Инвариантные подмодели системы уравнений динамики газовзвеси в случае трех пространственных переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 76M60

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ГАЗОВЗВЕСИ В СЛУЧАЕ ТРЕХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Панов

Челябинский государственный университет, ул. Братьев Кашириных, 129, Челябинск, 454001, Россия, e-mail: gjd@bk.ru

Аннотация. Методами группового анализа исследована система уравнений в частных производных, описывающая динамику смеси газа и мелких частиц, в случае трех пространственных переменных. Найдено ядро основных алгебр Ли системы, выписана оптимальная система одномерных подалгебр, для них выписаны инвариантные подмодели, найдены некоторые точные решения системы уравнений.

Ключевые слова: газовзвесь, алгебра Ли симметрий, оптимальная система подалгебр, допускаемая группа, инвариантное решение, подмодель.

1. Введение. В работе исследуются симметрийные свойства [1] системы уравнений в частных производных, описывающей динамику смеси газа и мелких частиц. Исследуемая модель описывает подавление неконтролируемой детонации горючего газа инертными частицами (метод гашения) [2].

Подавление дискретными частицами волны детонации может протекать по-разному, в зависимости от плотности, концентрации и размеров частиц, а также других параметров системы. Данный процесс описывается системой уравнений механики гетерогенных сред взаимопроникающих континуумов в двухскоростном приближении. Первым континуумом выступает смесь реагирующих газов и продуктов их воспламенения и горения, вторым континуумом — мелкие частицы инертного вещества. Функциональным параметром системы является давление смеси, зависящее от плотностей фаз.

Главная гипотеза, используемая при теоретическом описании течений газовзвесей, состоит в предположении о том, что среда в целом и её компоненты являются сплошными. Также, предполагается, что:

— размеры включений дисперсной фазы значительно превосходят молекулярнокинетические размеры в несущей фазе и в то же время значительно меньше характерных макромасштабов среды;

— газовая взвесь является достаточно разреженной, чтобы не учитывать взаимодействие частиц между собой;

— эффекты вязкости проявляются только во взаимодействии между газом и частицами;

— температура частиц по всему ее объему постоянна вследствие высокой теплопроводности материала частиц;

— энергией и эффектами, связанными с хаотическим движением частиц, можно пренебречь;

— течение является нестационарным;

— тепловыми эффектами пренебрегаем;

— процессы дробления, слипания и образования новых дисперсных частиц отсутствуют; частицы состоят из несжимаемого материала;

— в качестве несущей газовой среды выступает горючий газ, который воспламеняется по достижении некоторой критической температуры;

— состав газа предполагается однокомпонентным.

Теоретические исследования данной системы были проведены, главным образом, в одномерном и двумерном случаях (см. [2] и ссылки там же). Симметрийные свойства системы в данных работах не изучались.

В работах [3, 4] система исследовалась в случае пространства независимых переменных ху. было найдено ядро основных алгебр Ли, доказано, что система не имеет дополнительных симметрий при любой функции давления, найдена оптимальная система подалгебр ядра основных алгебр Ли, осуществлен поиск инвариантных и частично инвариантных решений системы. В настоящей работе найдено ядро основных алгебр

»4

ны инвариантные подмодели ранга 3 и найдены некоторые точные решения системы.

Ли данной системы в случае пространства независимых переменных К* х у х), выписа-

2. Ядро основных алгебр Ли. Рассматривается система уравнений:

+ р1<Иу й\ = 0 , (1)

оЬ\

^ + p2d.lv м2 = 0 , (2)

Р1~гг~ + т1^-Р(рь рг) = — — (щ — щ), (3)

аъ 1 т

Р‘2~~тг~ + т2^Р(р1,р2) = — (щ - и2) , (4)

аъ2 т

описывающая динамику смеси газа и мелких частиц в пространстве. Здесь

и1 = (и1,у1,'ш1) — вектор скорости газа, и2 = (и2, у2, 'ш2) — вектор скорости частиц, р1 -

плотность газа, р2 — плотность частиц, Р — давление смеси, ?г?,2 = — объемная коцен-

Ь

трация частиц, Ь — абсолютная плотность частиц, т1 = 1 — т2 — объемная коцентрация газа,

а д _ а д _

+ Ж = Ш + и'2'у-

Определение 1. Ядром основных алгебр Ли системы уравнений называется алгебра Ли преобразований зависимых и независимых переменных, допускаемых при любом значении параметра системы [1].

Оператор группы допускаемых преобразований ищется в виде

„ .д .. д д д д д

х-вт+^Жг + %+(Т; + и'д^ + у‘1м +

+ + IъЛ- + + \¥2^~ + Яі^- + я2-°

- Г\ ' 2 ^ I ' 2 ^ 1гг^^ I -*• ^1 Г\ I -*• '-'2 г\

д/ш\ ди2 дУ2 д'Ш2 дрі др2

Все коэффициенты оператора зависят от переменных (і, х, у, г, и1,у1,'ш1,и2, ь2, ,ш2, р1, р2). Продолжая данный оператор на пространство 1-струй, действуя продолженным оператором на систему и сужая полученные уравнения на многообразие, задаваемое системой в расширенном пространстве, получим систему определяющих уравнений на коэффициенты оператора. Из определяющих уравнений и произвольности параметра Р следует, что Я1 = 0, Я2 = 0, 9 = 9(і), £ = £(Ь,х,у,г),п = п(і,х,у,г), ( = ((Ь,х,у,г),

и1 = и1(і,х,у, г,и1,ь1,'ш1), У = У1(Ь,х,у, г,и1,ь1,т1), Ш1 = ^(і, х,у, г,и1,ь1,т1) ,

и = и2{Ь,х,у,г,и2,У2,'Ш2) , У2 = У2(і, х,у, г,^^^) , ^^2 = Ш2(і,х,у,г,Щ,Ь2,'Ш2) .

Кроме того, имеются следующие две идентичные друг другу группы уравнений (5)-(16) и (17)-(28) для наборов функций {и1,У1,Ші} и {и2,У2,Ш2}, соответственно:

и1и1 + 9Ь — £х = 0 У1и 1 + 9Ь — Пу = 0 Ш1'Ш1 + 9Ь — (г = 0 (5)

и1 = — и19і + и1£х + К1£у + ^1£г, (6)

Уі = Пі - щ9г + иіПх + ЩЩ + ШіПг, (7)

Ші = ^ — 1^і9і + иі(х + Кі(у + ^іСг, (8)

иіх + У1у + Ш1г = 0, (9)

иі'€і + Пх = 0 иі'ші + (х = 0 (10)

У1и1 + £у = 0 У1т1 + Су = 0 (11)

Ш1и1 + = 0, Ш1'и1 + Пг = 0 (12)

9і — £х — иіи1 = 0, 9Ь — Пу — У1'и1 = 0 9Ь — Сг — Ш1'ш1 = 0, (13)

р2

--(и1 — и2) + р\ (Щиіх + УіІІіу + иі\ІІи + ІІц) +

Т

+~ (0* — С/і„і) (мі — и2) — —иіп(уі — у2) — —иіип(и,і ~ иЬ2) = 0, (14)

Т Т Т

— {Уі — У2) + рі («іУ\х + У\Уіу + и>іУ\2 + Уіі) +

Т

+ ~ — ^Ігіі) (г,1 — ^2) — ~^іМі(иі — и2) — —Уіи,1(и^і — Ю2) = 0, (15)

Т Т Т

Р-^г - ЦГ2) + Рі (г/4^ + + т^І2 + Ж14) +

Т

+ — ($* — \Уігюі) («>і — Ю'і) — —\Уіиі(иі — и2) — — ь2) — 0, (16)

Т Т Т

и2и2 + 9і — £х = 0 У2У2 + 9і — Пу = 0, Ш2-Ю2 + 9і — Сг = 0 (17)

и2 = £і — и29і + и2£х + У2£у + ш2£г, (18)

У2 = Пі - К29і + Щ'Пх + ЩПу + М2Пг, (19)

Ш2 = (і — ш29і + и2^х + У2^у + ш2Сг, (20)

и2х + У2у + Ш2,г = ° (21)

и2-02 + Пх = 0 и2-Ш2 + Сх = 0 (22)

У2и2 + £у = 0, У2’Ш2 + Су = 0 (23)

Ш2и2 + £г = 0, Ш2'и2 + Пг = 0 (24)

9і — £х — и2и2 = 0, 9і — Пу — У2'и2 = 0 9і — (г — Ш2’Ш2 = 0, (25)

— {Ц\ — 112) + Рі (и21/2х + У2112у + и’2ІІ2х + ^2і) +

Т

+ ~ ($і — и2и2) (М1 — иг) — ~^2г)2(г,1 — ^г) — ~^2г(і2('и’і — '^2) = 0, (26)

Т Т Т

р2

ІУі — У2) + Р\ (Щу2х + Щу2у + и’2У2х + ^2*) +

Т

+ ~ ($* — ^2гп ) (^1 — ^г) — —У2и^{и\ — Щ) — —У2гі^{и)\ ~ «’2) = 0, (27)

Т Т Т

-т - Ш2) + Рі (и2Ш2х + у2]¥2у + иь2\у2х + 1У2І) +

Т

+ ~ (9і — И^2«12) (и’1 — и,2) — ~11/2м2(и1 — и2) — —^У2гп{и1 ~ ^г) = 0) (28)

Т Т Т

Достаточно решить одну из этих систем уравнений. Решим, например, систему (5)-(16).

Складывая первые уравнения в (5) и (13), получим 9і = £х. Так же из вторых уравнений в (5) и (13) получим 9і = пу, из третьих — 9і = (г. Подставляя (6) и (18) в (14) и приводя подобные при р2,у1,т1, получим, что £х = 0, £іі = 0, £уу = 0, £гг = 0, £іу = 0, £іг = 0, £уг = 0. Таким образом, функция £ есть многочлен первой степени от переменных і, у, г. Функция 9 есть константа. Далее, подставив (7) и (19) в (15). учитывая равенства 9і = пу = 0 и приводя подобные при и1,м1, получим % = 0. Пгг = 0, пхх = 0, піг = 0, піх = 0, Пхг = 0. Таким образом, функция п есть многочлен первой степени от переменных і,х,г. Так же, подставив (8) и (20) в (16), найдем, что С есть многочлен первой степени от переменных і, х, у. Итак, получены выражения 9 = с, £ = а1і + а3у + а4г + а5, п = Ь1і + Ь2х + Ь4г + Ь5, ( = с1і + с2х + с3у + с5. Учитывая выражения для и1, У1, Ш1 из (6)-(8), находим

и = аі + а^Уі + а4'Ші,

Уі — Ьі + Ь2иі + Ь^ші,

Ші = Сі + С2Щ + 03Ьі.

Остались уравнения (9), (10), (11), (12). Уравнение (9) следует из других уравнений. Из уравнений (10), (11), (12) получим

Пх + Су = 0, (х + £х = 0, (у + Пг = 0.

После подстановки в эти уравнения выражений для С,П,С получим равенства Ь2 = —а3, а4 = —с2, с3 = — Ь4. Подставив в формулы (18), (19), (20) выражения для С,П,С, найдем и2, У2, Ш2. Итак, после переобозначений Ь2 = й,а4 = е,с3 = f, решение определяющей системы уравнений можно записать в виде

9 = с, С = аіЬ — йу + ег + а5, п = ЬіЬ + йх — fz + Ь5, ( = сії — ех + fy + с5,

иі = аі — йуі + е'ші, Уі = Ьі + йиі — fwl, Ші = сі — еиі + Ді

ЇІ2 = аі — й^2 + еЖ2, У2 = Ьі + йи2 — fw2, Ш = Сі — еи2 + fv2,

Кі = 0, К2 = 0.

Полученные формулы приводят к следующему утверждению.

Теорема 1. Базис ядра основных алгебр Ли Ьі0 системы уравнений (1)-(4) состоит из операторов

д д д

Х1 = тг , Х2 = - , Хз = — ,

дх ду дг

^ддд^ддд^ддд 4 = ^ Ч-^ О---^ О- ’ 5 = ^ Ч-^ О-----^ О- ’ 6 = ^ Ч-^ О-^ О- ’

дх диі ди2 ду дvl дги2 дг дwl дw2

д д д д д д

х7 = У~г\-~ ^—V -----г^і—-----Ь у2—-и)2—— ,

дг ду д^^і дvl д^^2 дги2

д д д д д д

уС% = — — ^~г\— Н- -- — І/і --Ь - — 1/-2

дх дг диі дwl ди2 дw2

д д д д д д

Ад = X----------у — + Мі-------------і’ітг-------------Ь М-27^-П2

дvl с

т - 5

^мо — ~ •

ду дх дvl диі дv2 ди2

д_

Ш

□ Задавая в последних формулах для коэффициентов допускаемого векторного поля произвольные константы равными нулю, кроме одной, равной единице, получим требуемые векторные поля. I

3. Подмодели. В работе Л.В. Овсянникова [5] была предложенна программа «Подмодели», направленная на максимальное использование свойств симметрий систем уравнений, с целью их решения и качественного исследования: постановки краевых задач, исследование траекторий, характеристик и т. д. Для нахождения всех существенно различных подмоделей необходима классификация всех подалгебр основной алгебры Ли с

точностью до преобразований внутренних автоморфизмов, так как решения одной подмодели переводятся в решения другой, если подалгебры, соответствующие этим подмоделям, переводятся друг в друга внутренним автоморфизмом. Такие подалгебры будем называть подобными.

Определение 2. Совокупность представителей классов подобных подалгебр размерности в (по одному от каждого класса) называется оптимальной системой подалгебр размерности в [1].

Алгебра Ли Ью является алгеброй Ли группы Галилея. Оптимальная система подалгебр всех размерностей данной алгебры была найдена Л.В. Овсянниковым в работе [6]. В таблице 1 приведена система всех одномерных неподобных подалгебр из работы [6] вместе с их инвариантами. При этом О означает декартову систему координат, а С — цилиндрическую.

Таблица 1

№ Система коорди- нат Оператор Инвариантные независимые переменные Инвариантные компоненты иии2

1 D X! t, У, z U\ = Mi, U2 = и2

2 D *4 t, У, z U\ = и i — j,U2 = М:2 — J

3 D /ЗХ3 + х4,/Зфо t:, у, [Зх — Zt U\ = U'\ — ]$iU2 = м2 — д

4 С 8X\ + X7, (5g1 t,x — 59, г U\ = M-ic, U2 = u2c

5 С I3X4 + X7, /3 Ф 0 t,x — [3t9, г U\ = Uic — j39, U2 = u2c — /39

6 D Xio х, у, л U\ = Mi, U2 = m2

7 D № + x10, із ф о ot2 X — Ру, У, Z t/i = Mi — fit, U2 = u2 — f3t

8 С l3X4 q'A_7 + Xio, а ф 0, /3 Є К. at—9, х—/3^, г U\ = и ic — f3t, U2 = u2c — f3t

Компоненты вектора скорости v^w^v2,w2 являются инвариантами во всех подалгебрах. Подмодели для подалгебр с номерами 4, 5, 8 удобней записывать в цилиндрических координатах. Для этого вводятся новые независимые переменные t,x,r,9, где

у = г cos в, z = г sin 9, г = л/у2 + z2, 9 = arctg

У

Компоненты векторов скорости фаз в цилиндрических координатах u1c = (u1c, v1c, w1c), u2c = (u2c,v2c,w2c) вводятся заменами

u1c = u1, v1c = v1 cos 9 + w1 sin 9, w1c = — v1 sin 9 + w1 cos 9,

u2c = u2, v2c = v2 cos 9 + w2 sin 9, w2c = — v2 sin 9 + w2 cos 9.

Обратная замена

u1 = u1c, v1 = v1c cos 9 — w1c sin9, w1 = v1c sin 9 + w1c cos 9,

u2 = U2c, v2 = v2c cos в — w2c sin в, w2 = v2c sin в + w2c cos в.

Здесь vic — радиальная в плоскости (y, z), а wic — окружная компоненты векторов скоростей фаз. Обозначения для плотностей и давления не изменяются. Вектора Х1;Х4,Х10 не изменятся в цилиндрических координатах, вектор Х7 примет вид Х7 = де.

Выпишем инвариантные для подалгебр из оптимальной системы подмодели системы (1)-(4). При этом номер подмодели будет соответствовать номеру подалгебры в таблице.

3.1. Двумерные движения. Рассмотрим представление решения (U1, U2, р1; р2) = (U1; U2, Ръ p2)(t, y, z). Факторсистема уравнений подмодели:

fдVl дЖЛ ^Vi д^Л

Dm + p1(1^ + —)-o, і>2Л + Л(^ + —)-о,

ОД + —gradjy г)Р - Л f/l “ U'2

где

P1 P1 Т

ШУ‘2 + — grad( 2)Р = —-------------— ,

P2 Т

д д д д д д

А = 7^7 + У — + Wi —, ^2 = 7^7 + У— + Ж27Г,

дt дy дz дt дy дz

U1 = (Ui,Vi,Wi), U2 = (U2,V2,W2), grad(y,z) = (0,ду ,дг)

3.2. Галилеево-инвариантные движения. Решения имеют вид

«1 = | + ^(^ У-> ~)> и2 = у + ^(^ У, ~),

(VI, ^1, ^2, ^2,Р1,Р2) = (VI, >2, ^2,Р1,Р2)(^,У,г),

а соответствующая факторсистема уравнений подмодели —

/1 ЗУ дЖЛ „ /1 ^ 5^2

-^1Р1 + Р1 ( т Н I ) — 0 , Д2Р2 + Р2 ( т Н V

t дy дz у \ t дy д2

ОДі + if/, = 1,1 “ 1,2

DlVl +

D1W1 +

t P1 Т

ml дР(pi , P2) P2 V1 — V2

Pl дy pi т

ml дР (pl, P2) P2 W1 — W2

p1 дz p1 т

ВД + >2 = Ul U2

t т

0

О2>2 + ^2^2 +

т2 дР(рьр2) _ У - У2 Р'2 ду Т

т2 дР (Р1,Р2) ^1 - Ж2

Р2

дг

где

д д д 5 5 5

А = 7^7 + У — + ^17Г , А = 7^7 + У— + Ж27Г •

дг ду дг дг ду дг

г г

3.3. Сдвиговые движения. Решения вида «1 = — + £, у), Щ = тт + и2(1, £, у),

в в

гг

(г?1, Ш1, у2,ги2, рь р2) = (У, И^1, У, 1У2, рь р2) (^, £, у), £ = х —— соответствуют факторси-

стеме:

О1Р1 + Р1

в

д^1 ду *дЖЛ л ^ /д^2 ду гдЖ2

+ —-----^г- 1=0, и2р2 + р2 ( -^г- +

Г, гг , , т1дР(рьр2)_ р2и1-и2

^1^1 + ~^УУ 1 Н---------77----- —--------------

в Р1 д£ Р1 т

+

01^1 -

Ш1 дР(Р1, Р2) Р2 У - У

Р1 ду Р1 т

Ш1 г дР (Р1,Р2) Р2 ^1 - Ж2

Р1 в д£

Р1

0^2 + 02^2 -

?В2 дР(рЬр2) _ V7! - У2 Р2 ду Т

т2 г дР (Р1,Р2) ^1 - Ж2

Р2 в д£

т

где

д

д

д

г д д д г

В[ = _ + (гл _ _1У1)_ + „ , В2 = ж + № - -иу- + ,4- .

3.4. Винтовые движения. Решения, имеющие вид

(М1с ^1с ^1с,М2с, ^2с ^2сР1,Р2) = (^1, У, ^1, Цз, У, ^2, Р1, Р2)(£, £, г)

соответствуют факторсистеме уравнений подмодели

°1Р1 + Р1

д^1 ду V! 5 д^1

-----1 _|--------1 _|-----£--------------1

д£ дг г г д£

0

п , ,'5Р2 , дУ2 , У2 6д\У2

В2р, + р2\-дГ + ^Г + ---г^Г

£ = х - 50,

0

0

ад + = ,

Р1 Р1 т

в1у1-"1 + ’Шрг = -ЪЪ-Ъ

г Р1 Р1 т

П и/ , ^ ^1р _ Р2^!-

1 кк 1 Н---------------------—-гр —--------

г г Р1 Р1 т

в2и2 + = и1 -гл

Р2 т

1 - ^2

Ж>2 , то У - V

где

-О 2 У---------1-----Рг — ----------- ,

г Р2 т

п , , . , W2v2 5 т2 п _\¥1-\¥2

и2уу2 Н---------------------гс — ----------- ,

г г Р2 Т

д 5 д д д 5 д д

Вг = - + (И, - -^)— + У —, ^ + № - -^2)т^ + IV •

дг г д£ дг дг г д£ дг

3.5. Обобщенные вращательно-симметричные движения. Представление решения и 1с = + и1(г,£,г), и2с = + ^2(г,С,г), £ = х - вг0, (^1с,^1с,'У2с,^2с,Р1,Р2) =

(У1,Ж1,У2,^2,Р1,Р2)(*,е,г).

Факторсистема имеет вид

/д^1 дУ У ЛдЖЛ

°1Л + 91 (ж + + Зг'"аг) “0’

В2Р2 + л(^ + ^ + --/?-^?) =0,

\ д£ дг г г д£ /

/3,1/, + ^ + ^р< = .

г Р1 Р1 т

- м + ПЯр, = ^

г Р1 Р1 т

р,»',+^ - а^-р? = ,

г Р1 г Р1 т

вд + :352 + !!!2р{ = ^Яр1^,

г Р2 т

ад-М + !^р = ^,

г Р2 т

1>2И<2 + ^ - а—-Р« = .

г Р2 г т

где

д гдд д гдд

В1 = - + (и1- /З-Н^) — + VI — , В2 = - + (и2 - /3-\¥2)— + у— . дг г д£ дг дг г д£ дг

3.6. Стационарные течения. Решения вида

(М1,М2,Р1,Р2) = (И1, И2,Р1,Р2)(х,у,г) соответствуют факторсистеме

О1Р1 + Р1^¥ р1 = 0 , О2Р2 + Р2&У Р2 = 0 ,

вд + %1Ж1 р = _Р11А^Л1,

Р1 Р1 т

п г7 '^-2 , р и2

02и2-\---gradP

где

Р2 т

д д д д д д

Ог = II,— + У — + — , Б2 = и2— + У27- + ^2 —

дх ду дг дх ду дг

3.7. Стационарные течения в однородном поле сил, направленных параллельно оси х. Представление решения и1 = вг + ^(£, у, г), и2 = в^ + И2(£, у, г), (г>1, г^1, г>2, «>2, Рь Рг) = (У, И^, У, И^2, Рь РгХС, У, £ = ^ —/Зу. Факторсистема уравнений подмодели:

/д Ц ду дЖЛ

В.Л+Р, (_ + _ + _До,

/д И2 ду> д^Л

В2Л + Л(^ + ^- + —) -О,

ад+/»+т,№(л'л) ***"**

В1у, +

01^1 +

Р1 д£ Р1 т

Ш1 дР(Р1, Р2) Р2 V - у>

Р1 ду Р1 т

т1 дР(Р1, Р2) Р2 ^1 - Ж2

О2 И2 + в +

02У2 + 02^2 +

Р1 дг р1 т

т2 дР (Р1,Р2) И1 - И2

Р2 д£ т

?п2 дР(р1,р2) _ У - У2 Р2 ду Т

т2 дР(р1, Р2) _ ^1 - ^2

Р2 дг

где

д д д

В1 = и1— + У1— + Ш1 — д£ ду дг

д д д

о2 = и2— + у2— + ш2—

д£ ду дг

3.8. Обобщенные вращательные движения в однородном поле сил, направленных параллельно оси х. Решения вида и1с = вг + И1(т,£,г),

«2с = в* + И2(т,£,г), (^1с,^1с,^2с,^2с,Р1,Р2) = ('У , Ж, V), Ж, Р1, Р2)(т, £, г) , в = ^ - 0,

£ = х — /3 у, соответствуют факторсис.теме уравнений подмодели

°1Р1 + Р1

дИ1 ду У 1 дЖ

-----1 _|--------1 _|-----£--------------1

д£ дг г г дв

п , (ди2 , <9У2 , У2 1дШ2

о^ + р2у-^ + — + т--—

0,11, + ^ + Р( = -Р1и'-и*

Р1 Р1 т

од-^ + !^ = г Р1

г Р1 г

в2и2 + /3 + —= Р2

од -Ш + ’Л1Рг

г Р2

р2 V7! — У2 Р\ Г Р2 ^1 - ^2

г Р2 г

Р1 т

Ц1-Ц2

т

У - У2 т

- 1¥2 т

где

01

ЖЛ д тт д ЛВ

а--------) о—\~Ui~pr- -\-V\-

г дв д£ дг

02

ЖЛ д тт д тл д

а--------) О----^ 2Т~

г дв д£ дг

0

0

4. Некоторые решения системы уравнений динамики газовзвеси. Прямой проверкой можно убедиться, что функции

С1

Р1 = 7’ р2

х1

и1 = Т + Т

г г

х1

«2 = 7 + 7

г г

С2

I

С2

С1 + с2 С1

С1 + с2 ^1 = ^1 = 0, ^2 = ^2 :

^(у,г)ехР ^ г) ехр

С1 ) т J

С1 + с2 \ г

С1 /г

^} + ^’(гл~)

задают решение системы (1)-(4), инвариантное относительно галилеевских преобразований. Также найдены следующие решения системы.

I.

«2 = Ui, Pl =

X

Cl

Mi —----------------------h

t + c3 t + c3

(t + C3) (t + C5) (t + C7)

C4 y , C6

P2 = c2 Pi ;

t’l =----------------------------h

t + C5 t + C5

w1

C8

t + C7 t + C7

II.

Pi = P2

U1

Cl

(t + C3) (t + Сб) (t + C9)

X

C4

Vi

w1 =

t + C3 i + C3

У c7

t + Сб t + Сб

- Сю

C5 / 2

----------exp <-------------г

t + C3 I T

C8

t + Сб C11

exp { -

«2

V2

x c4 c5 Г 2

------------h----------------h ------------exp ---------------1

t + C3 t + C3 t + C3 I T

y

C7

exp <----------1

t + C9 I T

W2 =

+

+

C8

exp { - h] 2

- exp <---------1

t + C9 I T

t + Сб C11

5. Заключение. Полученные подмодели будут использоваться при поиске инвариантных решений системы, для качественного исследования конкретных движений газовой взвеси: поиск характеристик, областей гиперболичности, траекторий движения. Найденные решения могут быть использованы как для апробации численных методов, так и для постановки задачи Коши.

Литература

1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / М.: Наука, 1978. -400 с.

2. Федоров А.В, Фомин П.А., Фомин В.М., Тропин Д.А., Чен Дж.-Р. Физико - математическое моделирование подавления детонации облаками мелких частиц / Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2011. - 156 с.

3. Панов А.В. Групповая классификация системы уравнений механики двухфазной среды // Вестник Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. - 2011. - Вып.13. -С.38-48.

4. Федоров В.Е., Панов А.В. Инвариантные и частично инвариантные решения системы уравнений механики двухфазной среды // Вестник Челяб. гос. университета. Физика. -2011. - Вып.11. - С.65-69.

5. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Прикладная матема-

тика и механика. - 1994. - 58,Вып.4. - С.29-55.

6. Ovsyannikov L.V. On the optimal system of subalgebras // Lie Groups and Their Appl. -

1994. - 1,№.2. - P.18-26.

INVARIANT SUBMODELS OF EQUATIONS SYSTEM OF MIXTURE DYNAMICS OF GAS AND SMALL PARTICLES IN THE CASE OF THREE SPATIAL VARIABLES

A.V. Panov

Chelyabinsk State University,

Bratyev Kashirinyh St., 129, Chelyabinsk, 454001, Russia , e-mail:gjd@bk.ru

2

Abstract. The equations system of mixture dynamics of gas and small particles is investigated by means of group analisys methods in the case of three spatial variables. The kernel of principal Lie algebras is found. Optimal system of one-dimensional subalgebras is written and their invariant submodels are extracted. Some exact solutions of the system are calculated.

Key words: gas and particles mixture, symmetry Lie algebra, optimal system of subalgebras, admitted group, invariant solution, submodel.