CC BY
35
Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 38 (253). Физика. Вып. 11. С. 65-68.
В. Е. Федоров, А. В. Панов
инвариантные и частично инвариантные решения системы уравнений механики двухфазной среды
Рассматривается нелинейная система уравнений в частных производных, описывающая механику двухфазной среды без учёта температурных эффектов. Методами группового анализа найдены инвариантные и частично инвариантные решения этой системы.
Ключевые слова: двухфазная среда, алгебра Ли, группа симметрий, подмодель, инвариантное решение, частично инвариантное решение.
1. введение. Рассматривается система уравнений
дРі + д(Ріиі) _ 0
дt дх
др2 + д(р2и2) _ 0 дt дх
Рі
ди1 ди1
Р2
дt
ди2
~дї
■ + и
- + и
дх
ди2
дх
+ т.
+ т-
дР(Рі»Р2) _ Р2(и1 - и2)
дх т
дР(Рі, Р2)
Р2(и1 - и2)
дх
описывающая течение смеси газа и мелких частиц [1]. В предположении конечности объёмной концентрации дискретных частиц и отсутствия температурных эффектов данная система состоит из уравнений сохранения массы и импульса каждой из фаз. Правая часть Р2(и—
т
отвечает за силу вязкого трения между фазами. Кроме того, р. = т.р — средняя плотность 7-й фазы; тр.., и. — объёмная концентрация, истинная плотность, скорость . -й фазы; Р — давление, общее для смеси в целом. Первая фаза со -ответствует газу, вторая — частицам.
Неизвестными являются функции скорости и плотности фаз, давление — функциональный параметр системы, зависящий от плотностей фаз.
Ранее в статье [2] показано, что при любой функции давления Р все допускаемые системой уравнений операторы образуют одну и ту же трёхмерную алгебру Ли Ь3. При этом найдены оптимальные системы одномерных и двумерных подалгебр этой алгебры Ли. В данной работе получены соответствующие одномерным подалгебрам из оптимальной их системы подмодели ранга 1 [3] рассматриваемой модели двухфазной среды и соответствующие инвариантные решения в тех случаях, в которых система уравнений подмодели интегрируется явно.
Кроме того, найдено в явном виде частично инвариантное решение, соответствующее одной из двумерных подалгебр из оптимальной системы подалгебр алгебры Ли исходной системы уравнений.
2. Подмодели ранга 1 и инвариантные решения системы. Для данной системы ранее [2] было показано, что при любой функции Р базис допускаемой алгебры Ли Ь3 состоит из трёх операторов:
X 2 -—, 2 дх
X3 — Ї-------------+
3 дх
д д
--------1------
ди1 ди2
В [2] также найдены оптимальные системы подалгебр данной алгебры размерностей 1 и 2.
Теорема 1. Оптимальная система 01 одномерных подалгебр алгебры Ли L3 состоит из подалгебр с базисными векторами
Х2, Х3, Х1 + сХ3.
Теорема 2. Оптимальная система 02 двумерных подалгебр алгебры Ли Ьъ состоит из подалгебр с базисами
< Х2,Х3 >, < Х2,Х1 + сХ3 >.
Найдём неподобные инвариантные решения [4-5] рассматриваемой системы.
д
1. Инвариантами оператора Х2 =— являют-
дх
ся функции
^1 — 2 —р15 ^3 —р2 5 ^4 — и15 ^5 — и2 *
Поэтому инвариантное решение будем искать в виде
Р1 = Р1(). Р2 =Р2({ )> и1 = и1(). и2 = и2().
Из первых двух уравнений системы получим р1 = с1,р2 = с2. Оставшиеся уравнения редуцируются к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
X
dul с2(и1 - и2)
dt т
du2 с2(и1 - и2)
dt т
Решив эту систему, получим инвариантное решение относительно оператора Х2:
р1 = с1,
р2 = с2,
_ (с2 +С1) I
и1 = с4 ехр
с1 т + С2С3
С2 + С1
_ (С2 +Сі) I
и1 = —- с4 ехр
С С
■ + с3.
Таким образом, подмодель ранга 1, описывающая однородную двухфазную среду, интегрируется явно.
д д д
2. Для оператора Х3 = t---1----1----инва-
дх ди1 ди2 риантами являются функции
х х
А1 = ^, А 2 =pl, А3 =p2, А4 = ~ ’ А5 = и2 ~ ■
Следовательно, инвариантное решение будем искать в виде
X X
Р1 = Р1(0, Р2 =Р2({)’ и1 = у1() + -> и2 = у2({) + -■
Подставим в первое уравнение искомые функции и получим уравнение
Отсюда следует, что v1 =
С2 С3 1
-V .
с1 t с1
Подставим это выражение в (3), тогда
' V, а о
у, +------=---------ру,,
t t
^2 ^ — + 1
V с1 У
1. Решением последне-т
го уравнения является функция
с4 -зt а 1
^ = —ехР в + --.
г в г
Таким образом, подмодель ранга 1, соответствующая третьей одномерной подалгебре из оптимальной системы, интегрируется в явном виде и даёт инвариантное решение
С1
р = 7’
р2 = ~’
X С2С3 1 С2 С л 1
и1 = — +----—---------^^-ехр
t с2 + с1 t с1 t
_ (с2 +С|) I С т
X С2 С3 1 Сл
и2 = — +------------------------------------—-+ — ехр
t с2 + с1 t t
(С2 +С1) I С т
Применяя к полученному решению преобразования, соответствующие допускаемой группе с оператором X получим более общее многопараметрическое семейство решений
Рі =
t + а1
решением которого является функция р1 = —1 .
Аналогичным образом получим равенство
С2
р2 = у •
Последние два уравнения системы примут в этом случае вид
Р2 =■
2
t + а.
х с2 с3 1
и1 =---------------------+-----------—-------------------
с2 С4 1
t + а1 с2 + с1 t + а1 с1 t + а1
ехр
(С2+с) t+а Т
и2 =
С2 С3 1
t + а1 с2 + с1 t + а1 t + а1
ехр
(с2 + С) І + а с1 Т
Аі(?) _х + ч(?) + х1_ С2рі(?)_ъ(?))
dt
?2 ? ?2
? т
?
dv2(t) _ X + Ч2(?) + X1 _ С2(л>1(?) _ Ч2(?))
dt
?2 ? ?2
(3)
?т
3. Последняя подалгебра из системы 01 имеет базисный вектор
^ д д д д
X — Хі + сХз —------------------------+ сі-+ с-+ с-.
ді дх ди1 ди2
Сложим эти уравнения, разделим на — и по -лучим уравнение
у2 + УІ + -(У2 + V!) = 0.
Инварианты этого оператора —
СІ 2
Зх = — х, 32 =рі, Зъ = р2,
34 = Щ — СІ, /5 = ^2 — СІ.
С
С
с^т
С
С
2
с
х
с
4
С
?
С
2
2
Решение будем искать в виде
Pi = ri
2 ct2
> P2 = r2
2
ct2
-------X
+ ct, u2 = v2
2 ct2
2
ct2
-------X
+ ct.
После подстановки pp иі в первое уравнение и
ct2
замены у =-------х получим
d (rivi) dy
= 0.
Отсюда г1у1 = с1. Также покажем, что г2у2 = с2. Последние два уравнения системы примут вид
dv1
dy
dP
m1
V v1 V2 у
dy
ґ
С - v,
dv2
dy
dP
m
V v1 V2 у
С2 (v1 - V2)
С2 (v1 - V2)
dy
Тем самым получена подмодель ранга 1 исходной модели двухфазной среды. При заданной функции Р можно найти инвариантные решения для соответствующей этой подмодели системы уравнений.
3. Частично инвариантные решения системы. Найдём теперь инвариантные решения относительно подалгебр из системы 02.
1. Инвариантами двумерной подалгебры {X2,Х3) являются
А 1 — А2 — р15 А3 — р2 5 А4 — и1 и2 *
Ранг матрицы
д( Jl,J2,J3,J4 )
д(Pl,P2 ,иЪu2)
000
1 О О О l О О О l
О
О
О
-l
равен трём, следовательно, инвариантных реше -ний система не имеет (см. [6]). Найдём частично инвариантные решения дефекта 1 [4]. Будем их искать в виде
Рі = Рі 0X р2 = р2 0X и1 = и2 (хt) + ф0).
Подставив эти функции в систему уравнений, получим
РІ0) + р1 )«2 х = 0,
р'2(І ) + р2(? >2 х =0,
Pi(t )(u2t + ф'(t) + U2U2 х + Ф(t )u2 х )
др _ p2(t;>фо)
+Ш1 а ’
дх т
/ ч/ \ дР р2^)ф^)
Р2 (t)(м2; + и2и2х ) + т2 -Г- =---------.
дх т
Умножим первое из четырёх уравнений системы на р второе — на р2 и вычтем из второго уравнения первое, тогда
d
dt
Pl(t) Следовательно,
U
2x
pl0)
= 0 P2(t) = ClPl(t).
plQ ) pl0)
х + c2(t).
Умножим третье уравнение на т четвёртое — на т1 и вычтем из четвёртого уравнения третье, тогда получится равенство
1 - —Р- I (u2t + u2u2x )- — (u2t +Ф(ґ) +
+u2u2 x +Ф( )u2 x ) =
ф( )
Продифференцируем обе части полученного равенства по х и получим уравнение
1 - (Cl + 1)Pl I (u2x + ul) = 0.
Первый возможный случай —
r c r
р1 = ~’ p2 = 7’ U2 = u2(t)•
c1 +1 c1 + 1
Тогда P = P(Pj, p2) = const, четвёртое уравне-• , 4 m(t)
ние примет вид u2 (t) = ^-L , а третье —
т
1 + c
Ф(*) +------19(t) = 0.
Следовательно,
1+Ci
9(t) = c3 exp T . Таким образом, получено решение
cir
Pi =
С +1
(1+ci)t
P2 =
c,r
c1 +1
_ (1+ci)t
1 + c1
exp
1 + c1
exp
Из него допускаемой галилеевской группой можно получить решение
С1 С2
С
v
v2
С1 С2
С
2
v2
r
2
r
т
c
3
Рі =
Р2 =■
ехр
С +1 с +1
(1+СТ)Г (1+Сі)?
т + а, и2 =--—3—ехр
+ а.
1 1 + С! 1 + с1
Второй случай — и2х + и2х = 0. Обозначим
р1о )
^0) = и2 X =■
Pl(t)
тогда имеем уравнение V ({) = — ({). Его реше-ние ф(?) =------ влечёт уравнение
t + с
Ріо)_ 1
р(г) t + с4
Отсюда получим равенства
с дР х
Pl(t) =-----—, — = 0, иг(г, х) =----------------+ €2^).
t + с4 дх
t + сл
Тогда из четвёртого уравнения следует, что
<20) + ■"’-(')
t + С
4 У
Из третьего уравнения системы получим уравнения
ф'О) +
1 + с
1
(1+с1)г
) = 0, Ф = -
t + с„
ехр
Поэтому
. с2(Л) с5
с2 (г) + —— = ——5—- ехр
(1 + Сі)?
t + с4 т(t + с4)
С2 0) = ‘
С ехр-^ + -С-
t + сл
t + с4 (1 + с^ + с4)
Итак, найдено решение
р1(і) =
Р2(і) = ■
і + с4 і + с4
и1 (і, х) =-----------------------+
(1+<і)і
х СС5 ---------с7
1 5 ехр т +-------------------------—
і + с,
І + С4 (1 + Сі)(і + С4)
4
(1+сі)і
. . х с5 -----------с7
и2(г, х) =-------------------------------------------------------------------------5-ехр т +-—
і + с,
і + с4 (1 + с1)(і + с4)
4
2. Инвариантами подалгебры (Х1,X2) являются функции
А\ —р\ ? А2 —р2? — и\? А4 — и2 *
Поскольку среди них нет независимых переменных, инвариантным решением будет
р1 = С1, р2 = С2, и1 = и2 = с3-
3. Инварианты двумерной подалгебры (X 2, Х1 + еХ3) при с ф 0 — функции
>11 — Р1, >12 — Р2, 3з — , 34 — Ы2 С1.
Поэтому решение будем искать в виде
Р1 — С-[, Р2 — С2 , Ы1 — С3 + С, ы2 — с4 + & . После подстановки этих функций в систему уравнений найдём решение
р1 = с1, р2 = -с1, и1 = с3 + С, и2 = с3 + с( - т).
Заметим, что такое решение не физично, поскольку в случае положительности одной из плотностей другая плотность будет отрицательной.
Список литературы
1. Яненко, Н. Н. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновесности частиц / Н. Н. Яненко, Р. И. Солоухин, А. Н. Па-пырин, В. М. Фомин. Новосибирск : Наука, 1980. 160 с.
2. Панов, А. В. Групповая классификация системы уравнений механики двухфазной среды // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2011. № 26. Математика. Механика. Информатика. Вып. 13. С. 38-48.
3. Овсянников, Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Приклад. математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 30-55.
4. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1978. 399 с.
5. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М. : Мир, 1989. 639 с.
6. Аннин, Б. Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б. Д. Аннин, В. О. Бытев, С. И. Сенашов. Новосибирск : Наука, 1985. 143 с.
+
