Фокусаторы в круг и кольцо из гауссового пучка Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФОКУСАТОРЫ В КРУГ И КОЛЬЦО ИЗ ГАУССОВОГО ПУЧКА

В.В. Котляр, А.П. Осипов*

Институт систем обработки изображений РАН, г. Самара *Самарский государственный аэрокосмический университет

Введение

Известно несколько методов формирования радиально симметричных фигур с использованием ДОЭ.

Для фокусировки когерентного света в узкое кольцо обычно используются конические аксиконы в сочетании со сферическими линзами [1] и бинарные аксиконы [2]. Под узким световым кольцом в фокальной плоскости понимается такое кольцо, ширина которого меньше дифракционного предела Фраунгофера для конической волны с ограниченной апертурой, дифрагирующей на ДОЭ [3].

В [5] рассматривается итеративный алгоритм, который позволяет осуществлять расчёт радиально-симметричных ДОЭ с небольшим числом уровней фазы. В [5] при расчёте ДОЭ, формирующих дифракционные картины, обладающие радиальной симметрией (круг, набор колец) также применяются итеративные алгоритмы, характерной особенностью которых является использование прямого и обратного преобразований Ханкеля.

В [4] дан общий геометрооптический метод для расчёта фокусаторов с неточечным откликом. В [3] приведена формула фазы ДОЭ, фокусирующего плоский пучок в широкое кольцо с равномерным распределением интенсивности, рассчитанного геометрооптическим методом.

Формула для фазы ДОЭ, фокусирующего гаус-совый пучок в радиально-симметричную область и рассчитанного геометрооптическим методом, ещё нигде не встречалась. Расчёту данного ДОЭ и его исследованию и посвящена данная работа.

1. Постановка задачи

Предположим, что гауссовый пучок с амплитудой: Го (г) = уІIо(г),

где 10(г) -интенсивность освещающего пучка,

р(г) =

Iо(г) = ехр(-г / w ) (1)

падает на ДОЭ с комплексной функцией пропускания: т = ехр(/'р(г)), г < а , где а - радиус ДОЭ,

V - радиус перетяжки гауссового пучка. Требуется найти р(г), обеспечивающую формирование заданного кругового распределения интенсивности:

I(р) = 1, Р1 < Р < Р2 , (2)

в фокальной плоскости 2=/ (см. рис. 1).

Го(г) ' IV у 10(г) От у

/\

1 * Дкр)

7

Рис: 1. Геометрия задачи фокусировки в кольцевую область.

2. Метод расчёта ДОЭ Для вычисления р(г) воспользуемся полученными в работе [6] уравнением наклонов лучей (3) и уравнением сохранения энергии, представленным в интегральной форме (4):

др к

-^=“7(Р-г) ,г 6 [0,а],ре [Р1,Р2]. (3, 4)

дг /

2п

где к = —, Я - длина волны падающего света.

2

Подставляя (1) и (2) в (4), получаем зависимость:

Р2

(р2- рі2)

(1 - ехр(-а2 / w2))

[ехр(-г2 /w2) - ехр(-а2 /w2)].

Далее, подставляя (5) в (3) и интегрируя, получаем конечный вид фазовой функции

Фг (г) = -71

7 0

Р2

(Р22 -Р12)

(1 -ехр(-а2 /w2))

[ехр(-г2 /w2)-ехр(-а2 /w2)]

ёг -

кг 2 2 /

(5)

(6)

Для плоского фронта имеем из [3]:

Фпл (г) =

2 /о

/22. 1\1/2 . ог(о г +1) +

+ 1п( ог + (о 2г 2 +1)1/2)

кг 2 2 /

где с = (Р22 - Р12)2/(ал) При Р2 ^ Pl,

фГ = Фпл = •

кр_

/

кг2 2 /

(8)

Из уравнения (9) и (10) для фаз ДОЭ, фокуси-(7) рующих гауссовый и плоский пучки в круг радиусом р .

Из (8) видно, что сужение кольца фокусировки приводит к известной формуле для фазы ДОЭ типа аксикон +линза.

Из (5) и (7) при р2 = р, Р1 = 0 , легко получить

к

1 - ехр(-г2/ w2) (1 - ехр(-а2 /w2))

фпл

к

Т7

Р-1 |г 2

кг2

Уг - —, (9)

Р 2 /’

(10)

3. Численный расчёт

На рис. 3, 4, 5 представлены результаты расчёта по формулам (6) и (7). Причём интеграл в (6) вычисляется простым методом прямоугольников. После расчёта радиального вида фазы ДОЭ формируется двухмерный массив размером ЫхЫ, к которому применяется преобразование Френеля, вычисляемое при помощи быстрого преобразования Френеля.

Для оценки характеристик ДОЭ используются величины энергетической эффективности Е и среднеквадратичного отклонения а Величина

е = Е 1п / Е 1т,

пе О1 теОо

где О1 - заданная область фокусировки,

О2 - вся фокальная область, характеризует долю

энергии, фокусируемую в заданной области, ко всей энергии в фокальной плоскости. Энергетическую эффективность ДОЭ будем оценивать долей энергии освещающего пучка, попадающей в окрестность кольца по уровню 0,3 максимальной интенсивности. Величина

11 - 2 -

а= у(-( Е(1п -1)2)2,

1 Я пеО,

N

пє01

характеризует среднеквадратичное отклонение распределения интенсивности от среднего значения в заданной области фокальной плоскости.

Значения Е и а представлены в зависимости от параметра £=(р2-р1)/А в таблице 2, где Д- минимальный дифракционный размер в фокальной плоскости: А=Х//а; величина £ характеризует ширину фокального кольца, по сравнению с дифракционным размером А.

Отношение w/a=0,33 было подобрано экспериментально. При таком соотношении наблюдалось наименьшее среднеквадратичное отклонение (рис.2). Увеличение w/a приводит к сближению фазовых функций для гауссового и плоского пучков. Уменьшение w/a приводит к тому, что вся энергия фокусируется в центре.

5

22

18

14

w/a

0,082 0,246 0,410 0,573

Рис. 2. Зависимость среднеквадратичного отклонения 5 от параметра w/a.

Таблица 1 Параметры расчётов

П

о

Радиус ДОЭ, а Длина волны, X Фокусное расстояние, / Отношение радиуса перетяжки гауссового пучка к радиусу ДОЭ w/a Число точек в плоскостях, Минимальный дифракционный размер, А.

12,8 мм 2 мкм 1285 мм 0,33 256x256 0,2 мм

Таблица 2

Параметры Е и 5 для ДОЭ, фокусирующих из плоского и гауссового пучков

N Рис. 8 рі/А ГАУССОВЫИ ПУЧОК ПЛОСКИЙ пучок

Е(%) 5(%) Е(%) 5(%)

3 0 10 97,05 14,52 94,69 31,00

4 20 0 98,67 8,01 94,92 32,95

5 1 30 85,80 42,37 82,33 39,86

4. Сравнение результатов фокусировки в кольца различной толщины плоского и гауссового световых пучков

в)

0

г) д) е)

Рис. 3 а) и г) - фазовые функции ДОЭ, формирующие кольцо с р1 = 10А, толщиной : £ = 20А ; б) и д) - 2Б-распределение интенсивностей в фокальной плоскости; в) и е) - радиальное сечение интенсивностей для освещающих гауссового и плоского пучков, соответственно.

p/Д

a)

б)

в)

г) д) е)

Рис. 4 а) и г) - фазовые функции ДОЭ, формирующие круг толщиной £ = 20А ; б) и д) - 2Б-распределение интенсивностей в фокальной плоскости; в) и е) - радиальное сечение интенсивностей для освещающих

гауссового и плоского пучков, соответственно.

а)

б)

в)

г)

д

е)

Рис. 5 а) и г) - фазовые функции ДОЭ, формирующие кольцо с р1 = 30А, толщиной : £ = А ; б) и д) - 2Б-распределение интенсивностей в фокальной плоскости; в) и е) - радиальное сечение интенсивностей для освещающих гауссового и плоского пучков, соответственно.

Выводы

1) Из таблицы 2 видно, что для формирования широких колец (8>4) и кругов эффективнее использовать ДОЭ для гауссового пучка, так как в данном случае в 2-3 раза ниже 5 и несколько выше Е.

2) Расчётные значения распределения интенсивности на рис. 3 и 4 выявляют меньшие флуктуации интенсивности на фокальном кольце для ДОЭ, фокусирующего гауссовый пучок.

3) В случае использования ДОЭ для гауссового пучка отсутствуют пики интенсивности при р=0.

4) Как видно из рис. 5, оба ДОЭ формируют примерно одинаковое распределение интенсивности в фокальной плоскости на что, собственно, и указывает общий вид их фазовых функций (8) в случае фокусировки в тонкое кольцо. Заметим, что ширина кольца на рис. 5 (б) больше, чем на (рис. 5 (д). Это обусловлено тем, что гауссовый пучок несколько уменьшает апертуру ДОЭ.

Литература

1. P. Belanger, M. Rioux Ring patters of a lens-axicon doublet illuminated by a Gaussian beam // Appl. Opt., 1978. V.17, № 7. P. 159-163.

2. A. Fedotowsky and K. Lehovec Optimal Design for Annual Imaging // Applied Optics. 1974. V. 13, № 12. P. 2919-2923.

3. L.L. Doskolovich, S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, I.V. Nikolsky, V.A. Soifer, G.V. Uspleniev Focu-sators in to a ring // Oрtical and Quantum Electronics. 1993. V. 25. P. 801-804.

4. V.A. Soifer, M.A. Golub Diffractive micro-optical with non - point response // Proceedings of SPIE. 1992. V. 1751. P. 140-151.

5. Методы компьютерной оптики // Под редакцией Сойфера В.А.. М. Физматлит. 2000.

6. M.A. Golub, I.N. Sisakyan, V.A. Soifer Infra-red Radiaton Focusators // Optical and Lasers in Engineering. 1991. V. 15. P. 297-309.