связь между решениями уравнений (10) и (11) задаётся равенством и({) = (/Ь — М )-1ь (ь).

Лемма 4. Пусть опеpатоp М (Ь, а)-регулярен. Тогда щи любом и0 Е Я (ь0 Е V) вектоp-функция и(Ь) = иа,1(Ь)'и0 (ь(Ь) = Уа>1(£)у0) есть pешениe уpавнения (10) ((11)).

Доказательство. Пусть и0 Е Я. Тогда

Ми(¿)щ = 2^1 рЬК%(М)и0Еа(рГ)Ар — 2- [ ЬщЕа(рГ)Ар.

7 7

Полученная функция непрерывна по ¿. Очевидно также, что Ьиа,1(-)и0 Е Ст-1(К+; V). Учитывая сильную голоморфность по р подынтегральных функций, получим при Ь > 0 равенства

,п+ап—т

1 г цп+-

О-Ьи(1)щ = — ЬК%(МУГ-ггг^

2тг I ^ 1(ап — т + 1)

п=1 4 '

7

1 ^рЧа(п-1)В(т — а,ап — т + 1) ,

=- / ЬКЧМ)и0)--г-—---—с1р =

2тг У ^ ; Г(т — а)Г(ап — т + 1) Р

п=1 \ / \ /

7

1 Г .п+а(п-1) 1 г

= Ъп] ЬК"(М)и0 £ Парп — 1) + 1) ^ = 2т-г] рьКЛМ)и0Е(р^р =

7 п=1 7

= Ьи0Е (р Г)Ар + ^ МКЧМ )и0Е (р Г)Ар = 0 + Ми (г)и0

2тг ] 2тг ] И

7 7

в силу теоремы Коши и замкнутости оператора М. □

Решением задачи Коши

и(0) = и0, и(к\0) = 0, к = 1, 2,... ,т — 1, (12)

для уравнения (10) называется решение и Е Ст-1(К+; Я) этого уравнения, удовлетворяющее условиям (12).

Особенность уравнений вида (10) с вырожденным оператором при производной состоит в том, что их решения поточечно заполняют лишь некоторое подпространство исходного пространства, в котором уравнение задано. Естественно, это подпространство играет важную роль при исследовании уравнения. Чтобы описать его формально, введем, следуя [12], следующее определение.

Множество Р С Я будем называть фазовым пpостpанством уравнения (10), если

(I) для любого решения и = и(Ь) уравнения (10) и(Ь) Е Р для всех Ь > 0;

(II) при любом ио Е Р существует единственное решение задачи (10), (12). Очевидно, что если фазовое пространство уравнения существует, то оно единственно.

Замечание 5. Если существует оператор Ь-1 Е Я) и при этом Ь-1М регулярен,

то фазовым пространством уравнения (9) служит все пространство Я. Действительно, тогда в силу теоремы 4 [14, с. 169] при любом и0 Е Я существует единственное решение и(г) = ЕаЛ(Ь-1МГ)щ задачи (10), (12).

Лемма 5. Пусть опеpатоp С Е С(3) нильпотентен степени р Е М0; существуют дробные производные (Б"С)кд Е С ([0,Т); 3) при к = 0,1,..., р,Т Е (0, Тогда суще-

ствует единственное решение уравнения

(г) = г(г) + д(г), гЕ [0,т), (13)

при этом оно имеет вид

Ф) = - £(И"С)кд(I), 1Е [0,Т). (14)

к=0

Доказательство. Пусть г = х(Ь) — решение уравнения (13). Подействуем оператором С на обе части (13) и получим равенство СИ^Сг({) = Сг(1) + Сд(¿). Тогда существует дробная производная порядка а его правой, а значит, и его левой части. Действуя оператором И" на обе части этого равенства, получим (В"С)2г = Б^Сг + И"Сд =

г + д + И"Сд. Нар-м шаге, последовательно продолжая такую процедуру, получим равен-

р

ство ( И"С)р+1г = г + (И"С)кд. В силу непрерывности и нильпотентности оператора С

к=0

имеем (В"С)р+1г = (В")р+1Ср+1г = 0, отсюда следует равенство (14). Оно влечет существование решения уравнения (13) (проверяется подстановкой этой функции в уравнение) и его единственность. □

Теорема 4. Пусть опеpатоp М (Ь, р)-регулярен. Тогда фазовое пpостpанство уpавне-ния (10) (уpавнения (11)) совпадает с подпространством Я1 (V1).

Доказательство. Пусть и = и(Ь) — решение уравнения (10). Положим и°(Ь) = (I — Р)и(Ь), и1^) = Ри(Ь). Тогда в силу теоремы 2 имеем

Б^Ни0(г) = и0(г), н = м-1Ь0 ,

Б^и1^) = Би1^), Б = Ь-1М1. (15)

Согласно лемме 5 и0 = 0 и и(Ь) = и1(Ь) Е Я1 при любом 0.

В силу теоремы 2 оператор Б регулярен в пространстве Я1. Поэтому при любом Ри0 = и'1 Е Я1 существует единственное решение задачи Коши и1(0) = и0, и1(к (0) = 0, к = 1, 2,... ,т — 1, для уравнения (15) (см. замечание 5), а значит, и для уравнения (10), имеющее вид и(Ь) = Еа}1(31а)и^ = иа>1 (Ь)и0 .

Утверждение теоремы относительно фазового пространства уравнения (11) доказывается аналогично. □

Замечание 6. Из доказательства теоремы 4 следует, что задача Коши

и(к)(0)=ик, к = 0,1, 2,... ,т — 1, (16)

для уравнения (10) при условии (Ь,р)-регулярности оператора М редуцируется к задаче Коши для уравнения (15). Отсюда следует эквивалентность задачи Коши (12) и общей задачи Коши (16) для уравнения (10) и разрешимость последней при любых заданных ик Е Я1, к = 0,1, 2,... ,т — 1. Решение задачи (10), (16), как и задачи (10), (12), согласно

т—1 т—1

[1, с. 20] и замечанию 5 при этом имеет вид и(Ь) = ^ 3{киа,1(1)ик = ^ ЗкЕа,1(Б1а)ик =

к=0 ' к=0

т— 1

= Е ькиа,к+1 ^)ик. к=0 _

Семейство операторов {Ш(1) Е С(Я) : Ь Е назовем семейством разрешающих операторов уравнения (10), если существует фазовое пространство Р этого уравнения, и для любого и0 Е Р единственное решение задачи (10), (12) имеет вид и(Ь) = Ш(Ь)и0 при Ь > 0. Из определения следует, что для семейства разрешающих операторов при любом Ь > 0 (г) С Р, (0) = р

Теорема 5. Пусть опеpатоp М (Ь,р)-регулярен. Тогда семейство операторов {иа>1(1) Е С(Я) : Ь Е Е+} ({Уа,1(1) Е С(Я) : Ь Е К+}) является семейством pазpешаю-щих операторов уpавнения (10) ((12)).

Доказательство. Если и0 Е Я1, то по определению фазового пространства существует единственное решение задачи (12) для уравнения (10). Поэтому оно должно совпадать с уже известным решением и(Ь) = иа,1^)и0 этой задачи. □

5. Задачи Коши и Шоуолтера-Сидорова для неоднородного

ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ

Теорема 6. Пусть опеpатоp М (Ь,р)-регулярен, Qf Е Ст([0,Т); V), Т Е (0, существуют дробные производные (О<Н)пМ(—1 (I — Q)f Е С([0,Т); Я) при п = 0,1,...,р, ик Е Я, к = 0,1,... ,т — 1, выполняются равенства

О )пМ—1(1 — Q)f(t)\ = = (1 — Р )ик, к = 0, 1,...,т — 1. (17)

р

(О<а Н)ПМ— (-1 — Q)J (Ч\ъ=

п=0

Тогда существует единственное решение задачи (16) для уравнения

ЩЬи(г) = Ми(г) + ¡(г), г е [0,т), (18)

при этом оно имеет вид при Ь Е [0,Т)

т— 1

и(1) = ^ 1киа,к+1(1)ик + (1 — з)«—1иа<а(1 — з)Ь—^/(8)<13 —

к=0 0

р

п

— £ (О<Н )пМ——1(1 — Q)f(t). (19)

п=0

Доказательство. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 4, получим

о^ни0(г) = и0(г) + м—1(1 — q)f(t), н = м—1ьо, (20)

в<и1^) = би1^) + к(г), б = ь—1м1, к(г) = (г). (21)

По лемме 5 существует единственное решение уравнения (20), оно имеет вид р

и0 = — (ЩН)пМ— (I — Q)f. Отсюда следует, что для выполнения условий Коши (16)

п=0

необходимо выполнение условий согласования (17).

В силу теоремы 2 оператор Б Е ^.(Я1). Поэтому по теореме 1 существует единственное решение задачи Коши и1(к)(0) = Рик, к = 0,1,... ,т — 1, для уравнения (21), при этом оно имеет вид

1 * т—1 г.

и1(1) = ^ 1к Еа,к+1(За1а )Рик + (I — з)а—1Еа,а(За(1 — 8)а)к(8)3,8. к=0 0 Ссылка на лемму 3 завершает доказательство теоремы. □

Поскольку в определении решения уравнения классу Ст—1([0,Т); V) принадлежит функция Ьи, а не и, логичным может показаться рассмотрение начальных условий (Ьи)(к\0) = ьк, к = 0,1,...га — 1, вместо условий (16). Однако, как видно из теоремы

6, и в этом случае будет необходимо выполнение условий согласования вида р

Иш Вк¿V)пМ—1(1 — Q)f (г) = —1(1 — Р)ик, к = 0,1,... ,т — 1. ^—'

п=0

Более естественным представляется рассмотреть часто возникающую в приложениях при рассмотрении вырожденных эволюционных уравнений обобщенную задачу Шоуолтера-Сидорова

(Ри)(к)(0) = ик, к = 0,1,...,т — 1. (22)

Решением задачи (22) для уравнения (18) называется решение этого уравнения, для которого выполняются условия (22). Заметим, что из существования производных (Ьи)(к\0) следует существование производных (Ри)(к(0). Действительно, Ь—1(^(Ьи)(к = (Ь—1 QLu)(к) = (1—11Ри)(к) = (Ри)(к). В случае р = 0 по теореме 3 имеет место равенство кег Р = кегЬ, поэтому задание условий (22) равносильно заданию условий на (Ьи)(к(0).

Теорема 7. Пусть опеpатоp М (Ь,р)-регулярен, Qf Е Ст([0,Т); V), существуют дробные производные (0"Н)пМ—1(1 — Q)f Е С([0,Т);Я) при п = 0,1,...,р. Тогда существует единственное решение задачи (18), (22), при этом оно имеет вид (19).

Доказательство аналогично предыдущему. При этом специфика начального условия Шоуолтера-Сидорова такова, что условий в начальный момент времени на проекцию и0 решения уравнения (18) и ее производные оно не влечет. Поэтому нет необходимости в выполнении условий согласования (17).

6. ПРИМЕР

Пусть X — банахово пространство, А Е С1(Ж). Снабдим линеал И(А^) = ПГ=10(Ак) системой полунорм дк(и) = ^2г=0 \\А1 и||х, к Е М0, и получим пространство Фреше, которое обозначим ©а. При некотором т > 0 обозначим

о __.

Еа (т) = {и Е И(А^) : Ишк^те\\Аки\\Х < т} — множество элементов А-экспоненциального типа, не превосходящего т. Наибольшее замкнутое в топологии © а подпространство про-

о

странства Еа (т) обозначим через Ет. Это множество с топологией, определяемой полунормами дк, к Е М0, также является пространством Фреше. Обозначим Ат = . В [14, гл. 7, §3] показано, что а(Ат) С <т(А) П {Л Е С : |А| < т}, при этом оператор Ат регулярен в Ет.

т )

оо

Пусть Ь = С(А) = ^2 акАк, М = 3(А) = ^ ЬкАк, где С(\), 3(А) — целые функции.

к=0 к=0 В силу сказанного выше Ь,М Е С(ЕТ).

Рассмотрим индуктивную шкалу локально выпуклых линейных топологических пространств {£т : т Е М} и ее индуктивный предел Еоо. Он является внутренним и даже строгим [15, гл. 1, дополнение]. Пространство = итеМ £г С & а, снабженное полунормами дк,т(и) = ^2>к=0 ЦА^иЦх, к Е N0, т Е М, является отделимым локально выпуклым пространством. В силу предложения 4.1 [15, гл. 1, дополнение] С(А),3(А) Е С(Ео). Обозначим д0 = {Л Е К : С(Л) = 0}.

Теорема 8. Пусть X — гильбертово пространство, А — самосопряженный оператор в X, Я = V = Ео, целые функции С, 3 не имеют общих нулей на множестве о (А),

3а > 0 УЛ Ео(А) \Оо \3{Л)/С(Л) \ < а.

Тогда оператор 3(А) (С(А), 0)-регулярен.

Доказательство. Обозначим через {£\ : Л Е К} спектральное семейство самосопряженного оператора А. В силу условий теоремы в случае \ц\ > а + 1 выполняется неравенство — 3(Л)/С(Л)\ > \ц\ — а > 1, поэтому

а(А)\д0

ча,

-Ш М)]ки) = £

I=0

Л1<1£\и

<у(ат )\д0

(/, — 3 (Л)/С(Л))к

<

а

< £

=0

Л1<£\и

<У(Ат )\Оо

Я/3,Т (и).

x

Кроме того, Я0 = V0 = ¡ш / «£\, Ь0 = О, поэтому оператор М (Ь, 0)-регулярен.

□

Оо

Пусть X = Ь2(0,1),

<

А = г—, О(А) = {и Е Ь2(0,1): V1 Е Ь2(0,1), ь(0) = г;(1)}.

ах

(23)

Тогда о(А) = {Лк = 2пк : к Е Ъ}. Собственным значениям Лк соответствуют собственные функции (х) = е~2жкгх. По оператору А построим пространство Ео, как это сделано выше.

Рассмотрим начально-краевую задачу

О<С(А)и(х, г) = 31 (А)и(х + к, г) + ¡(х), (х, г) Е К х

дпи дхп

и(х,г) = и(х + 1,г), (х,г) е к х к+, (х, 0) = ип(х), п = 0,1,...,т — 1, х Е (0,1).

(24)

(25)

(26)

Теорема 9. Пусть С и 31 — целые функции, для которых \С(2пк) \ + \ 3(2жк) \ = 0 при к Е ъ, множество {,31(2тгк)/С(2жк) : к Е ъ, С(2жк) = 0} ограничено, /(х, Ь) = /(х + 1, Ь) для всех (х, ^ Е К х К+, f Е Ст(К+; Ео), ип Е Ео,

[ аех(,31(Л)е ~гкХип + ¡(п)(•, 0)) = 0, п = 0,1,...,т — 1.

до

x

Тогда задача (24)-(26) имеет единственное решение со значениями в пространстве Ес при этом оно имеет вид

т-1 Г /7 (Л)Р-лх\

и(х, = ^ Г У Еа,п+1^е 1у(Л) ^ ¿8хип+

п=0 а(А)\бо

+ f, - ^ / ^ , -J ^. (27)

<т(А)\до Go

Доказательство. Возьмем X = L2(0,1), А — самосопряженный оператор (23), J (Л) = e~ihXJ1 (Л). Тогда

J (A)v(x) = Ji(A) ^ U (x) = J^ (ж + fo)

к!

к=0

для V € О(Ас). По теореме 8 получим (С(А), 0)-регулярность оператора 7(А) в пространстве Из теоремы 6 следует утверждение данной теоремы. □

Условие Шоуолтера-Сидорова в данном случае можно задать следующим образом

/ дпи \ С(А)( — (х, 0) — и«(х)]=0, п = 0,1,... ,т — 1, х € (0,1). (28)

Аналогичным образом получим утверждение.

Теорема 10. Пусть С и 71 — целые функции, для которых |С(2^к)| +17(2^к)| = 0 при к € Z, множество (,11(2тгк)/с(2тгк) : к € Ъ, С(2жк) = 0} ограничено, /(х, ¿) = /(х + 1, ¿) для всех (х, ¿) € ЕхЕ+, / € Ст(Е+; Ес), ип € при п = 0,1,..., т-1. Тогда задача (24), (25), (28) имеет единственное решение со значениями в пространстве при этом оно имеет вид (27).

Замечание 7. Условиям теоремы 9 удовлетворяют, например, многочлены С и 71, не имеющие общих нулей среди чисел (2^ к : к € 2}, для которых degС > deg 71. Тогда уравнение (24) имеет вид

О* ^ аки(к) (х, г) = ^ Ъги(1)(х + к, г) + 1'(х), (х, ¿) € К х К+, к=0 1=0

где аг = 0, Ъ3 = 0, г > в, —гак — коэффициенты многочлена С, —I^ — коэффициенты многочлена 71.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. E. G. Bajlekova. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces. PhD thesis, Eindhoven: Eindhoven University of Technology, University Press Facilities, 2001. iv+107+2 p.

2. K. Balachandran, S. Kiruthika. Existence of solutions of abstract fractional integrodifferential equations of Sobolev type // Computers and Mathematics with Applications. 2012. V. 64. P. 34063413.

3. F. Li, J. Liang, H.-K. Xu. Existence of mild solutions for fractional integrodifferential equations of Sobolev type with nonlocal conditions // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2012. V. 391. P. 510-525.

4. Федоров В.Е., Дебуш А. Один класс вырожденных дробных эволюционных систем в банаховых пространствах // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 12. С. 1616-1622.

5. M. Kostic. Abstract Volterra equations in locally convex spaces // Sci. China Math. 2012. V. 55. P. 1797-1825.

6. M. Kostic, C.-G. Li, M. Li. On a class of abstract time-fractional equations on locally convex spaces // Abstr. Appl. Anal. 2012. Article ID 131652, 41 pages.

7. M. KostiC. Abstract time-fractional equations: existence and growth of solutions // Fract. Calculus Appl. Anal. 2014. V. 14. P. 301-316.

8. M. Kostic. On the existence and uniqueness of solutions of certain classes of abstract multi-term fractional differential equations // Funct. Anal. Appr. Comp. 2014. V. 6. P. 13-33.

9. M. Kostic, C.-G. Li, M. Li. Abstract multi-term fractional differential equations // Krag. J. Math. 2014. V. 38. P. 51-71.

10. M. Kostic. Hypercyclic and topologically mixing properties of degenerate multi-term fractional differential equations // Diff. Eqns. Dyn. Sys. 2015. V. 3. DOI: 10.1007/s12591-015-0238-x.

11. Федоров В. Е., Гордиевских Д. М. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений с дробной производной по времени // Изв. вузов. Математика. 2015. № 1. С. 71-83.

12. G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. VSP: Utrecht, Boston, 2003. vii+216 p.

13. Федоров В. Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 5. С. 702-712.

14. Радыно Я. В. Линейные уравнения и борнология. Мн.: Изд-во БГУ, 1982. 200 c.

15. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Обобщенные функции и уравнения в свертках, М.: Физматлит, 1994. 336 с.

Марко Костич, Университет г. Нови Сад, ул. Д. Обрадовича, 6, 21125, г. Нови Сад, Сербия E-mail: marco.s@verat.net

Владимир Евгеньевич Фёдоров,

ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет»,

лаборатория квантовой топологии

ул. Братьев Кашириных, 129,

454001, г. Челябинск, Россия

E-mail: kar@csu.ru