CC BY
51
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 3 (2009). С. 154-159.
УДК 517.9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА
С.В. ХАБИРОВ
Аннотация. Для подмоделей ранга 2 газовой динамики предложен способ перечисления дифференциально-инвариантных решений на допускаемом нормализаторе. В качестве примера рассмотрена подмодель осесимметричных течений газа, для которой приведены неизобарические частично инвариантные и дифференциально-инвариантные решения.
Ключевые слова: газовая динамика, дифференциально-инвариантные решения.
Введение
Инвариантные подмодели ранга 2 допускают фактор нормализатора по исходной подалгебре [1]. Список таких подмоделей для уравнений газовой динамики с общим уравнением состояния приведен в [2]. По нормализатору можно находить дифференциальноинвариантные решения. Правила нахождения заключаются в следующем. Сначала надо вычислить базис дифференциальных инвариантов и операторы инвариантного дифференцирования [3]. Далее инвариантную подмодель надо записать через инварианты и выделить независимые дифференциальные инварианты базиса. Следующий шаг — выбор одного инварианта в качестве независимого от других. Часть остальных инвариантов назначить новыми функциями от выбранного независимого инварианта. Оставшаяся часть инвариантов базиса есть функции общего вида, т.е. функции двух аргументов в соответствии с рангом подмодели.
Если независимые дифференциальные инварианты базиса состоят из инвариантов нулевого порядка (не выражаются через производные), то указанные представления решений есть представления частично инвариантных решений ранга 1 различного дефекта (по числу базисных инвариантов общего вида). Для получения дифференциально-инвариантных решений надо взять независимые дифференциальные инварианты первого порядка, часть из них выбрать новыми функциями от выбранного инварианта-аргумента. Множество представлений определяется количеством возможных выборов непостоянного инварианта-аргумента и множеством выбора инваринтов-функций. Это множество конечно, так как базис конечен.
Перечисленные представления включают в себя инвариантные решения по лемме Ли -Овсянникова-Талышева [4] и частично инвариантные решения, которые в нашем случае будут простыми волнами [5]. Для этого надо все инварианты назначить функциями инварианта-аргумента.
Приведем часть классификации на примере подмодели осесимметричных течений газа.
S.V. Khabiroy, The differential-invariant solutions for the axis-symmetric gas flows.
© ХАвиров С.В. 2009.
Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00047-a) и Советом по грантам Президента РФ для государсв-тенной поддержки научных школ (№ НШ-2826.2008.1).
Поступила 23 июня 2009 г.
1. Интегралы осесимметричных течений газа
Установившиеся осесимметричные течения газа задаются инвариантной подмоделью по подалгебре переносов д4, до [2]:
О/ + р-1рх = 0, + р-1р, = г-1Ш2, ДЖ = г-1УЖ,
(1.1)
Ор + р / + V,. + г-1 V) = 0, 05 = (/5* + У-Я, = 0,
где давление р, плотность р и энтропия 5 связаны уравнением состояния; /, V, Ш — продольная, радиальная, окружная компоненты скорости и в цилиндрической системе координат. Фактор нормализатора порождается операторами: переносом дх и растяжением ждх + гд,. Базис дифференциальных инвариантов состоит из инвариантов нулевого порядка: /, V, Ш, р, р. Энтропия определяется из уравнения состояния. Операторы инвариантного дифференцирования — г0х, гО,. Для неизобарических движений выберем р в качестве инварианта-аргумента. Если остальные инварианты базиса назначить функциями р, то получим представление простой волны. Если к инвариантов (1 < к < 3) назначить функциями р, то получим частично инвариантное решение дефекта 5 — к ранга 1. Дефект определяется по числу функций общего вида.
Для получения представления дифференциально-инвариатного решения возьмем диффференциальные инварианты первого порядка: и1 = гих, и2 = ги,, р1 = грх, р2 = гр,, р1 = грх, р2 = гр,. В силу системы (1.1) инварианты и1, р1, р1 выражаются через и, р, р, и2, р2, р2. Инварианты и2, р2, р2 — независимые инварианты первого порядка. Часть из них назначим функциями р для представления дифференциально-инвариантного решения.
Система (1.1) имеет интегралы. Уравнения для р запишем в дивиргентном виде (г/р)х + (г/р), = 0. Функция тока ф = ф(х, г) определяется равенствами ф, = гр/, фх = —грV. Уравнения для Ш и 5 из (1.1) дают интегралы
/ = г-1р-1ф,, V = —г"1р"1фх, Ш = г-1 С (ф), 5 = 5(ф). (1.2)
Интеграл Бернулли получим скалярным умножением на и векторного уравнения для скорости
/2 + V2 + Ш2 + 2г = В(ф) > 0, (1.3)
где I = е + р-1р — энтальпия, е — внутренняя энергия. Если уравнение состояния задать в
виде I = г(р, 5), то из термодинамического тождества Т^5 = ^ — р-1 ^р получим р = г-1,
Т = is — температура. Система (1.1) равносильна двум уравнениям для ф и р:
/р2 (ф.2 + ф2) +4С2 = 4(В - /)г2, (1.4)
ф, (/рг-1ф^х — фх (/рг-1ф^, + 2грх = 0, (1.5)
где /(р, ф) = 2г(р, 5(ф)) — функция, определенная уравнением состояния. Система (1.4), (1.5) сводится к одному квазилинейному уравнению второго порядка для ф, если выразить давление р из (1.4):
г-1/р [(г-1/рфх)х + (г-1 /рф,),] =2 (В' — 2г-2СС' — 1ф) . (1.6)
2. Баротропные течения
Представление частично инвариатного решения ранга 1 дефекта 4 зададим в виде р = р(р) (баротропное течение). Из равенства ргр = 1 следует 5 = 5(р). Два последних уравнения системы (1.1) примут вид
5'Ор = 0, р'Ор + р (/х + V, + г-^) = 0. (2.1)
Для изоэнтропических течений 5 = 50 — постоянная, из (1.4), (1.6) получим подмодель для функций ф, р:
/р2 (2вф? + ф2) + 4С2 = 8*(В — /),
2«(/рф„), — (/рфх)х = 4 (вВ — СС') /-1,
где 2* = г2, функция /(р) = 2 ^ р-1(р)^р определяется уравнением состояния.
Для неизоэнтропических течений из (2.1), (1.1) следует:
р = Р (ф), и = г-1ф,, V = —г-1фх, 5 = 5 (ф), Ш = г-1С (ф),
2*фх + фх + С2 = 2вВ(ф) > 0,
фзфзх — фхф^ + А(ф)фх = 0,
где А = р-1Р'(ф).
Замена ф = ф(ж, в) (ж = ж(ф,в) — обратная функция, если считать * параметром) позволяет интегрировать последнее уравнение по в:
= ^(в)-1/2, ж = (Р(ф) — вА(ф))^(в)-1/2, (2.2)
где ф = — 2Ав3 + 4АРв2 + 2(В — Р2)в — С2, Р(ф) — произвольная функция как результат
интегрирования по в.
Можно показать, что существует интервал 0 < в1 ^ в ^ в2, где ^(в) > 0 при выполнении условия
9С2В-1 > 16РА-1. (2.3)
Условие совместности системы (2.2) дает подмодель из обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений
3А2 + 2ВА' — АВ' = 0, В = Р2 + 2С (СР' — РС'), 4АР = РВ' — 2ВР' + С (АС' — СА').
Функцию С можно выбрать произвольно, лишь бы выполнялось неравенство (2.3).
При в — вг, ^(вг) = 0, г = 1, 2, имеем —— то или фх = 0, т.е. происходит примыкание к инвариантному дх-решению.
Другие частично инвариантные решения можно получить, назначив одну или две компоненты скорости функциями р.
3. Вырожденные дифференциально-инвариантные решения наибольшего
дефекта
Неизобарические дифференциально-инвариантные решения дефекта 4 задаются одним равенством, например, гр, = f (р). Если f = 0, то получим представление для давления р = Р(гр0(ж)), которое обобщает представление дифференциально-инвариантного решения на подалгебре растяжений. Если f = 0, то получим вырожденное представление р = р(ж). В (1.4), (1.5) делаем замену 2в = г2, р = р(ж), ф = ф(ж, в) (ж = ж(р), в = в(ф,р) — обратные функции). Уравнение (1.5) после замены интегрируем по р: /р = (А(ф) — 4/)в2. Получаем подмодель
7р + 2в^ = 0, 7 = ж'в-1 (С1в + 4С2)1/2 , (3.1)
где 7 = (А — 4/)1/2, С1 = 2(4В — А). Подмодель (3.1) эквивалентна эволюционному уравнению второго порядка для функции в (ф, р). По любому решению этого уравнения находим уравнение состояния / = /(р, ф). На участках, где уравнение состояния удовлетворяет свойствам нормального газа [5], решение имеет физический смысл.
Если уравнение состояния задано, то система (3.1) переопределена и требуются дополнительные исследования на совместность.
Например, пусть 2г = /(р, ф) = -А(ф) + д2(р)Р'(ф)2. Тогда из (3.1) следуют равенства
в = е(р) — 2д'V, р'2 ^(5 — 1 рд'^ = С1 ^е — 2рд'^ + 4С2
где новое дифференцирование определено равенством е = дж'-1е'. В последнее уравнение
входят функции только от одного переменного: Р, С1, С от ф и е, д от р.
Разделение переменных дает два решения:
(а) д = р, е = 0, 2С2 = С1Р;
(б) ж' = д |д'|-1/2 д'', е = д' + 2Ко |д'|1/2 + К02, С1 = Р'2 (1 — 2-1Р) ,
где К0 — постоянная.
В случае уравнения состояния с разделенной энтальпией / = Р2(ф)д(р) система (3.1) при А = КТ>2 (К — постоянная) принимает вид
ву = f (г) вХ = ва(У) — ^У^ (3.2)
где г = /ж'(К — 4д)-1/2ф, у = /Шф, а(у) = 2(4ВР-2 — К); в = 2СР-1,
f (г) = д'(К — 4д))-1/2. Условие совместности системы (3.2) определяет решение
в = f (г)у + #(г), f = 4-1Ьо^2 + £2^ + £4, # = 4-1Ь1^2 + Ьзг + £5 ,
а = ЬоУ + £1, в2 = (ЬоУ + ^1)(^4У + £5) — (£2 у + Ьз)2,
где Ьг, г = 0,..., 5 — постоянные.
4. Дифференциально-инвариантное решение ранга 1 дефекта 4
Представление решения из пункта 3 общего вида р = Р(гр0(ж)), ф = ф(ж,г) выберем в качестве замены переменных. Обратная замена задается равенствами г = Я(р)р0(ж), ж = ж(ф,р). Уравнения (1.4), (1.5) примут вид
("/р“ Дд') =(^ ^ Д2 = XpP0, /ржрр0 = ХфжФяя',
V жФ / р V ро / ф
(хф Др-1)2 + (/рж-1 — Хф Я2р0р-3)2 + 4С2 = 4(В — / ^рО^ где функция х = х(р,ф) задает общее решение первого уравнения. Можно исключить функции /(р, ф), ж(р, ф) и получить одно уравнение для функции х(р, ф) третьего порядка.
5. Дифференциально-инвариантное решение ранга 1 дефекта 3
Представление решения задаем в виде гр, = f (р), г5, = $(р). Отсюда следуют равенства р = Р(т), 5 = 51(т) + 50(ж), т = гр0(ж). Из (1.2) имеем ф = Ф(5). Подставка в (1.4), (1.5) дает
/р2Ф'2 [512р0 + 502] + С2 = (В — /)т2р-2, (5.1)
ф'51 (дх + р0р-1тдт) (/рФ'51рХт-1) —
(5.2)
—ф' 50 (/рф' 51р0т 1)г + 2Р'т 2р0ро 3 =0.
Рассмотрим частное решение для уравнения состояния вида / = /1(р) + х(5): 51 = т-1,
50 = рОр-1, В = X. В этом случае 5 = 1п(тр0) и уравнение (5.2) можно интегрировать по
ж:
4-1/12т-8е45 Ф'2 + /1Р' (5 — 1п т) = А(т). (5.3)
После дифференцирования по 5 уравнения (5.3) переменные разделяются
(е45 Ф'2)' = —4Р'/1-1т8 = К = 0,
где К — постоянная. Отсюда и из (5.3) получим
е45Ф'2 = К5 + К0, Р' = —4-1 К/1т-8, А = 4К-2Р'2 т8(К0 + К 1п т). (5.4)
Уравнение (5.1) в силу (5.4) можно представить в виде
—4К-1 (т-2 + р02р-4) + С1(5 )а(т) + Е (5 )в(т) = 0, (5.5)
где Е = (К5 + Ко)-1, С1 = е25С2Е, а = т-6/1-т1 = 0, в = /1т-2/-.
Дифференцируем (5.5) по т:
8К-1т-3 + С1 а' + Ев' + С1ат-1 + Е'вт-1 = 0. (5.6)
Здесь переменные 5 и т можно считать независимыми. Дифференцируем (5.6) по 5:
С1а' + Е'в' + С1' ат-1 + Е'вт-1 = 0. (5.7)
Умножим на та-1 и дифференцируем по т:
С1 (та-1а') + Е' (та-1в')' + Е'' (а-1в)' = 0.
Делим на Е и дифференцируем по 5 :
(С1Е'-1)' (та-1а')' + (Е''Е'-1)' (а-1в)' = 0. (5.8)
Переменные в (5.8) разделяются.
Можно показать, что предположение (та-1 а') = 0 приводит к противоречию. Из (5.8) получим а = Атк, в = К1а, где А, к, К1 — постоянные. Из (5.7) следует уравнение для С1:
(С1 + К1Е)' + к(С1 + К1Е ) = Кх, (5.9)
где К2 — постоянная.
Из (5.6) следует к = —2, КК2А = —8. Уравнение (5.9) определяет С1 + К1Е = —2-1К2 — Е0е25. Уравнение (5.5) принимает вид р02рО6 = АЕ0. Отсюда следует р0 = ж-1/2, 4АЕ0 = 1.
Таким образом, т = гж-1/2 не является инвариантом допускаемой подмодели группы растяжений, значит, дифференциально-инвариантное решение не редуцируется к автомодельному решению. Из уравнения в = К1а получим /1 = /0 ехр (тК-1 А-1). Из (5.4) определяется
Р = Р0 — 4-1К^У т-4 ехр (2-1тКГ1А-1) ^т,
где Р0 — постоянная, 4/0 = — Ж2КК1 А.
Полученные формулы определяют параметрически /1 = /1(Р). С уравнением состояния / = /1(Р) + х(5), где х(5) — произвольная функция, течение задается формулами (1.2), где р = 2/-1; Ф = Фо + / е-2^К5 + Ко^5,
С2 = е-25 (4А-15 + 4КоК-1А-1 — К1) — 4"1А"1(К5 + Ко).
Здесь энтропия 5 = 1п (гж-1) есть инвариант допускаемой группы растяжений, Ф0, К, К0,
А, К1, N — постоянные.
Заключение
Представление дифференциально-инвариатного решения есть дифференциальная связь специального вида, а именно, инвариантная дифференциальная связь [6]. Классификация дифференциально-инвариантных решений предполагает перебор всех возможных инвариантных дифференциальных связей, не редуцируемых к инвариантным решениям. Предложено обобщение частично инвариантного решения, когда лишь часть инвариантов базиса назначаются функциями выбранного инварианта-аргумента, и остальные инварианты базиса есть функции общего вида. Приведена лишь часть классификации, для которой изучение совместности удалось проделать до конца.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Овсянников Л.В. Программа подмодели. Газовая динамика // Прикладная математика и механика. Т. 58, вып. 4. 1994. С. 30-55.
2. Мамонтов Е.В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики // Прикладная механика и техническая физика. Т. 40, № 2. 1999. С. 50-55.
3. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений М.: Наука. 1978. 399 с.
4. Овсянников Л.В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений // Доклады РАН. Т. 361, № 6. 1998. С. 740-742.
5. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука. 1981. 368 с.
6. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Методы дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск.: Наука. 1984. 272 с.
Салават Валеевич Хабиров,
Институт механики УНЦ РАН, ул. Проспект Октября, 71,
450054, г. Уфа, Россия E-mail: habirov@anrb.ru
