CC BY
69
ВЫРАВНИВАНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ФОКАЛЬНОГО ПЯТНА СФОКУСИРОВАННОГО ГАУССОВОГО ПУЧКА
В.В. Котляр, С.Н. Хонина Институт систем обработки изображении РАН
Введение
Выравнивание плотности энергии в сечении когерентных световых пучков является важной задачей для технологических и информационных применений лазеров. Для этой цели используются дифракционные оптические элементы (ДОЭ), преобразующие волновой фронт таким образом, чтобы в заданной плоскости сформировалось требуемое распределение интенсивности.
История этого вопроса такова. В работе [1] было предложено использовать бинарную дифракционную решетку для перераспределения энергии в пучке с целью ее выравнивания. Использование геометро-оптического приближения для расчета ДОЭ, выравнивающего поперечное распределение интенсивности коллимированного гауссового пучка предложено в [2]. В [3] с помощью киноформной линзы экспериментально осуществлено выравнивание интенсивности гауссового пучка в дальней зоне дифракции. Итеративный подход для расчета фазового ДОЭ, преобразующего гауссовое распределение интенсивности пучка в супергауссово распределение интенсивности в фокусе линзы, предложен в [4]. При этом численно было показано, что предложенный алгоритм эффективно работает, если размер области фокусировки больше нескольких (4-5) минимальных дифракционных пятен.
Геомстро-оптическому расчету голографического фильтра дія выравнивания профиля интенсивности пу чка света посвящена работа [5]. Недостаток голографических фильтров в том, что они обладают низкой энергетической эффективностью. В [6| голографический фильтр для выравнивания поперечной интенсивности пучка рассчитывался итеративным методом в приближении скалярной дифракции. Это позволило достичь более высокой точности формирования требуемого распределения интенсивности. Численный эксперимент с фокусатором, преобразующим гауссовый пучок в квадрат с постоянной интенсивностью проводился в [7]. Было, в частности. показано, что геометро-оптический метод для расчета ДОЭ применим, если размер области фокусировки больше семи дифракционных пятен.
В [8] с помощью двух голографических фильтров, осуществлено экспериментально преобразова-
ние эллиптического гауссового пучка в ближней зоне дифракции в квадрат с постоянной интенсивностью и фазой.
В этой же работе, и независимо в работе [9], получены аналитические формулы для фазы ДОЭ, фокусирующего гауссовый пучок в малый квадрат с постоянной интенсивностью. В [10] приведен сравнительный численный эксперимент по расчету ДОЭ двумя способами: геометро-оптическим и итеративным в приближении Френеля. Показано, что наилучшего результата по выравниванию гауссового пучка можно достичь, применяя геометро-оптическое решение [8,9] как начальное приближение для итеративного процесса.
Выравнивание профиля интенсивности пучка полупроводникового лазера с помощью бинарной фазовой дифракционной оптики продемонстрировано в [11].
В [12] также с помощью бинарного отражающего ДОЭ с наклонным падением экспериментально показано выравнивание пучка гелий-неонового лазера в плоскости дефоку сировки. Экспериментальные исследования по фокусировке гауссового пучка С02 лазера в прямоугольник с равномерной интенсивностью с помощью бинарного и многоградационного ДОЭ проведены соответственно в [13] и [14].
Во всех перечисленных работах, за исключением [3], размер сфокусированного с помощью ДОЭ прямоугольного или круглого равномерного распределения интенсивности составлял несколько минимальных дифракционных пятен. То есть полной фокусировки гауссового пучка не происходито. В [15] кратко замечено, что выравнивать гауссовый пучок в фокальной плоскости в области минимального дифракционного пятна можно с помощью бинарной фазовой пластинки с цилиндрической ступенькой.
В данной работе рассматривается вопрос о возможности выравнивания интенсивности гауссового пучка в плоскости фокусировки (с минимальным увеличением размера дифракционного пятна) с помощью простого фазового оптического элемента. Введен новый критерий, согласно которому степень выравнивания интенсивности светового пучка рассматривается не как степень близости к функции с постоянной интенсивностью в некоторой области плоскости фокусировки, а как степень достижения
максимальной энергии в области, в которой интенсивность пучка спадает до заданного уровня (например, до уровня 60% от максимального значения). Дело в том, что в некоторых устройствах лазерного бесконтактного контроля качества гладких поверхностей (например, кремниевых пластин) зарегистрированное отраженное излучение анализируется после пороговой фильтрации. А порог устанавливается по некоторому уровню спада интенсивности.
В данной работе на численных примерах показана эффективность использования для выравнивания интенсивности гауссового пучка в пределах минимального дифракционного пятна простого бинарного ДОЭ в виде цилиндрической (или прямоугольной) ступеньки, высота и радиус которой зависят от радиуса перетяжки пучка и от расстояния до нее. На модельном примере с заменой фазового ДОЭ со скачкообразной фазой на непрерывный амплитудный пространственный фильтр показано, что удается достичь увеличения с 40% до 65% доли энергии, попадающей в кружок, в котором интенсивность спадает на 40%. При этом радиус такого кружка увеличивается вдвое.
/. Общая постановка задачи
В ряде устройств лазерной диагностики поверхностей наличие дефектов на поверхности обнаруживается по анализу отраженного лазерного пучка, который предварительно был сфокусирован на поверхность. Равномерность отклика системы на дефект, попавший в разные участки светового пятна на поверхности зависит от равномерности распределения интенсивности в пятне фокусировки.
Кроме того, на этапе электронной обработки зарегистрированного отраженного излучения обычно применяется пороговая фильтрация шумов, в результате которой в канал обработки проходит сигнал, значение которого больше заданного уровня (например, больше 60% от максимального значения интенсивности).
Поэтому актуальной задачей является формирование фокального пятна с таким распределением интенсивности, которое обеспечивает максимальную долю энергии в пятне, ограниченном заданным уровнем интенсивности.
Формально такая задача в одномерном варианте может быть сформулирована так. Требуется найти фазовую функцию (р(х) ДОЭ. которая максимизирует функционал-критерий
оо
М = \П\1(.х^а(Цх)-а1т)*1}Ах, (1)
-ОС
где 1(х) - распределение интенсивности в Фурье-плоскости линзы, то есть в плоскости фокусировки пучка с амплитудой А0(В), 0<а<1 - параметр, задающий уровень спада интенсивности по сравнению с максимальным ее значением 1т, sgn(x^ - знаковая функция.
Функционал (1) максимизируется при условии
30
сохранения энергии Ц\ = |/(х)с1хи сохранения ра-
-со
£<•
диуса исходного пучка = [^‘/10(^')с1^.
-ос
Интенсивность 1(х) связана с искомой функцией фазы <р(ф преобразованием Фурье
2
/(*) =
к / /1А0 (£) ехр[^(£) - ікх£ / /]<*£
, (2)
где к=2л/А - волновое число света с длиной волны Л/-фокусное расстояние линзы. На рис. 1 показана оптическая схема использования ДОЭ дтя выравнивания интенсивности гауссового пучка. На рис. I гауссовый пучок с длиной волны Я и радиусом перетяжки м'0 попадает на ДОЭ и линзу Л, расположенные на расстоянии г от перетяжки. Радиус гауссового пятна в плоскости ДОЭ равен и\ радиус на котором происходит скачок фазы ДОЭ равен Я. Минимальный кружок дифракции с интенсивностью 1(г) формируется на расстоянии I, которое не равно фокусному расстоянию линзы / Минимальный диаметр пучка формируется на расстоянии /, которое удовлетворяет уравнению линзы:
I 1 -1
Ґ
В общем случае задачу максимизации критерия М из уравнения (1) можно приближенно решить градиентным итеративным методом [16]:
где
<Рпл (х) = <рн(х) + Ия
дМ
дМ
д<РП(х)
(3)
градиент функционала, Ал - шаг ите-
ративного процесса, <р„(х) и <рп+\(х) - оценки фазы ДОЭ на и- ом и (п~1)-ом шагах.
Заметим, что функционал (1) не зависит от конкретного вида функции, которая в качестве эталонной обычно вводится в квадратичный критерий [101:
Л/, = Д/(х)-/0(х)р сіх
(4)
г _ ......_
/
Рис. 1. Оптическая схема для выравнивания интенсивности сфокусированного гауссового пучка
где 1о(х) - заданная функция интенсивности фокального пятна, например, 10(х) = гесЦх/а) , где а - радиус фокального пятна.
ДОЭ л
2. Бинарный фазовый ДОЭ
Сформулируем задачу. Требуется выравнить интенсивность в фокальном пятне без существенного увеличения размера самого пятна. При выравнивании интенсивности дифракционного пятна круглой формы неизбежно происходит увеличение его радиуса в 1.5 - 2 раза. Понятно также, что искомый ДОЭ должен расходящийся параболический фронт гауссового пучка разделить на две части (центральную и периферийную), внеся фазовую задержку между ними. При этом ДОЭ не должен изменять кривизну волнового фронта, чтобы не увеличить расходимость гауссового пучка. Выравнивание интенсивности в дифракционном пятне должно происходить не за счет увеличения расходимости пучка, а за счет интерференции разных частей гтучка (центральной и периферийной), получивших относительную фазовую задержку. Функция пропускания простейшего ДОЭ, обладающего указанным свойством имеет вид:
т(г) =
1>
О <г <Я
[ехр(/0),г > Я
(5)
где в - фазовая задержка, Я - радиус цилиндрической фазовой ступеньки ДОЭ, г - радиальная координата. Функция (5) имеет два параметра Я и в, подбором которых достигается эффективное выравнивание интенсивности.
Выражение для комплексной амплитуды света в фокальной плоскости линзы для гауссового пучка, прошедшего ДОЭ (5), имеет вид:
Р(р, г) = А(г)] ехр[о(г)г2]х г (г)./0 (кгр / /)гйг , (6)
где
1-й —
/4(г) = 2 пк/~
а{г) = -М' г(2) + іС\2) ,
IV (г) = ч>‘
0(г) = н-Ьс
/
1+7Г
2 А
О)
(8)
(9)
(10)
р - радиальная координата в фокальной плоскости линзы, и'(г) - радиус гауссового пучка, О(г) - радиус кривизны волнового фронта, ,/0(х) - функция Бесселя нулевого порядка, 2 - расстояние от перетяжки до плоскости ДОЭ (рис. 1), г о - расстояние от перетяжки, на котором фронт гауссового пучка имеет максимальную кривизну.
Выражение (6) можно записать в виде:
Г(р,г) = А{2)^е‘в -1)(2ш)-' схр(аЯ2)х х (2іаЯ2, ЬЯ) - іи2 (2т/?2,«?)]}-
(П)
■Л(2)(2аУ' ехр
ҐЬ1Л
ч4а/
где
/■ \2 к-п
и,
(12)
и„(х,у) - функции Ломмеля, Ш - функции Бесселя, Ь-кр/, а=а(г). При получении вьфажения (11) были использованы справочные интефалы [17]:
І ехр(аг2 )У0 (Ьг)гсіг = - (2а) 1 ехр
(13)
л
| ехр(яг2 У0 (Ьг)Ыг =
о
= (НаУ1 ехр(аЯ2) х [г/, (НаЯ\ЬЯ) - Я/2 (:ЪаЯ2, £>/?)]
(14)
Заметим, что при 0=0 в ур. (11) остается только второе слагаемое, описывающее гауссовый пучок.
Дтя точек в фокальной плоскости, близких к центру, при выполнении условия Ь< 12аЯ I, удобно использовать другие функции Ломелля [17] :
К (*> У) ~ сое
Ґ г х у пп
—+— + — 1 +
2 2х 2
ч
2 к±п
(15)
+ = £(-1)*|^~ I ^2к,»ІУ)
Тогда вместо уравнения (11) получим: ґ(р,2) = ^(г){;і-е")(2т)-|ж
хе\р(аЯ )
(16)
і ехрі аЯ----------+
V, (2/а/?2, ЬЯ) - і У0 (2іаЯ2, ЬЯ)]-
-(2а) 1 ехр
Чтобы оценить оптимальное значение радиуса Я цилиндрической ступеньки рельефа ДОЭ по отношению к радиусу пучка ы(г) упростим выражение
(16). Для этого рассмотрим значение амплитуды в центре Фурье-плоскости при р=0 и Ь=0.
Скачок фазы ДОЭ в выберем равным л. Пусть также ДОЭ расположен в перетяжке гауссового пучка: г=-0, 0=0, м>:=м>0. Тогда интенсивность в центре 1(0) будет связана с радиу сом Я выражением
НО) = /0 [ехр(-4/?2) - 2 ехр(-ЗЯ,2) -
2 ехр(-2Я2) - ехр(-/?2) + —
(П)
где /?! =Л(И'0)'1,/0 =
2пк*'1
~Т
В уравнении (17) учтено, что У}(х,0)=0, У0(х,0)=1. На рис.2 показана 'зависимость 1(0) от Я}, график которой достигает минимального значения при
Я = т/\п2 « О.83м/0 .
1(0)
гауссового пучка в центре фокальной плоскости от радиуса скачка фазы ДОЭ
Сложность выражения (16) не позволяет аналитически сделать оценки для оптимального выбора параметров фильтра Я, в. Хотя можно видеть, что при любом ради}'се скачка фазы ДОЭ Я интенсивность в центре не уменьшается до нуля, и что искомое значение отношения Я/м?0 должно быть близко к единице.
3. Амплитудный ДОЭ как модель фазового бинарного ДОЭ
Пропускание фазового ДОЭ (5) при 9=тт можно записать в виде
т(г)=sgn
'і-4'
у
(18)
Дифракция когерентного света на фазовом ДОЭ (18) во многом будет аналогична дифракции на соответствующем амплитудном ДОЭ с пропусканием
г.мч-дг
(19)
Это предположение позволяет оценить оптимальное значение Я. Пусть ДОЭ (19) расположен в перетяжке гауссового пучка (8), тогда сразу за ДОЭ амплитуда светового пучка будет описываться функцией, имеющей вид ‘мексиканской шляпы’
_/"(/*) — ехр|^ —7*
о
1 \
1-4г
я2
(20)
Заметим, что при Я = ч-0/т[2 функция (20) будет описывать первую моду Гаусса-Лагерра, так как первый многочлен Лагерра имеет вид /.? (х) = 1 - х
На рис.З показаны нормированные графики функций амплитуды гауссового пучки до оптического элемента (кривая 1) и после оптического элемента (кривая 2). Функция мексиканской шляпы часто используется в задачах цифровой обработки изображений с помощью преобразования волнового пакета [18| и. фактически, является второй производной от гауссовой функции.
‘ КО
функции “мексиканская шляпа” (кривая 2)
В плоскости фокусировки сформируется световое поле с комплексной амплитудой
.2 \л „ ____2-
Прх) = ^ ехр(-/7, )(1 - у + у р\ ) .
(21)
где
_ 2лкм] — ■
р
2 Г
.Г Ро \ " У ""и
р(_ - радиу с гауссового пучка в (}юкальной плоское ти. Распределение интенсивности будет иметь вид
Кр) = \17(р1( = 10схр(-2р';)\\-у+ур:\ .
(22)
где У0 = /‘ьг Точки экстремума функции (22) еле' дующие:
(23
На рис4 показаны графики интенсивности
(22) при различных значениях параметра у. у =0 (1а), ;/= 0.2 (2а), у=0.5 (За), /=0.6 (16), у -0 8 (26). у-] (36), у- 2 (в). Из рис. 4 видно, что точка р! I является у зловой, так как при любом значении параметра у имеет место равенство:
1(р = 1) = /0 ехр(-2)
Из рис.4 также видно, что при 0 < у < 0.5 функции интенсивности имеют один максимум в центре при р= 0 (рис.4а), при 0 5 < у < 1 - минимум в центре и максимум на периферии (рис.46); при у> 1 - два максимума и один минимум с нулевым значением. Заметим также, что случай у - 1 (рис4в) соответствует первой моде Гаусса-Лагерра
(Я - и'а 1^2 ) и интенсивность на выходе такая же как на входе, а именно "мексиканская шляпа".
а)
б)
О 0.2 04 О-в ЧС
І.Ї 1.4 Гв I •
в)
9 02 3* 0«
1 12 14 <€ 1 9 2
Рис. 4. Графики интенсивности из уравнения (22) при различных значениях параметра у:
О (а1), 0.2 (а2), 0.5 (аЗ), 0.6 (61), 0.8 (62), 1 (63), 2 (в)
Значение у = 0.5 - предельное значение, при котором еще нет локального минимума в центре фокального пятна. В этом случае радиу с ДОЭ удовлетворяет уравнению:
Л = м'0л/2. (24)
Сравним энергетическую эффективность двух фокальных пятен при /=0 (в отсутствии ДОЭ) и при /=0.5 (при оптимальном выборе радиуса ДОЭ). Энергию в фокальной плоскости будем рассчитывать в круте радиуса, на котором интенсивность составляет 60% от максимального значения в центре. Для гауссового пучка будем иметь:
/(Ао>
= ехр(-2р10) = 0.6 ,
( 00
(25)
Е0 = | ехр(-2х2 )хс!х х |ехр(-2х2 )хсіх
V о і 1о
= 1 - ехр(-2р20) = 0.4 .
Из уравнений (25), (26) следует, что при фокусировке гауссового пучка в фокальном пятне радиуса
(половина радиуса гауссового пучка в фокальной плоскости), на котором значение интенсивности составляет 60% от максимального, сосредоточено 40% энергии всего пучка.
Уравнения, аналогичные уравнениям (25) и
(26), но для фокального пятна, сформированного ДОЭ (19) при /=0.5 примут вид (рю-\)'.
^ =ехр(-2р’)(1 + Д!0)’ =
/о
(27)
= 4ехр(-2)« 0.54
?10
| ехр(-2х2 )(1 + х1 )2хсіх
^■0.5 -
(« >; ■- V1 V
х Мехр(-2х2)(1+х2)2х<& = (28)
)
= 1-0.5ехр(-2 р20)х >ф+ 6/4+2 До] «0.65
Из уравнений (27) и (28) следует, что при фокусировке гауссового пучка с помощью модельного ДОЭ (19) при условии (24) в фокальном пятне в круге радиуса р,0= 1 (в два раза большем, чем в отсутствии ДОЭ), на котором значение интенсивности составляет 54% от максимального значения, сосредоточено 65% энергии всего светового пучка.
4. Алгоритм расчета фазы ДОЭ, основанный на решении интегрального уравнения
На рис. 5 показано гауссово распределение интенсивности света (кривая 1)
1 (г) = ехр
( \ 2 ”
г
,го,
(29)
которое в нашем случае имеет следующий
V
параметр
= л/2 ,
м> = —-— радиус амплитуды
7М о
гауссового пучка в фокальной плоскости.
Кривая 2 на рис. 5 показывает форму идеально выровненной интенсивности в фокальной плоскости. Значение интенсивности I вычисляется из условия сохранения энергии в пятне радиуса м>:
.2'
ЯН' I = ^'(И’)
где
]¥ (н') = 2я| ехр[- (г / г0 )]2 г с! г
(30)
(31)
(26)
энергия нормированного гауссового пучка в пяти е радиуса м>.
Кг)
Рис. 5. Интенсивность гауссового пучка на выходе системы (кривая 1) и форма желаемой интенсивности', (кривая 2)
Из (30), (31) получим выражение для средней интенсивности:
где
Е{уї)~
(и1!
1У(ос)
( V" и-
= 1 - ехр — -
. [Го) _
(32)
(33)
энергетическая эффективность, то есть часть энергии' света, попадающей в круг радиуса \у. В нашем случае в круге радиуса ^=0.028мм эффективность равна £'=100%£(и>)=86%.
Среднеквадратичная ошибка выравнивания интенсивности вычисляется по формуле
3 =
(34)
где /(г) - рассчитанная интенсивность, / - заданная интенсивность. Эффективность для рассчитанного пучка вычисляется по формуле:
» г* *
£ = 100% |/(г)г^г • |[(г)г(}г , (35)
_о .1 !_о
Для того, чтобы найти фазу радиально-симметричного ДОЭ ф(р), р2=х2+у2, который формирует заданное распределение интенсивности /(г) в фокальной плоскости линзы нужно решить интегральное уравнение:
2 лАр\\„0) о (2л Л —— \е v ххе^Уо! — гр >р&р
Ч о )
(36)
где ф(р) - искомая фаза ДОЭ, / - фокусное
расстояние после линзы, Ае - амплитуда исходного коллимированного гауссового пучка с радиусом и>0, J(J(x) - функция Бесселя нулевого поряд-
ка, 1{г) требуемое распределение интенсивности. В нашем случае оно выбирается постоянным:
7,ге[0 ,Л0] о,/- 6? [о,
/»=
(37)
где - радиус дифракционного пятна, который меняется в ходе численного моделирования.
Уравнение (36) решалось итеративно, методом последовательных приближений. Параметры расчета были выбраны следующие: = 3.63 мм, / =
654 мм, X - 0.488 мкм, и< - 0.028 мм. Начальная оценка фазы ф(р) выбиралась нулевой. В ходе численного моделирования оказалось, что с увеличением радиуса дифракционного пятна Я0 в выходной плоскости происходит выравнивание интенсивности /(г) за счет “растекания” за круг радиуса ил На рис. 6 приведены зависимости ошибки (рис.ба) и эффективности (рис.66), рассчитанные по формулам (34) и
(35). Видно, что при Я0<м/ изменить ничего не удается: параметры 5 и е почти не изменяются. Изменения начинают происходить при /?0>и\ При этом максимального выравнивания интенсивности в пятне (минимальной ошибки 6=3.8%) удается достигнуть при выборе Я0= 1.64При этом эффективность опускается с уровня 86% до 55%. Для каждого радиуса Я0 проведено 10 итераций, б
Но
Во
Рис. 6. Зависимость среднеквадратичной ошибки выравниваемой интенсивности гауссового пучка (а) и доли энергии в минимальном дифракционном пятне радиуса и> (б) от радиуса моделируемого пятна Я0
Па рис. 7 показан оптимальный вариант расчета данным методом. В отсутствии ДОЭ на выходе системы получается гауссовое пятно (рис. 7в), распределение интенсивности в котором (кривая 1, рис. 7г) отличается от постоянного значения (кривая 2, рис. 7г) на 6=46%, а в круге радиуса н-0.028 мм заключено при этом 8=86% от всей энергии пучка.
Если в коллимированный гауссовый пучок поместить ДОЭ, рассчитанный данным методом, би-
нарная фаза которого показана на рис. 7а (се сеченис показано на рис. 76, скачок фазы на -к имеет место в точке Л/=4.4 мм), то на выходе системы получится световое пятно (рис. 7д), распределение интенсивности в котором (кривая 1, рис. 7е) будет отличным от постоянного значения (кривая 2, рис. 7е) на 6%, а в круге радиуса и -0.028 мм будет ори этом заключено 61% от всей энергии пучка.
Таким образом, методом решения интегрального уравнения (36) удается за счет снижения энергетической эффективности на 24% (с 86% до 61%) выравнить гауссовый пучок с точностью 6% (ошибка упала с 46% до 6%).
Заметим, что форма кривой 1 на рис. 7е существенно отличается от гауссовой. Гауссовый пучок, отличающийся на 6% от постоянного значения в круге радиуса ^=0.028мм, оставил бы только 34% своей энергии в этом круге.
а)
б)
#
«)
т
д)
е)
Рис. 7. Формирование круглого пятна с помощью ДОЭ и линзы, расположенных в перетяжке гауссового пучка: фаза ДОЭ (а) и ее радиальное сечение (б), интенсивность гауссового пучка на выходе без ДОЭ (в) и ее сечение (г), интенсивность выровненного гауссового пучка в присутствии ДОЭ (д) и ее сечение (е)
В этом разделе показано, что изменение радітуса Я0 минимального дифракционного пятна в формуле (37) при решении ур. (36) приводит к бинарному виду фазовой функции ДОЭ. Причем интерес представляет случай, когда на апертуре ДОЭ имеется только один скачок фазы на п.
Заметим также, что соотношение радиуса скачка фазы ДОЭ для оптимального случая Л/=4.4мм и радиуса амплитуды гауссового пучка
и0=3.63мм составляет = 0.825 > т/(Х5 * 0.707 , то
есть представляет тот случай (22), когда имеется небольшой локальный минимум в центре (сравните рис. 461 и рис. 7е).
5. Моделирование для неколлимированного гауссовского пучка В этом разделе при моделировании рассматривалась оптическая система, приведенная на рис. 1, когда ДОЭ располагается на некотором расстоянии от перетяжки гауссового пучка. В данном случае анализ проводился по двум параметрам: изменялся радиус фазового скачка на ДОЭ и его местоположение (расстояние от перетяжки гауссового пучка).
5.1. Формирование круглого пятна Параметры численного моделирования: радиус перетяжки гауссового пучка ио=0.1 мм; длина волны аргонового лазера: 2я/к = 0.488 мкм; /= 10 мм -фокусное расстояние линзы; расстояние от перетяжки до линзы 2= 160 мм. На рис.8 показано в полутонах (негатив) двумерное распределение интенсивности в фокальной плоскости линзы для гауссового пучка без ДОЭ (а) и его радиальное сечение (б). Радиус фокального пятна по уровню 60% равен 0.008 мм (рис. 86). Также показана двумерная картина дифракции (негатив) в фокальной плоскости линзы в присутствии ДОЭ (рис. 8в) и радиальное распределение интенсивности (рис. 8г).
«)
1*ис. 8. Формирование круглого пятна с помощью ДОЭ и линзы, распаюженных на расстоянии от перетяжки гауссового пучка: интенсивность гауссового пучка на выходе без ДОЭ (а) и ее сечение (б), интенсивность выровненного гауссового пучка в присутствии ДОЭ (в) и ее сечение (г)
В этом случае радиус скачка фазы ДОЭ был равен Л,=0.381 мм, а радиус гауссового пучка непосредственно перед линзой равен н=0.267 мм. Их отношение равно 1.422. Это число немного больше, чем предсказывает формула (24), что означает
отсутствие локального минимума в центре. Однако, как видно из рис.8г локальный минимум, хоть и не в центре, все же имеется. Такое различие картин 4а и 8г появляется из-за расходящегося волнового фронта гауссового пучка на расстоянии, куда теперь помещен ДОЭ. Доля световой энергии в круге радиуса 0.01 мм (по уровню 60%) составляет 59.1% от всей энергии гау ссового пучка. Это число несколько меньше, чем предсказано формулой (28). Это также связано с тем, что в численном эксперименте гаус-совый пучок неколлимированный, и на линзу падает расходящийся волновой фронт. Относительная средняя квадратичная ошибка отклонения распределения интенсивности фокального пятна в данном круге от постоянного значения равна 10%.
Моделирование показало, что размещение комбинации ДОЭ+линза с тем же радиусом скачка /?;=0.381 мм в других местах на оптической оси приводит к падению энергетической эффективности. На рис.9 показана зависимость энергетической эффективности в круге радиуса по уровню 60% от расстояния между перетяжкой гауссового пучка и ДОЭ+линза. Параметры пучка такие же, как для рис.8. На рис.9 видно, что максимальная эффективность выравнивания интенсивности дифракционного пятна достигается при 150 мм < г < 160 мм. Заметим, что френелевская длина в данном случае равна 20= 64,37 мм.
Є : ' і •
Я Дг) ■= — {I (*, У, у)х
У -<г>
Рис. 9. Зависимость энергетической эффективности в круге радиуса Ко.* по уровню 60% максимальной интенсивности от расстояния г между перетяжкой гауссового пучка и ДОЭ+линза
5.2. Формирование квадратного пятна
В гауссовом пучке на расстоянии г от его перетяжки, радиус которой ч>о, располагается фазовый ДОЭ с функцией пропускания
[і; |*|<2Л„Ц£2«,
I*"; |*|>2Д„И>2«,
(38)
Щ - величина стороны квадратной фазовой ступеньки.
Параметры 2 и Я, требуется найти, чтобы обеспечить нужные характеристики гауссового пучка в фокальной плоскости сферической линзы с фокусным расстоянием /
Если на расстоянии 2 от перетяжки расположить ДОЭ с пропусканием (1), а за ним расположить линзу, то вблизи задней фокальной плоскости линзы сформируется комплексная амплитуда света
ехр
ікАг ( , 2 \
Т Iх + У ) 2/ . х СХр
-у(х£+уг?)
сіхсіу, (39)
где |Дг|« / - малое расстояние от фокуса: Дг<0 - до
фокуса, Д2>0 - после фокуса.
Аналитически интеграл (ЗУ) вычисляется с помощью функций Ломелля. Анализ его затруднителен. Поэтому ниже приводятся результаты численного моделирования.
Параметры моделирования: Я=0.488 мкм. щ =
0.1 мм, г = 230 мм, радиус амплитуды гауссового пучка на этом расстоянии и> = 0.37 мм, 9 -я - скачок фазы ДОЭ, /=17 мм - выбрано таким образом, чтобы радиус гауссового пучка в фокусе (Дг=0) по спаду интенсивности в е: раз был равен 0.028 мм.
На рис. 10 показаны картины дифракции света на разных расстояниях от фокальной плоскости линзы, полученные без ДОЭ и в присутствии ДОЭ, а также их радиальные сечения, на которых отмечены радиусы по спаду интенсивности в 0.6 раз. На рис. 106 показана картина дифракции в фокальной плоскости (Аг=0) для гауссова пучка без ДОЭ. В круг радиуса ЛО6=0.014 мм попадает Ее^= 39.3% всей энергии пучка. Максимальная интенсивность в пучке на оси равна /тах=12.56.
На рис. 10а и 10в показаны дифракционные картины для гауссова пучка без ДОЭ до фокуса (рис. 10а: Аг=-0.2 мм) и после фокуса (рис. 10в: Д:=0Л мм). На расстоянии .42=0.4 мм после фокальной юоскости происходит максимальная концентрация энергии гауссова пучка (7тах=170.18, а /?с,.6=0.005 мм). До фокуса (рис. 10а. ^1г=-0.2 мм) гаус-совый пучок еще шире, чем в фоку се (/?0 6=0.022 мм) и максимальная интенсивность еще меньше (Лпал=6.03). Заметим, что эффективность во всех случаях примерно одинакова: Е// - 39.9% (рис. 10а). 39.3% (рис. 106), 38.9% (рис. 10в).
Далее приведем дифракционные картины, полученные на тех же расстояниях для гауссового пучка в присутствии ДОЭ (38). На рис. 1 Од показано распределение в геометрическом <[юкусе линзы (/12=0): максимальная интенсивность /шах= 12.30 (это несколько меньше чем на рис. 106: /П1ах=12.56); половина стороны квадрата ЛГ)6=0.015 мм (это немного больше чем на рис. 106: /?пг=0.014); доля энергии в квадрате со стороной Л0 6 равна £#=60.2% (это больше на 20%, чем соответствующая эффективность на рис. 106: £#=39.3%).
На рис. Юс показана картина дифракции в плоскости максимальной концентрации энергии [Тучка (Лг=0.4 мм): Л06=0.009 мм (почти в два раза Дольше, чем на рис.Юв: /?ОЙ=0.005 мм); /пш=56.35 (почти в 3 раза меньше, чем на рис. 10в: /пих=178.18); £// = 65.2% (на 27% больше, чем на рис.Юв. Е$ = 38.9%).
Из сравнения попарно рисунков 106 и Юд, а также 10в и 10е можно сделать вывод, что имеются две плоскости, в которых преобразование круглого пучка в квадратный происходит по разному.
В плоскости максимальной концентрации энергии пучка (минимальный дифракционный радиус) параметры гауссового и квадратного пучков приведены в Таблице 1.
В плоскости геометрического фокуса линзы такая таблица будет выглядеть по другому (см. Таблицу 2).
На рис. Юг показана картина дифракции в присутствии ДОЭ до фокуса Дг=-0.2мм. В этой плоскости достигается максимальная эффективность преобразования: Е}?= 67.5% (это на 27% больше, чем на рис. Юг: Е(Г= 39.9%).
п.»
-|.ш -г.тпид і.ііг
а! Риса! о апз а у У йг.~=(И35
Рис. 10. Формирование кшдраптого пятна с помощью ДОЭ и литы, распо:юженных на расстоянии от перетяжки гауссового пучка: интенсивность гауссового пучка и сечение на выходе без ДОЭ: до геометрического фокуса линчы Аг=-0.2мм (а), в фокусе Аг=0 (б) и в плоскости максимальной концентраціш энергии Лг=0.4мм (в); интенсивность выровненного гауссового пучка и сечение в присутствии ДОЭ: до геометрического фокуса линзы Аг=-0.2мм (г), в фокусе Аг=0 (д) и в плоскости максима їьной концентрации энергии Аг=0.4мм (е).
В Таблице 3 показано как изменяются параметры гауссового пучка в плоскости геометрического фокуса (при Лг=0) при различных значениях стороны квадратной ступеньки ДОЭ Л,. Обозначения: Ям
- половина стороны квадратного сечения гауссового пучка по уровню 0.6 от интенсивности в центре /(0), Е// - это доля энергии попадающая в квадрат со стороной 2Яоб-
Из таблицы видно, что максимальная эффективность Е// = 60% достигается при Я,=0.41 мм. Отношение оптимального размера половины ширины фазовой ступеньки ДОЭ дтя формирования квадрата и радиуса амплитуды гауссового пучка в плоскости ДОЭ м' = 0.37 мм составляет величину
1.11, что меньше соотношения, определяемого (24) >!2 к 1.41 для формирования круга.
Таблица 1.
Сравнение гауссового и выровненного пучков в плоскости максимальной концентрации энергии (Ах=0.4 мм).
' гаусс квадрат
•tfo.6 0.005 мм 0.009 мм
7nwx 178.18 56.35
w 38.9% 65.2%
Таблица 2.
Сравнение гауссового и выровненного пучков в плоскости геометрического фокуса линзы (Аг=0)
гаусс квадрат
0.014 мм 0.015 mi
7щах 12.98 12.30
w 39.3% 60.2%
Таблица 3.
Параметры гауссового пучка в плоскости геометрического фокуса (Аг=0) при различных значениях стороны квадратной ступеньки ДОЭ К]
Ms Rot /(0)
0.05 0.012 12.058 0.237
0.10 0.008 11.158 0.104
0.15 0.007 16.844 0.119
0.20 0.007 27.949 0.196
0.25 0.007 38.349 0.237
0.30 0.007 38.757 0.231
0.35 0.008 28.010 0.201
0,40 0.014 15.287 0.531
ШШІ |*i£4 ЯЮК Ы Ж* і •• • • я#* ШШШ
0.42 0.015 10.145 0.602
0.45 0.014 ! 8.536 0.564
0.49 0.015 9.780 0.558
0.50 0.017 11.022 0.561
0.55 0.015 14.359 0.325
0.6 0.014 14.230 0.323
0.65 0.014 12.613 0.403
Заключение
В данной работе получены следующие результаты:
- показано, что для эффективного выравнивания
распределения интенсивности в сфокусированном гауссовом пучке можно использовать простые ДОЭ в виде квадратной или круглой ступенек, которые осуществляют фазовую задержку в
полдтины волны, а радиус - в раз (для круга) больше радиуса амплитуды гауссового пучка в плоскости ДОЭ;
- предложена модель для выравнивания интенсив-
ности гауссового пучка с помощью амплитудной маски типа "мексиканской шляпы", которая предсказывает оптимальный радиус скачка фазы
ДОЭ на к, а также значение эффективности в круге радиуса, определяемого по спаду интенсивности на 40% от максимального значения
(0.6vU);
- показано, что с помощью фазового ДОЭ в виде квадратной или круглой ступеньки можно выровнять интенсивность в сфокусированном гауссовом пучке с ошибкой 10% в области падения интенсивности на 40% (0.6-/тах), радиус этой области почти в 2 раза больше, чем радиус гауссового пучка, а попадает в эту область около 60% всей энергии.
Благодарность
Эта работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(№№ 96-15-96026, 98-01-00894).
Литература
1. Veldcainp W.P. Laser beam profile shaping with interplaced binary diffraction gratings. Appl. Opt., 1982, v.21, no. 17. p. 3209,
2. Han C.-Y.. Ishii Y, Murata K. Reshaping collimated laser beams with Gaussian profile to uniform profiles. Appl.Opt., 1983, v.22, no.22, pp.3644-3647.
3. Коронкевич В.П., Ленкова Г.А., Михальцрва И.А.,
Пальчиова И.Г., Полещук А.Г., Седухин А.Г., Чурин Е.Г., Юрлов Ю.И. Киноформные оптические элементы: методы расчета, технология изготовления, практическое применение. Автометрия, 1985, N 1, с.4-25.
4. Воронцов М.А., Матвеев А.И., Сивоконъ В.ГТ. К расчету фокусаторов лазерного излучения в дифракционном приближении. Компьютерная оптика. М., МЦНТИ, 1987, вып.1, с.74-78.
5. Roberts N.C. Beam shaping by holographic filters. Appl.Opt. 1989, v.28, np.l, pp.31-32.
6. Eismaim M.T., Tai A.M.. Cederquist J.N. Iterative design of holographic beam former. Appl.Opt., 1989, v.28, no. 15, pp.2641-2650.
7. Голуб M.A., Досколович Л.Л., Казанский НЛ., Сисакян И.Н., Сойфер В А., Харитонов С.И. Вычислительный эксперимент с фокусатором гауссового пучка в прямоугольник с постоянной интенсивностью. Компьютерная оптика, М., МЦНТИ, 1990, вып. 7, с. 42-49.
8. Aleksoff С.С., Ellis К.К., Neagle S.D. Holographic conversion of a Gaussian beam to a near-field uniform beam. Opt.Eng., 1991, v30, no.5, pp.537-543.
9. Golub M.A., Sisakyan I N., Soifer VA. Infra-red radiation focusators. Opt. and Lasers in Engin.. 1991, v.15, no.5, pp.297-309.
10. Golub M.A., Doskolovich L.L., Kotlyar V.V, Nikolsky l.V, Soifer VA. Iterative-phase method for dif-fractively levelling the Gaussian beam intensity. Компьютерная оптика, М., МЦНТИ, 1993, вып.
13, с 30-33.
11. Cordingley J. Application of a binary diffractive optics for beam shaping a semiconductor processing
by lasers. Appl. Opt., 1994, v.32, no. 14, pp.2538-2542.
12. Седухин А.Г., Чурин Е.Г. Преобразование формы наклонного падающего лазерного гауссова пучка. Автометрия, 1995, N6, с.75-81.
13. Duparre М., Golub М. A., Ludge В., Pavelyev V.S., Soifer V.A., Uspleniev G.V., Volotovskii S.G. Investigation of computer-generated diffractive beam shapers for flattening of single-modal C02 laser beam. Appl.Opt., 1995, v.34, no. 14, pp.2488-2497.
14. Golub M.A., Dupaire М., Kley E., Kowarschik R.. Ludge B., Rockstroh W., H.Fuchs. New diffractive beam shaper generated with the aid of e-beam li-
thography. Opt.Eng., 1996. v.35, no.5, pp. 1400-1406.
15. Farn M.W. Modelling of diffractive optics. OS A Proceedings of the Intern. Opt. Design Conf., 1994, v.22, pp.246-250.
16. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1981.
17. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Иитеграт и ряды. Специальные функции, М., Наука, 1983.
18. Sheng Y., Roberge D., Szu H. Optical wavelet transform. Opt. Eng., 1992, v.31, no.9, pp. 1841-1845.
