Обобщение конических течений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 4 (2012). С. 147-154.

УДК 517.9

ОБОБЩЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ

С.В. ХАБИРОВ

Аннотация. Найдены все частично инвариантные решения уравнений газовой динамики, построенные по конической подалгебре допускаемой моделью. Коническая подалгебра состоит из операторов вращения, переноса по времени и растяжения, а подмодель задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Решения образуют серию подмоделей, в основе которых лежит коническая подмодель по инвариантной переменной, зависящей от независимых переменных, с постоянными, зависящими от инвариантной функции. Для определения этой зависимости получены различные дополнительные переопределенные уравнения. Получены также две подмодели из системы уравнений с частными производными, расширяющие коническую подмодель. При этом определены все формулы, возвращающие решения в физическое пространство.

Ключевые слова: конические течения, частично инвариантные решения, газовая динамика.

ВВЕДЕНИЕ

Конические течения — это инвариантные решения, построенные на трехмерной подалгебре с базисными операторами вращения, переноса по времени и растяжения (коническая подалгебра). Подмодель конических течений задается квазилинейной неавтономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Без вращения эта подмодель — тема учебников [1, 2, 3], с вращением точные решения получены в [3, 4]. Обобщение конических течений можно производить двумя способами. Первое обобщение — это частично инвариантные решения на конической подалгебре. В статье рассмотрена нерегулярная частично инвариантная подмодель ранга 2 дефекта 1. Второе обобщение заключается в рассмотрении групповых решений надалгебры конической подалгебры. В последующих исследованиях будет рассмотрена дифференциально-инвариантная подмодель ранга 1 + 3 пятимерной подалгебры [3], в которой к операторам конической подалгебры добавлены два оператора переноса, некоммутирующих с вращением. Эта подмодель совпадает с частично инвариантной подмоделью ранга 1 дефекта 2 [5]. В обоих случаях получены частные решения уравнений газовой динамики, отличные от решений конической подмодели. Почти все рассматриваемые решения редуцируются к коническим течениям. Это говорит об частичной устойчивости конических течений по отношению к возмущениям из рассматриваемых частично инвариантных подмоделей.

S.V. Khabirov, Extention of the canonic flows.

© Хабиров С.В. 2012.

Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-00026-а, 11-01-00047-a), Советом по грантам Президента РФ для государсвтенной поддержки научных школ (ЖНШ-2826.2008.1), грантом № 11.G34.31.0042 Правительства РФ (Постановление №220).

Поступила 20 декабря 2011 г.

1. Нерегулярная частично инвариантная подмодель ранга 2 дефекта 1

Базис конической подалгебры задан базисными операторами в цилиндрической системе координат: — перенос по времени, до — вращение, + хдх + гдг — растяжение.

Инварианты подалгебры таковы: в = хг-1; и, V, W — координаты скорости; р, Б — плотность и энтропия. Давление определено уравнением состояния р = /(р, Б). Представление частично инвариантного решения ранга 2 дефекта 1 уравнений механики сплошных сред заключается в том, что все искомые функции зависят от в и а = а(Ь,х,г, в) [5]. Функция а общего вида может быть любым инвариантом. В случае уравнений газовой динамики подстановка представления дает равенства

где и — вектор с координатами и, V, Ш; V — векторный градиент с координатами дх, дг, г-1 д$. Если газодинамические функции не зависят от а, то получается коническая подмодель [3].

В уравнениях (1.1) все газодинамические функции зависят от в и а, поэтому удобно переменные в, а, і, в взять в качестве новых независимых переменных. Замена задается равенствами х = зг, г = г(Ь, в, а, в), га = 0. Выполнено тождество а = а (Ь, зг, г(Ь, в, а, в), в). Производные функций г и а связаны равенствами

Лемма 1. Если все производные функции г определяются из (1.2) как функции в, а, то происходит редукция к инвариантному решению двумерной подалгебры [5].

конической подалгебры

г-1(и — вV)Я3 + Ба(аі + и ■ Vа) = 0,

г 1 [( и — вV)р3 + р(из — + V)] + ра(аг + и ■ Vа) + риа ■ Vа = 0,

г-1 [( и — вV)из + р-1р3] + иа(аг + и ■ Vа) + р-1раах = 0,

г-1 [( и — вV)Vs — вр-1р3 — Ш2] + Va(аt + и ■ Vа) + р-1рааг = 0,

г-1 [( и — вV)Ш3 + VW] + Ша(аь + и ■ Vа) + р-1 р-1раав = 0,

(1.1)

Равенства (1.1) приводятся к виду

^ (п + (и — sV)г-1 г3 + Шг-1 гв) — (и — sV)Б8г-1 га = 8аУ,

РаП + (р(и — 8V))а Г-1 Г8 + (рШ)аГ-1 Гв —

— {{р(и — зV))з + 2pV) г-1 га = (рV)а,

иап + ((и — sV)иа + р-1ра) Г-1 г3 + шиаг-1 гв —

— (( и — зV)иа + р-1р3) г-1 га = VUa,

Vart + ((и — sV)Уа — зр-1ра) Г-1 г3 + WVar-1 гв—

— (( и — 8V)К — зр-1р3 — Ш2) г-1 га = VVa + р-1ра, шап + (и — sV )Ша г-1 г3 + (ШШа + р-1ра) Г-1 Гв—

— ((и — з V )Ша + VW )г-1 га = VWa.

(1.2)

Получили пять линейных равенств для величин Гі, г 1 г3, г 1Г в, г 1 га.

Доказательство.

Пусть rt = А(а,в), г-1г3 = В(а,з), г-1г$ = С (а, в), г-1га = '0(а,з). Условия совместимости дают С3 = Са = 0 ^ С = С0 — постоянная; А3 = ВА, Аа = Т>А, АС0 = 0,

Ва = 'Л3 ^ В = Е3, V = Еа, А = КеЕ, К — постоянная, КС0 = 0. Если С0 = 0, то г = Ьехр(Е) ^ а = а(в,1-1г) — инвариант подалгебры [дв,1д1 + хдх+ +гдг }.

Если С0 = 0, то К = 0, г = ехр(Е + С0в) ^ а = а(в, 1пг — С0в) — инвариант подалгебры

[дв, + хдх + гдг + С-1дв}. Лемма 1 доказана.

Все производные Ба, ра, иа, Va, Wa не равны нулю, иначе будет редукция к канонической инвариантной подмодели [3]. Значит, = К(а,з) ^ г = ЬЯ(а,з) + г1(а,зв), г1 = 0. Подстановка выражения для г в (1.2), приравнивание нулю коэффициентов при свободной переменной Ь дает две системы: первая для г1

Ба(и — $У + Ба Wrlв — Б3(и — SV )Г1а = ва(У — R)rl,

(Р(и — зУ))а Г1* + (PW)ат1в — — {2РУ + (Р(и — зУ)) 3) Г1а = ((РУ)а — PaR)^1, ((и — зУ)иа + р-1ра) П3 + WUarw—

— ((и — зУ)иа + р-1р3) Па = иа(У — К)п, (1.3)

((и — $У)Уа — $Р 1Ра) Ги + WVa^1в— — ((и — зУ)У8 — зр-1р3 — W2) Па = (Уа(У — Щ+ р-1ра) Г1, (и — зУ^аги + (WWa + р-1ра) Пв — ((и — ЗУ^ + VW) па = = Wa(V — я)п;

вторая система получается из (1.3) заменой г1 на Я. Если все производные функции г1 определяются из (1.3), то аналогично определяются производные функции К. Произойдет редукция к инвариантному решению по двумерной подалгебре.

2. СЛУЧАЙ, КОГДА ПРОИЗВОДНАЯ Г1в НЕ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ИЗ (1.3)

Пусть г1в не определяется из (1.3):

W5a = 0, ^ )а = 0, WUa = 0, WVa = 0, WWa + р-1ра = 0. (2.1)

Случай W = 0. Из (2.1) следует Б (в), и (в), V (в), pW = С (з), С (s)W + р = К (в). Подстановка в уравнение состояния приводит к равенству

К(з) — С2(з)з-1 = f (р,Б(з)),

которое возможно только для газа Чаплыгина

р = f (р,Б ) = N (Б) — р-1 Т>2(3), К (з) = N (Б (з)), С (з) = V (Б (з)).

(2.2)

Из (1.3) следуют равенства

(и — зУ )Б 'па = 0,

VW-2Wa(U — 8У)па + \2VVW-1 + (VW-1(и — вУ))в] ги = VW-^а(У — Е)п,

WWarl8 + [(и — зУ)и' + р-1р8] гы = 0,

sWWarlS — [(и — зУ)У — зр-1р3 — W2] па = —WWarl,

(и — зУ)ЩаГ18 — [(и — зУ^ + VW] па = Wa(V — К)п.

Выполняются такие же равенства, если вместо г1 подставить К. Если (и — зУ)3Г = 0, то г1а = 0 = Ка, га = 0 — противоречие. Значит, (и — зУ)8' = 0, и следует альтернатива: и — зУ = 0 или и — зУ = 0.

В первом случае и = зУ из (2.1) следует решение V = и = Я = 0, N = Щ — постоянная, р = М0 — Т>2(8)р-1 — уравнение состояния, W = т(0)г-1 \р (Б(в))]-1, т(0) — произвольная функция. Это решение описывает произвольное движение частиц по окружностям.

Во втором случае движение изэнтропическое Б = Б0, р = -1, р = М0 — . Из

(2.1) следуют равенства

Я = 0, и2 + V2 = С02, г = т(в)\2У(и — зУ)2(У + зи)-1 — W2\-1/2 ,

где С0 — постоянная, и уравнения

¿з з 1

<1У 2У V С2 — V2’ (2.3)

V [—4У (V + зи )2 + и (и — зУ )(У + зи) — 2У (и — зУ )2 ] = 0.

Если V = 0, то из последнего равенства следует, что 5 иррационально выражается через V,

а из (2.3) следует, что 5 трансцендентная функция V. Значит, V = 0, и = С0, W = т(9)/г,

получаем произвольное спиралевидное движение частиц по цилиндрам, которое задается инвариантным решением уравнений газовой динамики на двумерной подалгебре [д1,дх}. Случай W = 0 ^ р(в), г1в — любое. Из (1.3) следуют равенства

(и — зУ )(БаГ13 — Б3Г1а) = 8а(У — R)тl,

(.Р(и — вУ)) аГ'1з — (2РУ + (Р(и — вУ)) 8) г1а = (Ра(У — Я) + РУ<^) Г1,

(и — зУ)иаги — ((и — зУ)иа + р-1р') Г1а = иа(V — К)П,

(2.4)

(и — зУ)Уап3 — ((и — зУ)У8 — зр-1р') Па = У«(У — К)п,

а также уравнения, где вместо г1 стоит К.

Пусть все коэффициенты при г1з в (2.4) равны нулю (г18 не определяется). Тогда и = зУ (иначе редукция к конической модели), и из (2.4) следует и = V = W = 0, р = р0 — покой.

Пусть из (2.4) определяется г-1г1з = Я-1Яа и К = 0 ^ г1 = Кк(а, в) = 0. Тогда из (2.4)

следуют равенства

в3(и — зУ)ка = 0, [2рУ + (р(и — зУ))в] ка = 0, [(и — зУ)из + р-1р'] ка = 0, [(и — зУ)У3 — зр-1р'] ка = 0.

Если ка = 0, то при и = зУ следует покой: и = V = W = 0, р = р0; а при и = зУ следуют уравнения конической модели без вращения

У + виз = 0, р(и — вУ )и3 + р' = 0,

( и — вV)р3 + р (V + (1 + з2)из^ = 0,

Р(в) = f(p(а, 8),Б(а)).

Уравнения (2.4) для г1 = К принимают вид

( и — з V )К3К-1 = У — К, К(иа — зУа) = Уиа — иУа.

Отсюда следует интеграл из = (и — вУ)(!(в). Из уравнений конической модели следует, что V = ,п(а)У1(з), и = п(а)и1(з) ^ Я = 0 — противоречие.

Значит, ка = 0 ^ г = Я(в, а) {Ъ — к(в)) ^ а = А ^в, — к(в)) 1 ^. Так как все газодинамические функции зависят от в и а, то можно считать А3 = 0 или К3 = 0, Н = а. В этом случае система (2.4) для К принимает вид

в3(и — зУ) + Баа(У — а) = 0,

2РУ + {Р(и — 8У))3 + а [Ра(У — а) + РУа] = °

(2.5)

(и — в V )из + р-1р' + иаа(У — а) = 0,

(и — в V )У3 — ,в р—1р1 + Уаа(У — а) = 0.

Уравнение состояния можно записать в виде Б = С(^р(з),р). Если функция С задана, то система (2.5) из четырех уравнений для четырех функций и, V, р, р, но давление р зависит только от . Система (2.5) переопределена. Если задать ( ), то из (2.5) найдутся функция Б и уравнение состояния.

Например, пусть р = р0 — постоянная. Тогда и (в), V (р), а (и — зУ) = Р (р)(У — а) —

интеграл, ( и' — зV')р3 + аУ'ра + У = 0. Совместность уравнений для р дает

V [2а(и' — зУ') — 2РУ' — (V — а)Р] = 0.

Возможно только следующее решение: V = 0; и (а), р(а) — произвольные функции а = г(1 — к(в)) 1.

В случае W = 0 есть еще одна возможность: г1з определяется из (2.4), но К = 0. Тогда можно считать г = г1(а, в), и система (2.4) принимает вид

в3(и — зУ) га + ваУг = 0,

[2рУ + (р(и — вV))8] га + (Ур)аг = 0,

(2.6)

[( и — зV) из + р-1р'] га + Уиаг = 0,

[( и — зV)У — 8р-1р'] та + УУаг = 0.

Если все коэффициенты при га равны нулю, то решение редуцируется к инвариантной подмодели ранга 2 или 1. В противном случае можно считать г = ак(в), и система (2.6)

упрощается

Б3(и - sV) + аУБа = 0,

2ру + (р( и - в V^ + а(у р)а = 0,

(2.7)

(и - зV)из + р-1р' + аУиа = 0,

( и - в V)у - 5р-1р! + аУУа = 0.

Для системы (2.7) справедливы те же замечания, что и для системы (2.5). Изобарические движения редуцируются к плоским установившимся течениям.

3. СЛУЧАЙ, КОГДА ПРОИЗВОДНАЯ Г1в ОПРЕДЕЛЕНА

Пусть г-1г\в = Е (а, в) ^ г1 = г2(з ,а) ехр (вЕ ($, . Система (1.3) после подстановки

г\ и расщепления по в сводится к двум системам. Первая однородная система для Е:

( и - 8V)(Е8Ба -ЕаБ8) = 0,

[р(и - 8у))аЕз - \2рУ + (р(и - Эу^ Еа = °

[( и - 8V)иа + р-1ра] Е3 - [(и - 8у)Уа - 8р-1р3 - Ж2] Еа = 0, (3.1)

[( и - 8V- 5 р 1 Ра] Ев - [(и - ^- 8р 1Рв - У2] Еа = 0,

( и - 8V)ШаЕ3 - [(и - sV)\¥8 + VW] Еа = 0.

Вторая система для г 2:

( и - вV) Г2)3 - Г2)а] = 5а(У - Я - ЖЕ),

(р( и - в V ))а (1п Г2)3 - [2рV + (р( и - в V ^ (1п Г2)а =

= р а (V - Я) + рУа - (рЖ^аЕ,

[( и - в V)иа + р-1ра] (ІП Г2)3 - [( и - вV)из + р-1р3] (ІП Г2)а =

= Ua(V -Я -ЖЕ), (3.2)

[(и - 8V)уя + р-1ра] (1п Г2)3 - [( и - вV)у - вр-1р8 - Ж2] (1п Г2)а =

= Va(V -Я -ЖЕ)+ р-1р а,

(и - 8V)Жа(1п Г2)8 - [( и - 8V)Ж8 + VW] (1п Г2)а =

= Wa(V -Я -ЖЕ) - р-1р аЕ.

Кроме этих систем есть еще одна система (1.3) для Я. Если положить Е = 0, то система

(3.2) совпадает с (1.3) для Я. Можно показать, что в случае и = sV новых решений

не получается. Далее считаем и = sV. При этом в силу леммы 1 из системы (3.2) не

определено либо а) (1п г2)8, либо б) (1п г2)а.

Случай а). Коэффициенты при (1пг2)8 в системе (3.2) равны нулю. Из этого следуют равенста

5 = 5(в), Ж = Ж(8), V + ,ви = с(з), р(и - sV) = Ь(з), р = 1(з) - Ь(з)и.

Есть только одна функция и (в, а), которая существенно зависит от а, через которую все остальные V, р, р выражаются. Уравнение совместности переопределяет решение. Решение

возможно лишь для газа Чаплыгина. Из системы (3.1) следует Е = Е(в), а из системы

(1.3) для К следует К = 0. Из системы (3.2) следует иа = 0 — противоречие.

Случай б). Коэффициенты при (1пг2)а в системе (3.2) равны нулю. Из этого следуют уравнения конической подмодели [4], в которой все постоянные интегралов и общего решения зависят от параметра а:

Б = Б (а), W2 = р(и — зУ^(а),

и2 + У2 + W2 + 2 / р-Чр = В2(а), (3.3)

У, + зиз = рТ>(а), из ((и — зУ)2 — Ъ) + зУ8 = V,

где р = /(р, Б) — уравнение состояния.

Из (3.1) следует Е3 = 0 (иначе редукция), и система (3.1) выполняется тождественно. Уравнения (1.3) для К принимают вид

QSa = 0, 0^а = 0, 0,Уа = р-1ра(Я + вЯ8),

(3.4)

QUa = —Р 1РаЯв, Q(\nP)a = ЯУа — (иа — SVa)RS,

где Q =(и — зУ)Я3 — Я(У — Я).

Если Q = 0, то Б = — постоянная, W = W(в), и из (3.2) следует Е = 0, г2 = ЯК(а).

Из совместности (3.4) и (3.3) следует W = 0, Я = ВВ'(Уа + зУа)-1. Условия переопределенной подмодели имеют вид:

1Р(1п р)1 = и2 + У2, и2 + У2 + 2 / 1пр = В2,

(3.5)

Уз + $из = 0, и [(и — вУ)2 — в2 — ¡р\ = V.

Пусть Q = 0, тогда из (3.4) следует

ЯРа = 0, ЯУа = Я3(иа — 8Уа), (и — зУ)Я3 = Я(У — Я). (3.6)

Если ра = 0, то Я = 0, и уравнения (3.6) выполнены. Из уравнений (3.2) получим (1пг2)3 = —иа(Уа + 5 иа)-1, Е = —Wa(Уа + зиа)-1, В, Б — постоянные,

IР(1пР)1 = иа+у2+wa. (3.7)

Уравнения (3.4), (3.7) задают переопределенную подмодель, обобщающую коническую подмодель.

Если а = 0, то от (3.4) остаются два уравнения

Я3(иа — 8Уа) = ЯУа, (и — зУ )Я8 = Я(У — Я). (3.8)

Система (3.2) для нередуцируемых решений сводится к двум равенствам

( и — 3 V )(1п Г2)8 = У —Я — WЕ (а), (иа — зУа)(1п Г2)8 = Уа — ЕWa. (3.9)

Отсюда следует равенство при Н = 0

Е (жа(и — зУ) — W(иа — зУа)) =0, Я = ^ ^ . (3.10)

иа — Уа

Если Е = 0, то справедлив интеграл W = п(з)(и — зУ) и г2 = Яехр(—Е(а)п(в)), а из

(3.8) следует

( Уа + ^ (/а) [и8а(и — 3V) — и^а — зУа)] = 0.

Если первый сомножитель равен нулю, то из (3.3) следует, что все функции не зависят от а (редукция к конической подмодели). Приравнивание нулю второго сомножителя дает

интеграл U(s) = m(s)(U — sV). Изучение совместности с системой (3.3) дает R = 0 — противоречие.

Пусть Е = 0, R = 0. Тогда r2 = RK(а), функция R определяется формулой (3.10). Из

(3.8) получим дополнительное уравнение к системе (3.3):

Ua 3Va _ UaVas VaUas (3 ц)

U — sV = UaVs — VaUs ■ (. )

Переопределенная система (3.3), (3.11) задает подмодель, обобщающую коническую подмодель.

Последний случай R = 0, Е = 0 приводит к подмодели, состоящей из системы (3.3) и дополнительного уравнения

Ua — sVa = Va — EWa U — sV V — EW

с произвольной функцией Е(а).

Итак, все возможности решения переопределенной системы (1.3) перечислены. Они сводятся к решению конической подмодели по переменной s с постоянными зависящими от а. Для определения зависимости от а имеются различные дополнительные переопределяющие уравнения. Кроме того, имеются еще две подмодели (2.5) и (2.7), заданные переопределенными системами уравнений с частными производными, обобщающие коническую подмодель.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск. 2003. 336 с.

2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.-Л.: Гостехиздат. 1948.

3. Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике. Уфа: Гилем, 2003. 192 с.

4. Хабиров С.В. Конические закрученные течения // Труды Всероссийской научной конференции 27-30 июня 2011 г. Стерлитамак «Дифференциальные уравнения и их приложения». Уфа: Гилем, 2011. С. 116-118.

5. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

Салават Валеевич Хабиров,

Уфимский государственный авиационный технический университет,

Лаборатория „Групповой анализ математических моделей естествознания, техники и технологий“, ул. Карла Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия

Институт механики им. Р.Р. Мавлютова УНЦ РАН,

Лаборатория Дифференциальные уравнения механики“ ,

Проспект Октября, 71,

450054, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]