Научная статья на тему 'Плоские движения газа без расхождения с линейным полем скоростей'

Плоские движения газа без расхождения с линейным полем скоростей Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
352
36
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
газовая динамика / дифференциально-инвариантные решения / линейное поле скоростей / gas dynamics / differential-invariant solution / linear field of velocity

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хабиров Салават Валеевич

Для дифференциально-инвариантной подмодели газовой динамики с нулевой дивергенцией рассмотрены решения с линейным полем скоростей. В лагранжевом описании получена подмодель из обыкновенных дифференциальных уравнений с одним конечным соотношением, переопределяющим систему. Для плоского случая найдены все решения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

We consider solutions of the gas dynamic equations with the linear field of the velocity without divergence as a differentially invariant submodel. Using the Lagrange description, we obtain here a submodel consisting of ordinary differential equations and of one finite relation which makes the system overdetermined. All solutions of this submodel are found for the plane case.

Текст научной работы на тему «Плоские движения газа без расхождения с линейным полем скоростей»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 3 (2010). С. 113-119.

УДК 517.9

ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА БЕЗ РАСХОЖДЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ

С.В. ХАБИРОВ

Аннотация. Для дифференциально-инвариантной подмодели газовой динамики с нулевой дивергенцией рассмотрены решения с линейным полем скоростей. В лагран-жевом описании получена подмодель из обыкновенных дифференциальных уравнений с одним конечным соотношением, переопределяющим систему. Для плоского случая найдены все решения.

Ключевые слова: газовая динамика, дифференциально-инвариантные решения, линейное поле скоростей.

Введение

Решения уравнений газовой динамики [1] с дивергенцией, равной нулю, удовлетворяют переопределенной системе уравнений, являющейся дифференциально-инвариантной подмоделью для любой допускаемой подгруппы:

ut + (u ■ V)u + p-1Vp = 0, V- u = 0, pt + u ■ Vp = 0, pt + u ■ Vp = 0, (0.1)

где u, p, p — скорость, давление и плотность, V — градиент. Система справедлива для

любого уравнения состояния, из которого определяется энтропия. Система (0.1) не приведена в инволюцию даже в плоском случае. Мы рассмотрим подмодель с линейным полем скоростей в плоском случае X £ R2.

1. Эйлерово и лагранжево описание движения с линейным полем

скоростей

Решение системы (0. 1) разыскиваем в виде

и = A(t)X + u0(t). (1.1)

Система (0.1) записана в эйлеровых переменных t, X. При подстановке (1.1) система (0.1)

принимает вид

Vp = —p ((A' + A2) X + U0 + Au0), pt + (AX + u0) ■ Vp = 0, trA =0, pt + (Au + u0) ■ Vp = 0.

Совместность уравнений для давления приводит к подмодели из обыкновенных дифференциальных уравнений (эйлерово описание)

A' + A2 = B, B' + AT B + BA = 0, tr A = 0,

(1.2)

u0 + au0 = a, a' + ATa+bu0.

S.V. Khabiroy, Plane gas motions with the linear field of the velocity without divergence. © ХАвиров С.В. 2010 .

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00047-a) и Советом по грантам Президента РФ для государсв-тенной поддержки научных школ (№НШ-2826.2008.1).

Поступила 13 апреля 2010 г.

Остаются уравнения для плотности

Pt + (АХ + и0) ■ Vp = 0, рВ + Ур ® (ВХ + а) = рВт + (ВХ + а) ® Ур,

которые проще интегрировать в лагранжевых переменных.

Лагранжевы переменные ¿, £ вводятся как решение задачи

Х = А(£)Х + ио(*), Х|^0 = С (1.3)

и задаются формулами

Х = Х0(£) + М (£)£, М (¿0) = I, Х0(£) = 0. (1.4)

Из (1.3), (1.4) следуют выражения для матриц А, В и векторов и0, а через матрицу М и вектор Х0

А = М'М-1, В = М''М-1, и0 = Х0 - М'М-1Х0, а = Х0 - М''М-1Х0.

Из (1.2) следуют уравнения (лагранжево описание)

Мт М'' = С, Мт Х0' = с, ае1 М = |М | = 1, (1.5)

где С, с — постоянные матрица и вектор. Здесь мы пользовались тождеством |М |' = |М |1г(М' М-1).

Начальные условия для системы (1.5) имеют вид

М (¿0) = I, М'(^) = М1 = & + Пь (1.6)

где &1 = 1|, ^1 = —П" = Е < ¿1 >

0 —¿3 ¿2

¿3 0 —¿^

—¿2 0

при С е К3 .В плоском

случае П1 = ¿1

0 —1 10

Заметим, что ранги матриц С и В совпадают, так как справедливо тождество С = Мт ВМ.

В лагранжевых переменных уравнения (0.1) принимают вид

р = 0, Pt = 0, У5Р = — р(0(СС + с)-

;1.7)

Подставим матрицу С в виде суммы симметричного и антисимметричного слагаемых

С = &0 + ^0> &0 = 5*0" = 115°/'|1, ^0 = — = Е < ¿0 > .

В плоском случае П0 = ¿0Е.

Условие совместности переопределенной системы (1.7) принимает вид

;1.в)

;1.9)

р х |^&0С + с + ¿0 х = —2рс^0.

Отсюда следуют равенства

¿0 ■ р = 0, р х (&0С + с) + р + 2р) = 0,

Ур (¿50 ■ (&0С + с)^ = 0 ^ &0^0 = 0, ¿50 ■ с = 0.

Если ¿0 = 0, то из (1.8) и (1.7) следуют выражения для плотности и давления

р = Р'^), ^ = 2С ■ &0С +с ■ £ р = р0 — Р^^

где Р0 — постоянная, р(/0) — произвольная возрастающая функция.

Случай ¿0 = 0 рассмотрим для плоского случая С Е К2. Трехмерный случай рассматривается аналогично в силу первого уравнения (1.8).

Пусть А = 501502 — з02 + = 0, тогда после замены

С1 = п1 + Со1 (*), С2 = п2 + С02(*),

где Со = А-1 (с2(з52 — о0) — с1502), Со = А-1 (с1 (в12 + о0) — с2501), уравнение (1.8) становится инвариантным относительно растяжения

Рп1 ((в12 + ^0)п1 + 522п^ — Ргр + (в12 — ^0)п2) = — 2о0р.

С инвариантом в качестве независимой переменной I = п2(п1)-1 уравнение интегриру-

ется

р = Я"( 3) ехр ^2^0 ^ рщ) ’ Р = Р0 — (Р(3) — 3#'( 3)) §1§пР,

3 = а1^]р|ехР ^°0 I ) ) Р(1) = 52212 + 25121 + 5И.

где Л"( 3) > 0, Д(3) — произвольная функция переменной

^1 Р(1)

Пусть А = 0, тогда после замены I = (з°2 + ^0)С1 + з22£2 уравнение (1.8) допускает перенос по С1:

р51 (1 + с2) — р1^ (^1 + с1) = — 2о0р) А = (з52 — о0)(s02) 1 = 511(в12 + ^0) 1.

Решение представим в виде

Р = 2^01 + (оЛ ^*^2)с2 — 5»2С‘ ' Р = Р0 — Р(7)-

3

I + с2(о0 + ^02) —

0

к ех^С1(°0 — 5°2) — С2^02 еХР 2м,

к = с2(о0 — в02) + с1 ^02 2о0 ’

где Р0 — постоянная, р(3) — произвольная функция.

2. Решение с линейной матрицей

Матрица М линейна по ¿, если С = 0: М = I + М^. В плоском случае из условия |М| = 1 следует |М1| = 0, 1г М1 = 0, т.е.матрица М1 нильпонентна М2 = 0, М-1 = I — М1^, А = М'М-1 = М1 — М2^.

Уравнение (1.5) с условием (1.4) определяет вектор Х0:

6 +1,

где с1 — постоянный вектор.

Формула (2.1) определяет лагранжево решение в виде многочлена третьей степени по времени.

Далее разыскиваем решения с матрицей С = 0.

3. Интегралы модели Матричное уравнение (1.5) имеет интеграл (¿0 = 0):

Х0 = —-¿3МТ с + - ¿2с1 (2.1)

Мт М' — МТ'М = 2Ш0 + 2П1 = 2оЕ, Е

0 —1 10

, о — + 01 (3.1)

в плоском случае.

Замечание 1. Уравнения (1.5) допускают перенос по Поэтому при о0 = 0 можно считать о1 = 0.

Представим матрицу М в виде произведения ортогональной и симметричной матриц М = ОЛ, От О = ООт = I, Лт = Л, |М | = |Л| = 1, (3.2)

где Л(^) = I = О(^).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Матрица О1 = ОтО' = — От антисимметрична и О1(^0) = П1, Л'(£0) = 51. Интеграл (3.1)

принимает вид ЛЛ' — Л'Л + 2ЛО1Л = 2оЕ. Отсюда определяется О1:

О1 = оЛ-1ЕЛ-1 + 1(Л-1Л' — Л'Л-1). (3.3)

Матричное уравнение (1.5) в силу (3.3) запишем для Л2: |Л2| = 1,

Л2'' — 1л2'Л-2Л2' + о(ЕЛ-2Л2' — Л2'Л-2Е) + 2о2ЕЛ-2Е = 2£0 (3.4)

с начальными условиями

Л2(^) = I, Л2'(^) = 2^1. (3.5)

Дополнительные уравнения на симметричную матрицу Л2 получаются дифференциро-

ванием условия |Л2| = 1:

^ (Л2'Л-2), ^ (Л2'Л-2)' = 0, ^ (Л2'Л-2)'' = 0,... (3.6)

Удобно использовать следующую запись уравнения (3.4)

(Л2 'л-2)' = — 1(Л2'Л-2)2 + о(Л2'Л-2ЕЛ-2 — ел-2л2'л-2)+

2 (3.7)

+2о°! + 2^0Л-2.

Из уравнений (3.6) в силу (3.7) и равенства (Л2'Л-2)2 = — |Л2'II следуют интегралы

1 ^ (Л2'Л-2)2 = 4о2 + 2^ (^Л-2) ^ |Л2'| +4о2 + 250 : Л-2 = 0,

2 (3.8)

^ (50Л-2') + о2' = 0 ^ $0 : Л-2 + о2 = ^ $0 + 0°°.

При £ = £0 из равенств (3.6), (3.8) получаем условия на постоянные параметры

0

в силу начальных условий

tr Si = 0, |Si | + U + 2-1tr So = 0 (3.9)

4. Уравнения на собственные числа

Представим решение задачи (3.4), (3.5) с помощью диагональной матрицы D = diag (d1, d2) из собственных чисел матрицы Л2 и ортогональной матрицы поворота

COS С9 sin С9 . 2 /лТ 7

O = . : Л2 = ODO±. Величины d, задают сингулярные числа матрицы

— Sin COS

M [2]. Матрица O1 = OTO' = —^'Е — антисимметрична. Из условия |Л2| = 1 следует d1 = d, d2 = d-1. Интегралы (3.8) принимают вид: d(t°) = 1,

d'2

— + ^'2(d — d-1)2 = 2(и2 + U + tr So), (4.1)

11

-tr S°(d + d ) — (d — d )k cos2(^ + ^°) + и = и + tr S°, (4.2)

где 4k2 = (s°1 — s°2)2 + 4(s12)2 = (tr S°)2 — 4|S°|, tr 2^° = 2s12(s°1 — s^)-1 (при = s°2,

Матричное уравнение (3.4) перейдет в следующее

V + (-2p'd'(1 + d-2) + </(d-1 - d))

0 1

1 0

- 2^'2(V- V-1)-

+2^d- 1 1 + ^'(V2 - I)) - 2w2V

— I tr So + (S°i - s22)

cos 2^ sin 2^

sin 2^ - cos 2^

+ 2s0

12

- sin 2^ cos 2^ cos 2^ sin 2^

Из матричного уравнения следует три скалярных равенства

d'

^''(d-1 - d) - 2<^'(d - d-1)' + 2w— — 2k sin 2(<^ + <^0);

d

d'' - 2^'2(d - d-1) - - ^+ ^'2(d-1 - d)2d^ + 2w^'(d2 - 1)-

-2w2d — tr S0 + 2k cos 2(<^ + <^0), d-1'' - 2^'2(d-1 - d) - - ((d-1')2d + ^'2(d-1 - d)2d-1) +

(4.3)

(4.4)

(4.5)

+2о^'^ 2 — 1) — 2о^ 1 = ^ £0 — 2к cos 2(<^ + <^0).

Уравнение (4.5) тождественно выполняется в силу (4.3), (4.2), (4.1). Если дифференцировать по £ (4.1), то в силу (4.3), (4.4), (4.2) получим тождество. Значит, (4.1) есть интеграл (4.3), (4.4), (4.2), и уравнение (4.4) есть следствие интегралов (4.1), (4.2) и уравнения (4.3). Следовательно, переопределенная подмодель задается уравнениями (4.1), (4.2), (4.3). Начальные данные для функций <^, d определяются из равенств

Л2(£0) = О^о)^о)От (£0) = I, Л2'(¿о) = О(£0)Р'(£0)От (£0) = 2£.

Если О(£0) задает поворот на угол ^1, то начальные данные определяются элементами матрицы £1:

d(tо) = 1, ^(¿о) = 2(—|£1|)1/2, ^(¿0) = ^1,

(4.6)

11

— s

22

tg 2^1 — s12(s22) 1.

5. Простейшее решение задачи

Пусть d =1, тогда из (4.1) следует о0 = 0, 2о2 + 1г £0 = 0. Из (3.9) получим ^ £1 = 0, |£1| = 0. Значит, £1 = 0. Уравнение (4.2) тождественно выполняется, а из (4.3) следует = —^о.

Итак, получили простейшее решение

d — 1, — -^0, tg 2^0

при условии на параметры задачи S1 M — e^1íS — I cos(w1í) + Esin(w1í).

2s0

2s12

s11 - s22

(при

11

s22, ^0

n)

4

(5.1)

0, w0 — 0, 2^2 + tr S0 — 0. При этом матрица

і

і

0

ГГ п АО- 1 (Л0\ A tr S° + 2k COs2(^ + Ы

Пусть и° = 0, и = и1, d =1, тогда из (4.2) следует d = —----------------------------- и

tr S° — 2k cos 2(<£ + <^°)

tr S° = 0. Если ^ — постоянно, то из (4.1) и (4.6) следует d =1. Значит, ^ переменная величина (^' = 0).

Уравнение (4.1) принимает вид

4k tr S°^' = J— |S11 ((trS°)2 — 4k2 cos2 2(<^ + <^°)) .

В силу этого уравнения (4.3) становится тождеством по cos2 2(<^ + <^°):

16 J— |S11k3 cos2 2(^ + <£°)tr S° + |S11 ((tr S°)4 — 16k4 cos4 2(^ + <^°)) +

+ (k2trS° — 2u1 J—|S1|^ ((tr S°)2 — 4k2 cos2 2(<^ + <^°)) = 0.

Отсюда следует |S1| = 0 и ^ = 0 противоречие. Итак, при и° = 0 возможно только

простейшее решение.

6. Случай и° = 1, ^° = 0

Замечание в пункте 3 позволяет считать t° = 0, и1 = 0, если и° = 0. Уравнения (4.1),

(4.2), (4.3) допускают подобие -^/wot ^ t, и- S° ^ S°, а также перенос по <^. После таких преобразований можно считать и° = 1, ^° = 0 (s°2 = 0), и уравнения принимают вид в силу формул (3.9):

— |S1 |(d + d-1 — 2) + t2 = (d — d-1)k cos 2^, (6.1)

"d"^ + ^'2(d — d 1)2 = 2(t2 — 2|S1|), (6.2)

d'

^''(d — d-1) + 2^'(d — d-1)' — 2t— + 2k sin 2^ = 0, (6.3)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

d

где k = 1(s°1 — S22), IS1I = — ^(s11 + s°2), tr S1 = 0.

В силу начальных данных (4.6) решение (6.1) ^ (6.3) представим рядами

d = 1 + 2t J—IS1I + d2t2 + d3t3 + d4t4 + • • • , ip = ^1 + t^2 + t2^3 + t3^4 + • • • (6.4)

Подставим ряды 6.4 в 6.1, 6.2, 6.3 и приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях t.

Из (6.1) при степенях t, t2, t3 получим

k|S11 cos 2^ = 0, (6.5)

2k (d2 cos 2^1 — 4(—|S1|)1/2^2 sin 2^) = 1 + 41S112, (6.6)

2(d2 + 21S11) ((—|S11)3/2 + k^2 sin 2^1) +

(6.7)

+4(—|S1|)1/2k^3 sin 2^1 = d3k cos 2^1.

Из (6.2) при степенях t и t2 получим

|S1|(d2 + 2|S1|) = 0, (6.8)

1 + 16|S1|p2 = 6d3 (— | S11)1/2 + 41S112 + 2(d2 + 21S11)2. (6.9)

Из (6.3) коэффициент при t и свободный член дают

( | S11)1/2 ^2 = —1 k sin 2^1, (6.10)

6^3(—|S1|)1/2 + 2^2(d2 + 2|S1|) + k^2 cos 2^1 = (—|S1|)1/2. (6.11)

Из (6.6) следует k = 0.

Если |£1| = 0, то из (6.5), (6.8) получим cos2^1 = 0, sin2^1 = 1, d2 = —2|£1|. Из (6.7) следует ^3 = 0, а из (6.11) следует ^3 = —. Противоречие. Значит, |£1| = 0, а так как

6

tr Si = 0, то симметричная матрица Si = 0 и tr So = 0, т.е. матрица So = к

(6.6) ^ (6.11) следует ^1 = 0,

1 0 01

. Из

d2 = —^ = k, d3 = 0, ^2 = 0.

v2

—. Приравнивая

0. Коэффициент

Приравнивая нулю коэффициенты при ¿4 в уравнении (6.1), получим d4

нулю коэффициенты при ¿2 и ¿3 в уравнении (6.2), получим ^3 = ^4 : при ¿2 в (6.3) приводит к противоречию.

Итак, кроме простейшего решения (5.1) и решения (2.1) с линейной матрицей М = I + М^ других решений с линейным полем скоростей подмодель (0.1) не имеет.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск. 2003. 336 с.

2. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск. Научная книга. 1997. 390 с.

Салават Валеевич Хабиров, Институт механики УНЦ РАН, Проспект Октября, 71,

450054, г. Уфа, Россия E-mail: habirov@anrb .ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.