Плоские движения газа без расхождения с линейным полем скоростей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 3 (2010). С. 113-119.

УДК 517.9

ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА БЕЗ РАСХОЖДЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ

С.В. ХАБИРОВ

Аннотация. Для дифференциально-инвариантной подмодели газовой динамики с нулевой дивергенцией рассмотрены решения с линейным полем скоростей. В лагран-жевом описании получена подмодель из обыкновенных дифференциальных уравнений с одним конечным соотношением, переопределяющим систему. Для плоского случая найдены все решения.

Ключевые слова: газовая динамика, дифференциально-инвариантные решения, линейное поле скоростей.

Введение

Решения уравнений газовой динамики [1] с дивергенцией, равной нулю, удовлетворяют переопределенной системе уравнений, являющейся дифференциально-инвариантной подмоделью для любой допускаемой подгруппы:

ut + (u ■ V)u + p-1Vp = 0, V- u = 0, pt + u ■ Vp = 0, pt + u ■ Vp = 0, (0.1)

где u, p, p — скорость, давление и плотность, V — градиент. Система справедлива для

любого уравнения состояния, из которого определяется энтропия. Система (0.1) не приведена в инволюцию даже в плоском случае. Мы рассмотрим подмодель с линейным полем скоростей в плоском случае X £ R2.

1. Эйлерово и лагранжево описание движения с линейным полем

скоростей

Решение системы (0. 1) разыскиваем в виде

и = A(t)X + u0(t). (1.1)

Система (0.1) записана в эйлеровых переменных t, X. При подстановке (1.1) система (0.1)

принимает вид

Vp = —p ((A' + A2) X + U0 + Au0), pt + (AX + u0) ■ Vp = 0, trA =0, pt + (Au + u0) ■ Vp = 0.

Совместность уравнений для давления приводит к подмодели из обыкновенных дифференциальных уравнений (эйлерово описание)

A' + A2 = B, B' + AT B + BA = 0, tr A = 0,

(1.2)

u0 + au0 = a, a' + ATa+bu0.

S.V. Khabiroy, Plane gas motions with the linear field of the velocity without divergence. © ХАвиров С.В. 2010 .

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00047-a) и Советом по грантам Президента РФ для государсв-тенной поддержки научных школ (№НШ-2826.2008.1).

Поступила 13 апреля 2010 г.

Остаются уравнения для плотности

Pt + (АХ + и0) ■ Vp = 0, рВ + Ур ® (ВХ + а) = рВт + (ВХ + а) ® Ур,

которые проще интегрировать в лагранжевых переменных.

Лагранжевы переменные ¿, £ вводятся как решение задачи

Х = А(£)Х + ио(*), Х|^0 = С (1.3)

и задаются формулами

Х = Х0(£) + М (£)£, М (¿0) = I, Х0(£) = 0. (1.4)

Из (1.3), (1.4) следуют выражения для матриц А, В и векторов и0, а через матрицу М и вектор Х0

А = М'М-1, В = М''М-1, и0 = Х0 - М'М-1Х0, а = Х0 - М''М-1Х0.

Из (1.2) следуют уравнения (лагранжево описание)

Мт М'' = С, Мт Х0' = с, ае1 М = |М | = 1, (1.5)

где С, с — постоянные матрица и вектор. Здесь мы пользовались тождеством |М |' = |М |1г(М' М-1).

Начальные условия для системы (1.5) имеют вид

М (¿0) = I, М'(^) = М1 = & + Пь (1.6)

где &1 = 1|, ^1 = —П" = Е < ¿1 >

0 —¿3 ¿2

¿3 0 —¿^

—¿2 0

при С е К3 .В плоском

случае П1 = ¿1

0 —1 10

Заметим, что ранги матриц С и В совпадают, так как справедливо тождество С = Мт ВМ.

В лагранжевых переменных уравнения (0.1) принимают вид

р = 0, Pt = 0, У5Р = — р(0(СС + с)-

;1.7)

Подставим матрицу С в виде суммы симметричного и антисимметричного слагаемых

С = &0 + ^0> &0 = 5*0" = 115°/'|1, ^0 = — = Е < ¿0 > .

В плоском случае П0 = ¿0Е.

Условие совместности переопределенной системы (1.7) принимает вид

;1.в)

;1.9)

р х |^&0С + с + ¿0 х = —2рс^0.

Отсюда следуют равенства

¿0 ■ р = 0, р х (&0С + с) + р + 2р) = 0,

Ур (¿50 ■ (&0С + с)^ = 0 ^ &0^0 = 0, ¿50 ■ с = 0.

Если ¿0 = 0, то из (1.8) и (1.7) следуют выражения для плотности и давления

р = Р'^), ^ = 2С ■ &0С +с ■ £ р = р0 — Р^^

где Р0 — постоянная, р(/0) — произвольная возрастающая функция.

Случай ¿0 = 0 рассмотрим для плоского случая С Е К2. Трехмерный случай рассматривается аналогично в силу первого уравнения (1.8).

Пусть А = 501502 — з02 + = 0, тогда после замены

С1 = п1 + Со1 (*), С2 = п2 + С02(*),

где Со = А-1 (с2(з52 — о0) — с1502), Со = А-1 (с1 (в12 + о0) — с2501), уравнение (1.8) становится инвариантным относительно растяжения

Рп1 ((в12 + ^0)п1 + 522п^ — Ргр + (в12 — ^0)п2) = — 2о0р.

С инвариантом в качестве независимой переменной I = п2(п1)-1 уравнение интегриру-

ется

р = Я"( 3) ехр ^2^0 ^ рщ) ’ Р = Р0 — (Р(3) — 3#'( 3)) §1§пР,

3 = а1^]р|ехР ^°0 I ) ) Р(1) = 52212 + 25121 + 5И.

где Л"( 3) > 0, Д(3) — произвольная функция переменной

^1 Р(1)

Пусть А = 0, тогда после замены I = (з°2 + ^0)С1 + з22£2 уравнение (1.8) допускает перенос по С1:

р51 (1 + с2) — р1^ (^1 + с1) = — 2о0р) А = (з52 — о0)(s02) 1 = 511(в12 + ^0) 1.

Решение представим в виде

Р = 2^01 + (оЛ ^*^2)с2 — 5»2С‘ ' Р = Р0 — Р(7)-

3

I + с2(о0 + ^02) —

2о

0

к ех^С1(°0 — 5°2) — С2^02 еХР 2м,

к = с2(о0 — в02) + с1 ^02 2о0 ’

где Р0 — постоянная, р(3) — произвольная функция.

2. Решение с линейной матрицей

Матрица М линейна по ¿, если С = 0: М = I + М^. В плоском случае из условия |М| = 1 следует |М1| = 0, 1г М1 = 0, т.е.матрица М1 нильпонентна М2 = 0, М-1 = I — М1^, А = М'М-1 = М1 — М2^.

Уравнение (1.5) с условием (1.4) определяет вектор Х0:

6 +1,

где с1 — постоянный вектор.

Формула (2.1) определяет лагранжево решение в виде многочлена третьей степени по времени.

Далее разыскиваем решения с матрицей С = 0.

3. Интегралы модели Матричное уравнение (1.5) имеет интеграл (¿0 = 0):

Х0 = —-¿3МТ с + - ¿2с1 (2.1)

Мт М' — МТ'М = 2Ш0 + 2П1 = 2оЕ, Е

0 —1 10

, о — + 01 (3.1)

в плоском случае.

Замечание 1. Уравнения (1.5) допускают перенос по Поэтому при о0 = 0 можно считать о1 = 0.

Представим матрицу М в виде произведения ортогональной и симметричной матриц М = ОЛ, От О = ООт = I, Лт = Л, |М | = |Л| = 1, (3.2)

где Л(^) = I = О(^).

Матрица О1 = ОтО' = — От антисимметрична и О1(^0) = П1, Л'(£0) = 51. Интеграл (3.1)

принимает вид ЛЛ' — Л'Л + 2ЛО1Л = 2оЕ. Отсюда определяется О1:

О1 = оЛ-1ЕЛ-1 + 1(Л-1Л' — Л'Л-1). (3.3)

Матричное уравнение (1.5) в силу (3.3) запишем для Л2: |Л2| = 1,

Л2'' — 1л2'Л-2Л2' + о(ЕЛ-2Л2' — Л2'Л-2Е) + 2о2ЕЛ-2Е = 2£0 (3.4)

с начальными условиями

Л2(^) = I, Л2'(^) = 2^1. (3.5)

Дополнительные уравнения на симметричную матрицу Л2 получаются дифференциро-

ванием условия |Л2| = 1:

^ (Л2'Л-2), ^ (Л2'Л-2)' = 0, ^ (Л2'Л-2)'' = 0,... (3.6)

Удобно использовать следующую запись уравнения (3.4)

(Л2 'л-2)' = — 1(Л2'Л-2)2 + о(Л2'Л-2ЕЛ-2 — ел-2л2'л-2)+

2 (3.7)

+2о°! + 2^0Л-2.

Из уравнений (3.6) в силу (3.7) и равенства (Л2'Л-2)2 = — |Л2'II следуют интегралы

1 ^ (Л2'Л-2)2 = 4о2 + 2^ (^Л-2) ^ |Л2'| +4о2 + 250 : Л-2 = 0,

2 (3.8)

^ (50Л-2') + о2' = 0 ^ $0 : Л-2 + о2 = ^ $0 + 0°°.

При £ = £0 из равенств (3.6), (3.8) получаем условия на постоянные параметры

0

в силу начальных условий

tr Si = 0, |Si | + U + 2-1tr So = 0 (3.9)

4. Уравнения на собственные числа

Представим решение задачи (3.4), (3.5) с помощью диагональной матрицы D = diag (d1, d2) из собственных чисел матрицы Л2 и ортогональной матрицы поворота

COS С9 sin С9 . 2 /лТ 7

O = . : Л2 = ODO±. Величины d, задают сингулярные числа матрицы

— Sin COS

M [2]. Матрица O1 = OTO' = —^'Е — антисимметрична. Из условия |Л2| = 1 следует d1 = d, d2 = d-1. Интегралы (3.8) принимают вид: d(t°) = 1,

d'2

— + ^'2(d — d-1)2 = 2(и2 + U + tr So), (4.1)

11

-tr S°(d + d ) — (d — d )k cos2(^ + ^°) + и = и + tr S°, (4.2)

где 4k2 = (s°1 — s°2)2 + 4(s12)2 = (tr S°)2 — 4|S°|, tr 2^° = 2s12(s°1 — s^)-1 (при = s°2,

Матричное уравнение (3.4) перейдет в следующее

V + (-2p'd'(1 + d-2) + </(d-1 - d))

0 1

1 0

- 2^'2(V- V-1)-

+2^d- 1 1 + ^'(V2 - I)) - 2w2V

— I tr So + (S°i - s22)

cos 2^ sin 2^

sin 2^ - cos 2^

+ 2s0

12

- sin 2^ cos 2^ cos 2^ sin 2^

Из матричного уравнения следует три скалярных равенства

d'

^''(d-1 - d) - 2<^'(d - d-1)' + 2w— — 2k sin 2(<^ + <^0);

d

d'' - 2^'2(d - d-1) - - ^+ ^'2(d-1 - d)2d^ + 2w^'(d2 - 1)-

-2w2d — tr S0 + 2k cos 2(<^ + <^0), d-1'' - 2^'2(d-1 - d) - - ((d-1')2d + ^'2(d-1 - d)2d-1) +

(4.3)

(4.4)

(4.5)

+2о^'^ 2 — 1) — 2о^ 1 = ^ £0 — 2к cos 2(<^ + <^0).

Уравнение (4.5) тождественно выполняется в силу (4.3), (4.2), (4.1). Если дифференцировать по £ (4.1), то в силу (4.3), (4.4), (4.2) получим тождество. Значит, (4.1) есть интеграл (4.3), (4.4), (4.2), и уравнение (4.4) есть следствие интегралов (4.1), (4.2) и уравнения (4.3). Следовательно, переопределенная подмодель задается уравнениями (4.1), (4.2), (4.3). Начальные данные для функций <^, d определяются из равенств

Л2(£0) = О^о)^о)От (£0) = I, Л2'(¿о) = О(£0)Р'(£0)От (£0) = 2£.

Если О(£0) задает поворот на угол ^1, то начальные данные определяются элементами матрицы £1:

d(tо) = 1, ^(¿о) = 2(—|£1|)1/2, ^(¿0) = ^1,

(4.6)

11

— s

22

tg 2^1 — s12(s22) 1.

5. Простейшее решение задачи

Пусть d =1, тогда из (4.1) следует о0 = 0, 2о2 + 1г £0 = 0. Из (3.9) получим ^ £1 = 0, |£1| = 0. Значит, £1 = 0. Уравнение (4.2) тождественно выполняется, а из (4.3) следует = —^о.

Итак, получили простейшее решение

d — 1, — -^0, tg 2^0

при условии на параметры задачи S1 M — e^1íS — I cos(w1í) + Esin(w1í).

2s0

2s12

s11 - s22

(при

11

s22, ^0

n)

4

(5.1)

0, w0 — 0, 2^2 + tr S0 — 0. При этом матрица

і

і

0

ГГ п АО- 1 (Л0\ A tr S° + 2k COs2(^ + Ы

Пусть и° = 0, и = и1, d =1, тогда из (4.2) следует d = —----------------------------- и

tr S° — 2k cos 2(<£ + <^°)

tr S° = 0. Если ^ — постоянно, то из (4.1) и (4.6) следует d =1. Значит, ^ переменная величина (^' = 0).

Уравнение (4.1) принимает вид

4k tr S°^' = J— |S11 ((trS°)2 — 4k2 cos2 2(<^ + <^°)) .

В силу этого уравнения (4.3) становится тождеством по cos2 2(<^ + <^°):

16 J— |S11k3 cos2 2(^ + <£°)tr S° + |S11 ((tr S°)4 — 16k4 cos4 2(^ + <^°)) +

+ (k2trS° — 2u1 J—|S1|^ ((tr S°)2 — 4k2 cos2 2(<^ + <^°)) = 0.

Отсюда следует |S1| = 0 и ^ = 0 противоречие. Итак, при и° = 0 возможно только

простейшее решение.

6. Случай и° = 1, ^° = 0

Замечание в пункте 3 позволяет считать t° = 0, и1 = 0, если и° = 0. Уравнения (4.1),

(4.2), (4.3) допускают подобие -^/wot ^ t, и- S° ^ S°, а также перенос по <^. После таких преобразований можно считать и° = 1, ^° = 0 (s°2 = 0), и уравнения принимают вид в силу формул (3.9):

— |S1 |(d + d-1 — 2) + t2 = (d — d-1)k cos 2^, (6.1)

"d"^ + ^'2(d — d 1)2 = 2(t2 — 2|S1|), (6.2)

d'

^''(d — d-1) + 2^'(d — d-1)' — 2t— + 2k sin 2^ = 0, (6.3)

d

где k = 1(s°1 — S22), IS1I = — ^(s11 + s°2), tr S1 = 0.

В силу начальных данных (4.6) решение (6.1) ^ (6.3) представим рядами

d = 1 + 2t J—IS1I + d2t2 + d3t3 + d4t4 + • • • , ip = ^1 + t^2 + t2^3 + t3^4 + • • • (6.4)

Подставим ряды 6.4 в 6.1, 6.2, 6.3 и приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях t.

Из (6.1) при степенях t, t2, t3 получим

k|S11 cos 2^ = 0, (6.5)

2k (d2 cos 2^1 — 4(—|S1|)1/2^2 sin 2^) = 1 + 41S112, (6.6)

2(d2 + 21S11) ((—|S11)3/2 + k^2 sin 2^1) +

(6.7)

+4(—|S1|)1/2k^3 sin 2^1 = d3k cos 2^1.

Из (6.2) при степенях t и t2 получим

|S1|(d2 + 2|S1|) = 0, (6.8)

1 + 16|S1|p2 = 6d3 (— | S11)1/2 + 41S112 + 2(d2 + 21S11)2. (6.9)

Из (6.3) коэффициент при t и свободный член дают

( | S11)1/2 ^2 = —1 k sin 2^1, (6.10)

6^3(—|S1|)1/2 + 2^2(d2 + 2|S1|) + k^2 cos 2^1 = (—|S1|)1/2. (6.11)

Из (6.6) следует k = 0.

Если |£1| = 0, то из (6.5), (6.8) получим cos2^1 = 0, sin2^1 = 1, d2 = —2|£1|. Из (6.7) следует ^3 = 0, а из (6.11) следует ^3 = —. Противоречие. Значит, |£1| = 0, а так как

6

tr Si = 0, то симметричная матрица Si = 0 и tr So = 0, т.е. матрица So = к

(6.6) ^ (6.11) следует ^1 = 0,

1 0 01

. Из

d2 = —^ = k, d3 = 0, ^2 = 0.

v2

—. Приравнивая

0. Коэффициент

Приравнивая нулю коэффициенты при ¿4 в уравнении (6.1), получим d4

нулю коэффициенты при ¿2 и ¿3 в уравнении (6.2), получим ^3 = ^4 : при ¿2 в (6.3) приводит к противоречию.

Итак, кроме простейшего решения (5.1) и решения (2.1) с линейной матрицей М = I + М^ других решений с линейным полем скоростей подмодель (0.1) не имеет.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск. 2003. 336 с.

2. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск. Научная книга. 1997. 390 с.

Салават Валеевич Хабиров, Институт механики УНЦ РАН, Проспект Октября, 71,

450054, г. Уфа, Россия E-mail: habirov@anrb .ru