CC BY
22
ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ И РАВНОМЕРНАЯ КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА СОБОЛЕВА
И. В. Мельникова , М. А. Алыпанский
Уральский государственный университет
Настоящая работа посвящена исследованию задачи Коши для линейного дифференциального операторного уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной (уравнения типа Соболева). Изучена структура множества корректности задачи, выделено максимальное множество корректности и получено необходимое и достаточное условие равномерной корректности задачи на этом множестве
Ключевые слова: задача Коши, уравнение типа Соболева, вырожденная полугруппа, множество корректности, равномерная корректность.
Настоящая работа посвящена исследованию задачи Коши для линейного дифференциального операторного уравнения первого порядка, не раз решенного относительно производной (уравнения типа Соболева)
Би'(г) = Аи(г), г > о
и(0) — х,
где А и В - линейные операторы, действующие из банахова пространства! в банахово пространство Е, В ограниченный с кет В ф {0}, А замкнутый, плотно определенный в X".
Привлечение к исследованию задачи методов теории интегрирован ных полугрупп, развитой в работах [1; 2] для невырожденного случая, позволило выделить более широкий по сравнению с работами [3 - 5]класс операторов А и В, для которых вырожденная задача Коши (ВЗК) равно мерно корректна на некотором подмножестве пространства X. В работе изучена структура множества корректности задачи, выделено максимальное множество корректности и получено необходимое и достаточное условие равномерной корректности (ВЗК) на этом множестве.
(ВЗК)
1. Вырожденные полугруппы и их генераторы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть п С N. Однопараметрическое семейство ли нейных операторов {I > 0), действующих в банаховом пространстве
называется п раз интегрированной экспоненциально ограниченной по-Группой, если
1 /[(, _ rr-'V(t + r)-(t + s- r)n'lV{r)]dr = V(t)V(s),
(Vi)
t,s> 0, 1/(0) = 0; Ух £ X V(t)x непрерывна no t > 0; (V2)
Ш > 0, wg R ||V(i)|| < t > 0. (УЗ)
В работах [1; 2]были рассмотрены невырожденные полугруппы, т.е Икие, для которых выполнено условие
Vi > 0 V(t)x = 0 х = 0 (VI)
Условие невырожденности играло важную роль в определении 1ене тора полугруппы и в исследовании задачи Коши
«'(0 •= Gu(t), t > 0,
u(U) = х v '
¡линейным замкнутым оператором G, для которой условие корректности |ло получено в терминах порождения оператором G некоторой полугруп-
Предмеюм нашею раимотрения будут вырожденные полугруппы, е. такие, для которых условие (V4) не выполнено. Для них мы дадим |ределение 1енераторов полу1руппы (в вырожденном случае это пара one 1торов) и укажем их связь с задачей (ВЗК).
ПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Однопара метрическое семейство линейных ограни-внных операторов {U(t),t > 0}, действующих в банаховом пространстве называется вырожденной полухруппой класса Со, или 0 раз ин1е1риро-нной полугруппой,если
U{t + б) = U{t)U(s), t,s> 0, (6 1)
Ух е X U(t)x непрерывна по t > 0; (С/2)
кегС/(0) ф {0}. (С/3)
136
И. В. Мельникова , М. А. Алынанекий
Замечание 1.1. Из полугруппового свойства (U1) и свойства (U2),так же, как и в случае невырожденной полугруппы класса Со, следует экспоненциальная ограниченность U(t):
'3M>0, ueR: \\U{t)\\ < Меы\ t > 0. (Щ
Замечание 1.2. Непосредственно из (U1) следует, что оператор//(0) является проектором в пространстве X, порождающим разложение X в прямую сумму X = Хо Ф Х\ подпространств Хо — кег ^(0) ж Х\= Imi/(0),
Замечание 1.3. Очевидно, что сужение U(t) на Х\ является невырожденной полугруппой класса Со-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Пусть МёС. Оператор-функция Д(-): М -» ДХД) называется псевдорезольвентой, если для любых А£ М
R{А) - R(fi) = (ß- X)R{X)R{ß). (1)
В работе [1] доказаны следующие предложения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть U(-) : [0;+оо] —> X сильно непрерывная оперт функция такая, что ||f^(i)|| < Меш1, t > О для некоторых М > 0, uj 6 R. Пусть
оо
Ä(A) = J e~XlU{t)dt, (А > и;). (2)
о
Тогда R{А) является псевдорезольвентой, если и только если U(t) удовлетворяет соотношению (U1).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть п £ N, V(t) сильно непрерывная оператор-функция такая, что ||V(i)|| < Ме^1, t > 0 для некоторых М > 0, u; £ R. Пусть
оо
R(А) = J Аne'XtV{t)dt, (А > w). (3)
о
Тогда R(А) является псевдорезольвентой, если и только если V(t) удовлетворяет соотношению (VI).
Если оператор-функция R(-) : М С{Х,Х) является псевдорезольвентой и для любого А £ М кег Д(А) — {0}, то она является резольвентой оператора G = А - R~~1(\) (из (1) следует, что G не зависит от А £ М), действующего в X. Такая ситуация имеет месго, если R(А) удовлетворяет соотношению (2) или (3), где U(t) невырожденная полугруппа класса
Со, - невырожденная экспоненциально ограниченная п раз интегрированная полугруппа. При этом С называется генератором соответствующей полугруппы. Если же в (2) (или (3)) 11(1) (или - вырожденная полу-
группа, то /?(А) не является резольвентой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Пусть X и Е - банаховы пространства. Линейные операторы А ж В, действующие из X в Е, называются генераторами экспоненциально ограниченной вырожденной п раз (п 6 {0} и Г^) интегрированной полугруппы > 0} С С(Х), если А замкнут, плотно определен, В ограничен и верно равенство
оо
(ХВ- А)-1 В = ! Хпе~Х1\г(1)<а, X > и. (4)
о
2. Один раз интегрированные полугруппы и равномерно корректная вырожденная задача Кош и
Пусть А и В линейные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство Е. Из теоремы Арендта-Уиддера (теорема 1.2, [1]) получаем следующий результат для генераторов вырожденной полугруппы.
ТЕОРЕМА 2.1. Следующие утверждения эквивалентны:
(I) Операторы А и В являются генераторами 1 раз интегрированной вырожденной полугруппы {\Г(1),Ь > 0), удовлетворяют,ей условию
+ Л) - < Меш\ 1> 0. (5)
/г|0 II
(II) Выполнены оценки
ЗМ > 0,10 £ Л : ||(А - и;)^1 —¡-(ХВ - < МИ, X > и;, к = 0,1,2,...
аХК
(6)
Для генераторов А и В 1 раз интегрированной вырожденной полугруппы > 0} введем обозначения := 1т(А5 - А)~1В, где X > и>\ Х\ := Ё>\. Множество не зависит от выбора А > ш. Действительно, если Х,(г > и> и х = (АВ — А)~1Вг для некоторого г £ X, то х — {цВ-А)~1В(г + ()1- Х)х).
138 И. В. Мельникова , М А Альшанский
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть А и В ~ генераторы 1 раз интегрированное вырожденной полугруппы, удовлетворяющей условию (5). Тогда кегБИ А'1 = {0}, кег Б © Х\ является подпространством в X.
Доказательство. Рассмотрим семейство линейных ограниченных до раторов А(АВ-А)"1 В, А > и>. Покажем, что для любого х 6 Х\ имеет место сходимость
Х{ХВ ~ А^Вх х, А —> +оо. (7)
Пусть х £ тогда существует у е X такой, что х = (рВ - А^Ву Пользуясь резольвентным тождеством и оценкой (6) при к — 0, получим
||(АЯ - А)~1Вх - х|| = ||А(АЯ - А)~1В{рВ - А)~~1Ву - (цВ - А)~гВу\\ = = ||-Аг(АВ - А)~гВу + В - АГ'Ву - (,лВ - А^ВуЦ <
¡1 — Л [Л — Л
< -^-тЦСАв - А)~хВу\\ + —~-||(//Б - А)~1Ву\\ —г 0, А ^ +оо.
¡Л — Л ¡Л — Л
Из оценки (6) при к = 0 следует, что операторы А(АВ — А)~1В равномерна ограничены. Следовательно, но теореме Банаха-Штейнгауза, (7) выполнЯ ется для любого х £ -У}. Отсюда следует кеч В П Л'1 = {0}.
Равномерно ограниченное семейство операторов А(АВ - А)~1В ехд дится на множестве кег В(&Х\. Следовательно, по теореме Банаха-Штейнг<( оно сходится на кег В © Х\ к некоторому линейному ограниченному опер® тору Р. Оператор Р обладаег свойством Р2 = Р. Отсюда следуе] ке! />' -н X кег В (В Х\. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть А и В - генераторы 1 раз интегрированной выроЖ денной полугруппы {!/(/),£ > 0}, удовлетворяющей условию (5), тогда
(ХВ - А)'1ВУ(1) = У(1)(ХВ - А)'1 В, 1> 0, А > и\ (8] г
гвх = ВУУ)х - А! УЩхйз, х £ кег В © Хъ г > 0; (9) о
1/Г/(£) является вырожденной полугруппой класса Со в подпространстве := {х £ X : У(г)х £ Сг([0; +оо), А)}, совпадающем с кег В © Хг; (10)
Вх = ВУ'{1)х - АУЦ)х, х £ кег В ф Х\, ¿>0; (И)
ВУ"Ц)х = АУ'У)х,х £ (АВ - А)~1В(Х1)^ > 0. (12]
Доказательство. Пусть А,/х > и>. Тогда для любого х £ X 00
|- А)~гВх(И = (цВ - А)~1В(ХВ - А)~1Вх = о
+оо
С (АВ-А)-1В(цВ-А)~1Вх= I це-^^ХВ - А)~хВУ{1)х<И
йреме единственности для преобразования Лапласа, отсюда следует Пусть х £ X, X > ш, тогда
оо оо
-хНВхсИ = Вх = (ХВ-А)(ХВ-А)-хВх = ^ Х2е~х*ВУ{Г)хсИ-А ^ Ае~АгУ(1)ха
о о
теперь х £ П^, х = (А0В - А.)~хВу, у £ X, тогда
АУ(1)хI! = \\АУ(1)(Х0В - А)~~1Ву\\ - \\А(ХВ - Ау'ВУ^уЦ = \\Х0В(Х0В - А)-1ВУ(1)у - ВУ(1)у\\ < М||5||^(|Ао|||а|| f ¡М|),
т, при А > и определено преобразование Лапласа АУЦ)х, и, гак как кнут, мы имеем
ОО ОО Оо
| Х2е~хЧВхсЫ = У Х2г~х*ВУ{1)х<И - J Хе~хг АУ (1)дЛ = 0 0 о
со Г I
= У Х2е~х* ВУ(г)х - I А\'(з)х(18 о
¿г
вореме единственности« для преобразования Лапласа ох сюда следу
<
1Вх = ВУ(1)х - I АУ(ь)хйз, х£Б1. о
[дно, что ло равенство верно и для любого х 6 ке1 В В силу ограни сти операшров В и и замкнутости А отсюда следует (9). Докажем (10). Линейное многообразие ^ замкную, так как из свой (5) следует ограниченноехь операторов У(/).
VI е ||У'(Ф|| < Меш*\\х\\.
140 И. В. Мельникова , М. А. Альшанский
Далее, пусть х £ Т\, тогда, продифференцировав тождество (VI) (при п = 1) , получим равенство
+ з)х - = У(г)У'(з)х, г,8>0, (13
левая часть которого непрерывно дифференцируема по I. Значит, для любого в > 0 У(в)х £ т.е. У(в) £ £(-£\). Дифференцируя равенство (13), получим
+ = ¿,5 > О, Ж £ (Щ
При А > и на верно равенство
оо
(А В~А)-\В = 1е~ХгУ^)<И. (15
о
Из (14) и (15) следует
кег 7'(0) = кег В.
Таким образом, > 0} является вырожденной полугруппой класса
Со в ^, при этом распадается в прямую сумму
^ = кегЯф1тУ'(0).
Из замечания (1.3) следует, что множество ^ •= {х £ X : У'(1)х существует при 1 > 0} всюду плотно в 1тУ'(0), а так как кег В С р2, то /2 = ^1 Пусть х £ 112■, тогда
оо оо
А(АВ - Л)'1Вх = I \е~Х1У{1)х(П = У(0)х + ^ е~Х1У'^)х(И о о
Предел при А —► +оо второго слагаемого в правой части равен нулю, поз тому
У(0)х = Нт А(АВ - А)'1Вх.
А—>+оо
В силу равномерной ограниченности операторов А( А В- А)"1 В эго равенст во верно для любого х £ Отсюда следует 1тУ(0) — /)[ = А",. Утвер* дение (10) доказано.
Из замкнутости оператора А следует, что при х £ 1\ обе части ра венсгва (9) дифференцируемы. Продифференцировав (9), получим (И).
Пусть х = (АВ - А)~1Ву, у £ Х\. Для у верно равенство (11). Дей ствуя на это равенство оператором (АВ — Л)-1 и пользуясь свойством (8), получим
х = У(г)х - У(г)[Хх - у], (и|
РАВНОМЕРНАЯ КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
141
откуда, в силу того, что Аж — у € -Рь следует дифференцируемость ¥'{!,)х. Продифференцировав (16) и применив к обеим частям равенства оператор Л, получим
ВУ"{1)х = ВУ'{г)[Х(ХВ - А)~1Ву -у} = = [ХВ(ХВ - А)-1 - В)У\1)у = А(ХВ - А)~хВУ\г)у = АУ'Щх. (17)
Равенство (12) доказано.
Из теорем (2.1) и (2.2) следует
ЕОРЕМА 2.3. Пусть А и В - линейные операторы, действующие из битва пространства X в банахово пространство Е, А - замкнутый, потно определенный, В - ограниченный и выполнены оценки (6). Тог-I) задача Коши (ВЗК) равномерно корректна на множестве начальных тых В = (ХВ- А)~1В(Х1)> X > и.
3. Равномерная корректность (ВЗК) на максимальном множестве корректности задачи
Рассмотрим множество N - {ж £ В{ А) : Ах £ 1тБ}. Очевидно, чю если решение (ВЗК), го для любого I > 0 «(¿) £ N. Следовательно, нри-,адлежность начального значения х множеству N является необходимым 'словием существования решения задачи (ВЗК). Справедливо
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. N = Ог.
Доказательство. Действительно, если а' £ ю х — (АВ — А) 1Ву, € X, следовательно, Ах = В(у — Аж), т.е. х £ Л'. Обратно, если х £ Л', то ^ществует у £ X гакой, что Лж = Ву, а тогда (АВ - А)х = В{Хх - у). 1 .е. = (А В- А)~1В( Хх - у) £
Таким образом, В\ является максимальным множеством коррекюсти •дай (ВЗК).
ТЕОРЕМА 3.1. Пусть А и В - линейные операторы, действующие из X в I, А замкнутый, плотно определенный, В ограниченный,. Следующие Утверждения эквивалентны:
Операторы А и В являются генераторами вырожденной полугруппы Шсса Го {ГиМ>0}.
142
И. В. Мельникова , М. А. Альшанский
(II) Выполнены оценки (6) и пространство X распадается в прямую му X = ker В ф Xi.
(III) Задача Коши (ВЗК) равномерно корректна на множестве нача, данных Di.
Доказательство. Пусть выполнено (I), тогда для любого п £ N
ем
оооо оо
||((АД - АГ1^)! - II // • • • / + ... + tn)dh ...dtn
00 о
OGDO ОО
ООО Из этой оценки и равенства
[(АВ - А)~1 В)п = • ^-(АВ - ЛГ'В, А > и, п = 1,2,.
следуют оценки (6). Равенство X = ker В © Х\ доказывается так же, равенство Fi = ker В © Xi в доказательстве теоремы 2.2. Таким обра импликация (I) =>• (II) доказана. Импликации (II) (I) и (II) => (III) дуют из теорем 2.1 и 2.2.
Пусть теперь выполнено условие (III). Докажем справедливость у дения (I). Определим на множестве D\ операторы U(t), положив по С делению Ü(t)x = u(í), где u(t) - решение задачи (ВЗК) с начальным чением х. Из равномерной корректности задачи следует ограничен операторов Ü(t) : Xi —> Ai, поэтому можно считать их определеннц всем Х\. Аналогично тому, как это сделано для (НЗК) (см., напр., [6] называется, что U(t).t > 0 является сильно непрерывной, экспоненту ограниченной невырожденной полугруппой в Аг.
Докажем, что оператор А В - А обратим при А > и>. Пусть ker(XB - А) (без ограничения общности считаем, что ||ж|| = 1). Об чим w(t) = exp(Aí)x тогда Bw'(t) = XBw(t) = Aw(£), u>(0) = x. В того, что x £ Di, а задача (ВЗК) равномерно корректна на D\, ох следует w(t) = Ü(t)x и, следовательно, ||tu(í)|| < Mewt при t > 0. Тол одной стороны, 1п ||w(í)||/í = А, с другой стороны, ln \\w{t)\\/t < lo -f ln Переходя к пределу при t +оо в неравенстве А < ш + InAÍ/í, полз А < и. Следовательно, при А > и оператор А В - А обратим.
Пусть G : Х\ —> Ai - генератор {Ü(t),t < 0}. Известно [6], чт<! линейный, замкнутый, плотно определенный оператор в пространстве Ü(t)x дифференцируема тогда и только тогда, когда х £ l)(G)\ для бого х £ D(G) Ü(t)x является решением (НЗК); при А > ш онредея
рразование Лапласа £/(£) и верно равенство
оо
I е~Х11Лх(И = (А - в)~1х, хехг. о
построению {С/(/),г > 0} имеем Ог С -0(6*). Пусть х е £>1, тогда при А > ш, интегрируя по частям, получим
00 оо
А у е~х*и(г)х<И = X + I е~ми(г)х(И. о о
йствовав на это равенство оператором В, получим
оо со
А ВI е~Хги(1)х<П = Вх + I е~х*Аи'(г)х<И. о о
лу замкнутости А отсюда следуе г
оо
(АВ - А) I е-Х1Аи'^)х(И = Вх, х е Хи о
к как А В - А обратим при А - и>, имеем
оо
1 е-миа)хШ = (АВ - А^Вх. о
им образом,
(ХВ-А)~1Вх = {Х-С)~1х, X > и, хеХг. (18)
Пусть Ао > и>. Определим оператор Р : X —► X, положив
Рх := (Ао - С)(ХоВ - А)~1 Вх, х е X.
г оператор определен на всем X в силу вложения С О(О) и замкнут к композиция ограниченного и замкнутого операторов, следовательно, € С(Х,Х). Из (18) следуеиР2 = Р, т.е. Р является проектором в X. По-йжим теперь IIЦ) := 11Ц)Р, I > 0. Очевидно, что > 0} С С{Х,Х)
вляется вырожденной полугруппой класса Со и для любого х е X имеет есто равенство
(АВ - А)"1 Вх = У с~Х1и(^х(И, Х>и>, о
144 т.е.
И. В. Мельникова , М. А. Альшанский
А я В являются генераторами {U(t),t > 0}. Теорема доказана.
Список литературы
1. Arendt W. Vector valued Laplace transforms and Cauchy problems // Israel J. Math. 1987. Vol. 59. P. 327-352.
2. Neubrander F. Integrated semigroups and their application to the abstract Cauchy problem // Pacific J. Math. 1988. Vol 135. P. 111-155.
3. Крейн С. Г., Чернышев К. И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом прострастве // Препринт ИМ СО АН СССР. Новосибирск, 1979. 18с.
4. Сидоров Н. А., Влагодатская Е. Б. Дифференциальные уравнеушя с фредголь-мовым оператором при старшем дифференциальном выражении // Препринт №1 ВЦ СО АН СССР. Иркутск, 1991. 35с.
5 Свиридюк Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно сек-ториальным оператором // ДАН. Математика. Т. 329, J\E;3, 1993. С 274-277.
6. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве М : Наука, 1967. 464с.
SUMMARY
The present work is dedicated to the investigation of the Cauchy for the linear differential operator equation of the first order unsolvable relativity the derivative. In this work the structure of the set of correctness of the problem is studied, the maximal set of correctness is selected and the necessary and sufficient condition of uniform correctness on this set is found.
