Оптимальная система подалгебр для уравнений термодиффузии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 9, № 1, 2004

ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДАЛГЕБР ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОДИФФУЗИИ*

И. И. Рыжков Институт вычислительного моделирования СО РАН

Красноярск, Россия e-mail: [email protected]

A model for convective motion of binary mixture with thermal diffusion effect is considered. The Oberbeck — Boussinesq approximation describing convection in natural earth’s conditions is used. The Lie group of transformations allowed by the equations of motion and the corresponding Lie algebra of generators L = L5 ® Lare found. The optimal system of sub-algebras for the finite Lie algebra L5 and the optimal system of one-dimensional sub-algebras for the Lie algebra L are constructed.

Введение

Известно, что в неравномерно нагретой жидкости может возникнуть конвективное движение. Если жидкость представляет собой смесь двух веществ, то движение может вызываться как градиентом температуры, так и градиентом концентрации. Это явление называется термодиффузией [1]. Существует множество примеров практического применения термодиффузии: рост кристаллов, разделение смесей, течения в океанах и т.д.

В работе рассматривается модель конвективного движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии. Используется приближение Обербека — Буссинеска, предназначенное для описания конвективных течений в естественных земных условиях. Изучены групповые свойства уравнений модели: найдены допускаемая группа Ли преобразований и соответствующая алгебра Ли операторов L. Показано, что алгебра L представима в виде прямой суммы L = L5 ф L^, где L5 — конечномерная подалгебра, а L^ — бесконечномерный идеал. Построены оптимальная система подалгебр алгебры Ли L5 и оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ли L.

1. Групповые свойства уравнений термодиффузии

В приближении Обербека — Буссинеска предполагается, что плотность смеси линейно зависит от температуры и концентрации легкой компоненты:

Р = Ро(1 — PiT — ).

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант НШ 902.2003.1).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.

Здесь р0 — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, а Т и С — отклонения от средних значений, которые предполагаются малыми; в1 — коэффициент теплового расширения смеси, а в2 — концентрационный коэффициент плотности (в2 > 0, так как С — концентрация легкой компоненты). Конвективное движение смеси описывается системой уравнений [2]:

щ + (и ■ У)и = —1 Ур + иАи + g(вlT + р2С),

Ро

Т + и ■УТ = хАТ, (1)

С + и ■УС = (1АС + ад,АТ,

&уи = 0,

где и = (и1, и2, и3) — вектор скорости; р — превышение давления над гидростатическим; и,х — коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности смеси; д — коэффициент диффузии; а — параметр термодиффузии. В первом уравнении g = (0, 0, — g), где g — ускорение силы тяжести (направление оси совпадает с направлением силы тяжести). Все характеристики среды предполагаются постоянными, соответствующими средним значениям температуры и концентрации.

В дальнейшем будем считать, что постоянные а, в1, в2 в нуль не обращаются (таким

образом, соответствующие члены присутствуют в уравнениях). В этом случае система (1)

допускает бесконечномерную группу Ли преобразований. Соответствующая ей алгебра Ли Ь представляется в виде прямой суммы Ь = Ь5 ф Ьте. Конечномерная алгебра Ь5 образована операторами

Х1 = & Х2 =—РоЛ 11 х3др + §Т'Хз =—Рор211 х3др + дет

X = -4 + £ (X- £ — и ±) — 2рдр — ЭТА — 3С± (2)

-=1

та 1 д 2 д 1 д 2 д

Х5 — X ——— — X ——7 + и ——— — и

дх2 дх1 ди2 ди1

а бесконечномерный идеал имеет базис

д д д Нг(Іг(і)) = Іг(і) дхі + - Р0ХгШ др, і = 1 2, 3, (3)

д ВД 0(ї)) = / 0(ї) ^

где /г(ї),/0(і) — произвольные гладкие функции. Если входящие в систему постоянные связаны соотношением а = в1(д — х)/в2д, то базис (2), (3) дополняется оператором

дд К = ЬТдт — ьтш

В дальнейшем предполагается, что а = ві(д — х)/в2д, д = х, и оператор К не допускается. Система (1) также обладает дискретными симметриями

д1 : х1 = —х1, и1 = —и1; д2 : х2 = —х2, и2 = —и2;

И3 : х3 = —х3, и3 = -и3, Т = —Т, С = — С.

Заметим, что последнее преобразование не имеет физического смысла.

Для выделения существенно различных (относительно действия допускаемой группы преобразований) инвариантных решений системы (1) требуется построить оптимальную систему подалгебр 0Ь алгебры Ли Ь. В настоящей работе проводится построение оптимальной системы подалгебр 0Ь5 для конечномерной алгебры Ли Ь5, а также оптимальной системы одномерных подалгебр 01Ь алгебры Ли Ь. Используемые при этом алгоритмы описаны в работах [3-5].

Введем следующие обозначения: f (г) = (/1(г),/2 (г),/3(г)), д(г) = (д1 (г), д2(г), д3(г)), /° = /°(г), д° = д°(г) — произвольные гладкие функции, Н^) = Н1(/1) + Н2(/2) + Н3(/3) — оператор алгебры Ьте. В этих обозначениях вычисляются коммутаторы базисных операторов алгебры Ли Ь, которые представлены в табл. 1.

Для построения оптимальной системы 0Ь необходимо найти группу внутренних автоморфизмов Аи1Ь алгебры Ь. Действие Аи1Ь на множестве всех подалгебр алгебры Ь разбивает это множество на классы подобных подалгебр. Совокупность представителей этих классов (по одному из каждого класса) образует оптимальную систему подалгебр

0Ь.

Образ X базисного оператора X под действием внутреннего автоморфизма, соответствующего базисному оператору У, ищется как решение задачи

иХ ~ ~

— = [Х,У], X(0) = 0, (4)

или используется явная формула

2

а а2

X = Ay (а) < X >= X + -[X, Y] + -[[X, Y], Y] + ... (5)

Группу AutL образуют автоморфизмы Ai (ai), i = l,..., 5, AH (g), AH (g0), соответствующие базисным операторам Xi, i = l,..., 5, H (f), H0(f0). Здесь ai, g (t) и g0(t) — параметры.

Рассмотрим оператор общего вида

5

X = £ kiXi + H(f) + H0(f0),

=1

где (k1,... ,k5, f (t), f 0(t)) — координаты оператора X Є L в базисе (2), (3). Группа внутренних автоморфизмов преобразует координаты оператора X по формуле

AutL : (k1,..., ks, f (t), f0(t)) —► (h,..., ks, f(t), f0(t)).

Действие группы AutL приведено в табл. 2, при этом используются следующие обозначения:

(cos a5 — sin a5 O\ sina5 cosa5 O I , D(51,52,53) =

O O l) \ O O (—l)'3

0 г k1 3 h°(t) = p0 -2"(gtttg — gtgtt) + (k2^1 + k3^2) gg3 + k4(2gttg + tgtttg — tgttgt)+ (б)

+ k5(g1gt2t — g1tg2) + fttg — fgtt h (t) = k1 gt + k4 (2tgt — g) + k5 (g2, —д1, 0), p0(t) = k1g0 + k4 (2tg0 + 2g0).

(—l)'1 O O

O (—l)'2 O

O O (—l)

Таблица 1

Коммутаторы операторов алгебры Ли Ь

[|> Х1 Х2 Хз Х4 Х5 н (д) Но(<7о)

XI 0 0 0 2Х1 0 н Ы НК^)

Х2 0 0 0 —3Х2 0 Но(ров1 ё #3) 0

Хз 0 0 0 —3Хз 0 Но(ров2 ё#3) 0

Х4 —2Х1 3Х2 3Хз 0 0 — (2 Н НоМ + 2£о)

Х5 0 0 0 0 0 0) —, 2, 3 Н 0

н (/) Н (—/*) Но(—ров1 Я / 3) Но(—ров2 ё /3) Н (—2^/* + /) Н (—/2,/1, 0) Но(Ро/**д — Ро/9и) 0

Но(/о) Но(—/*о) 0 0 Но(—2^д° — 2#о) 0 0 0

Таблица 2

Действие внутренних автоморфизмов алгебры Ли Ь

к1 к2 к3 к4 ^5 т о(

^1(01) к1 — 2а1к4 к2 к3 к4 ^5 — ‘К / о(г — 01)

^2(02) к1 Й2 + 302^4 к3 к4 ^5 / (г) / о(г) — 02Ров1 ё / 3(г)

^3(03) к1 к2 к3 + 303^4 к4 ^5 / (г) / о(г) — а3Ров2 ё / 3(г)

^4(04) е2“4 к1 е-3“4 к2 е-3“4 к3 к4 ^5 е“4 / (ге-2“4) е-2“4 /о (ге-2“4)

А5 (о5) к1 к2 к3 к4 ^5 ^(05)/ (г) /о (г)

Ан (д) к1 к2 к3 к4 к5 / (г) + л. (г) / о(г) + ьо(*)

А ( о к1 к2 к3 к4 ^5 / (г) /о (г)+ Ро(г)

А?№) &1 к2 к3 к4 (—1)й1 к5 / с

А2(^2) к1 к2 к3 к4 (—1)д2 к5 ^(61,62,63)/(г) / с

А3(^3) к1 (—1)й3 к2 (—1)й3 к3 к4 ^5 /о (г)

98 И. И. Рыжков

В таблице также указано действие дискретных автоморфизмов А^($г), порождаемых дискретными симметриями г = 1, 2, 3. Параметры 8г принимают значения {0,1}, при этом А^(0) соответствует тождественному преобразованию.

Замечание. Для определения действия автоморфизмов А1(а1) и А4(а4) на операторы Н(/) и Но(/о) строилось решение задачи (??). Во всех остальных случаях использовалась формула (??).

2. Оптимальная система подалгебр алгебры Ли Ь5

Рассмотрим классификацию подалгебр алгебры Ли Ь5 относительно группы внутренних автоморфизмов Аи1Ь5 с базисом Аг, г = 1,..., 5 и дискретных автоморфизмов А^, ] = 1,2,3. Алгебра Ь5 представима в виде прямой суммы Ь5 = Ь4 ® {Х5} алгебры Ь4 = {Х^ Х2, Х3, Х4} и своего центра {Х5}.

Прежде всего найдем оптимальную систему 0Ь4. Используя табл. 1, выделим композиционный ряд 0 С {Х1} С {Х^Х2} С {Х^Х2,Х3} С Ь4 и представим Ь4 в виде прямой суммы собственного идеала 3 и подалгебры N: Ь4 = 3 ф N, где 3 = {Х1;Х2}, N = {Х3,Х4}. Соответствующее разложение группы внутренних автоморфизмов А с базисом Аг, г = 1, 2, 3,4, имеет вид А = AJАм, при этом AJ = А1А2 и Ам = А3А4.

Построение 0Ь4 осуществляется в два этапа. На первом этапе строится оптимальная система 0N с использованием автоморфизмов Ам. Пусть {к3Х3 + к4Х4,13Х3 + /4Х4} — произвольная подалгебра алгебры Ли N. Задача о нахождении 0N равносильна построению оптимальной системы матриц

= (к;3 кЛ

£ V13 14)

относительно действия группы С2 = АмВ2, где В2 — группа преобразований базиса (строк матрицы £). Так как ранг г(£) матрицы £ является инвариантом группы Ам, построение ведется по значениям этого ранга. Если г(£) = 2, то В2-преобразованиями матрица £ приводится к единичной, а при г(£) = 1 — к одной из двух форм: (1, 0) и (А, 1). С помощью автоморфизма А3(—А/3) вторая из них сводится к (0,1). При г(£) = 0 матрица £ нулевая. Таким образом, первый этап дает оптимальную систему

N1 = {Х3,Х4}, N2 = {Х3}, N3 = {Х4}, N4 = {0}. (7)

На втором этапе строятся оптимальные системы для алгебр 3 ф ^, р = 1, 2, 3, 4. Объединение всех этих систем и будет оптимальной системой 0Ь4. Задача сводится к построению оптимальных систем (4 х 4)-матриц блочного строения

п = (П1 £

' V» 0

относительно действия группы 04 = АВ4, где В4 — группа преобразований базиса (строк матрицы п). Здесь £ — одна из подматриц, соответствующих (??), а блок п2 следует за первой ненулевой строкой в £. Ранг г(п2) матрицы п2 оказывается инвариантом группы А, поэтому построение ведется по значениям этого ранга.

Таблица 3

Оптимальная система подалгебр 0Ь4

і Базис ^ N0^ і Базис ^ N0^

1 со' с<Г т-Ч =1 12 2, 3 1

2 1, 2, 3 1 13 1 1

3 1, 2, 4 =3 14 4 =14

4 2, 3, 4 =4 15 А1 + 2 2

5 1, А2 + 3, 4 =5 А = 0 (А > 0)

6 1, 2 1 16 2 1

7 1, 4 =7 17 А1 + ^2 + 3 2

8 2, 4 =8 А = 0 (А > 0)

9 1, А2 + 3 1 18 ^2 + 3 1

10 А2 + 3, 4 =10 19 0 1

11 А1 + 2, ^1 + 3 А2 + ^2 = 0 ^пА + sgn^ = -2) 2

В табл. 3 приведена нормализованная [4] оптимальная система 0Ь4. Базисы подалгебр записаны символически только номерами соответствующих операторов, при этом символ Л2 + 3 означает ЛХ2 + Х3 и т.д. Символом “0” обозначена нулевая подалгебра. В третьем столбце указаны номера нормализаторов подалгебр ^ в Ь4, знаком равенства отмечены самонормализованные подалгебры. Постоянные Л,^ принимают любые вещественные значения, если не оговорено противное. Заметим, что при построении оптимальной системы подалгебр использовались дискретные автоморфизмы А^, А^. Если также принять во внимание автоморфизм А3 (хотя порождающая его симметрия не имеет физического смысла), то на значения постоянных Л,^ накладываются ограничения, указанные в скобках. Этот принцип используется и в дальнейшем.

Теперь, когда оптимальная система подалгебр алгебры Ли Ь4 найдена, можно перейти к построению оптимальной системы 0Ь5. Так как подалгебра {Х5} является центром в Ь5, она может входить в виде прямого слагаемого в любую подалгебру алгебры Ли Ь5. Поэтому формирование оптимальной системы 0Ь5 осуществляется по следующему принципу. Для каждой подалгебры ^ £ 0Ь4, г = 1,---, 19, строятся векторные пространства ^, ] = 1,... , &ш^ + 1 путем:

а) добавления оператора Х5 в качестве еще одного элемента базиса к операторам, входящим в ^, при этом ^ш^у = &ш^ + 1;

б) последовательного добавления слагаемого к5Х5, к5 £ К, к каждому из операторов, образующих базис в ^, при этом ^ш^у = &ш^.

Затем проверяется свойство быть подалгеброй и используются внутренние автоморфизмы из Аи1Ь5, а также группа преобразований базиса для того, чтобы придать базисным операторам наиболее простой вид. Заметим, что использование автоморфизма А1 (или А!) позволяет всегда считать к5 > 0. Получаемая при этом совокупность подалгебр образует оптимальную систему 0Ь5, которая приведена в табл. 4. Здесь номер подалгебры имеет вид г.г, где г — размерность подалгебры, г — порядковый номер подалгебры размерности г. В третьем столбце приведены номера нормализаторов подалгебр в Ь5, знаком равенства отмечены самонормализованные подалгебры. В скобках указаны ограничения на значения постоянных Л,^, возникающие при использовании автоморфизма А^ в процессе построения 0Ь5.

Таблица 4

Оптимальная система подалгебр ©£5

Г.І Базис КГ N0^ Г.І Базис КГ N0^

5.1 1, 2, 3, 4, 5 =5.1 2.10 1, 4 + А5 3.2

4.1 5 3, 2, 1, 5.1 А > 0

4.2 5 4, 2, 1, =4.2 2.11 2, 4 + А5 3.3

4.3 5 4, 3, 2, =4.3 А > 0

4.4 1, А2 + 3, 4, 5 =4.4 2.12 1, А2 + 3 5.1

4.5 1, 2, 3, 4 + А5 5.1 2.13 1 + 5, А2 + 3 4.1

А > 0 2.14 1, А2 + 3 + 5 4.1

3.1 1, 2, 5 5.1 2.15 А2 + 3, 4 + ^5 3.5

3.2 1, 4, 5 =3.2 ^ > 0

3.3 5 4, 2, =3.3 2.16 2, 3 5.1

3.4 1, А2 + 3, 5 5.1 2.17 2 + 5, 3 4.1

3.5 А2 + 3, 4, 5 =3.5 2.18 2, 3 + 5 4.1

3.6 А1 + 2, ^1 + 3, 5 4.1 2.19 А1 + 2, ^1 + 3 4.1

А2 + ^2 = 0 А2 + ^2 = 0

^пА + sgn^ = -2) ^пА + sgn^ = -2)

3.7 5 3, 2, 5.1 2.20 А1 + 2 + 5, ^1 + 3 4.1

3.8 1, 2, 3 5.1 А2 + ^2 = 0

3.9 1 + 5, 2, 3 4.1 ^пА + sgn^ = -2)

3.10 1, 2 + 5, 3 4.1 2.21 А1 + 2, ^1 + 3 + 5 4.1

3.11 1, 2, 3 + 5 4.1 А2 + ^2 = 0

3.12 1, 2, 4 + А5 4.2 ^пА + sgn^ = -2)

А > 0 1.1 1 5.1

3.13 2, 3, 4 + А5 4.3 1.2 1+5 4.1

А > 0 1.3 4 + А5 2.2

3.14 1, А2 + 3, 4 + ^5 4.4 А > 0

^ > 0 1.4 2 5.1

2.1 1, 5 5.1 1.5 А1 + 2 4.1

2.2 4, 5 =2.2 А = 0 (А > 0)

2.3 А1 + 2, 5 4.1 1.6 А1 + 2 + 5 4.1

А = 0 (А > 0) (А > 0)

2.4 2, 5 5.1 1.7 ^2 + 3 5.1

2.5 А1+ ^2 + 3, 5 4.1 1.8 А1 + ^2 + 3 4.1

А = 0 (А > 0) А = 0 (А > 0)

2.6 ^2 + 3, 5 5.1 1.9 А1 + ^2 + 3 + 5 4.1

2.7 1, 2 5.1 (А > 0)

2.8 1 + 5, 2 4.1 1.10 5 5.1

2.9 1, 2 + 5 4.1 0.1 0 5.1

3. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ли Ь

При построении оптимальной системы 0\Ь за основу берется оптимальная система одномерных подалгебр 01^5 из табл. 4. Прежде всего заметим, что любая одномерная подалгебра из Ь с помощью автоморфизмов из Аи1Ь5, а также дискретных автоморфизмов может быть приведена к виду {К + Н(/) + Н0(/0)}, где {К} € 01Ь5. Далее, подалгебры

{К + Н(/) + Н0(/0)} и {К + Н(/) + Н0(/0)}, где {К} и {КС} — различные подалгебры из 01Ь5, не могут быть переведены друг в друга с помощью автоморфизмов из Аи1Ь, так как любая конечномерная подалгебра инвариантна относительно Ая(д), А,^(д0). Поэтому для построения оптимальной системы 01Ь необходимо последовательно рассмотреть подалгебры

{К1 + Н(/) + Н0(/0)}, {К1} € 01Ь5, г = 1,..., 11, (8)

и классифицировать каждую из них относительно Аи1Ь и дискретных автоморфизмов. При этом следует добиться обращения в нуль максимально возможного числа функций из набора /0, /1, /2, /3 путем выбора параметров автоморфизмов.

В дальнейшем предполагается, что функции /0,/1,/2,/3 € Сп(£0 ,^1), где

—то < £0 < ^1 < то, п € N и{то}. При классификации подалгебр используются следующие леммы.

Лемма 1. Пусть / € С'га(£0,£1). Тогда существует решение д € С'га(£0,£1) уравнения

+ д + / = о.

Лемма 2. Пусть / € С'га(£0,£1). Тогда существует решение д € С'га(£0,£1) уравнения 2£д — д + / = °.

Лемма 3. Пусть /1,/2 € Сп(£0,^1), А € К. Тогда существует решение д1,д2 €

(^0,^1) системы уравнений

2£д1 — д1 + Ад2 + /1 = °

2£д2 — д2 — Ад1 + / 2 = °-Указанные леммы приводятся в работе [6].

Остановимся подробнее на классификации двух подалгебр из списка (??), соответствующих КЗ = {Х4 + АХ5}, А > 0 и К| = {Х2}. Рассмотрим подалгебру {Х4 + АХ5 + Н(/) + Н0(/0)}. Последовательным действием автоморфизмов Ая(д), А^(д0), где функции д = (д1,д2,д3) и д0 удовлетворяют уравнениям

2£д1 — д1 + Ад2 + /1 = ° 2£д2 — д2 — Ад1 + /2 = °, (9)

2*д3 — д3 + /3 = 0, 2*д0 + 2д0 + /0 + Л0 = 0, (10)

эта подалгебра приводится к виду {Х4+АХ5} (здесь Л0 — функция из (??)). Существование решения системы (??) и уравнений (??) гарантируется леммами 1-3.

Перейдем к подалгебре {Х2 + Н(/) + Н0(/0)}. С помощью автоморфизма Ан(0, 0,д3), где функция д3 удовлетворяет уравнению

/ 3д« — (/« + А £)д3 — /0/р0 = 0> (11)

данная подалгебра приводится к виду {Х2 + Н(/)}. Решение д3 € Сга(^0,^1) уравнения (??) существует, если /3 € Сга(^0,^1), п > 2, /3(£) = 0, для любого £ € (^0,^1) и /0 € Сга-2(^0,^1).

Классификация остальных подалгебр осуществляется аналогичным образом. Часть возникающих при этом дифференциальных уравнений сводится к уравнениям (??), (??); для (??) и остальных уравнений существование решения непосредственно следует из известных теорем теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оптимальная система подалгебр 01Ь приведена в табл. 5. В первом столбце указан номер подалгебры, во втором — базисный оператор и в четвертом приведены операторы нормализатора подалгебры в Ь. В скобках указаны ограничения на значения постоянной А,

Таблица 5

Оптимальная система подалгебр 0іЬ

і Базис Рі Примечание N0^

1 Хі ^5

2 Х4 + ЛХ5 Л > 0 Х4,Х5

3 Хі + ЛХ2 Л = 0 (Л > 0) Хі,Х2,Хз ,Х5

4 Хі + ЛХ2 + Х5 (Л > 0)

5 ЛХі + ^ + Хз Л = 0 (Л > 0)

6 ЛХі + ^Х2 + Хз + Х5

7 Н (/0) /0 = 0 ь

8 Х5 + Но(/0) Х2,Хз,Х5 ,Нз,Н0

9 - ві Х2 + Хз + Но(/0) Х2,Хз,Х4 ,Х5,Ні,Н2 ,Н0

10 - ві Х2 + Хз + Х5 + Но(/0) Х2,Хз,Х5 ,Н0

/з = 0 /з = 0

11 Х5 + Нз(/3) ,0 ,з ,5 Х5,Н0

12 Х2 + Х5 + Нз(/з) Хі,Х2,Хз ,Х5,Н0

13 ^Х2 + Хз + Х5 + Нз(/з)

/з = 0 /і / 2

14 Н (/) Хі,Х4,Н0 Х2,Хз,Нз 0 0 Х5,Ні,Н2

15 Х2 + н (/) Х4,Н0 Х2,Хз 0 = 0 Ні

16 ^Х2 + Хз + Н (/) = 0 0 Н2

= 0 = 0 Х5

связанные с использованием автоморфизма А при построении 0^. Операторы нормализаторов подалгебр Р14, Р15 и Р16 определяются следующим образом. В первом столбце указаны операторы, входящие в нормализатор независимо от вида функций f = (//2, /3). Во втором столбце приведены операторы, которые следует добавить в нормализатор в случае /3 = 0. Таблица со значениями функций /:, /2 — общая для подалгебр Р14, Р15, Р16 и содержит операторы, входящие в нормализатор в зависимости от того, равны ли эти функции тождественно нулю или нет.

Заметим, что подалгебры из табл. 5, в которых координаты базисного оператора зависят от произвольных функций, могут содержать подобные подалгебры. В качестве примера рассмотрим подалгебру {Х5 + Н°(/°)}. Последовательным действием автоморфизмов А1(а1), А4(а4) и А^(^1) ее можно привести к виду {Х5 + Я°(/°)}, где

/°(*) = (-!)Й1 е-2“4/°(е-2“4(* - «1)), (12)

при этом полученная подалгебра будет подобна исходной. Таким образом, действие внутренних и дискретных автоморфизмов разбивает каждую из подалгебр Р^, г = 7,... , 16 на классы подобных подалгебр. Эти автоморфизмы должны оставлять неизменной конечномерную составляющую базисного оператора (при этом допускается умножение этой составляющей на отличное от нуля число). Каждый класс однозначно определяется конкретным видом произвольных функций и содержит подалгебры, в которых эти функции связаны некоторым соотношением (например, (??)). Это соотношение (условие подобия) не зависит от вида произвольных функций.

Условия подобия для подалгебр Р^, г = 7,... , 16, приведены в табл. 6. Используются следующие обозначения: а > 0, Ь £ К — произвольные постоянные, Л(7), Д(^1,^2,^3) —

Таблица 6

Условия подобия бесконечномерных подалгебр из 01L

Подалгебра Условие подобия

Ho (/0) /0(t) = а/0 (at + b)

X5 + Ho(f0) /0(t) = (-l)^1 а/0(at + b)

-12 X2 + Хз + Ho(f0) / 0(t) = (-1)^3 a-1/2 / 0(at + b)

- в2Х2 + Хз + Х5 + Ho(f0) /0(t) = (-1)^i / 0(t + b)

Х5 + Яз(/3) / 3(t) = (-1)* a-1/2 / 3(at + b)

Х2 + Х5 + Нз(/3) // CO \ / co + )b

^Х2 + Хз + Х5 + Нз(/3)

H (f) f(t) = D(^i,^2 ,^з)Д(7)а 1/2f (at + b)

Х2 + H (f ) f(t) = D(^1, ^2, 0)R(y)a-2f (at + b)

^Х2 + Хз + H (f)

матрицы из (??). Заметим, что если не учитывать действие автоморфизма А^($3), то в таблице следует положить $3 = 0.

Автор выражает благодарность В.К. Андрееву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы

[1] Гидродинамика межфазных поверхностей: Сб. трудов / Под ред. Ю.А. Буевича и Л.М. Рабиновича. М.: Мир, 1984.

[2] Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., НЕпомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989.

[3] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

[4] Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. Т. 333, № 6. C. 702-704.

[5] Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 30-55.

[6] Fushchych W., Popowych R. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations. II // Nonl. Math. Phys. 1994. Vol. 1, N 2. P. 158-188.

Поступила в редакцию 12 сентября 2003 г.