Выпрямляющиеся разлеты газа из вихря с линейным полем скоростей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 4 (2012). С. 162-178.

УДК 533:517.958

ВЫПРЯМЛЯЮЩИЕСЯ РАЗДЕТЫ ГАЗА ИЗ ВИХРЯ С ЛИНЕЙНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ

Ю.В. ЮЛМУХАМЕТОВА

Аннотация. В работе рассмотрена одна подмодель движения газа с линейным полем скоростей. Ее образует система нелинейных дифференциальных уравнений большого порядка с начальными данными. Найдено несколько первых интегралов такой системы. В результате чего порядок системы снижен. Для специальных начальных данных задачи найдено приближенное решение дифференциальных уравнений подмодели. Такому решению соответствуют мировые линии, описывающие радиальный разлет частиц газа из вихря. Построены траектории движения частиц газа.

Ключевые слова: газовая динамика, подмодель, приближенное решение, радиальный разлет.

Введение

Решение в виде линейного поля скоростей является фундаментальным для любых уравнений механики сплошной среды. Такие модели в газовой динамике были получены еще Дирихле и Риманом [1], [2] при изучении динамики эллипсоидальных фигур идеальной несжимаемой жидкости. Для политропного газа такая модель в лагранжевых переменных получена Л.В. Овсянниковым [3], Дайсоном [4]. В этом случае найдены некоторые интегралы полученной системы. О.В. Лаврентьевой в [5] была рассмотрена математическая модель движения несжимаемого жидкого эллипсоида со свободной границей, в которой скорости частиц жидкости являются линейными функциями координат. И изучено качественное поведение решения такой модели при больших временах. В.В. Пухначевым в [6] рассмотрено плоское движение идеальной несжимаемой жидкости с линейным полем скоростей. Получено решение, описывающее вращение жидкого круга вокруг центра с постоянной угловой скоростью.

В данной статье будет рассмотрена модель движения газа с линейным полем скоростей, одна из перечисленных в [7], а именно ПОДМОДЕЛЬ 1. Данную подмодель образует система обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными данными. Найдено несколько интегралов такой системы. Выявлены связи между начальными данными. Это позволило при помощи преобразований эквивалентности сократить количество параметров задачи и понизить порядок системы. Полученная система, при частном выборе начальных данных, была сведена к уравнению Риккати. Это позволило найти приближенное решение уравнений подмодели. В результате построены мировые линии частиц газа для данного решения, описывающие радиальный разлет частиц газа из вихря.

Yu.V. Yulmukhametova, Straightening expansions of gas from vortex with linear velocity

FIELD.

© Юлмухаметова Ю.В. 2012.

Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации (Постановление № 220, Договор № 11.G34.31.0042).

Поступила 13 января 2012 г.

Уравнения ПОДМОДЕЛИ 1

В ПОДМОДЕЛИ 1 для решения уравнений газовой динамики с линейным полем скоростей

и = А^)х + м0(£), (1.1)

где А = ||<%(£)!! — матрица, щ^) = 11^01, Щ2, «оз|\Т, % = | (ж1, ж2, ж3| |т — векторы, введены

дополнительные переменные по формулам

В = А' + А2, у = и'0 + Ащ, т1 = тЬтА, (1.2)

а уравнение состояния имеет вид

р = Р^ЦЯ) ± у 1пр,

:і.з)

7, ао — постоянные, к(5) — функция энтропии 5. Плотность и давление задаются формулами:

а0 + г-7

Р

V

Л.4)

А

а; (г» Зз — V 8% + а; •?;)

СІХ

Ро(і),

х ■ Бх + 2£ • х + ф р'0 + (1пг)'7р0 = (1п т У'уао 1п(а0 + г-7), так что энтропия определяется из (1.3), в = ||.%|| — симметричная часть матрицы В. Вектор £(і) определяется из равенства:

= («33^22 - «2з)^“ «АЛ - -У3^), (1.5)

А = (ш1)2 + ^33^22 — ^23 ф 0, 5зз^22 ~ ^23 ф О,

8і — столбец матрицы Б, уЗ — координата вектора V, шк — координата вектора ш, который задает антисимметричную часть матрицы В:

ш1 ф О,

0 Г I3 — Си ш2

Е < ш >= ш3 0 —ш1

—ш2 ш1 0

то есть

В = 8 + Е<ш>. (1-6)

Функция 0(£) определена соотношением:

Аф(г) = (у3)2822 + (^2)25зз + 2у2у3,в23- (1-7)

После подстановки решений (1-1), (1-3), (1-4) в уравнения газовой динамики и учитывая равенства (1-2), (1-5), (1-7), получены дифференциальные уравнения для определения

матрицы Б, векторов ш, V [7]:

Б1 + Б А + А Б = (1 — 7 + со (і)) (1п т)/5', ш = Аш — 7(1п т)'ш,

Vі + АТУ + Бщ + ш х щ = ((1 - т)^ + со(^)£) (1пг)/) со(^) = 7г7 («о'г7 + 1) и дополнительные соотношения

Бш = 0, V ■ ш = 0,

-1

:і.8)

:і.9)

которые выполняются в силу уравнений подмодели, если выполняются в начальный момент времени.

Таким образом, ПОДМОДЕЛЬ 1 состоит из 6-ти нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнения для А, щ, т, в, ш, у) для нахождения 6-ти неизвестных.

Функция плотности, давления и уравнение состояния заданы. Подмодель вполне определена.

Дифференциальные уравнения для матрицы А, функции т из (1.2) и уравнения (1.8) для матрицы S и вектора ш назовем основными, так как они независимы от уравнений для векторов щ и V. Введем начальные данные для основных уравнений при t = 0:

S'(O) = So = II4H, ш(О) = шо = |l^oi,^02,^оз|\T, t(0) = 1. (1-Ю)

Для матрицы А будет справедливо разложение А = Sa + Е < ша >, Sa = = 11 stj 11 >

ша = | \ш\, ш'а\ \Т- Тогда начальные данные для А при t = 0 имеют вид:

^(0) = 5i =11411, ША(0)=Ш1 = \\Ш11,Ш12,Ш13\\Т, /,,,4

(1.11)

Л(0) = Si + Е < ui > . У J

Основные уравнения образуют нелинейную систему 19-го порядка с 18 параметрами для начальных данных. Для понижения порядка системы будут найдены интегралы системы, и при помощи эквивалентных преобразований сокращено количество параметров задачи.

2. Интегралы

Матричным уравнением (1.2) действуем на вектор cJ, учитывая (1.9), (1.6) и тождество Е<ш>ш = шхш = 0, получим равенство

А ш А?ш = 0.

Из уравнения (1.8) для вектора ш выразим Аш и подставим в последнее равенство. Получим линейное однородное дифференциальное уравнение для вектора AcJ, решение которого имеет вид:

Аш = (2-1)

где Э\ — постоянный вектор. Интеграл (2.1) позволяет найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1.8) для вектора ш в виде:

ш = (ait + <72) т-7, (2.2)

где <?2 — постоянный вектор. Учитывая (2.2), интеграл (2.1) можно переписать в виде линейного интеграла:

A {(Tit + <72) = <7i. (2-3)

Постоянные векторы <7i, <?2 определяются начальными данными (1.10), (1.11). При t = О из (2.2), (2.3) получим:

<72 = OJq, <71 = iSiCJo O^i X OJq. (2.4)

Начальные данные при t = 0 должны удовлетворять для ПОДМОДЕЛИ 1 соотношению:

S0uо = 0. (2.5)

3. Преобразования эквивалентности

Основные уравнения допускают некоторые преобразования эквивалентности, сохраняющие структуру уравнений, но меняющие начальные данные. Воспользуемся этим фактом для сокращения числа параметров задачи с начальными данными.

В основные уравнения явно не входит переменная t. Поэтому они допускают преобразования сдвига t —> t + to- Тогда в интеграле (2.3), за счет выбора to, можно добиться того,

чтобы <7i • а2 = 0, и получить из (2.4) дополнительное уравнение связи начальных данных:

(х>о ‘ SiLdo = 0. (3-1)

Основные уравнения, интеграл (2.3) допускают поворот, осуществляемый постоянной ортогональной матрицей О: А —> ОтАО {ша —> Otoja, Sa —> OtSaO), S —>■ OtSO,

ш —> Отш. За счет выбора матрицы О, векторы ш, ша в начальный момент времени повернем в положение:

£о = |к),0,0||т, соо ф 0, ш\ = |\шц, ш\2, 0| |т. (3-2)

Тогда из уравнений связи начальных данных (2.5), (3.1) получим:

о0 — о0 — о0 — о ч1 — 0

— *12 — *13 — *и — и-

Основные уравнения, интеграл (2.3) допускают преобразования растяжения: £ —у А —> 8А, Б —> 823, ш —> 82й. За счет выбора параметра растяжения 8, величину о;о из (3.2) можно сделать ±1.

Других линейных преобразований эквивалентности нет.

Интегралы (2.2) и (2.3):

= Шот-7,

Ш2 = Шо^}2Т_7,

Шз = и;0* (з}3 - сии) Т-7;

«11 + «12*312 + «13* (4 — ^12) = О,

«21 + «22*312 + «23* (з}з — ^12)

«31 + «32*^12 + «33* (^}з — Ш12) = ^13 — Ш\2,

понижают порядок основной системы. Преобразования эквивалентности уменьшили количество параметров начальной задачи с 15 до 10 существенных параметров. Учитывая найденные интегралы, решение основных уравнений сводится к решению системы:

«з + «3 («33 — «13*(«13 — шп)) + «2 («23 — «13*«12) =

= 5з + й х к — а1з ^1 х г + ^ ,

«2 + «2 («22 — «12*^12) + аз («32 — «12*(^ 13 — ^12))

= в2 + ш х j - 0,12 ^1 хг + й||,

4 + • «г + ^ • ау = /(г)(1пг)'%, г,^ = 1, 2, 3,

т' = тЬтА,

где — декартов базис; /(т) = 1 — 7 + 7т7(аот7 + I)-1, А = 11«1, «2, «з| |, $ = 115*1, 52, 5з|

Начальные данные:

’12)

(3.3)

А(0)

(3.4)

Интегралов системы (3.3), кроме (2.2), (2.3) больше не обнаружено, поэтому решить аналитически систему (3.3) с произвольными существенными параметрами не представляется возможным. Поэтому рассмотрим систему (3.3) при специальных значениях начальных данных.

4. Плоская модель

Система (3.3) записана для матриц А и 5' третьего порядка. Для специальных начальных данных система (3.3) имеет дополнительные интегралы.

Определение 1. Если матрицы А и Б имеют, вид

то будем говорить, что они задают плоский (двумерный) случай, системы (3.3). Теорема 1. Если начальные данные для матрицы А выбрат,ъ в виде

то система (3.3) сведется к плоскому случаю.

Доказательство. Условия теоремы 1 означают, что в начальных данных (3.4) достаточно положить з\2 = з|3 = 0, ш\2 = 0. Тогда из интегралов (2.2), (2.3) с учетом (2.4) получим «и = «21 = «31 = 0, = шз = 0. А из (1-9) следует, что 5ц = 512 = ^13 = 0. Остается

показать, что а\2 = «13 = 0. Для этих элементов запишем задачу Коши из (3.3):

Нулевое решение является решением последней системы, а в силу единственности решения задачи Коши, оно единственное при любых функциях «22^), «2з(*)> «зг(*), «зз(*)-Следовательно, «12^) = «1з(*) = 0. Что и требовалось доказать.

Перепишем систему (3.3) для плоского случая с учетом разложения матрицы А = Ба Е <С си а

5*1— > ^і — | |^и, 0, 0| |т, шп / 0,

«12 + «12«22 + «13«32 — 0, а[3 + «12«23 + «13«33 — 0, «13 (0) — «12 (0) — 0.

ш'А + СіЛ4(1ПтУ = ШоТ 7

(4У + (4)2 + (4)2-(^)2 = в 22,

(4зУ + 4з(1ПГ)/ = 523,

(4)/ + (4)2 + (4)2-М2 = взз,

4 + 2(^22^22 + ^23^23 + ^23 <^а) = I (т)(^птУ в22,

4з + 523(Ь Г)' + 4з(522 + «ЗЗ) +^(«33 “ «2г) = /(т) (ІП т)'з23

«зз + 2(52з4з + 53з4з — 523 Ша) = /(т)(1пт)/5зЗ,

(1пт)' = 4> + 4,

(4.1)

с начальными данными:

шА{о) = шп, 4(о) = 4, 4з(о) = 4, 4(о) = 4,

«22(0) = ^22, 523(0) = 4з, «зз(0) = 5зз, т( 0) = 1.

(4.4)

От переменных ша, 5^2, 5^3, 522, ^2з, 5зз, т системы (4.1) 8-го порядка перейдем к

переменным шА, 5^3, ^23, tr.SU, т, ЬтБ, |5'|, |5и|, где \Б\ — определитель матрицы Б:

(•тшаУ = Ш0г1-7,

( А \!

(523г) = 323Т,

4з + «гз^Я - 22 - 533) = (/(г) - 1)(1пт)'523,

т"т-1 =^ + 21^1 + 2ш\,

(т!^!)7 = ш2аТ' + т(С — 2^^352з),

№ = 2|5|г,(/(г)-1)>

(ЬтБ)' = /(т^гбУт-1 - 2(^ + 2^4^23), т; = т+гби,

где С = 5^522 + 5^2^33, -Р = 5225^2 + 5335^3 (веЛИЧИНЫ Р, С удовлетворяют уравнению СВЯЗИ

Р + С = ^б^гби),

522 = + у'^гб')2 - 523 - (б1!, 533 = ^ - 522,

^22 = ± ^(^а)2 - (5^)2 - 1^1, 4з = tr.SU - 3$2.

Знак + в первом равенстве выбран в силу того, что знак — после преобразования 522 5зз переходит в знак +.

Система (4.3) имеет интеграл

151 = 1 К + ■ I5'»! = 5°2* - (4,)2- (4.5)

В (4.3) явно не входит переменная £, поэтому сделаем замену

т> = Мт) Ф 0, (4.6)

А — некоторая функция от переменной т. Тогда сЙ = А~1йт. Таким образом, порядок

системы (4.3) понижен на 2 единицы:

(тшА)т = и;0т1-7А-1,

(тз£з)г = 523тА— 1,

А(52з)г + 5^31г5' — Ша( 522 — 5зз) = (/(т) — 1)Аг ^гз,

ААтг“1 =1гЗЧ2|Зи| + 2<4,

(Т1^1)т = ~ 25^352з),

г(1г5')т = /(т^гЯ - 2тА_1(^ + 2823823)-При этом ша ф 0 как следствие первого уравнения.

5. Частное решение плоской модели Пусть в системе (4.7)

(4.7)

«23 = О-

’23

Тогда система (4.7) имеет еще один интеграл. Из 2-го и 3-го уравнений (4.7) следует

Р = С = ^22Аг 1- Тогда 6-е уравнение интегрируется:

_ 5^ («0Г7 + 1)1/(10 522 - (а0 + \)1/а°т~{

Система (4.7) принимает вид:

(тШа)т = ^ ОТ1 7А *, ААГ = 2(^22 + 1^1 + ша)Т> (Т1^1)г = + «22- (5.1)

Из уравнений для А, |5'^| следует (А2)г = 4(т2|5и|)г. Получаем интеграл системы (5.1):

А2 = 4т2|5и| + к, к = (в22 - 5зз)2. (5.2)

Отсюда определяется |5,^|. Уравнения (5.1) свелись к двум уравнениям:

А ст = Шо г1-7,

2гААт = А2 - к + 4с2 + М0(а0т( + 1)1/а°т2~~(, (5.3)

С = ТША1 N0 = 4^22 («0 + 1) 1^<1° с начальными данными

с(1)=и;ц, А(1) = ^22 + 5д3. (5.4)

Будем искать приближенные решения уравнений (5.3).

6. Приближенные решения

Первое уравнение (5.3) допускает растяжение т = Тт\, с = Т1_7/2С1, А = Т1_7/2А^ Применяя растяжение ко второму уравнению (5.3), получим

2т1Х1(Х1)Т1 = А2 - кТ1-2 + 4с2 + Ж0(а0Т7т7 + 1)1/(10г2”7.

Положим

Т2 = к, Т1 = е, (6.1)

где е — малый параметр, 7 — фиксированная постоянная, к — малый параметр. Разложим А1 И С\ в ряд по степеням £\

\\ = Ао + еА01 + ■ ■ ■, С\ = Со + £С01 + ... . (6.2)

При £ = 0 получим уравнение нулевого приближения:

АоСоп = ^0^1 7, г1(^о)п = ^о + ^Сд + Н0т2 7,

которое, очевидно, допускает растяжение. Введем замену переменных, при помощи инва-ринтов растяжения [8]:

А о = /хг11_7/2, со = 2-^г!"772, 5 = 1пть (6.3)

получим автономную систему

9а + д{^-'у/2) = 2шоЦ~1, {р2)3 + (1 - 7)/х2 = д2 + Ы0. (6.4)

Откуда следует уравнение Абеля:

Ф = ^о + д2 + (7- 1)^2 /б 5л

йд 4о;0 + дц{7 - 2)

Уравнение (6.5) допускает дискретные симметрии: // —>• —/л, д —> —д] шо —>■ — ^о, Ц ~> —Ц-Следовательно интегральные кривые уравнения (6.5) достаточно построить в полуплоскости з > 0 с шо = +1. Далее рассмотрим простой случай 7=2, АГ0 = 1. Уравнение (6.5) примет вид:

Предложение 1. Любая интегральная кривая уравнения (6.6) имеет при ц —> оо свою асимптоту д = до, где до — постоянная, 0 < до < оо и представлена сходящимся рядом

9 = 90 - - + 4<1,+/°2) + °(р~‘) (6-7)

/л 6/л6

или

1 = _ («_Л) _ (1+||) (д _ 9о)3 _ 0 {(д _ 9о)1) (6 8)

Доказательство: В силу неравенства 1 + д2 + /л2 > 1 + (и2, решение уравнения , -2 ______________^ ^ (9 , С

4— = 1 + ц- , равное // = tg [ —I--------,0 < С < 2тг — некоторая постоянная, ограни-

дд \4 4 у ^

чивает снизу решение уравнения (6.6) (р > /л при одинаковых начальных данных). Так как Д —> оо при (/—>27г — С*, тои/х—>оо при д —> д0 ^ 2п. Таким образом, решение 1л~1(д) разлагается в ряд по целым степеням д — д0. Так как в правой части уравнения (6.6) находится аналитическая функция, то по теореме существования и единственности Коши-Ковалевской, функция /л раскладывается в сходящийся степенной ряд.

Покажем, что уравнение (6.6) имеет решение в виде ряда (6.7). Для этого подставим решение вида

_ , 91 , 92 дз

9 — й'оН I о ^ з “*“ • • •

/л /л /л6

в (6.6)

-4= (1 + ^ + 9о + 2д0 22 § + 5] ^ X

\ 3>1 ** к>2 ** з>1 ) ,->1 ^

Приравнивая коэффициенты ряда при различных степенях /л, получим равенства на коэффициенты ряда:

4(1 + д2)

91 — —4, д2 — 0, дз —-------- ----,....

При к > 3

к-2

(к + 1)^+1 + (1 + до)(к — 1)дк~1 + 2д0 дгдк~1~^к — 1 — г) +

г>1

к-2 /г-1 \

+ X ( - 1)9к-1-1 = о.

1=2 \^>1 У

Коэффициенты ряда (6.7) определяются через предыдущие коэффициенты.

Обращение ряда (6.6) дает ряд (6.7).

Построим картину интегральных кривых уравнения (6.6) (рис. 1).

Так как правая часть уравнения (6.6) больше нуля, то интегральные кривые возрастают в полуплоскости д > 0. Найдем вторую производную:

сР [Л

2 (д + ^ (1 + д2 + Ц2)^) ■

дд2

Все точки перегиба лежат на кривой Ад + /л (1 + д2 + /л2) = 0. Эта кривая имеет точку минимума д = ^{1 + л/17)/2, /л = —2/д. Часть интегральной кривой, лежащей выше

дьрь

линии перегибов, выпукла вниз; лежащая ниже — выпукла вверх. При <7 = 0: 4— = 1 -\-/л2,

ад

чем больше \ц\, тем ближе к 7г/2 угол наклона касательной в точках прямой д = 0. При

дьрь

/л = 0: 4— = 1 + д2, чем больше \д\, тем ближе к 7г/2 угол наклона касательной в точках

ад

Интегральные кривые, проходящие через точки (0,//о), (0, — Цо) продолжают друг друга при отражении относительно начала координат.

Рис. 1. Интегральные кривые уравнения (6.6)

У каждой интегральной кривой существует асимптота д = до, до — постоянная: /х = Р(д, д0). Выберем начальные данные для этой кривой на оси /л, то есть в точке (0, Цо)-Тогда между цо и до существует функциональная связь:

1Ю = Р(0,до).

Выберем интегральную кривую, соответствующую нулевым начальным данным //(0) = 0:

» = р(д)- (б-9)

Дальнейшее решение будем искать для этой кривой. При этом численные расчеты дают до ~ 3,65.

Для дальнейшего нахождения неизвестных функций необходимо определить начальные данные задачи (6.4) при £ = 0. Так как функция ц{т\) есть нулевое приближение для

А(т1), то /л(1/-у/е) ~ з\2 + 5зз = а, а так как д{т\) есть нулевое приближение для с(т), то

д{ 1/у/е) ~ 2шп = /3 (см. (5.4), (6.2), (6.3)).

Определим значения переменной г в предельных точках выбранной кривой. Функция д{т\) удовлетворяет уравнению (6.4):

/лдцд/л = 2т1-1б?Г1 = 2 т~1йт. (6.10)

Интегрируя (6.10) по г от 1 до т, получим:

0 1 1^с1ц Г^ цйц 1 I 2 , 2 , 1 I \а

21пт = Х ТТ7Т7-Л ттет^1111"+Л + 1||!;-

Значит, г —> оо при ц —> ос.

Интегрируем (6.10) по г от г до 1, получим:

1 гР

т = ехр

Р(д)(1д ->■ то(иц),

при д —> 0, Го — конечное число, заключенное в интервале 0 < то < 1. Из вышеизложенного следует справедливсть следующего предложения.

Предложение 2. При движении точки (д,ц) по кривой (6.9) от, точки (0, 0) до точки (до, оо) величина г меняется от, То > 0 до оо.

Определим функции А(т), щ (т). Из первого уравнения (6.4) функция д = С(т) определяется неявно соотношением

[ Р(д)дд = 21п—, ц = ^(С(г)) = М(т) ~ А(г), (6.11)

Лх Т1

где дх = д(п), Т! Е (т0; оо).

Зависимость функций Ми бот переменной г представлена на рис. 2 и рис. 3.

Рис. 2. График функции С(т) Из (5.3), (6.2), (6.3) следует

Рис. 3. График функции М(т)

0{т)

2т

Из (4.4), (5.2), (6.1) следует = §(А + л/ё)т-1, = |(А — у/е)т~1, где знак ± в (4.4)

заменяем на + в силу симметрии функции /л = Р(д) относительно начала координат. Элементы матрицы А из (1.1) определены

0 0 о

-,А

Б

0

0

0

—А — А — I 0 з22 ~шА I — , Р) — I 0 М{т) + у/є —С(т)

о мі 4 / т V0 с(г) м(т) - Ф

(6.12)

Для вектора йо справедливы уравнения (1.2), (1.8). После подстановки (1.2) в (1.8) получим:

/2г2 - \ т'

ио + 2А'щ = ( 2 С ~ ио ~ Ащ ) •

\а0тг + 1 ) т

Перейдем к дифференцированию по т по формуле (4.6) т' = А(т) /и(т):

где в силу (1.5)

£(1 + 16(а0т2 + 1) 2/“°) = /лиот “Ь — 4(аог2 + 1) 1/<1°

О

1^(Щ2)т + (^4ио)г —/х(Моз)г — (^4^о)з

+ -А = i (~^—Я - -D

\F(G)

H(G)

0 0 О

О ^(С) -1

О 1 ^(С)

Для приближенного решения растянем переменную г = \[ёт\. С точностью до е уравнение (6.13) принимает вид:

/1

[Jjti < I ^Ori Tl

1

жо-

щ = 0.

Гб. 14)

^Ог| г

Начальные данные при г = 1 или п = е_1/2 можно взять в виде

и о «00, «От «01-Если начальные данные нулевые, то решение нулевое щ = 0.

7. Время существования решения Зависисмость г от времени £ определяется из решения задачи:

Ъ = Р(д), т(0) = 1,

где правая часть уравнения определяется формулой (6.11).

Опишем поведение Г ОТ £ вблизи точек Т = То, г = 1, т=оо.

В окрестности ТОЧКИ Г = То, функция -Р(о) = 0 (см. рис. 1). В этой точке функция Г

д

раскладывается в ряд Р = ~ + 0(д3). Из (6.11) получим

2

т дг

(7.1)

2 In - = ^ + 0(д*).

то 8

т

Введем малый параметр-------------1 = 8. Тогда из последнего уравнения следует приближенное

То

равенство:

1/2

451/2 = 4 ( 1. _ 1'

Т0

9

Тогда из дифференциального уравнения (7.1) следует приближенное равенство

t — То

4dr

т

2т0 - - 1

1/2

(7.2)

Jro 9{т) \То

где То — начало отсчета времени.

В окрестности точки г = 1, функция F(f3) = а. Разложим F(g) в ряд в точке (f3,a), взяв при этом только два первых члена ряда: F(g) ~ ng + m, Ап = 1 + а2 + [З2, т = а — [Зп.

тъ 2п

Из (6.11) получим 2 In т ~ -~ (д2 — /З2) + т(д — /3), тогда F(g) = а Н-(т — 1) + О ((г — I)2).

2 а

Уравнение (7.1) дает приближенное решение в окрестности t = 0 (или г = 1)

а п t= —In 2 п

1 +

2 п(т- 1)

01

т — 1

(7.3)

а

При т —> оо, д —> до из (6.8) и (6.11) следует

т

— 2 In — Tl

1

\+_9о

48

(д - до) + 0(82) )dg = \n8- 1пС + 0(82),

где до — д = 8 — малый параметр, С — некоторая постоянная.

Следовательно,

с

9о~ 9 ^ (7-4)

где с — некоторая постоянная.

В этом случае дифференциальное уравнение (7.1) примет вид:

сЙ ~ —==> £ — ^ ~ 2с(т1/2 — гУ2) —> оо при т —>■ оо. (7.5)

^-1/2

Формулы (7.2), (7.3), (7.5) описывают поведение функции £(т) в окрестности точек Т = То, т = 1, г —>• оо.

Для выбранных а = 0, 3411, /3=1 численные расчеты показали, что То = 0, 7, и график функции £(т) изображен на рис. 4.

Рис. 4. График функции т(£)

8. Мировые линии частиц Мировые линий задаются уравнением [9]

с1х _

— = Ах + м0,

(Ж

где матрица А задана формулой (6.12), вектор и0 задан формулой (6.14). Перейдем к дифференцированию по т:

М(т)— ~ Аж + «о-ат

В координатной записи имеем:

М(т)хт = и01,

М(т)ут = ((М(г) + у/ё)у - С(ф) + «02, (8.1)

М{т)гт = (С{т)у + (М(т) - >/ё)^) + «оз,

где М(т) и С(т) вычисляются по формулам (6.11). Решая систему (8.1) численно при б = 0,1, г € [0, 7; 10], С(1) = 1, М( 1) = 0,3411, получим мировые линии. Траектории частиц изображены на рис. 5. Каждая частица газа двигается по своей траектории. Частицы, находящиеся на одной траетории в начальный момент времени, двигаются по ней. Скорость частицы при движении совершает поворот. Из рис. 5 не ясно, как ведут себя траектории при г —> ос. Выясним это при помощи разложения в ряд функций С(т), М(т), х(т), у(т) при т —> оо.

Рис. 5. Траектории частиц

В полярных координатах у = гсоър, г = гвнк/? при нулевых начальных условиях для уравнения (6.14), система (8.1) расщепляется:

2 тг~1гт = 1 + т/еМ~1 сое 2р,

(8.2)

2 тМрт = С — у/е^т.2<р.

Последнее уравнение есть уравнение Риккати после замены и = tg р.

Решение по р периодическое с периодом 7г. Значит, начальные данные р( 1) = ро достаточно брать в интервале ро £ (0; 7г). Начальные данные г(1) = Го определяются произвольной постоянной Го- При Го = 0 имеем решение г = 0, частица стоит на месте. Приближенное решение для р таково

с начальными данными

Ро = <Р01 + V^P02,

где

2тМр\т = G, 2тМр2т = — sin 2(^1 =>-~ fG ~ fsin 2(^i j

=> *>■ = + / шйт' = ^-J "мГ ’

где <£>oi, <^02 — постоянные, которые согласуются с пределами интегрирования. Приближенное решение (8.2) для г имеет вид

Г = ’■ov^exp {f / <^dr) = ^ (l + f + 0И. (8.4)

По формулам (6.11), (6.8) и (7.4) определяется функция М(т) при г —> оо:

4 г1/2

М{т) =-----------.

с

По формулам (8.3) находим функцию р:

(до - 'ft sin 2р01)

с

где р0 = p01 + y/t<pQ2 Н----Т7^(9о - V^sin2^01). По формуле (8.4) находим функцию г(т):

4 т['

г = го (^/т- С^~ ^cos 2р01 - -^=sin2+ 0(еу/т) + 0(^т“1/2),

_ ~ сд0 тт _

где (/?01 = v?oi Н-777- Итак, р —> р0, г —> оо при т —> оо.

4т/

Из формул для </?(т) и г(т) находим выражение для г = г(р):

г ~ п(^0 - р)~1 + г2 + О(^о - <Р),

где г 1 = r0fc, г2 = —Гос/с_1-/б sin 2^01/16, fc = с(до - у/1 sin 2^01)/4 > 0.

Определим угол гф между касательной к линии г = г(р) в некоторой точке и радиус-вектором этой точки при т —>• оо. Угол вычисляется по формуле:

d In г г 1

Ctg^=-1--------7=-------77----.--т=------

(^0 - ^)(n + r2{p0 - p))

To есть при т —>• оо касательная приближается к радиус-вектору: гф —> 0. Угол наклона касательной к оси у имеет предел: р -\- ф —)■ Тр0.

Определим наличие асимптот у траектории. Для этого определим, как меняется при г —> оо значение у\ (см. рис. 6):

, / - / ч sinV' . ^Ро-Р) п

г/i = г cos </? — г sm р ctg( р + гр) = г— -— ~ г\(ip0 — р) -------=— =-------— < оо.

sm(</? + ip) sm</?0 sm</?0

Следовательно, у касательной есть предельное положение, то есть существует асимптота у любой траектории. Данный факт полностью согласуется с рис. 5.

Итак, описанное в статье решение задает радиальный разлет газа из вихря. Замечание. Если щ\ / 0 в (8.1), то имеем не нулевую компоненту скорости по оси х. Получим разворачивающийся вихревой столб.

Траектории частиц, изображенных на рис. 5, построены в случае, когда начальные данные для функций G(t) и М(т) имеют вид G(l) = 1, М( 1) = 1. Эти начальные данные соответствуют нулевым начальным данным уравнения (6.6). Построим траектории частиц для случая, когда начальные данные уравнения (6.6) имеют вид //(0) = 1, 0) = 3.5,

ц(0) = —2, ц(0) = —4 (рис. 7, 8, 9, 10 соответственно).

Рис. 7, 8 показывают, что чем больше значение функции [г(д) в нуле, тем ближе к прямым линиям становятся траектории частиц. При отрицательных значениях функции р,(д) в нуле получаем вихрь (рис. 9, 10).

Рис. 7. Траектории частиц при /л(0) = 1

Рис. 8. Траектории частиц при //(0) = 3.5

Рис. 9. Траектории частиц при //(0) = —2

Рис. 10. Траектории частиц при /i(0) = —4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G.L. Dirichlet Untersuchunger uber ein Problem der Hydrodynamik // J. fur die und argew. Math. 1860. Bd. 58. H4.

2. Риман Б. Сочинения. М.: ГИТЛ. 1948. С. 543.

3. Овсянников Л.В. Новое решение уравнений гидродинамики // ДАН СССР. Т. 111. № 1. 1956. С. 47-49.

4. J.F. Dyson Dynamics of a spinning gas cloud // J. Math. Mech. V. 18. № 1. 1968. P. 91-101.

5. Лаврентьева O.M. О движении жидкого эллипсоида // ДАН СССР. Т. 253. № 4. 1980. С. 828-831.

6. Пухначев В.В. О движении жидкого эллипса // Динамика сплошной среды. Новосибирск, ИГ СО АН СССР. Вып. 33. 1978. С. 68-75.

7. Юлмухаметова Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей в вырожденном случае // Сиб. журн. индустр. математики. Т. 14. № 2. 2011. С. 139-150.

8. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

9. Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике. — Уфа: Гилем, 2003. 192 с.

Юлия Валерьевна Юлмухаметова,

Уфимский государственный авиационный технический университет,

Лаборатория „Групповой анализ математических моделей естествознания, техники и технологий", ул. Карла Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия

Институт механики им. P.P. Мавлютова УНЦ РАН,

Лаборатория „Дифференциальные уравнения механики",

Проспект Октября, 71,

450054, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]