CC BY
31
для каждого элемента а = 2а\ + а0 € СИ,(4^, 4), где а0,а\ € СЕ(2^). Преобразование з^2 является аналогом подстановки дп. Очевидно, что —инволюция. Доказано, что (42),Сп) = ад) г 5у).
ЛИТЕРАТУРА
1. Погорелов Б. А., Пудовкина М. А. Надгруппы аддитивных регулярных групп порядка 2п кольца вычетов и векторного пространства // Дискретная математика. 2015. Т. 27. №3. С. 74-94.
2. Погорелов Б. А., Пудовкина М. А. Орбитальные производные по подгруппам и их комбинаторно-групповые свойства // Дискретная математика. 2015. Т. 27. №4. С. 94-119.
3. Елизаров В. П. Конечные кольца. М.: Гелиос АРВ, 2006.
УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308Х/9/6
О КЛАССИФИКАЦИИ ДИСТАНЦИОННО-ТРАНЗИТИВНЫХ ГРАФОВ ОРБИТАЛОВ НАДГРУПП ГРУППЫ ДЖЕВОНСА
Б. А. Погорелов, М. А. Пудовкина
Группа экспоненцирования 52 t Бп, называемая также группой Джевонса, совпадает с группой ЛБп, порождённой группой сдвигов на п-мерном векторном пространстве Уп над полем СР(2) и группой подстановочных (п х п)-матриц Бп над полем СР(2). Для группы подстановок О ^ Б2 ^ Бп рассматривается её естественное действие на упорядоченных парах векторов из пространства Уп. Орбиты при таком действии называются орбиталами. Каждому орбиталу Г ставится в соответствие граф с множеством вершин Уп и множеством рёбер Г, называемый графом орбитала. Проводится классификация дистанционно-транзитивных графов орбиталов надгрупп группы Джевонса. Показано, что среди дистанционно-транзитивных графов орбиталов надгрупп группы Джевонса имеются графы, изоморфные следующим графам: полному графу К2п, полному двудольному графу К2„-1 2п-1, половинному (п + 1)-кубу, сложенному (п + 1)-кубу, графам знакопеременных форм, графу Тейлора, графу Адамара.
Ключевые слова: граф орбитала, группа Джевонса, дистанционно-транзитивный граф, граф Хемминга.
Группа экспоненцирования 52 ^ Бп, называемая также группой Джевонса, совпадает с группой Л5п, порождённой группой сдвигов на п-мерном векторном пространстве Уп над полем СЕ(2) и группой подстановочных (пх п)-матриц 5п над полем СЕ(2). Группа Джевонса встречается в теории кодирования, теории графов, теории булевых функций, алгебраической комбинаторике и криптографии; в частности, она
— является группой изометрий метрики Хемминга на Уп;
— описывает множество преобразований, не распространяющих искажения;
— является группой инерции множества всех бент-функций.
Для группы подстановок О ^ 52 ^ Бп рассматривается также её естественное действие на упорядоченных парах векторов из пространства Уп. Орбиты при таком действии называются орбиталами. Каждому орбиталу Г ставится в соответствие граф Г = (Уп, Г) с множеством вершин Уп и множеством рёбер Г, называемый графом орбитала. В алгебраической комбинаторике группа Джевонса связана со схемой отношений Хемминга [1] на пространстве Уп, которая может задаваться алгеброй матриц смежности графов орбиталов группы Л5п. При этом орбиталы пронумерова-
Теоретические основы прикладной дискретной математики
17
ны таким образом, что орбита стабилизатора нулевого вектора группы ЛБп совпадает с множеством Д(п) С Уп всех векторов веса Хемминга г, а г-й орбитал есть
Г<п) = |(в, в0 ^ УП : в Ф в' Е Д^п)} для всех г Е {0,... , п}, где ф — бинарная операция покоординатного сложения векторов из Уп.
В [2, 3] проведена классификация всех надгрупп С группы А5П, Л&П ^ С ^ Б(Уп), для п ^ 4. Она позволила в [4, 5] описать графы орбиталов всех надгрупп группы Джевонса и их группы автоморфизмов. В [5] среди графов орбиталов надгрупп группы Джевонса описаны графы, принадлежащие к таким известным классам, как дистанционно-транзитивные, антиподальные и двудольные. Заметим, что классификации дистанционно-транзитивных графов уделяется повышенное внимание более 40 лет (см. [1, 6-10] и др.). Это зачастую вызвано тем, что не только некоторые известные графы дистанционно-транзитивны, но также некоторые интересные группы являются группами автоморфизмов дистанционно-транзитивных графов. Так, дистанционно-транзитивными являются графы Хемминга, Джонсона, Гроссманна, полный двудольный и т. д. Описаны (см., например, [6]) все дистанционно-транзитивные графы, степени вершин которых не превосходят 13. Заметим, что из полной классификации групп ранга 3 [11] следует описание групп автоморфизмов дистанционно-транзитивных графов диаметра 2, называемых сильно регулярными.
В данной работе проводится классификация дистанционно-транзитивных графов орбиталов надгрупп группы Джевонса. Показано, что среди дистанционно-транзитивных графов орбиталов надгрупп группы Джевонса имеются графы, изоморфные следующим графам: 1) полному графу К2п; 2) полному двудольному графу К2п-1,2п-1; 3) половинному (п + 1)-кубу; 4) сложенному (п + 1)-кубу; 5) сложенному половинному (п + 2)-кубу; 6) графам знакопеременных форм; 7) графу Тейлора (для графов диаметра 3); 8) дополнению 2 х 2п-1-решётки (для графов диаметра 3); 9) дополнению графа 2п-1К2, состоящего из 2п-1 двухвершинных компонент связности; 10) графу Адамара (для графов диаметра 4); 11) графам инцидентности 2-(2п-1, и(п), 2и(п-2)) блок-схем (для графов диаметра 3 при нечётном п ^ 5), г Е {1, 3}, где
^ = £ (4к + ,)' > = °123
При этом графы диаметра 2 изоморфны одному из следующих классов графов: 1) графу К2п-1,2п-1; 2) дополнению графа 2п-1К2; 3) графам знакопеременных форм, группы автоморфизмов которых изоморфны ортогональным группам
при
чётном п.
ЛИТЕРАТУРА
1. Баннаи Э., Ито Т. Алгебраическая комбинаторика. М.: Мир, 1987.
2. Погорелов Б. А. Подметрики метрики Хемминга и теорема А.А. Маркова // Труды по дискретной математике. 2006. №9. С. 190-219.
3. Погорелов Б. А., Пудовкина М. А. Подметрики метрики Хемминга и преобразования, распространяющие искажения в заданное число раз // Труды по дискретной математике. 2007. №10. С. 202-238.
4. Погорелов Б. А., Пудовкина М. А. Подметрики Хемминга и их группы изометрий // Труды по дискретной математике. 2008. Т.11. №2. С. 32-68.
5. Погорелов Б. А., Пудовкина М. А. Свойства графов орбиталов надгрупп группы Джевонса // Математические вопросы криптографии. 2010. Т.1. №1. С. 55-84.
6. Brouwer A. E., Cohen A. M., and Neumaier A. Distance-Regular Graphs. Springer Verlag, 1989.
7. Praeger C. E., Saxl J., and Yokoyama K. Distance transitive graphs and finite simple groups // Proc. London Math. Soc. 1987. V. 55. P. 1-21.
8. Ivanov A. A. Distance-transitive graphs and their classification // Investigations in Algebraic Theory of Combinatorial Objects / eds. I.A. Faradzev et al. Dordrecht: Springer Science + Business Media, 1994. P. 283-378.
9. Cohen A. M. Distance-transitive graphs // Encycloped. Math. Applicat. 2004. V. 102. P. 222-249.
10. Van Bon J. Finite primitive distance-transitive graphs // European J. Combinatorics. 2007. V.28. P. 517-532.
11. Liebeck M. W. and Saxl J. The finite primitive permutation groups of rank three // Bull. London Math. Soc. 1986. V. 18. P. 165-172.
