Выпуклые многогранники распределений, сохраняемые операциями конечного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 519.7, 519.21

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИИ, СОХРАНЯЕМЫЕ ОПЕРАЦИЯМИ КОНЕЧНОГО ПОЛЯ

А. Д. Яшунский

1

Строятся семейства многогранников в пространстве вероятностных распределений над конечным полем, которые обладают свойством сохранения: при сложении или умножении независимых случайных величин, имеющих распределение из построенного множества, распределение результата также лежит в этом множестве.

Ключевые слова: случайная величина, конечное поле, сохраняемое множество, выпуклый многогранник.

We construct families of polytopes in the space of probability distributions over a finite field, which are preserved, i.e. when adding or multiplying independent random variables with distributions from the constructed set, one obtains a result whose distribution belongs to the set as well.

Key words: random variable, finite field, preserved set, convex polytope.

Рассматриваются преобразования случайных величин над конечным множеством Е путем применения к ним операций из заданного множества В. При рассмотрении таких преобразований, в частности, возникает вопрос о построении множества распределений вероятностей К, обладающего следующим свойством: для любого набора Х\,... ,Хп независимых в совокупности случайных величин над Е с распределениями из К и любой операции /(х\,..., хп) € В распределение величины /(Х\,..., Хп) лежит в К. В таких случаях будем говорить, что множество К сохраняется операциями из В (см. [1]). Обычно множество К строится для некоторого заданного множества начальных распределений О так, чтобы О С К.

В настоящей работе будет рассматриваться /г-элементное множество Е (далее для удобства считаем, что Е = {0,1,... , к — 1}, множество Е\{0} будем обозначать Е*) и множество В, состоящее из двух бинарных операций. Первая операция, обозначаемая +, является квазигрупповой операцией на Е (необходимые определения см. в [2]), причем для элемента 0 € Е выполнено 0 + г = г + 0 = г при любом г € Е. Вторая операция, обозначаемая х, является квазигрупповой на Е* и, кроме того, удовлетворяет равенствам 0хг = гх0 = 0 для любого г € Е. Для к, равного степени простого числа, примером множества с указанным набором операций может служить конечное поле порядка к, в котором операции + и х суть сложение и умножение соответственно.

Операции из В, применяемые к независимым случайным величинам, естественным образом индуцируют операции на распределениях случайных величин (стохастических векторах) — наборах (хо, Х\,..., Хк~1), удовлетворяющих условиям XI ^ 0, г € Е и ^ = 1. Множество таких векто-

ров образует симплекс, который будем называть пространством распределений. Будем обозначать операции, индуцированные операциями + и х, через ф и Несложно проверить, что для распределений х = (хо,Х\,... ,Хк~1) и у = (уо,У1, ■ ■ ■ ,Ук-1) выполнены соотношения:

(1)

3 е Е,

j+l = i

(х ® у)о = Хо + Уо - Хоуо = х0+ y0(xi + ... + Xk-i);

(2) (3)

3 € Е*, j X I = г

1 Яшунский Алексей Дмитриевич — канд. физ.-мат. наук, зав. сект, теоретической кибернетики ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, e-mail: yashunskyQkeldysh.ru.

Отметим, что в силу квазигрупповых свойств операций + и х в суммах (1) и (3) индекс £ однозначно определяется по г и

Для построения множеств распределений, сохраняемых операциями + и х, докажем одно свойство квазигрупповых преобразований распределений. Пусть = {1,2,... , д} — конечное множество, на котором задана бинарная квазигрупповая операция *, \ — левая обратная операция к *, а © — индуцированная операцией * операция на векторах распределений. Легко проверяются равенства

(ж ®у)г = ^ г € Я.

з&Я

(4)

Заметим, что для каждого £ € отображение г н->■ £\г определяет подстановку на множестве <3, обозначим ее ац. Для распределения ж = (х\,... ,хд) и подстановки под Xя будем понимать распределение (ж^),..., х3^).

Напомним, что подмножество К С М'0 называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок, т.е. ах + (1 — а)у € К для любых х,у € К и а € [0,1].

Лемма 1. Пусть К — такое выпуклое подмножество пространства распределений на С}, что для любого £ € С} и любого у € К имеет место у°1 € К. Тогда для любого у € К и произвольного распределения, х выполнено х © у € К.

Доказательство. Запишем равенство (4) в матричном виде:

{{х®у)1,{х®у)2,...,{х®у)я) = (х1,х2,...,Хд;

(У\\\ У\\2 У2\1 У2\2

■ У1\ч\ ■У2\Я

\Vq\l Уд\2 ■ ■ ■ УсД,/

Легко заметить, что строки матрицы в точности равны векторам уае, £ € С,). Следовательно, х®у = Х£уае. Из условия леммы вытекает, что уае € К при всех £ £ Так как ^ Х£ = 1 и Х£ ^ 0, £ € С,), г&Я " г&я

то вектор ^ хеуае является выпуклой комбинацией векторов уае и в силу выпуклости множества г&Я

К имеем х ® у € К. Лемма доказана.

Лемма 1 позволяет строить множества распределений на Е, сохраняемые операцией +, однако не может быть непосредственно применена для построения множеств, сохраняемых операцией х, так как эта операция не является квазигрупповой на всем множестве Е.

Лемма 2. Пусть () ! квазигруппа с операцией х, и пусть а£ € С}, — соответствующий этой квазигруппе набор подстановок, доопределенных на Е: <т^(0) = 0. Пусть К — такое выпуклое подмножество пространства распределений на Е, что (1, 0,... , 0) € К и для любого £ € С} и любого у € К имеет место уае € К. Тогда для, любого у € К и произвольного распределения х выполнено х ® у € К.

Доказательство. Аналогично лемме 1 запишем равенства (2), (3) в матричном виде, используя подстановки

((ж ® у) о, (х®у) ь ..., (ж (8) у) к-1) = (Х0,Х1, ..., хк-1)

С учетом доопределения ае(0) = 0 получаем

/1 о

Уо Усп( 1)

0 \

У<п(к-1)

\УоУ<тк_1(1)---У<тк_1(к-1))

{{х®у)о, {х®у) 1,..., {х®у)к-1) = Жо(1,0,... ,0) + ^ЖеУ

еея

Поскольку ^ Жг = 1 и ж^ ^ 0, г € Е, вектор ж ® у является выпуклой комбинацией векторов ¿ее

(1, 0,..., 0) и уае, £ € <3, которые по условию леммы лежат р, К. В силу выпуклости К имеет место ж ®у £ К.

Докажем теперь теорему, описывающую класс выпуклых множеств, сохраняемых одновременно операциями + и х.

Теорема. Пусть а^, £ € Е*, —подстановки, определяемые квазигруппой {Е*, х), доопределенные сг^(0) = 0; пусть а^, £ € Е, —подстановки, определяемые квазигруппой (Е,+). Пусть О — такое множество распределений, что для любого д € С и любого £ € Е выполнено дае е О, дае € О. Пусть К — выпуклая оболочка множества Си {(1,0,...,0)}. Тогда для, любых х,у € К имеет место х фу & К и х ® у € К.

Доказательство. Покажем, что множество К сохраняется операцией +. Пусть К' — выпуклая оболочка множества С. Тогда множество К — выпуклая оболочка К' и {(1, 0,... , 0)}.

Рассмотрим распределения х,у € К. Тогда существуют такие а, /3 € [0,1], что х = а( 1, 0,... , 0) + (1 — а)х' и у = /3(1, 0,... , 0) + (1 — /3)у', где х', у' € К'. В силу билинейности операции х ф у (см. (1)), а также соотношений (1, 0,... , 0) ф у' = у' и (1, 0,... , 0) ф х' = х' имеет место равенство

хфу = (а( 1, 0,...,0) + (1 - а)х') ф (/3(1,0,...,0) + (1 - /3)у') =

= а/3(1,0,..., 0) + а(1 - (З)у' + (1 - а)/3х' + (1 - а)(1 - /3)(х' ф у').

Множество К' удовлетворяет условиям леммы 1, поэтому х' ф у' € К'. Тогда х ф у — выпуклая комбинация векторов из К' и {(1, 0,... , 0)}, и, следовательно, х ф у € К.

Сохранение множества К операцией х вытекает непосредственно из леммы 2. Теорема доказана.

Далее будем рассматривать задачу построения сохраняемого множества К, содержащего заданное начальное распределение д. Чтобы воспользоваться доказанной теоремой, требуется построить множество О, содержащее распределение д и при этом инвариантное относительно подстановок координат и а^, £ € Е. Легко видеть, что множество О можно выбрать конечным.

Обозначим через ¿> группу подстановок, порожденную всеми подстановками £ € Е.

Положим О = {дв | в € 5*}. Несложно видеть, что такое множество О содержит д и удовлетворяет условиям теоремы. Пусть далее К(д) — выпуклая оболочка множества Си {(1,0,... ,0)}. Согласно теореме К{д) сохраняется операциями + и х. Ясно, что д € К(д) и К(д) — многогранник, вершины которого принадлежат Си{(1,0,...,0)}.

Утверждение 1. Многогранник К(д) имеет не более 15*1 + 1 вершин.

Поскольку Б содержит не более к\ элементов, имеет место

Утверждение 2. Многогранник К(д) имеет не более к\ + 1 вершин.

Все распределения дя являются вершинами так называемого перестановочного многогранника. В случае когда все компоненты д различны, все распределения дя также различны и по следствию из результатов Радо [3] ни одно из них не принадлежит выпуклой оболочке остальных [4]. То есть многогранник К', являющийся выпуклой оболочкой множества О, имеет в точности (б*! вершин и только при рассмотрении выпуклой оболочки множества К' и {(1,0,... ,0)} количество вершин может стать меньше [б*!-

Покажем, что можно построить пример операций + и х, для которых группа Б будет содержать все подстановки, определив специальным образом операцию х. Поскольку = 1\г, наборы значений сг^(г), £,г € Е*, фактически задают квазигрупповую операцию \, являющуюся левой обратной к операции х. Пусть на множестве Е* операция £\г для £ = 1,2 определена следующим образом:

\ 1234. . к — 2к — 1

1 2134. . к — 2к - 1

2 1345. . к — 1 2

Тогда по теореме Холла [5] операцию \ можно так доопределить для остальных £ € Е*, что она будет квазигрупповой операцией на Е*, которой соответствует (также квазигрупповая) операция х. При этом легко проверить, что при выбранных значениях для сг* (г) и а^ (я) эти две подстановки порождают циклы (12) и (12 ... к — 1), а следовательно (см. [6]), и всю подгруппу подстановок, оставляющих на месте элемент 0 € Е.

Заметим теперь, что, поскольку операция + квазигрупповая на множестве Е, множество значений <т^(0), £ € Е, совпадает с Е. То есть для любого j € Е среди подстановок а^, £ € Е, найдется такая, что <т^(0) =

Покажем, что произвольная подстановка в порождается подстановками £ € Е. Пусть

й(0) = Тогда существует такая подстановка г = а^, что т(0) = В силу выбора г выполнено

(т ^(О) = 0, и, следовательно, т выражается через построенные выше подстановки а*, откуда вытекает, что в порождается набором подстановок £ € Е.

Итак, группа 5 может совпадать со всей группой подстановок на Е. Вместе с тем специальные свойства операций + и х могут существенно упростить структуру группы 5 и как следствие многогранника К(д).

Пусть + и х сложение и умножение в поле. Тогда квазигруппы (Е,-\-) и (Е*, х) группы порядков к и к — 1 соответственно. Применение к элементу г € Е подстановок <т* соответствует умножению г на £~1, а подстановки из прибавляют —I к г. В силу дистрибутивности умножения относительно сложения любая последовательность таких преобразований сводится к одному умножению г на элемент поля и одному сложению в поле, откуда следует, что группа 5 содержит к(к — 1) элементов.

Утверждение 3. Пусть операции + и х суть сложение и ултожение. в конечном поле, порядка, к. Тогда, лтогог-}мнник К{д) имеет не более к2 — к + 1 вершин.

В работе автора [1] уже строились множества, сохраняемые операциями + и х. Сравним построенные ранее семейства с теми, которые строятся в настоящей работе.

Ранее построенное семейство многогранников представляло собой пересечение пространства распределений с многогранниками, имеющими следующий набор вершин (их координаты зависят от параметра а, 0 ^ а ^ (1, 0,..., 0), (1 /к — к (к — 1) а2,1 /к + ка2,..., 1 /к + ка2) и множество вершин (1/к, (1\,..., йк-х), вде (1\,...,(1к-\ всевозможные такие наборы, в которых одна компонента возможно, нулевая, а остальные равны 1/к ± а. Эти многогранники, которые мы будем называть старой серией, вложены друг в друга, и каждое распределение, исключая те, что лежат на границе пространства распределений, может лежать на границе только одного такого мноххл'ранника. Для заданного распределения д без нулевых компонент многогранник, на границе которого оно лежит, минимальный среди многогранников семейства, содержащий д.

Рассмотрим вид сохраняемых множеств в зависимости от начального распределения, которое они содержат, на примере поля из трех элементов. На рисунке пространство распределений {хо,Х\,Х2) изображено в проекции на плоскость (х\,х-2)- Пунктирными линиями показаны границы пространства распределений, тонкой линией охраничен сохраняемый многоугольник старой серии, полужирными линиями сохраняемые многоугольники новой серии.

В зависимости от положения начального распределения новый многоугольник может быть расположен целиком внутри старого (д), иметь со старым непустую симметрическую разность (д') или же целиком содержать старый (д"). При этом многоугольник, порождаемый д', в пересечении со старым многоугольником дает еще одно сохраняемое множество распределений, не принадлежащее ни одному из построенных семейств. Отметим, что старое семейство сохраняемых множеств покрывало не все пространство распределений, в отличие от нового семейства, многогранники которого могут содержать любое наперед заданное распределение.

Автор выражает глубокую признательность О. М. Касим-Заде за плодотворные обсуждения, способствовавшие написанию данной работы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14 01 00598) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

Сохраняемые множества распределений

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яшунский А.Д. О бесповторных преобразованиях случайных величин над конечными полями ; матем. 2015. 27, № 3. 145 157.

2. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Наука. 1967.

3. Radio R. An inequality // J. London Math. Soc. 1952. 27. 1 6.

' Дискретн.

4. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация (комбинаторная теория многогранников). М.: Наука, 1981.

5. Hall M. An existence theorem for latin squares // Bull. Amer. Math. Soc. 1945. 51, N 6. 387-388.

6. Калужнин JI.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. М.: Наука, 1979.

Поступила в редакцию 04.05.2016

УДК 517.544.72+517.574

ОБ УТОЧНЕНИИ ТЕОРЕМЫ ПЛЕСНЕРА И О ТОЧКАХ ПЛЕСНЕРА ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

С. Л. Берберян1

Уточняется известная теорема Плеснера, полученная для произвольных гармонических функций японским математиком С. Ямаситой. Кроме того, на гармонические функции распространяется один результат, полученный профессором В. И. Гавриловым для мероморфных функций.

Ключевые слова: единичный круг, гармонические и голоморфные функции, Р- и Р'-последовательности, точки Плеснера и Фату.

The well-known theorem of Plessner obtained for arbitrary harmonic functions by Japanese mathematician S. Yamashita is refined. In addition, one result obtained by Prof. V. I. Gavrilov for meromorphic functions is extended to harmonic functions.

Key words: unit circle, harmonic and holomorphic functions, the P and P' sequences, Plesner's and Fatou's points.

1. В настоящей статье рассматривается классификация точек единичной окружности Г : \z\ = 1 для гармонических функций, определенных в единичном круге D : \z\ < 1. Будем придерживаться общепринятых обозначений. Через ip) обозначим хорду круга D, оканчивающуюся в точке £ = егв € Г и образующую с радиусом в точке £ угол <р, — | < <р < Пусть Д(£, ipi, if 2) обозначает подобласть круга D, ограниченную хордами h(^,ip 1), /¿(¿¡,(£>2)- Рассмотрим действительнозначную функцию u(z), определенную в D. Для произвольного подмножества S в D, для которого £ € Г является предельной точкой, обозначим через С (и, £, S) предельное множество функции u(z) в точке £ относительно S. Обозначим R = {—oo}UiiU{+oo}, где R = (—оо, +оо). Точку £ € Г относят к множеству F(u), если С(и, £, Д(£, <pi, <р2)) для любого угла Д(£, ipi, ^2) состоит из единственного значения а, и говорят, что u(z) имеет в точке £ угловой предел а. Множество F(u) называют множеством точек Фату для функции u{z). Точку £ € Г относят к множеству 1(и), если С (и, £, Д(£, <pi, ^2)) = R для любого угла Д(£, ipi, (£>2)- Точку £ € Г относят к множеству 1*(и), если С(-и, £, Л,(£, <£>)) = R для любой хорды h(^,<p), где Интерпретируя круг I) как модель плоскости в геометрии

Лобачевского, обозначим через <7(21,22) неевклидово расстояние между точками z\, 22 из круга D:

11 +и

(t{zi,z2) = - In--, где и

2 1-й

Z1 - 22

1 - Z\Z2

Тогда йа = \dz\j (1 — |2|2) является элементом неевклидовой метрики относительно круга И. Если обозначить через с1а\ элемент неевклидовой метрики относительно области А(1, —<р,<р), где 0 < <р < то согласно принципу гиперболической меры с1<т\ ^ йа. Последовательность точек {гп}, гп € И, п = 1, 2,..., Ит \гп\ = 1, следуя В. И. Гаврилову [1], называют Р-последовательностью,

п—>оо

1 Берберян Самвел Левонович — доктор физ.-мат. наук, и.о. проф. каф. математики и математического моделиро-

вания ф-та прикл. матем. Российско-Армянского (Славянского) ун-та, e-mail: samvel357Qmail.ru.