О группах, порождённых преобразованиями смешанного типа и группами наложения ключа Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Кузьмин А. С. О периодах разрядов в г-ичной системе счисления знаков линейных рекуррентных последовательностей над конечными простыми полями // Безопасность информационных технологий. 1995. Вып. 4. С. 71-75.

4. Кузьмин С. А. Периоды разрядных последовательностей линейных рекуррент максимального периода над конечными простыми полями // Прикладная дискретная математика. 2015. №1(27). С.62-68.

5. Кузьмин С. А. О двоичных разрядных последовательностях над кольцами Галуа, допускающих эффект сокращения периода // Фундамент. и прикл. матем. 2015. Т. 20. №1. С. 223-230.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308Х/9/5

О ГРУППАХ, ПОРОЖДЁННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ СМЕШАННОГО ТИПА И ГРУППАМИ НАЛОЖЕНИЯ КЛЮЧА

Б. А. Погорелов, М. А. Пудовкина

Наиболее распространёнными группами наложения ключа итерационных алгоритмов блочного шифрования являются регулярное подстановочное представление уП группы векторного наложения ключа, регулярное подстановочное представление Ъ+п аддитивной группы кольца вычетов и регулярное подстановочное представление Ъ|Л+1 мультипликативной группы простого поля (2п + 1 — простое число). Рассматривается расширение группы Оп = {У^ , Ъ+п) преобразованиями и группами, естественными для криптографической практики. К числу таких преобразований и групп относятся: группы х Уп+_Л и Уп+_Л х , подстановка псевдообращения над полем ОР(2п) или кольцом Галуа ОИ(2тй, 2т).

Ключевые слова: группа наложения ключа, аддитивная регулярная группа, сплетение групп подстановок, мультипликативная группа кольца вычетов, кольцо Галуа.

Группы наложения ключа итерационных алгоритмов блочного шифрования являются, как правило, регулярными абелевыми. Среди них наиболее распространены следующие:

— Уп+ — регулярное подстановочное представление группы векторного наложения ключа над полем СЕ(2). Оно является элементарной абелевой 2-группой и используется в АЕБ, Р34.12-2015 «Кузнечик» и многих других алгоритмах блочного шифрования. Группа У+ имеет (2п - 1)... (2п - 2Г-1 )/(2г - 1) ... (22 - 1)(2 - 1) изоморфных подгрупп порядка 2Г, г = 1,... ,п, и столько же систем импримитивности;

— Ъ+п — регулярное подстановочное представление аддитивной группы кольца вычетов. Оно используется, например, в алгоритме блочного шифрования ГОСТ 2814789. Из цикличности группы следует, что у неё имеется п - 1 собственных подгрупп и столько же систем импримитивности;

— Ъ®+1 — регулярное подстановочное представление мультипликативной группы простого поля, в которой элемент 2п переобозначается как 0 (модульное умножение), а 2п + 1 —простое число. Как мультипликативная группа конечного поля она циклическая порядка 2п с п - 1 собственной подгруппой.

В этом смысле последние два способа наложения ключа предпочтительней, так как необходимо, чтобы слой з-боксов и линейный слой рассеивали меньшее число систем импримитивности.

Теоретические основы прикладной дискретной математики

15

Пусть Gn = <Vn+, Z+), S (X) симметрическая группа на множестве X, Gi г G2 сплетение групп подстановок Gi, G2.

В [1, 2] описано строение группы Gn и её свойства. В данной работе рассматривается расширение группа Gn преобразованиями и группами, естественными для криптографической практики. К числу таких преобразований и групп относятся: группы Z+d х V+ d и V+ld х Z+d, подстановка псевдообращения над полем GF(2n) или кольцом Галуа GR(2md,2m).

Первоначально описаны свойства групп, порождённых Gn, Z+d х V+ d, V+d х Z+d для d е {1,..., n — 1}, n ^ 2. Доказано, что если n ^ 2, то (Z+d х V+ d, Gn) = Gn для d = 1,..., n — 1 и

т/+ v ^ /S (Vl) если d e{2,...,n — 1}, I Gn, если d =1.

Кроме того,

/V+ х х v+-d, Gn) « s(Vd) г Gn-d

для любых d е {3,..., n}, d0 е {2,..., n — d — 1}, где d1 = n — d0.

Для n ^ 2 и подстановки gn : GF(2n) М GF(2n), заданной условием

[А-1, если A = 0, gn : A М \ n л n

0, если А = 0,

доказаны равенства (gn,Z+n) = (gn,Gn) = S(Vn).

Пусть LT2 (Z2n/2) —группа нижнетреугольных матриц из GL2 (Z2n/2). Для чётного числа n ^ 4 доказано, что

LT2 (Z2n/2) < Gn, (Gn, GL2 (Z2n/2)) = S(Vn).

Рассмотрим теперь связь подстановочного представления Z|П+1 мультипликативной группы кольца Z2n+1 и группы Gn. Пусть Z2n+1 — мультипликативная группа кольца Z2n+1 и для произвольного числа r е Z2n+1 преобразование b(r) е S (Z2n) задано условием b(r) : x М- rx mod (2n + 1). Положим Bn = (b(r) : r е Z2n+^. Доказано, что если n ^ 2, то (Bn, Gn) = S(Vn). Кроме того,

(Bd х Bn-d, Gn) « S(Vd) г S(Vn-d), d = 1,..., n — 1.

Для фиксированных произвольных чисел m, d е N положим n = md. Рассмотрим кольцо Галуа GR(2md, 2m). Известно [3], что существует элемент b порядка 2d — 1, принадлежащий мультипликативной группе кольца Галуа GR (2md, 2m). Рассмотрим

преобразование ubn) : GR (2md, 2m) М GR (2md, 2m), заданное условием ubn) : а М Ьа для каждого а е GR (2md, 2m). Доказаны равенства

(Gn, ubn)) = /Gn, GL1 (GR(2md, 2m))) = S(Vn).

Положим m = 2, n = 2d и рассмотрим кольцо Галуа GR(4d, 4) характеристики 4. Определим биекцию s^ : GR(4d, 4) М GR(4d, 4) условием

аа-2, если а0 = 0, 2а-1, если а0 = 0, i 0, если а0 = а1 = 0,

sdd2) : 2а1 + ао М < 2а-1, если а0 = 0, а1 = 0,

для каждого элемента а = 2а1 + а0 € СИ,(4^, 4), где а0,а1 € СЕ(2^). Преобразование з^2 является аналогом подстановки дп. Очевидно, что —инволюция. Доказано,

что (42),£п) = ад) г Б У).

ЛИТЕРАТУРА

1. Погорелов Б. А., Пудовкина М. А. Надгруппы аддитивных регулярных групп порядка 2п кольца вычетов и векторного пространства // Дискретная математика. 2015. Т. 27. №3. С. 74-94.

2. Погорелов Б. А., Пудовкина М. А. Орбитальные производные по подгруппам и их комбинаторно-групповые свойства // Дискретная математика. 2015. Т. 27. №4. С. 94-119.

3. Елизаров В. П. Конечные кольца. М.: Гелиос АРВ, 2006.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308Х/9/6

О КЛАССИФИКАЦИИ ДИСТАНЦИОННО-ТРАНЗИТИВНЫХ ГРАФОВ ОРБИТАЛОВ НАДГРУПП ГРУППЫ ДЖЕВОНСА

Б. А. Погорелов, М. А. Пудовкина

Группа экспоненцирования £2 t £п, называемая также группой Джевонса, совпадает с группой Л£п, порождённой группой сдвигов на п-мерном векторном пространстве Уп над полем СР(2) и группой подстановочных (п х п)-матриц £п над полем СР(2). Для группы подстановок С ^ £2 ^ £п рассматривается её естественное действие на упорядоченных парах векторов из пространства Уп. Орбиты при таком действии называются орбиталами. Каждому орбиталу Г ставится в соответствие граф с множеством вершин Уп и множеством рёбер Г, называемый графом орбитала. Проводится классификация дистанционно-транзитивных графов орбиталов надгрупп группы Джевонса. Показано, что среди дистанционно-транзитивных графов орбиталов надгрупп группы Джевонса имеются графы, изоморфные следующим графам: полному графу К2п, полному двудольному графу К2п-1 2п-1, половинному (п + 1)-кубу, сложенному (п + 1)-кубу, графам знакопеременных форм, графу Тейлора, графу Адамара.

Ключевые слова: граф орбитала, группа Джевонса, дистанционно-транзитивный граф, граф Хемминга.

Группа экспоненцирования Б2 ^ Бп, называемая также группой Джевонса, совпадает с группой АБп, порождённой группой сдвигов на п-мерном векторном пространстве Уп над полем СЕ(2) и группой подстановочных (пх п)-матриц Бп над полем СЕ(2). Группа Джевонса встречается в теории кодирования, теории графов, теории булевых функций, алгебраической комбинаторике и криптографии; в частности, она

— является группой изометрий метрики Хемминга на Уп;

— описывает множество преобразований, не распространяющих искажения;

— является группой инерции множества всех бент-функций.

Для группы подстановок О ^ Б2 ^ Бп рассматривается также её естественное действие на упорядоченных парах векторов из пространства Уп. Орбиты при таком действии называются орбиталами. Каждому орбиталу Г ставится в соответствие граф Г = (Уп, Г) с множеством вершин Уп и множеством рёбер Г, называемый графом орбитала. В алгебраической комбинаторике группа Джевонса связана со схемой отношений Хемминга [1] на пространстве Уп, которая может задаваться алгеброй матриц смежности графов орбиталов группы АБп. При этом орбиталы пронумерова-