CC BY
30
УДК 514
О.Ю. Матукевич, В.А. Вайгант
Задача внешнего освещения выпуклого множества
Эта работа посвящена проблеме внешнего освещения выпуклого множества и взаимосвязи ее с тремя известными задачами из комбинаторной геометрии. Ее стержнем является известная гипотеза Г. Хадвигера о том, что ограниченное выпуклое тело KcR" может быть покрыто не более чем 2" телами, гомотетичными телу К с положительным коэффициентом гомотетии, меньшим единицы • В.Г. Болтянским было установлено, что для любого выпуклого тела KcR" задача освещения эквивалентна задаче Г. Хадвигера. Поставленные задачи были решены В.Г. Болтянским и С.П. Солтаном для выпуклых неограниченных тел в пространстве 1{:!, для выпуклых фигур в R2, а также для выпуклых тел KcR", имеющих регулярную границу или небольшое число нерегулярных граничных точек. В предлагаемой работе задача внешнего освещения решается для выпуклых ограниченных тел в пространстве
Пусть К — замкнутое выпуклое тело в R". Под направлением L мы будем понимать луч А, сонаправленный с L. Через bd(K) обозначим границу тела К, а через int (К) — внутренность тела К. Точка xebd(K) называется освещенной извне направлением I. в пространстве R", если луч, исходящий из точки х и имеющий направление L, проходит через некоторую внутреннюю точку тела К.
Множество N называется освещенным извне семейством направлений L, если любая точка множества N освещена извне хотя бы одним из направлений, принадлежащих семейству L. Пусть х — некоторая точка считающаяся "источником", xeR", но хй К. Под источником будем понимать множество всевозможных направлений L, выходящих из точки х. Точка yebd(K) называется освещенной извне источником х, если луч [х,у) проходит через некоторую внутреннюю точку тела К, не принадлежащую |х,у|.
Множество Ncbd(K) называется освещенным извне семейством источников McR"\K, если любая точка множества N освещена извне хотя бы одним источником yeM. Перейдем теперь непосредственно к постановке задачи.
Пусть К — замкнутое выпуклое тело в
Н". Задача освещения, а, точнее, задача внешнего освещения при помощи параллельных пучков, состоит в том, чтобы найти наименьшее из таких натуральных чисел га, что существует семейство I.. содержащее И1 направлений Ь],...,ЬП1 и освещающее всю границу тела КсН". Это наименьшее число обозначим через с (К).
Близкая к этой задаче — задача внешнего освещения при помощи точечных источников, которая состоит в том, чтобы найти наименьшее из таких натуральных чисел т, что существует семейство МсН"\К, содержащее га источников \ |.....уш и освещающее всю границу тела КсН". Это наименьшее число обозначим через с*(К).
Рассмотрим теперь задачу Г. Хадвигера Она состоит в том, чтобы найти наименьшее из таких натуральных чисил ш, что в в пространстве И" найдутся тела К],...,Кт, каждое из которых гомотетично телу К с некоторым положительным коэффициентом гомотетии, меньшим единицы, и которые образуют покрытие тела К, т.е. КсК)и... ...иКт. Это наименьшее число обозначим через Ь(К). Если тело К нельзя покрыть никаким конечным числом гомотетичных меньших тел, то полагаем Ь(К)=¥.
Наконец, рассмотрим еще одну задачу: найти наименьшее из таких натуральных
чисел т. что в И" найдутся тела 1С|____Кш,
каждое из которых получается из К параллельным переносом и которые обладают тем свойством, что их внутренности покрывают
тело К, т.е. Кс ......иКт). Это
наименьшее число обозначим через Ь*(К).
В.Г. Болтянским и С.П. Солтаном было установлено, что все четыре задачи эквивалентны.
Теорема 1 [1]. Для любого ограниченного выпуклого тела КсБ" справедливы соотношения
Ь (К) =Ь* (К) =с (К) =с* (К).
Г. Хадвигер высказал гипотезу о том, что для любого ограниченного выпуклого тела КсИ" справедливо неравенство Ь(К)<2", причем Ь(К)=2", если К — параллелограмм. Следующая теорема подтверждает эту гипотезу в пространстве И2.
Теорема 2 [1,2]. Для любой плоской выпуклой ограниченной фигуры К в пространстве Н2, отличной от параллелограмма, справедливо равенство с(К)=3, если К является параллелограммом, то с(К)=4.
Кроме того, В.Г. Болтянским были получены результаты более частного характера.
Теорема 3 [1]. Если К — выпуклое тело с регулярной границей в пространстве Н", то с(К)=п+1.
Следствие. Пусть Т — произвольный и-мерный симплекс в И" и Ь],...,Ьп+] — направления, определяемые лучами, проходящими через точку ает^Т) и исходящими из вершин симплекса Т. Тогда каждая регулярная точка тела Кс11п освещается извне хотя бы одним из направлений | , . . . , | ,
Многогранник называется невырожденным, если он является границей выпуклого тела.
Лемма. Если М невырожденный выпуклый ограниченный многогранник в пространстве Н ' с числом вершин не менее 9, то существуют две вершины, принадлежащие одному ребру, такие, что их можно осветить одним направлением.
Из леммы следует вопрос об освещении многогранников.
Теорема. Любой невырожденный выпуклый ограниченный многогранник в пространстве может быть освещен не более чем 8 направлениями.
Теорема. В пространстве
любое
выпуклое ограниченное тело может быть освещено 8 направлениями.
Доказательство. Пусть К — произвольное ограниченное выпуклое тело в Н'. Предположим, что его нельзя осветить 8 или менее направлениями. Произвольно выбираем точку А] так, что А] е Ьс1(К). Рассмотрим множество направлений, освещающих точку А], обозначим его через
е
ни одно направление из С (А]) не освещает До. Обозначим множество направлений, освещающих А2 через С(А2). Отметим, что
G (А] )nG (А2)=0. Выбираем таким же образом точку АзеЬ<1(К) так, что С(А])пС(Аз)=0 и G(A2)nG(A3)=0, и так далее. Заканчиваем этот процесс после того, как выбрана точка Ад. Все эти точки существуют, так как мы предположили, что К не освещается 8 или менее источниками.
Рассмотрим выпуклую оболочку этих точек {А),...,Ад}. Получаем многогранник с числом вершин, меньшим либо равным 9. Возможны следующие ситуации:
1. По построению все точки различны, и многогранник является невырожденным с числом вершин в точности 9. Тогда по теореме 1 существуют две вершины (для определенности А,, и А,), которые могут быть освещены одним направлением, т.е. G (А|;) nG (As) ^0. Получаем противоречие с условием построения точек А;.
2а. Все точки различны, лежат в одной плоскости, и пересечение этой плоскости с int (К) есть не пустое множество, тогда по теореме 3 многоугольник можно осветить тремя направлениями. Следовательно, найдутся хотя бы две вершины, освещенные одним направлением. Получаем противоречие с условием построения точек А;, как и в пункте 1.
26. Все точки различны, лежат в одной плоскости, и пересечение этой плоскости с int (К) есть пустое множество, тогда по теореме 3 многоугольник можно осветить тремя направлениями. Малым "шевелением" этих направлений добиваемся того, чтобы эти направления шли в int (К). Следовательно, найдутся хотя бы две вершины, освещенные одним направлением. Получаем противоречие с условием построения точек А,, как и в пункте 1.
Если число вершин меньше 9, т.е. какое-то число вершин лежит на ребрах или гранях (будем считать, что эти вершины А() (Ар<8), то, освещая оставшиеся вершины, мы осветим и грани и ребра, а значит и вершины Ар. Получаем противоречие как и в пункте 1.
Теорема доказана.
Литература
1. Болтянский В.Г., Солтан П.С., Комбинаторная 2. Болтянский В.Г., Гохберг И.Ц., Разбиение фигур геометрия различных выпуклых классов, Киши- на меньшие части, М., 1971.
нев, 1978.
