CC BY
17
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 2 (2015). С. 114-122.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ БЕЗ РАСХОЖДЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ
С.В. ХАБИРОВ
Аннотация. Получены формулы, задающие все возможные движения сплошной среды без расхождения с линейным полем скоростей: либо с линейным по времени матрицей, либо матрица имеет постоянные сингулярные числа.
Ключевые слова: движение с нулевой дивергенцией, линейное поле скоростей, сингулярные числа матрицы.
Mathematics Subject Classification: 35B06, 35Q35
Введение
При классификации движений сплошной среды с линейным полем скоростей [1,2] возникает особый случай движения без расхождения, когда дивергенция скорости равна нулю. Получается переопределенная система обыкновенных дифференциальных уравнений и требуется изучить ее совместность. Для общего движения этому соответствует решения, например, уравнений сжимаемой жидкости с нулевой дивергенцией [3]
щ + (и • V)u + р-1Ур = 0, V- и = 0,
р4 + и ^р = 0, рь + и • Vp = 0, (0.1)
где и, р и р - скорость, давление и плотность. Система (0.1) справедлива для любого уравнения состояния, из которого определяется энтропия. Переопределенная система (0.1) в пространственном случае не приведена в инволюцию и не известен произвол в решениях (как задавать начальные данные).
Физический смысл решений с нулевой дивергенцией состоит в следующем: для любого выделенного ограниченного объема сколько жидкости втекает в него столько же и вытекает из него.
Плоские движения без расхождения с линейным полем скоростей перечислены в[4]. В работе ставится задача найти все решения уравнений (0.1) с линейным полем скоростей в пространственном случае. Так же как и в плоском случае получаются решения либо с линейной по времени матрицей, либо матрица имеет постоянные сингулярные числа.
S.V. Khabirov, Space motions with the linear field of velocity without divergence. ©ХАвиров С.В. 2015.
Работа поддержана РФФИ(14-01-97027), Советом по грантам Президента РФ для государственной поддержки научных школ (НШ-2133.2014.1), грантом № 11.G34.31.0042 правительства РФ по постановлению 220.
Поступила 16 мая 2014 г.
1. ЭЙЛЕРОВО И ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ с линейным полем скоростей
Решения системы (0.1) с линейным полем скоростей
и = А(г)х + и0(г) (1.1)
определяют эйлерову подмодель из переопределенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Ьг А = 0, А' + А2 = В, В' + Ат В + В А = 0,
гИо + Аио = а, а' + Ат а + Вио = 0. (1.2) Лагранжевы переменные £ вводятся как решение задачи
Я = А(г)х + щ, х(и) = £, (1.3)
и задаются формулами
х = хо(г) + м(г)£, м(¿о) = I, хо^о) = 0. (1.4)
Здесь I - единичная матрица. Из равенств (1.3), (1.4) следуют выражения для матриц А, В и векторов и0, а через матрицу М и вектор хо:
А = М ' МВ = М''М
ио = 4 - М'М-1хо, а = ж0 - М"М-1хо. Из уравнений (1.2) следуют уравнения лагранжевой подмодели
МтМ" = С = во + Е<шо >, Мтх'0 = с, \М| = 1, (1.5)
где С и с - постоянные матрица и вектор как результат интегрирования, ¿о = 1| и Е < шо > - симметричная и антисимметричная части матрицы С. Здесь использовано тождество
\М\' = \М\Ьт(М'М-1). Начальные условия системы (1.5) имеют вид
М(¿о) = I, М'(¿о) = М1 = + Е < Ш1 >, 1г5*1 = 0, (1.6)
где в1 и Е < ш1 > - симметричная и антисимметричная части матрицы М1. Антисимметричные матрицы задаются векторами по формуле
0 / 3
Е < Шг > = "i 0
-и? 0
В лагранжевых переменных уравнения (0.1) принимают вид
ш = 0, pt = 0, V^p = -р(£)(с£ + с). (1.7)
Условия совместности системы (1.7) таковы
Vçр х (£о£ + с + шо х Ç) = 2ршо.
Отсюда следуют равенства для движений с переменной плотностью
Шо •Vçр = 0, Vçр х (Soi + с)+ шо(£•Vçр - 2р) = 0, (1.8)
Vp(ûo • (So£ + с)) = 0 ^ вошо = 0, шо • с = 0. (1.9)
Если шо = 0, то из уравнений (1.8) и (1.7) следуют выражения для плотности и давления
р = Р'(J), р = Ро - р(J), J = 2-1е • во£ + с • i Здесь и далее Ро - постоянная, Р(J) - произвольная функция.
Если шо = 0, например, = 0, то скалярное уравнение в (1.8) имеет общее решение
р = р(а,р), а = £2 - ^¿)-1£1, Р = £3 - ^¿Г^1,
и векторное уравнение (1.8) сводится к уравнению
ра(с3 + (4 + + + Ре (-с2 - 4« - (4 - = -24 р. (1.10)
Если Д = 44 - (4)2 + (^о)2 = 0, то возможно сдвинуть независимые переменные а, /3 на постоянные а0 , /Зо
а = «1 + ао, [3 = + (Зо,
ао = Д-1(с3(4 - - с24), ^о = Д-1(с2(4 + о*1) - с34)
так, чтобы уравнение (1.10) допускало равномерное растяжение по переменным а1 и [31. Тогда, вводя инвариант К = /31 а- в качестве новой независимой переменной вместе с а1, получим интегрируемое уравнение. Его решение и решение уравнения (1.7) представляются в виде
р = В"(.1) ехр(2^о1 J Р-1(К)йК), .1 = а\Р(К) ехр(2ц! J Р-1(К)йК)
р = Ро + П(,1) - ,т'(,1), В" > 0,
(1.11)
Р (К ) = 4^2 + 24^ + 4,
где К(3) - произвольная функция.
Если (4)-1(4 - о^) = ^33(^о3 + ш^)-1 = Л = 0, то замена К = а + [3\ приводит к интегрируемому уравнению (1.10). Его решение и решение уравнения (1.7) имеют вид
р = ^- Дс2 , 3 = № + с3 - Ас2Г ехр(/3 + 2-1 (с^1)-1з^К)
р =Ро - Р(3), п = 4-1(^о)-2((^о3 + ^)с2 - 4с3). Если Л = 0, 4 = 0, 4 = , то формулы (1.12) верны и в этом случае. Для постоянной плотности из уравнения (1.7) следует
(1.12)
шо = 0, р = Ро - ро(с • С + С • £о£). Итак, формулы для плотности и давления получены в лагранжевых переменных.
2. Решения с линейной матрицей линейного поля скоростей Если матрица С = 0, то матрица М линейна по времени Ь (¿о = 0)
М = I +
Из уравнения |М| = 1 следуют равенства |М1| = 0, ^М1 = 0, ^М^ = 0, то есть матрица М1 нильпотентна М13 = 0,
м-1 = 1-м^ + м^2, А = м'м-1 = М1 - М^.
Выбором системы координат матрица М1 приводится к жордановому виду. Все собственные числа матрицы М1 нулевые. Возможно два типа жордановых матриц:
0 0 0 С1 + С2
1) М1 = 0 0 1 = А, Но = Сб - (С3 + 6С5)1 - С^2 - С5^
0 0 0 С3 + 2С4^ + 3С5^2
0 1 0 0 1 -
2) М1 = 0 0 1 , А = 0 0 1
0 0 0 0 0 0
и о
С6 + (12С1 - С5)г + (С4 - ЗС2) г2 + (2С1 + С3) г3 + С2^4 - С^5 С5 + (6С2 - С4)* - (6С1 + С3)I2 - С2^3 + С1^4 С4 + 2 С3 + З С2 2 - 4 С1 3
Здесь Сг - постоянные. Далее матрица С не нулевая.
3. Интегралы лагранжевой модели и ее модификация Симметричная часть матричного уравнения модели (1.5) имеет вид
МТМ'' + М''ТМ = 2Бо. (3.1) Антисимметричная часть матричного уравнения (1.5) интегрируется
МТМ' - М'ТМ = 2Е <ш>, ш = гйо + Ш1. (3.2)
Здесь начальные условия (1.6) взяты при Ьо = 0.
Уравнения (1.5) допускают перенос по ¿. Начальные условия при шо = 0 перенесем в ¿о = — (<Ло • ¿}1)\а}о\-2, чтобы преобразованный вектор й^ = 1ошо + ш1 стал ортогональным вектору шо. Это все равно, что при Ьо = 0 выполнено равенство
шо • ш1 = 0. (3.3)
Матрицу М можно представить в виде произведения ортогональной и симметричной матриц
м = дл, = I, лт = л, \л\ = 1, \д\ = 1,
Л(0) = I, Q(0) = I, Л'(0) =
Матрица Е < д >= QTQ' антисимметрична, д(0) = ш1. Интеграл (3.2) записывается в виде
ЛЛ' - Л'Л + 2Е < Л-1д>= 2Е < ш > .
Отсюда определяется матрица
Е < д >= Е < Лш> +2-1(Л-1Л' - Л'Л-1). (3.4)
В силу (3.4) уравнение (3.1) представляется в виде
(Л2)'' = ((Л2)' - 2Е<ш >)Л-2((Л2)' + 2Е <ш>) + 4Бо. (3.5)
Начальные условия (1.6) записываются в виде
Л2(0) = I, (Л2)'(0) = 2 &, ад = 0, (Л2)''(0) = 2( М^Мг + во). (3.6)
Симметричную матрицу Л2 удобно представить в виде
Л2 = ОВОТ, В = diag(Лl,Л2,Лз), ООт = I, \0\ = 1.
Выбором системы координат начальные условия можно представить в виде
0(0) = I, В(0) = I, В (0) = 231. (3.7)
Матрицу поворота О можно задать вектором угловой скорости д
О' = ОЕ < а > . Скалярное уравнение (1.5) принимает простой вид
\В\ = Л1Л2Л3 = 1.
4. Простейшее решение
Система (3.5) совместна. Действительно, при Л2 = I из равенств (3.5), (3.6) следуют условия совместности для параметров
¿"о = Е<ш>2, = 0 ^ шо = 0, ¿"о = Е<Ш1 >2= 0. (4.1)
При этих значениях параметров из равенства (3.4) следуют соотношения
$ = дЕ<ш1 >, м = $, 0(0) = I.
Матричное уравнение интегрируется $ = ехр(£Е < ¿}1 >) и следует, что матрицы $ и Е < ш1 > перестановочны.
С помощью формулы
Е < Ш1 >2к = (-1)*Ы2*(I - ^ 0 ^)
вычисляется матричная экспонента
М = ехр(£Е < ш1 >) = /сов^|ш1|) + в1п(£|ш1|)Е < т^ > +
М
+ (1 - сов^0
Векторное уравнение (1.5) принимает вид
Х' = ссов^ 1^11) + (1 - сов(£(с^ ■ с) + в1п(£х с.
|^1|2 1
Интегрирование дает
¡0 = сой(^|^1|) + (2 * +--—)-с-
• ЛИ- 1\ - , х С. с - -
- 81П(^|Ш1|) ^ х С + ^(С1 + ) + Ш* - ^ ■ С,
где с и с1 - постоянные векторы.
Вектор Но определяется из выражения (1.1) по формуле
«о = ¡¡о - х хо.
Если Л2 = I, то движение среды происходит как движение твердого тела [6, §1]. Верно утверждение: условие ¿о = Е < си1 >2 необходимо и достаточно для существования простейшего решения. Это легко доказать непосредственно, но это же следует из последующего утверждения об отсутствии других решений.
5. Об отсутствии других решений
Кроме решений с линейной матрицей М по времени и простейших решений с единичной матрицей Л2 = I других решений уравнения (1.5) не имеют. Это было доказано в плоском случае в работе [4]. Собственные числа матрицы Л2 в плоском случае равны единице: И = I. Собственные числа матрицы
Л2
в пространственном случае удовлетворяют соотношениям Хг > 0, Л1Л2Л3 = 1. По теореме о перемежуемости сингулярных чисел [5] выполняются неравенства
0 < А1 ^ 1 ^ Л2 ^ 1 ^ Л3.
Значит, Л2 = 1, Л1 = й, Х3 = й-1 и И = ¿е11 + е22 + ^-1е33. Здесь и далее е^ - матрица размера 3 х 3, у которой на пересечении г-й строки и ]-го столбца стоит единица, а в остальных местах нули.
Удобно в качестве независимой переменной выбрать значения функции (¿(¿), ^(0) = 1. Функция ¿(^) - обратная к функции ¿(Ь). Уравнения (3.5) принимают вид
2Л21 - 2Л2£ = 1(Л2 - 21Е < ш >)Л-2(Л2 + 21Е < ш >) + 4{зво, (5.1)
Л2(1) = I, Л2(1) = 2^ 1^1, (5.2)
где точкой обозначена производная по переменной . Функция ( ) представляется рядом
г = и(<1 - 1) + ^ и((1 - 1)\
г>2
При ¿1 = 0 замена ¿¿¿-1 ^ и, ^шо ^ до, t1ш1 ^ ¿25о ^ Бо, Ь1Б1 ^ Б1 делает ¿1 = 1. Матрица Л2 представляется в виде
Л2 = О^(¿, 1, (Т1 )ОТ = 1 + (й - 1)(С1 - ¿-1Сз), (5.3)
Л-2 = 1+(й - 1)( Сз - ¿-1С1)) (5.4)
где Ск = ОеккОт, С2 = , О(1) = /, С^з = 0,
Ск = ad(<т)Gfc, Ск (1) = екк. (5.5)
Из условия (5.2) следует равенство е11 - е33 = 2 Б1. Уравнение (5.1) при й =1 определяет матрицу
во = Е <Ш1 >2 +ad( ао + 2-1Ш1)(е и - езз) - 4-1еп + 4-13е зз - ¿2(е 11 - езз), (5.6)
где а(1) = ао. Здесь использовано стандартное обозначение для коммутатора матриц
ad(<т)S = Е < а > в - БЕ < а > .
Все величины, входящие в уравнение (5.1), выражаются через функции ¿, а и параметры Шо, ш 1, которые связаны четырьмя скалярными соотношениями вошо = 0, шо • ¿31 = 0:
Л2 = С1 - (Г2Сг + ((! - 1^(<т)(С1 - ¿-1Сг), Л2 = 2сТзСз + 2ad(а)(С1 - й-2Сз) + (й - 1)(ва(д) + ad(<7)2)(Gl - й-1Сз).
Решение уравнения (5.1) представляются рядами
Ь = й- 1 + ^ и(й - 1)\ а = ^ ог((1 - 1)\ (5.7)
г>2 г>о
Уравнение (5.1) после подстановки матрицы (5.3) записывается в виде
4{(¿-зСз + ad(а)(Gl - й-2Сз)) - 2^1 - (Т2Сз) - + й-4Сз) +
+2^(й)( С1 - сТ2Сз) - 4*з[вЛ(ао + 2-1^1)(еи - езз) - 4-1еп + 4-13езз - ¿2(е 11 - езз)] =
= 2^ - 1)ва(а)(С1 - ¿-1Сз) - 2{((1 - 1)(ва(д) + ad(<7)2)(Gl - й-1Сз) + - 1)[ва(а)( С1 + ^-зСз) - ¿-2((1 - 1)(С1^ <а>Сз - Сз£ < а > С0] + - 1)2М(а)( С1 - (¿-1Сз))2 - 2{2íad(íЛо)[Gl - й-2Сз + (й - ^(а)^ - сТ^з)]--2Ь((! - 1)ad(íЛ1)ad(а)( С1 - ^-1С3) - 4£з£(ЬЕ < шо >2 +шо ® + ® шо) + +(й - 1)^1 - сТ2Сз + (й - 1)ва(ст)(С1 - ¿-1Сз) - 21Е < £ >](Сз - ¿-1С1)[С1 - ¿-2Сз+
+ (й - 1)ad(а)( Сг - ^-1Сз) + < £ >]. (5.8)
Обнуление коэффициента при й - 1 в уравнении (5.8) дает матричное равенство
-12(^з - 2*2)(е 11 - е 33) - 4^(5ао + ^1)(еп - е 33) + 4^(еи - 5е33) + +ad(ао)(11 езз - еп) + 4ad(£Лl)езз + 6(ad((7l) + ad((Jо)2)(еп - е 33)--Шзad(ао)(еп - е 33) - ad(ао)(еи + е 33) + 2ad(£Ло)(eи - е 33) + 4ad(£Лl)ad(ао)(еп - е 33) +
+4шо ® + 4й 1 ® шо + еп - 9 езз + 2ad(£Лl)(eп + езз) + 4 Е < Ш1 > (е33 - ец)Е < Ш1 >= 0.
След этого матричного равенства определяет параметр
¿2 = — 2-1 + 4-1(М)2 - К1)2).
Верхние диагональные элементы определяют параметр
12*з = 5 — (^)2 + К1)2 + 2-13((^)2 — К1)2)2 — 12(а0)2 — 24(^0 )2 —
—8^1^! —16^2^2 — МЗ"? — 4(^2)2.
Недиагональные элементы определяют вектор д\. Средние диагональные элементы дают уравнение
3(а?)2 — 3(а2 )2 + 2ш?а3 — 2^1а01 + 2^2 + (^?)2 — К1)2 = 0. (5.9)
Равенство 30ш0 = 0 определяет вектор а0 при ^О^О^О = 0:
4^Ч>02 + 2-1 и?) = ¿2 (К2)2 — (^¿)2 — К?)2) + 4-1((^0 )2 + К?)2) +
+4-1((^о)2 — (-0)2)(Н1)2 — (-3)2),
^0(а0 + 2-1 ш\) = 2^0(^0 + 2-1^2) + ^3(^2 — 4-1 + 4-1Ц)2 — 4-1(^?)2), (5.10)
^(а? + 2-1^?) = 2^0(^0 + 2-^2) + ^1(^2 — 4-1 — 4-1Н1)2 + 4-1(^?)2).
Итак, имеется два уравнения (5.9) и ш0 ■ ш1 = 0 для шести параметров.
Если = 0, ^0^0 = 0, то из (5.10) определяется а^ и остается три уравнения
(К1)2 — И)2)(4^2 — 1 + н1)2 + (^?)2) = 0
^Ч1 + = 0
3(а0?)2 + 2^? а0? + (ш?)2 = 3(а0 )2 + 2^ а^ + К1)2 (5.11)
1 ? 1 ?
для семи параметров ш1, ш^, ц?, 0"?.
Если ^0 = 0, ^0 = 0, ^0 = 0, то а0 = — 2-1^2, ш? = 0 и остается два уравнения (5.11) и 5(ш1)2 + 4(^2)2 = 1 для пяти параметров а^, а?, ш?, ш\, ш^.
Если ш0 = 0, то имеется только одно уравнение (5.11) для шести параметров а0, ш1. Если = 0, ^0 = 0 (или ш? = 0), то определяются а0, а? и остается три уравнения (5.9), ш0 ■ ш1 = 0 и
(^2)2(4^2 — 1) = (4^2 + 1)(М)2 — К1)2)
2 ? 1 2 для шести параметров ш1, ш^, Ц? (или о^), а^.
Наконец, если ^0 = ш? = 0, = 0, то ш1 = 0, (а?)2 = (^0)2. Есть только одно уравнение для четырех параметров а0,
Обнуление коэффициента при (й — 1)2 в уравнении (5.8) дает шесть скалярных уравнений. При этом добавляются новые параметры ¿4, а2, которые однозначно определяются. Остается два уравнения для отмеченных выше параметров.
Обнуление коэффициента при (<! — 1)? в уравнении (5.8) дает шесть новых скалярных уравнений. При этом добавляются новые параметры ¿5, а??, которые однозначно определяются. Остается два уравнения для отмеченных выше параметров.
Обнуление коэффициента при (й — 1)4 в уравнении (5.8) дает шесть новых скалярных уравнений. При этом добавляются новые параметры ¿6, ^4, которые однозначно определяются. Остается два уравнения для отмеченных выше параметров, которые переопределяют алгебраическую систему.
На каждом шаге обнуление коэффициента при (<! — 1)й в уравнении (5.8) определяет параметры ¿(&+1), о^ и добавляет два новых уравнения на отмеченные выше параметры. Таким образом, получается бесконечная цепочка уравнений на параметры, число которых не более шести. Этот факт неизбежно приводит к противоречию.
Оригинальное доказательство противоречия состоит в следующем. Уравнения С^ = Ск, к =1, 3 имеют решения Ск = Лк0Лк, Л2 = 1. Из условия = 0 следует Л1 •Лз = 0. С обозначением Л2 = Лз х Л1 трехвекторник Л1, Л2, Лз образует подвижный ортонормированный репер. Уравнения (5.5) определяют движения подвижного репера
Лк = а х Лк, Лк (1)
ек,
= 1, 2, 3
(5.12)
где
1 0 0
е 1 = 0 , ¿2 = 1 , ез = 0
0 0 1
а д - угловая скорость подвижного репера. Из уравнения (5.12) следует равенство
2д
Л1 х Л1 + Л2 х ЛЛ2 + Л3 х Л3 (5.13)
Из равенств = Ск и (5.13) следует, что функции Лк, а не имеют полюсов для любого значения .
Справедливы формулы
вЛ(а)Ск = \к 0\к + \к 0 \к,
^(<г) + ad(<т)2)Ск = \к 0\к + \к 0\к + 2 \к х \к, в силу которых уравнение (5.8) принимает вид
2(Я[2 Л3 0 Л3 + 2с13( Л 1 0 Л1 + Л1 0 Л1) - 2 (!(Л3 0 Л3 + Л3 0 Л3)+
+<?((! - 1)(^1 0 Л1 + Л1 0 Л1) + й2(й - 1)(Л3 0 Л3 + Лз 0 Л3 + 2Л3 х Л3)]-
-2 ^Л1 0 Л1 - Л3 0 Л3 + с12(с1 - 1)( Л1 0 Л1 + Л1 0 Л1) - с1(с1 - 1)( Л3 0 Л3 + Л3 0 Л3)] =
= 1[(!2Л1 0 Л1 - Л3 0 Л3 + <!2((! - 1)( Л1 0 Л1 + Л1 0 Л1) - (И(с1 - 1)( Л3 0 Л3 + Л3 0 Л3)--2(I2¡Е < + ш1 >](с11 +(с1 - 1)(с¿Л3 0 Л3 - Л1 0 Л1)[б?2Л1 0 Л1-
- Лз 0 Л3 + <!2((! - 1)( Л1 0 Л1 + Л1 0 Л1) - (И(с1 - 1)( Лз 0 Л3 + Л3 0 Л3)+
+2(I21Е < гшо + ш 1 >] + 4в51Зво.
Коэффициенты при ¿, ¿, Л не имеют полюсов в точке й = 0. Главные члены асимтотик этих коэффициентов дают приближенное равенство
(г + 2-1^Л)Лоз 0 Лоз ^ -А2Г [((И2о + £1) х Лю) 0 ((*шо + ^1) х Лю) + ^о]
(5.14)
где Лко = Лк(0).
Пусть функция ¿(^) имеет особенность в точке й = 0 типа полюса Ь = t-jй-3 +..., t-j = 0, ] > 0. Тогда равенство (5.14) имеет следующие главные слагаемые
2-1Л.7 - 1) Л о 0 Л о ~ г-43<Г43 (Оо х Лю) 0 (О) х Лю).
Отсюда следует равенство Л1о = кшо. С учетом полученного соотношения равенство (5.14) имеет следующие главные слагаемые
2-1Л.7 - 1)Лзо 0 Лзо ^ г-43<Г23(ил х Лю) 0 (й х Лю).
Отсюда следует равенство Л1о = I¿31. Скалярное умножение полученных соотношений приводит к противоречию
1 = Л?о = кIшо • ш1 = 0.
Значит, функция t(d) не имеет особенности в нуле. Пусть t = t0 + tkdk + ..., к > 0, тогда (5.14) имеет следующие главные слагаемые
2-1к(к + 1)tkЛоз 0 Лоз ~ кЧ3кd2k+2[((toUo + ^1) х Лю) 0 ((¿о^о + ^1) х Лю) + dSo]. Отсюда следует tk = 0, к > 0 и t - постоянно. Противоречие.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Юлмухаметова Ю.В. Классификация подмоделей с линейным полем скоростей в газовой динамике // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 128-136.
2. Юлмухаметова Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей в вырожденном случае // Сибирский журнал индустриальной математики. 2011. Т. 14, № 2. С. 139-150.
3. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск: ИКТ, 2003. 336 с.
4. Хабиров С.В. Плоские движения газа без расхождения с линейным полем скоростей // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2, № 3. С. 107-113.
5. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997. 390 с.
6. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998. 280 с.
Салават Валеевич Хабиров, Институт механики УНЦ РАН, Проспект Октября, 71, 450054, г. Уфа, Россия E-mail: habirov@anrb .ru
