CC BY
52
Теоретические основы прикладной дискретной математики
15
ЛИТЕРАТУРА
1. Tokareva N. N. Bent functions: results and applications to cryptography. Acad. Press. Elsevier, 2015. 230 p.
2. Tokareva N. N. Duality between bent functions and affine functions // Discr. Math. 2012. V. 312. Iss.3. P. 666-670.
3. Sole P. Completely regular codes and completely transitive codes // Discr. Math. 1990. V. 81. Iss.2. P. 193-201.
4. Delsarte P. An Algebraic Approach to the Association Schemes of Coding Theory. Thesis. Universite Catholique de Louvain, 1973.
УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/8/5
СВОЙСТВА ГРУППЫ, ПОРОЖДЁННОЙ ГРУППАМИ СДВИГОВ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА И КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ
Б. А. Погорелов, М. А. Пудовкина
Аддитивные группы кольца вычетов Z2" и векторного пространства Vn над полем GF(2), а также порождённая ими группа Gn имеют общие системы импримитивности и являются подгруппами силовской 2-подгруппы симметрической группы S(^2"). Данные группы возникают в криптографии при использовании в качестве способа наложения ключа относительно операций сложения из Vn и Z2". В работе приведено подстановочное строение подгрупп группы Gn. Показано, что подгруппами Gn являются группа нижнетреугольных (пхп)-матриц над полем GF(2) и полная аффинная группа над кольцом вычетов Z2". Рассмотрена характериза-ция импримитивных подгрупп группы Gn.
Ключевые слова: сплетение групп подстановок, импримитивная группа, си-ловская 2-подгруппа, аддитивная группа кольца вычетов, аддитивная группа векторного пространства, ARX-шифрсистема.
Аддитивная группа Z+n кольца вычетов Z2n и аддитивная группа V+ n-мерного векторного пространства Vn над полем GF(2), а также порождённая ими группа Gn = (V+, Z+n) являются подгруппами силовской 2-подгруппы Pn G Syl2 (S2n), описываемой операцией сплетения Pn = P2 I Pn-L. Все эти группы имеют общие системы импримитивности W(i'n) = | W0(i'n),... , W2(i—L |, где
Wt(i,n) = {j G {0,... , 2n - 1} : j = t (mod 2*)} , i = 1,..., n - 1, t = 0,... , 2* - 1.
Заметим, что в криптографии группа Gn возникает в блочных шифрсистемах, использующих в качестве наложения ключа сложения в кольце вычетов и в векторном пространстве, например IDEA, ARX. В связи с наличием общих систем импримитивности у групп Z+n, V+ операции сложения + , ф в кольце вычетов Z2n и в векторном пространстве Vn соответственно оказались достаточно близки.
Приведём подстановочное строение подгрупп группы Gn, из описания которого, в частности, следует известный порядок группы Gn, полученный ранее в [1].
Теорема 1. Пусть n ^ 2. Тогда:
1) если ^nGnL) —естественный гомоморфизм импримитивной группы Gn в группу, действующую на множестве блоков импримитивности {{0, 2n-L},... , {2n-L — 1, 2n - 1}}, то Im^L = Gn-L и
16
Прикладная дискретная математика. Приложение
Кег^Л3 = ({ (г, 2га—1 + г) ■ (2га—2 + r, 2га—1 + 2га—2 + г) : r = 0,..., 2га—2 - 1}
2n—2—1
п (2га—2 + t, 2га—1 + 2га—2 + t) );
2) справедливы равенства
t=0
1
Кег^3
22n-2 + 1 |G | = 22 i
Пусть иг,п = (г, 2" 1 + г) • (2" 2 + г, 2" 1 + 2" 2 + г) —произведение транспозиций для г е {0,.'.., 2"-2 - 1}.
Опишем нормальные подгруппы группы Сга. Для п ^ 2 положим
/ \
= ( П иг+2Л4(тоа2-2),п : г е {0,..., 2' - 1} ) , 3 = 0,...,п - 2.
t=0
Заметим, что
Я"0) = X(С„), (е„) < Я"0) < д!1) < ... < Я""-2) < Кег^,
=22', ^ = 0,..., п - 2,
где X (Сга) —центр группы Сга; еп — единичный элемент группы Сга. Утверждение 1. Пусть п ^ 2. Тогда:
1) Я"т) о Сга для произвольного т е {0,... , п - 2};
2) группа д!1) является единственной нормальной подгруппой группы Сга, удовлетворяющей одновременно условиям |Я"1)| = 4, X(Сга) < дП1) < Кег^-Г*;
3) группа Д" 2) является максимальной нормальной подгруппой группы Сга в Кег^.
Как следствие теоремы 1 описаны некоторые модулярные представления группы Gn над полем GF(2).
Доказано, что примитивная группа, подгруппой которой является Gn, совпадает с группой S(Z2n). Поэтому представляют интерес только импримитивные группы, содержащие Gn и её подгруппы. В частности, для характеризации импримитивных подгрупп группы Gn рассмотрены полная аффинная группа AGL1 (Z2n) над Z2n и группа LTn нижнетреугольных (n х п)-матриц над полем GF(2). Доказаны включения LTn < Gn, GL1 (Z2n) < Gn для n ^ 2. Рассмотрено также обратное преобразование над кольцом Z2n, являющееся аналогом преобразования x ^ x—1 над полем GF(2n), и доказана справедливость включения G для n ^ 2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Grossman E. Group Theoretic Remarks on Cryptographic Systems Based on Two Types of Additions. IBM Report RC-4742, Yorktown Heights, N.Y., Feb. 1974.
