Инвариантные и частично инвариантные решения относительно двух галилеевых переносов и растяжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 3 (2013). С. 121-129.

УДК 517.958:533.7

ИНВАРИАНТНЫЕ И ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ДВУХ ГАЛИЛЕЕВЫХ ПЕРЕНОСОВ И РАСТЯЖЕНИЯ

Е.Б. МАКАРЕВИЧ

Аннотация. В работе рассмотрена трехмерная подалгебра, вложенная в четырехмерную подалгебру, с целью найти множество решений для сопряжения с решениями на подалгебрах большей размерности. Хотя цель еще не достигнута, но получены инвариантные решения ранга 1 и все возможные частично инвариантные решения ранга

1 дефекта 1. Получены следующие результаты: две подмодели - инвариантная и частично инвариантная, 7 решений, зависящих от произвольной функции, и 19 точных решений.

Ключевые слова: газовая динамика, иерархия подмоделей, инвариантное решение, частично инвариантное решение.

Mathematics Subject Classification: 35Q35, 35B06.

1. Введение

Уравнения газовой динамики (УГД)

pDu + Vp = 0, Dp + pV ■ u = 0, DS = 0, (1)

где D = dt + и -V - полная производная по времени, и - вектор скорости, p - давление,

p - плотность, c2 = др - квадрат скорости звука, с уравнением состояния с разделенной

плотностью

p = %)S (2)

(S - функция энтропии) допускают двеннадцатимерную алгебру Ли операторов L12 [1]. Оптимальная система неподобных подалгебр для УГД с уравнением состояния (2) приведена в [2, табл. 3]. На примере пятимерной самонормализованной подалгебры рассмотрена иерархия подмоделей УГД, составлен граф всех вложенных в нее подалгебр. Подмодели вложены друг в друга так, что решение инвариантной подмодели надалгебры является частным решением инвариантной подмодели подалгебры [3]. В работе [4] построено и исследовано частично инвариантное решение на четырехмерной подалгебре из графа Г5 [3].

В настоящей статье рассмотрена трехмерная подалгебра, вложенная в четырехмерную подалгебру из работы [4], с целью найти множество решений для сопряжения с решениями на подалгебрах большей размерности. Хотя цель еще не достигнута, но получены инвариантная подмодель ранга 1 и все возможные частично инвариантные решения ранга 1 дефекта 1. Получено 23 решения, зависящих от нескольких постоянных, которые обозначены буквами v0, w0, p0, K0, P0,h0,x0,n,C,Ci,i = 0,1, 2. Все решения записаны с точностью до преобразований, допускаемых УГД.

E.V. Makarevich, Invariant and partially invariant solutions with respect to Galilean shifts and dilatation.

© Макаревич Е.В. 2013.

Работа выполнена при поддержке гранта №11.034.31.0042 правительства РФ по постановлению №220.

Поступила 6 марта 2013 г.

Справедлив общий факт об иерархии вложенных друг в друга подмоделей: инвариантных, частично инвариантных, дифференциально-инвариантных [5].

2. Инвариантные решения

Рассмотрим трехмерную подалгебру 3.23 [2, табл. 3] с базисом в декартовой системе координат: {tdy+dv, tdz+dw, b(tdt+xdx +ydy+zdz)+tdt—udu—vdv—wdw+2pdp},b = 0,b = —1. Точечные инварианты вычислены в работе [3, табл. 1]. Представление решения имеет вид:

и = t-1(|t| b++T Ui(xi)), v = t-1(|t| Ъ+1 Vi(xi) + y), w = t-1(|t| b++T Wi(xi) + z),

2 2 b (3) p = |t| b+Tpi(xi),S = |t| Si(xi),p = p(xi),xi = |t|-^x.

Здесь и далее предполагаем pi = 0, иначе решение не имеет физического смысла. Урав-

нение состояния (2) принимает вид:

pi = h(p)Si. (4)

Введем обозначение

ui = ui — b(b + 1)-ixi, (5)

тогда подстановка (3),(5) в УГД (1) дает инвариантную подмодель

Рхт = pi ((1 — b)(1 + b)-iUi — UiUixT + b(b + 1)-2xi) ,

UiVixT = —b(b + 1)-iVi,

UiWixT = —b(b + 1)-iWi, (6)

Uipixi pi i + uixi = — (3b + 4)(b + 1) 1,

UiSixi = — 2(b + 1) iSi.

При исследовании подмодели возникает несколько случаев. Если и1 = 0, то p1 = 0, и

решение не имеет физического смысла. Пусть и1 = 0. Введем новую переменную s (с

точностью до постоянного слагаемого) по формуле:

ds = UZ-1dx1. (7)

Интегрируя систему (4),(6),(7), получим набор интегралов, зависящих от пяти постоянных

Vo, Wo, po, So, ho

s s _ 3b+4 s

v1 = voe b+T ,w1 = woe b+T ,p1x1s = poe b+T ,

^ ^ _-2_ s 1 / ч 1 3b+2 „ (8)

S1 = Soe b+T ,h(p)x1s = hoe b+T .

Если в последнем равенстве h(p) = const, то система сводится к одному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка

3b + 2 x1ss _зь+4 /b — 1 b \ ( ho _зъ+2 N

т+т+x:=poe- b+‘ I bnxi*+xi"—(trip?(—e- b+i) • (9>

где введена суперпозиция функций ^ = (h;h-1) о h(-1), а po - не существенная постоянная (растяжением по x1 ее можно сделать 1).

3b+2 s

Если h(p) = const, то x1s = xoe b+T , и возможны три случая.

2 4

1) b = —, b = —. Тогда за счет сдвига по s делаем xo = 1. Решение системы (6) 33 задается формулами

3b + 2 ь ь

и1 = —2x1 + -----C, v1 = vo|x1 — C13b+2, w1 = wo |x1 — C13b+2,

b +1 (10)

I ri\ 2 3b + 2 зь+4 /(b + 2)(3b + 2) ^

pi = polx - C13b+2 ,p = y+Гpolx - CI “+1 ((6 + 1)(3b + 4)C — xi

4

2) Ь = — .За счет сдвига по в делаем ж0 = 1. Решение задается формулами

3

2 2 « = — 2x1 + 6С, VI = г>0(ж1 — С)3, и>1 = и>0(ж1 — С)3,

Р1 = ро(ж1 — С) 1,р = —6роЖ1 — 12роС 1п |х 1 — С|.

2

3) Ь = —. Тогда ж15 = С, к = к0С-1. Решение задается формулами

3

22 « = — 2ж1 + С, ^1 = ^0е с Х1, ад1 = и>0е с Х1,

в в 2 (12)

Р1 = Р0е сХ1 ,р = р0Се сХ1 (Ж1 — зС).

Решения УГД в физических переменных получаются по формулам (3), в которые подставляется (8) с некоторым решением уравнения подмодели (9) или (10),(11),(12). Далее пишем формулы только для «, V! , ^1, р1, р.

3. Регулярные частично инвариантные решения ранга 1, дефекта 1, зависящие от всех пространственных переменных

На подалгебре 3.23 строим частично инвариантное решение ранга 1, дефекта 1. Из выражений для инвариантов находим скорости и плотность, при этом давление предполагаем функцией общего вида. Представление решения имеет вид:

« = £-1(|£| ь++т и1(ж1)), V = £-1(|£| ь++т ^1(ж1) + у), и> = £-1(|£| ь++т ^1(ж1) + г),

2 Ь (13)

р = |£| Ь+1 р1(х1),р = р(х, у, г, £), ж1 = |£| Ь+1 ж.

Из уравнения состояния (2) определяется энтропия

2

|£| ^+1 Р1(Ж1) = к(р)& (14)

При подстановке представления (13) и (14) в УГД (1) определяются все производные давления, что дает выражение для давления

Р = И-Ь+1 (С1У + С2г) + Р (Ж1) + К (£). (15)

После этого УГД переходят в систему уравнений с одной независимой переменной ж1

Р1 ((Ь + 1)-1«1 + (Ь(Ь + 1)-1Ж1 — «1) «1х1) = Рх1, (16)

Р1 (—Ь(Ь + 1)-1Vl + (Ь(Ь + 1)-1Ж1 — «1) Vlx1) = С1, (17)

Р1 (—Ь(Ь + 1)-1^1 + (Ь(Ь + 1)-1Ж1 — «1) ^1Х1) = С2, (18)

Р1Х1Р1 1 (Ь(Ь + 1) 1Ж1 — «1) — 2(Ь +1) 1 = «1Х1 + 2, (19)

20)

а также функциональное переопределенное равенство

к'к 1 ((Ь + 1) 1|^| Ь+1 (С1У + С2^) — (Ь(Ь + 1) 1Ж1 — «1) Рх1 + £К4+

+С^1 + С2^1) = 2(Ь +1) 1 — Р1Х1Р1 1 (Ь(Ь + 1) 1Ж1 — «1) .

где Р - произвольная функция от ж1, К - произвольная функция от £. Рассмотрим случай, когда решение зависит от всех пространственных переменных: С12 + С22 = 0. Тогда из равенства (20) исключим выражение

|£|-^+1 (С1 у + С2г) = р — Р (Ж1) — К (£),

справедливое в силу (15). Получим равенство по независимым переменным ^,х1,р. Дифференцирование по £ дает равенство

к' (—(Ь + 1) 1К + £К^) = 0. (21)

Пусть первый множитель в (21) не равен нулю к' = 0. В этом случае из (21) определяется функция К = К0|£|^+1 — С0(Ь + 1), К0,С0 - постоянные. Давление записывается в виде Р = |£|-^(С1у + С2г) + Р(ж1) + К0|£|*+1 — С0(Ь + 1). Уравнение (20) принимает вид

(Ь +1) 1 (р — Р) + С0 — (Ь(Ь + 1) 1Ж1 — «1) Рх1 + ClVl + С2^1 =

= кк/-1 (2(Ь + 1)-1 — Р1Х1Р1-1 (Ь(Ь + 1)-1Ж1 — «1)) . ( )

В этом равенстве 2(Ь + 1)-1 — Р1х1 р1-1 (Ь(Ь + 1)-1ж1 — «1) = 0, так как иначе придем к противоречию в равенстве (22). Дифференцируем (22) по р:

(кк/-1^ = (Ь + 1)-1 (2(Ь + 1)-1 — р1Х1 Р1-1 (Ь(Ь + 1)-1Ж1 — «1)) 1.

В этом равенстве переменные Ж1,р разделились, поэтому обе части равенства постоянные. Из последнего равенства находим к = к0(р + Р0) ^ ,7 = 0. Если заменить р + Р0 на р, к0£ на £, то к = р^, уравнение состояния примет вид р = р 7 £. В УГД (1) вместо уравнения для энтропии можно написать уравнение для давления Др + 7рУ • « =0. Подставим функцию к в (22) и соберем коэффициенты при р. Получим следующую переопределенную систему уравнений: (16), (17), (18), а также

(Ь(Ь + 1) 1Ж1 — «1) РХ1 + (Ь +1) 1Р = С^1 + С2^1 + С0, (23)

Р1х1 Р1-1 (Ь(Ь + 1)- 1Ж1 — «1) = (2 — 7-1)(Ь + 1)-1, (24)

«1х1 = —(2Ь + 2 + 7 1)(Ь + 1) 1. (25)

Из (25) находим «1 = —(2Ь + 2 + 7-1)(Ь + 1)-1ж1 + С(Ь + 1)-1, С - постоянная. Тогда

уравнение (24) принимает вид

Р1х1 Р1 1 ((3Ь + 2 + 7 1)ж1 — С) =2 — 7 1. (26)

4

Пусть в (26) 3Ь + 2 + 7-1 = 0. Если 7-1 = 2, то Ь = — и (26) принимает вид р1 С = 0.

3 х1

Случай С = 0 приводит к не физическому решению (р = 0). При С = 0 решение задается формулами

4 1С -1 1С -1 2 С12 + С22

«1 = 4ж1 ^ = —-С1р1 ,^1 = —-С2р1 , р1 =

4 ^1 ’ 1 4 ^1 ,P1 144(—xi2 + xo2^ (27)

p = t 4 (Ciy + C2z) + 12 (C12 + C22) pi 1 + Ko|t| 3,x1 = t 4x.

Если y-1 = 2, то интегрирование приводит к противоречию: C1 = C2 = 0.

Пусть 3b + 2 + y-1 = 0. При y-1 = 2 получаем четыре решения с разными значениями

параметра b.

1) b = — 2. Решение задается формулами:

ui = —2C, vi = vo(xi + C) — ^ Cipo 1,wi = wo (xi + C) — ^ C2po 1,

pi = po,p = t 2(Ciy + C2Z) + 2poC(xi + C) + Kot 1 + 2po 1(Ci2 + C22), где x1 = t-2x, C1 vo + C2wo = 2poC. g

2) b = —. Решение задается формулами:

5

ui = 4 xi,vi = voxi2 — 3 Cipo-1, wi = woxi2 — 3 C2po-1,

3 g g

8 2 5 9

pi = po^p = |t| 3 (Ciy + C2~) — 9pox12 + Ko|t| s + 40p° 1(Ci2 + C22)-

(28)

_8 2 где Ж1 = |£| зЖ, ClVо + С2^0 + -Р0 = 0.

3

3) Ь = — —. Решение задается формулами:

«1 = 2x1^1 = VоЖl3 — 3 С1Р0-1, ^1 = ^оЖ13 — 3 С2Р0-1,

Р1 = Ро,р = |£| 3 (С1У + С2г) — РоЖ12 + К0|£| 2 + “ Ро 1(С12 + С22).

6

где Ж1 =

| 3Ж, ClVо + С2^о

5

0.

4) Ь = —. Решение задается формулами:

3

«1 = Ж1 — 2C, v1 = ЫЖ1 + С) 5 — 5 С1Ро 1,^1 = и0(ж1 + С) 5 — 5 С2Р 0 ^

Р1 = Ро,р = |£| 2 (С1У + С2г) + ~ТРоС(ж1 + С) + К0|£| 2 + ^Ро 1(С12 + С22).

4 15

5

где Ж1 = |£|-2х, ClVо + С2^о = 0.

(30)

(31)

При 7 1 = 2 система разрешима только при следующих значениях параметров Ь и 7 1:

5) Ь = — 2,7-1

3

—. Решение задается формулами:

1

«1 — Ж1 — 2С, Vl — Vо|жl + С|2 — 2С1Р0 11ж 1 + С|2, и1 = ио|ж1 + С | 3 — 2 С2Ро 1|ж1 + С | 2 , Р1 = Ро|х1 + С | 1,

р = |£| (С1У + С2г) + 12Р0С|ж1 + С| 2 + К0|£|

2

(32)

где Ж1 =

6) Ь =

где Ж1 7) Ь

| 3Ж, ClVо + С2^о

13 1 5

0,С12 + С22 = 24 р о2С.

9

'Л

—. Решение задается формулами: 3

«1 = 4 Ж1 — 2C, vl = ^|ж1 + С |б — 5 С1Ро 1|ж1 + С12,

р

2

ио|х1 + С|6 — — С2Р0 1 |Ж1 + С|2, р1 = ро|х1 + С| 2,

5

|£| 4 (С1У + С2^) + — р о|ж 1 + С|2 (110С — 7x1) + Ко|£| 4,

о

4 Ж, С^о + С2^о — 0, С12 + С22

1755

~22~

Ро2С.

>7

1

—. Решение задается формулами:

5

о3 «1 = — 3C, vl = ЫЖ1 + С) — 4С1Ро 1|ж1 + С12,

3

и = ио(х1 + С) — 4 С2Р о 1 |Ж1 + С11, р1 = ро |ж 1 + С | 1,

о0

р = |£| 8 (С1 У + С2г) + — Р 0С|ж1 + С| 2 + К0|£| 3 ,

9

3Ж, ClVо + С2и0 = 0, С12 + С22 = Р02С.

о1

(33)

(34)

где Ж1 =

Пусть к(р) = к0 - постоянная, тогда (21) тождественно выполнено. В этом случае получаем систему: (16), (17), (18), а также «1 = —2ж1 + С,

Р1Х1Р1 1 ((3Ь + 2)(Ь + 1) !Ж1 — С) — 2(Ь + 1) 1.

о

5

Возникает еще четыре случая с различными значениями параметра Ь.

2

8) Если Ь = —, то из последнего уравнения следует С = 0. Решение задается форму-

3

лами:

u1 = —2x1 + C, v1 = voe C X1 — 1 C^o 1e C X1 ,w1 = woe C X1 — 1 C2po 1e C X1,

(35)

Р1 = Рое сХ1 ,р = £ (С1 У + С2г) + РоСе сХ1 (ж1 — 3С) + К(£).

где ж1 = £2ж, К(£) - произвольная функция.

4

9) Если Ь = —, заменим С на 6С. Решение задается формулами:

3

2 1 1 «1 = — 2x1 + —С, Vl = | ж 1 — С |3 (зд + 2 С1Р0 11 ж 1 — С |3),

w1 = |x1 — C1 3 (wo + 2C2po |x1 — C1 3 ),pi = po(x1 — C) p = t-4(C1y + C2z) — 6pox1 — 12poCln |x1 — C| + K(t).

где x1 = t-4x.

10) b = —2. Заменим C на 4C. Решение задается формулами:

ui = — 2xi + 4C, vi = |xi — C|2 (vo + ~Cipo ln |xi — C|),

a — C |2 (wo + 1 p = t 2(Ciy + C2Z) — 4po|xi — C|2xi + K(t),

wi = |xi — C|2 (wo + 4C2po 1 ln |xi — C|), pi = po|xi — C| 2, (37)

где x1 = t 2x.

2 4 3b + 2

11) b = —3, b = —3, b = —2. Заменим C на ^ ^ C. Решение задается формулами:

3b + 2 ь b + 1„ _i, ^-yi —

ui = — 2xi + C,vi = vo|xi — C13ь+2 — —— Cipo |xi — C| 3ь+2,

b + 1 b + 2

wi = wo|xi — C| ЗЪГ2 — b_+L_lC2po-1|xi — CI-зь+2 ,pi = po|xi — CI 3^ , (38)

, ,_^ „ s 3b + 2 3ь+4 /(b + 2)(3b + 2) \

p = |t| ь+1 (Ciy + C2z) + b +1 po|xi — C13b+2 (b + 1)(3b + 4)C — xy + K(t).

4. Регулярные частично инвариантные решения, зависящие от одной

пространственной переменной

Пусть в (15) C1 = C2 = 0 : p = P(x1)+K(t). Если K(t) = const, то получим инвариантную подмодель, рассмотренную в п.2, поэтому полагаем K(t) = const. Введем обозначение по формуле (5), тогда из УГД следуют дифференциальные уравнения

Px1 = pi ((1 — b)(b + 1)-1ui — UiUix1 + b(b + 1)-2xi), (39)

Uivix1 = —b(b + 1)-1vi, (40)

u1w1x1 = —b(b + 1)-1w1, (41)

uipix1 pi 1 + u1x1 = —(3b + 4)(b + 1) 1, (42)

а также переопределенное равенство

h/h 1(uiPx1 + tKt) = Uipix1 pi 1 + 2(b + 1) 1. (43)

Если P = Po - постоянная, то в (43) переменные t,x1 разделяются и определяется

с

K(t) : h(K(t) + Po) = ho111k+i. Из (42),(39) следует u1 = —b(b + 1)-1x1 или u1 = (b + 1)-1x1. В первом случае решение (39)-(43) задается формулами

2ь+4

u1 = 0,v1 = vox1,w1 = wox1,p1 = po|x11 ь ,p = K(t) + Po. (44)

Во втором случае решение задается формулами

ui = xi, vi = vo|xi|-b,wi = wo|xi |-b,pi = po|xi|-3b-5,p = K (t) + Po. (45)

Далее полагаем P = const. В уравнении (43) u1PX1 + tKt = 0, иначе придем к про-

тиворечию K(t) = const. Если при этом h(p) = ho - постоянная, то этот случай совпадает с аналогичным случаем из п.3 при C1 = C2 = 0. Если h; = 0, из (43) следует u1p1 X1 p1-1 + 2(b + 1)- = 0. Дифференцируем (43) по t и по x1:

h) <uiPx,+tK<) + h (!+) =0 (46)

(«iPx, + «Kt)Px1 + hh (SlP„),1 = (si. (47)

Подставим (43), (46) в (47), разделим на Px1 и дифференцируем по x1:

((UjPx! )яЛ = /Ui(Ui(ln pi)x1 )x1 \ + /_______(Ui(ln pi)x1 )x1

V PX1 Л1 Vu1(ln pi)X1 +2(b + 1)-V *1 V PX1 (ui(ln pi)X1 +2(b . //Ж1

Переменные в (48) разделяются.

Пусть коэффициент при tKt не равен нулю, тогда K(t) = ln |t|, и в (43) переменные разделяются. С заменой (7) (при и1 = 0) получим интегралы и подмодель из одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

s s _ 3ь+4 s

vi = voe ь+1 ,wi = woe ь+1 ,pixis = poe ь+1 ,

(49)

— h„vnP r, — ui _ n-11 1 1 •" -1 ^ - s-i -4

h = hoenp,p = ln |t| — n 1 ln |x1s| — ((3b + 2)n 1(b +1) 1 + 1) s, 3b + 2 x1ss^ : 1 -эь+4s ^b — 1 i b

п- ("ыг + ^7,) +1 =Рое-1+1Чьп+Х1“" (ЬЛ3хУ' (50)

Если в (48) коэффициент при £К* равен нулю, то (1пр1):: = С1Р:((1пр1): + 2(Ь + 1)-1). Система (39)-(43) разрешима только в случае, когда С1 = 0, иначе путем сложных рассуждений придем к противоречию. Если «1 = 0, введем переменную в по формуле (7),

С-2 : _ 3Ь+2 + С :

тогда из (40)-(42) определяются р1 = рое Ь+1 ,«1 = «ое Ь+1 , v1,w1 - по формулам из

(49).

Если 3Ь + 2 + С = 0, то ж1 = — (Ь + 1)(3Ь + 2 + С)-1е +++ : + х0. Тогда

ui — — (3b + 2 + C)(b + 1) 1 (xi — xo), vi — vo|xi — xo13ь+2+с ,

ь c-2 (51)

w1 = wo|x1 — xo| зъ+2+c , p1 = po|x1 — xo|-3ь+2+с с новыми постоянными vo, wo, po. Из (46), (47) следует равенство (_1 pX1 )x1 = 1 +1—^ = Co,

PX1 Kt

Со(ь + 1)

Co - постоянная. Если Co = 0, то p = C1 |x1 — xo|-3ь+2+с + C2|t|Co + Po, из (43) находим

с

h(p) = ho|p — Po| со(ь+1). Подстановка найденных функций в (39) и изучение совместности дает три решения.

1) Co =------+^ +—. Решение задается формулами:

«1 = — (2Ь + 2 + С)(Ь +1) ж1, VI, = v0|ж1| 3Ь+2+С , и1 = и0 |ж1| 3Ь+2+С

С-2 _ 6Ь+6+С _ 6Ь+6+С _

Р1 = Ро|Ж1| 3Ь+2+С ,р = С1 |Ж11 3Ь+2+С + С2|*| Ь+1 + Ро,

где С1 определено равенством

С1(6Ь + 6 + С )(Ь + 1)2 = ро(2Ь + 2 + С)(3Ь + 3 + С)(3Ь + 2 + С).

2) С = —2(Ь + 1). Решение задается формулами:

«1 = Ь(Ь + 1)-1х0, VI, = v0(ж1 — х0), и1 = и0(х1 — х0),

Р1 = Ро|х1 — Ж0| Ь ,р = С1|ж1 — Ж0| Ь + С2|^|С° + Ль

где С1 определено равенством С1С0(Ь + 1)3 = Ьрохо(3Ь + 2 + С).

3) С = —3(Ь + 1). Решение задается формулами:

(53)

(54)

«1 = Ж1 — (Ь + 1) !ж0 ^ = v0|ж1 — Ж0| ь,и1 = и0|х1 — Ж0| ь,

Р1 = Ро|Ж1 — Жо| 3Ь 5 ,р = С1|Ж1 — Жо|с°(ь+1) + С2|^|с° + Ро,

где С1 определено равенством С1С0(Ь + 1)3 = Ьрохо(3Ь + 2 + С).

Если Со = 0, то р = —С1(Ь + 1)(3Ь + 2 + С)-11п |ж1 — х0| + С21п |£| + Ро. Из (43) находим

____С_____

к(р) = кое (Ь+1)(С1+С2). Подстановка найденных функций в (39) и изучение совместности дает еще три решения.

4) С = —6(Ь + 1). Решение задается формулами:

3b + 4 . ._____^ . .___ь_

u1 = 4x1 — -xo,v1 = vo|x1 — xo| 3ь+4,w1 = wo|x1 — xo| 3ь+4,

b +1

pi = po|xi — xo| 2,p = + .1) ln |xi — xo| + C2 ln |t| + Po,

3b + 4

где Ci(b + 1) = 12po (3b + 4).

44

5) b = —, C = —. Решение задается формулами:

33

u1 = 4xo, v1 = vo(x1 — xo), w1 = wo(x1 — xo), p1 = po(x1 — xo)-1,

1 (56)

p = — 4Ci ln |xi — xo | + C2 ln |t| + Po,

4

6) b = —, C = —1. Решение задается формулами:

3

4 4-|

u1 = x1 + 3xo, v1 = vo|x1 — xo|3, w1 = wo|x1 — xo|3 ,p1 = po|x1 — xo|- ,

1 (57)

p = — 3C1 ln |x1 — xo| + C2 ln |t| + Po.

Если 3b + 2 + C = 0, то x1 = const противоречие.

4

Если u1 = 0, то b = —. Получим решение

3

u1 = 4x1, v1 = 0,w1 = 0,p = ln |t| + P(x1),p1 = ——x-1 PX1, (58)

(55)

где Px1 - любая функция.

5. Заключение

На подалгебре 3.23 из оптимальной системы работы [2] получено две подмодели: (9) -инвариантная ранга 1 и (50) - частично инвариантная ранга 1 дефекта 1, семь решений (35), (36), (37), (38), (44), (45), (58), зависящих от одной произвольной функции, и точные решения (10)—(12), (27)-(34), (44), (45), (52)-(57), зависящие от нескольких постоянных. Минимальное число постоянных - 4, максимальное число постоянных - 8.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Программа подмодели. Газовая динамика. // ПММ, Т. 58, Вып. 4, 1994. С. 30-55.

2. Макаревич Е.В. Оптимальная система подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью // Сибирские электронные математические известия, Т. 8, 2011. С. 19-38.

3. Макаревич Е.В. Иерархия подмоделей уравнений газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью // Сибирские электронные математические известия, Т. 9, 2012. С. 306-328.

4. Макаревич Е.В. Коллапс или мгновенный источник газа на прямой // Уфимский математический журнал, Т. 4, Вып. 4, 2012. С. 119-129.

5. S.V. Khabirov Hierarchy of submodels of differential equations // Archives of ALGA, V. 9. 2012. p. 79-94.

Елена Владимировна Макаревич,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: Makarevich_EV@mail.ru