Научная статья на тему 'О показателе неизометричности преобразований'

О показателе неизометричности преобразований Текст научной статьи по специальности «Математика»

21
4
Поделиться
Ключевые слова
МЕТРИКА ХЕММИНГА / ГРУППА ИЗОМЕТРИЙ / МАТРИЦА РАЗНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ / ИМПРИМИТИВНАЯ ГРУППА / HAMMING DISTANCE / ISOMETRY GROUP / DIFFERENCE DISTRIBUTION TABLE / IMPRIMITIVE GROUP

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Погорелов Борис Александрович, Пудовкина Марина Александровна

В связи с исследованием линейных и гомоморфных моделей имеется значительное число работ, посвящённых расстояниям преобразований до аффинных и имприми-тивных групп. Качественные криптографические преобразования должны такие структуры рассеивать. Аналогичные вопросы для групп изометрий метрических пространств практически не рассматривались. В работе вводится мера, характеризующая степень рассеивания преобразованием разбиения множества биграмм метрического пространства Vn(2)) и названная показателем неизометричности преобразования. Получены верхние оценки показателя неизометричности для некоторых классов преобразований. Показано, что этот показатель выражается через элементы матрицы разностей переходов. Указаны связи: 1) показателей неизометричности в классах аффинно-смежных преобразований; 2) показателей неизометричности преобразований относительно метрики и её подметрик; 3) в терминах метрики Хемминга между подстановками, максимально далёкими от импримитивных групп S^n-i I S2, S2 I S^n-i, и с подстановками с максимальным показателем неизометричности.

On the anisometric index of a transformation

Many papers deal with finding distances between a transformation and an affine or imprimitive group. In cryptography, these results are often connected with investigations of linear and homomorphic models of block ciphers. Besides, to provide adequate resistance of block ciphers to generalizations of linear and homomorphic attacks, good cryptographic transformations must diffuse the structures associated with the affine and imprimitive groups. Some structures of block ciphers can be linked up with an isometry group of a discrete metric space, but in cryptography, such structures are seldom considered. In this paper, for a transformation g : Vn(2) ^ Vn(2) and a partition W of the set (Vn(2))2 of the metric space (p., Vn(2)), we introduce a measure that characterizes the diffusion degree of W in relation to g. The measure is called the anisometric index of the transformation g. We get upper bounds of the anisometric index for some classes of transformations. Further, we show that the anisometric index can be expressed in terms of elements of the difference distribution table. We also get relations between anisometric indexes of affine-equivalent transformations. In addition, we investigate links between two classes of permutations. The first class consists of all permutations that have the largest Hamming distance from imprimitive groups S2n-i I S2, S2 I S2n-i. The second class consists of all permutations that have the largest anisometric index. In particular, we show that, for some metrics, these classes are the same ones.

Текст научной работы на тему «О показателе неизометричности преобразований»

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308Х/10/9

О ПОКАЗАТЕЛЕ НЕИЗОМЕТРИЧНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Б. А. Погорелов, М. А. Пудовкина

В связи с исследованием линейных и гомоморфных моделей имеется значительное число работ, посвящённых расстояниям преобразований до аффинных и имприми-тивных групп. Качественные криптографические преобразования должны такие структуры рассеивать. Аналогичные вопросы для групп изометрий метрических пространств практически не рассматривались.

В работе вводится мера, характеризующая степень рассеивания преобразованием разбиения множества биграмм метрического пространства (у, УП(2)) и названная показателем неизометричности преобразования. Получены верхние оценки показателя неизометричности для некоторых классов преобразований. Показано, что этот показатель выражается через элементы матрицы разностей переходов. Указаны связи: 1) показателей неизометричности в классах аффинно-смежных преобразований; 2) показателей неизометричности преобразований относительно метрики и её подметрик; 3) в терминах метрики Хемминга между подстановками, максимально далёкими от импримитивных групп 2 $2, $2 2 , и с подста-

новками с максимальным показателем неизометричности.

Ключевые слова: метрика Хемминга, группа изометрий, матрица разностей переходов, импримитивная группа.

Многие методы криптоанализа основаны на существовании структур, сохраняемых или слабо рассеиваемых криптографическими преобразованиями. Такие структуры часто связаны с их группами автоморфизмов, например линейные структуры (векторные пространства) и аффинная группа, системы импримитивности и сплетения групп, метрические пространства и группы изометрий. Первые две используются в линейном и разностном методах, а также в методе гомоморфизмов. Для криптоанализа могут представлять интерес и другие структуры. Степень несохранения структуры при действии преобразования можно определять различными способами. В [1] в качестве такой меры для разбиения (структуры) W = {Ш0,... , Шг-\} с равномощными блоками п-мерного векторного пространства Уп над полем ОЕ(2) выступает порядок W-примитивности, который относительно метрики Хемминга х на симметрической группе Б (УП) характеризует меру удалённости подстановки д Е Б (УП) от имприми-тивной группы IGw, описываемой операцией сплетения Б(Ш0) 2 Бг (элементами IGw являются все подстановки из Б (Уп), сохраняющие разбиение W).

Для подстановки д Е Б (Уп) положим:

1) ад = д(а) для а Е УП;

2) Шд = {вд : в Е Ш} для Ш С Уп.

В [1] показано, что порядок W-примитивности подстановки д выражается через элементы матрицы е(^(д) = (^с^\д)^, где с^^(д) = |Шгд П | для г,] = 0,1, ... , г — 1, а также описаны подстановки с максимальным порядком W-примитивности. Порядок W-примитивности может возникать в методе гомоморфизмов или вероятностных гомоморфизмов, а также в разностном методе. Вместе с тем из классификации примитивных групп подстановок видно, что ряд классов характеризуется как группы изометрий метрик. Но в криптографии соответствующие подходы пока не нашли должного развития, хотя метрики могут естественным образом появляться в случае криптосистем, построенных на базе регистров сдвига [2].

26

Прикладная дискретная математика. Приложение

В работе вводится мера, характеризующая степень рассеивания преобразованием метрической структуры, названная показателем неизометричности подстановки g Е S (Vn). Мера задаётся для произвольной метрики ^ на Vn условием

p,(g) = (2n(2n - 1))-1 \{(a,a') Е V2 : ^(a,a') = ag,a'g)}| ,

0 ^ p^(g) ^ 1, причём Рц(д) = 1 тогда и только тогда, когда g Е Isom(^).

Доказано, что показатель неизометричности одинаков для всех подстановок из S (Vn), принадлежащих одному смежному классу по подгруппе Isom(^).

Пусть Xх = X\ {0n} для подмножества X С Vn; ф — операция сложения в Vn; 0n — нулевой вектор пространства Vn. Рассмотрим множество M+d всех (d + 1)-значных метрик на Vn, инвариантных относительно группы сдвигов пространства Vn и прини-

оо

мающих каждое значение из множества {0,1,... ,d}, M++ = (J M+d. Каждая метрика

d=1

^ Е M+d [3] однозначно задаваема упорядоченным разбиением B = (B1,..., Bd) множества Vnx условием

^ : (a, a') м- j, если a ф a' Е Bj для j = 1,... ,d

и обозначается через ^в. Для каждого д Е S(Vn) доказано равенство

p,B (д) = 1 - (2n - 1)-1 £Рвг,вг(д),

i= 1

где

ps,e(g) = 2-n |{a Е Vn : (a ф 6)g = ag ф e}| , 5,e Е Vn,

Рл,А(д)= E Ps,s(g), Л С

(S,s)eAxA

т. е. ps,e(g) —элемент матрицы разностей переходов преобразования д.

Доказано, что для любых подстановок д Е S(Vn), метрик ^ Е M+ и подметрик Е M+ метрики ^ [4] справедливо неравенство p^(g) ^ p^(д).

Указаны классы метрик из M+, задаваемых разбиением W пространства Vn, у которых показатель изометричности полностью характеризуется элементами матрицы c(W)(g) для каждой подстановки д Е S(Vn). Для метрик из этих классов получены достижимые верхние оценки. В частности, найден показатель неизометричности для произвольной 3-значной метрики Wх Vх/Wo) (0n Е W0 С Vn), а также получена его

достижимая верхняя оценка. Кроме того, в случае Wo < Vn (d = dim Wo) показатель неизометричности выражен через элементы матрицы c(W) (д) для каждой подстановки д Е S(Vn) и доказано равенство Isom^(Wх Vх/Wo) = S2d I S2n-d. В случае d Е {1,n — 1}

для метрик из [5] получена связь между подстановками с максимальным порядком W-примитивности и подстановками, для которых показатель неизометричности для метрики wх vх/w0) принимает наибольшее значение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Погорелое Б. А., Пудовкина М. А. О расстояниях от подстановок до импримитивных групп при фиксированной системе импримитивности // Дискретная математика. 2013. Т. 25. №3. С. 78-95.

2. Погорелое Б. А. Основы теории групп подстановок. Ч. 1. Общие вопросы. М.: В/ч 33965, 1986. 316 с.

3. Погорелов Б. А., Пудовкина М. А. Натуральные метрики и их свойства. Ч. 2. Метрики типа Хемминга // Математические вопросы криптографии. 2012. Т. 3. №1. С. 71-95.

4. Погорелов Б. А. Подметрики метрики Хемминга и теорема А. А. Маркова // Труды по дискретной математике. 2006. Т. 9. С. 190-219.

5. Погорелов Б. А., Пудовкина М. А. Подметрики метрики Хемминга и преобразования, распространяющие искажения в заданное число раз // Труды по дискретной математике. 2007. Т. 10. С. 202-238.

УДК 519.714.5 Б01 10.17223/2226308Х/10/10

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ПОСТРОЕНИЮ ТРАНЗИТИВНОГО МНОЖЕСТВА БЛОЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

И. В. Чередник

Пусть О — произвольное конечное множество и Q(0,) —семейство всех бинарных квазигрупп, определённых на множестве О. Отображение Оп — Оп, п Е М, реализуемое сетью £ с одной бинарной операцией Е, будем обозначать Доказывается критерий биективности всех преобразований из множества {£^ : Е Е 2(О)}, а также определяются условия для транзитивности этого множества.

Ключевые слова: сети, квазигруппы.

1. Понятие сети

Пусть {^1, ж2,... , жп} — множество переменных и * — символ бинарной операции. Множество всех формул в алфавите {ж1,... , жп, *} будем обозначать М. При сопоставлении символу * конкретной бинарной квазигруппы Е Е <2(П) формула ... , жп) реализует отображение и)р: Пп — П.

Для исследования свойств отображений (и1,... , эд^): Пп — Пт, Е Е <2(П), соответствующих определённому набору формул (и1,... ,ит) Е М™, введём дополнительное представление отображений в виде сети.

Пусть п0, п1,..., п Е N и

хо = {х1), х2),..., жпо)}, Х1 = {х1), х2),..., },..., = {х1), х2),..., х<гн}

— семейство попарно непересекающихся конечных непустых множеств. Тогда квазигрупповой сетью (далее просто сетью) длины £ будем называть простой ориентированный граф Е с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и Х4, содержащий только рёбра вида (ж^ в Е {1,. ..,£}, с тем ограничением, что степень захода каждой вер-

шины ж^, в Е {1,...,£}, равна 1 или 2. При этом если степень захода вершины ж^ равна 1, то ребро (ж^ 1) , ж^) имеет метку 0, а если степень захода вершины ж^ равна 2, то рёбра (ж^ 1),ж^5)) и (ж^ 1),ж^5)) имеют различные метки из множества {1, 2}. Число п0 будем называть размерностью сети Е, а число тах{п0,..., п4} — шириной сети Е. Подграф Е5 сети Е, основанный на множестве вершин Х3_ 1 иХ8, будем называть в-м слоем сети Е. Сеть Е будем называть однослойной, если она имеет длину 1.

Пусть Е' и Е" — сети с множествами вершин X' = Х0иХ1 и...иХ^ и X" = ХЦиХ1'и и ... и Х" соответственно и при этом Х' П Х'' = Х^ = Х0'. Тогда естественным образом можно определить сеть длины в+£ с множеством вершин Х'иХ1 и.. .иХ^иХ1'и.. .иХ", которую будем называть произведением сетей Е' и Е'' и обозначать Е' • Е''. Нетрудно понять, что всякая сеть является произведением своих слоёв.