Выполнимость 9-формул на частично коммутативных двуступенно нильпотентных q-группах Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2006. № 1. С. 15-17. © A.A. Мищенко, A.B. Трейер, 2006

УДК 543.123

ВЫПОЛНИМОСТЬ 3-ФОРМУЛ НА ЧАСТИЧНО КОММУТАТИВНЫХ ДВУСТУПЕННО НИЛЬПОТЕНТНЫХ

Q-ГРУППАХ

А.А. Мищенко, А.В. Трейер

ОФИМ СО РАН, лаборатория КВМАЛ 644099, Омск, ул. Певцова, 13

Получена 1 декабря 2005 г.

Let Г be a finite graph and Gp be a partially commutative nilpotent group of class 2 corresponding to graph Г. We investigate commuting graphs and associated with them logic formulas for Gp.

1. Введение

Пусть Г - конечный неориентированный граф, А" = {;Г1 ..., х„} - множество его вершин.

-Рг — частично коммутативная группа, соответствующая графу Г с множеством образующих А" и определяющими соотношениями вида:

^ — % 3 СС-^СС^ — 1 ^ ДЛЯ" ВСО^С } ^ С у которые соединены ребром в графе Г. Подробнее о частично коммутативных группах можно узнать в [3].

Пусть — частично коммутативная груп-

па, соответствующая графу Г, в классе двусту-пенно нилыютентных групп. Можно показать, что группа г — без кручения, следовательно, существует мальцевское пополнение А^г [1]. Обозначим через вр группу .

Отметим, что из двуступенной нильпотентности группы вр следует, что для любых элементов группы .г, у и любых а, /3 € <0> выполняется тождество \ха ,уР\ = [.г, у]"13 .

Следующее предложение описывает нормальную форму для элементов группы вр .

Предложение 1.

1. Фактор -группа* (' [ — (' [ / ('| имеет структуру векторного пространства размерности п над с базой из образов элементов ... , хп .

2. Коммутант С'Г группы (Зр имеет структуру векторного пространства над полем <0> с базой У = {г/у = < j}, где вершины .г ¿, Хз £ X не соединены ребром в графе Г .

□

Отсюда следует, что любой элемент группы (Зр единственным образом представим в виде

где хi € X, уы = [.rfc,.r;] ^ 1, k < I, аи/Зы € Q.

Для нас имеет существенное значение вид элемента g из (1) по modGr :

и •<••'...ПУы = • • • modG'r-

(2)

Произведение f = gh элементов g = х"1 ... х"' {{ у^1, /г = xj1 ... х^ъ {{ ySsf , вычисляется по формуле

gh '-А----' ^ 1 I //Г;

(3)

Цуы

а)

где Aj = а» + öul-4-,1 = ßki + öы ~ &Пк, аМ = 1.....п.

2. Экзистенциальные формулы

По конечному связному графу Т определим формулу ф(Т) . Вершинам графа поставим в соответствие неизвестные ¿1,... , формулы ф(Т). Формула имет вид:

ф(Т) = Зz-\_... гп (Д = 1 А Д [г*, гг] ^ 1А

(4)

Д •-. •; Д •-. I

гфз >

где [-гь-г^] = 1 тогда и только тогда, когда вершины, соответствующие и в графе Т, соединены, и 1, если вершины, соответствующие г к и г; в графе Т, не соединены [4].

Нас будет интересовать вопрос выполнимости формулы ф(Т) на частично коммутативной двуступенно нильпотентной группе (Зр . В частности, при каком графе Т формула ф(Т) выполняется на группе (Зр для фиксированного графа Г ?

16

А.А. Мищенко, А.В. Трейер

3. Случай простой цепи

Пусть Г - простая цепь длины п — 1 [2], вершины которой х\,... , хп занумерованы в естественном порядке. Обозначим в этом случае группу Gr через Gn .

Следующая лемма дает описание централизатора С(д) произвольного элемента д £ Gn. Существенное значение имеет вид элемента g mod G'n . Обращая внимание на это, мы не пишем для простоты знак mod G'n . Выражение "если g = Xе"1 " означает "если g = xi mod G'n ". При этом показатели степеней а, ¡3,... - фиксированные рациональные числа. Заключение приводится в виде С(д) mod G'n, что в точности озна чает равенство С(д) = {.r^.rj2 G'n : «1,0:2 € Q} ■ Под размерностью C(g) будем понимать его размерность по mod G'n.

Для доказательства основных фактов сформулируем лемму о централизаторах элементов группы Gn .

Лемма 1.

1. Если g = .г", о 0, то С(д) = х^х^2 mod G'n.

2. Если д = х%,а ф 0,, то С(д) = х^х"? mod G'n.

3. Если д = xf, а 7^ 0, г 7^ 1 ,п, то С(д) = ^Т^Г-^-н1 mod G'n .

4- Если д = .r".rf+1, а/3 7^ 0 , то С(д) = х^х"^1 mod G'n.

5. Если д = х^х"^2 iaiai+'2 1^ 0? то С{д) = •гГ7-^+1-гГ+227 mod G'n.

6. Если д = x"J, aiCej 7^ О, | j — г| > 2, то С(д)= .mod G'n . '

7. Если д = х"гх"^1 x"^t22 , aiai+1ai+2 7^ 0, то с{д) = ^Г^Г+Л+г27 mod G'n.

8. Если д = x"ixjjx"k, OjOjOft 7^ 0 и д не удовлетворяет предыдущему случаю, то C(g) = .г"*7x"jlx"kl mod G'n, то есть централизатор элемента д имеет размерность 1.

9. Размерность централизатора элемента д равна 1, если элемент д не удовлетворяет условиям предыдущих пунктов.

□

Далее Pathn означает простую цепь длины п. Считаем, что переменные z\,..., zn+1 соответствуют ее вершинам в естественном поряд-

Предложение 2. Пусть п ^ 4. Тогда формула (p(Pathk) выполняется на группе Gn тогда и только тогда, когда k ^ п — 1.

Доказательство. При к ^ п — 1 формула (p(Pathk) выполняется для z\ = ,ri,..., ¿fc+i = .rfc+i • Это следует из определения группы Gn.

Докажем теперь, что формула ф(РаИгп) =

= 3zi ... zn+1 ( Д [zi, Zj] = 1А Д [zk 1A

г—J | =1 |fc —i|>l

(5)

Д •; Д I

1Ф3 >

не выполняется на группе Gn (отсюда легко следует невыполнимость формул <f>(Pathk), к ^ п).

Из леммы 1 следует, что в группе Gn есть п — 2 образующих элемента х-2, ■ ■ ■, , централизаторы ненулевых степеней которых имеют размерность 3.

Пусть формула (5) выполняется при z\ = с/1,..., zn+1 = gn+1. Среди элементов gi,..., gn+1 нет сравнимых со степенями одного образующего элемента по mod G'n. Значит, среди них найдутся три элемента, у которых размерность централизатора будет меньше, чем 3. Тогда найдется элемент gi, размерность централизатора которого равна 1 или 2, но при этом « ^ 1, п + 1. Покажем, что такого не может быть.

Если G (gi), г 7^ 1, п + 1 имеет размерность 1, то есть G(g) = g1 mod G'n , то тогда gi-\ = gf mod G'n , a gi+1 = g] mod G'n. Это значит, что [<7г-ь <7i+i] = чт0 не удовлетворяет формуле ф(РаИгп).

Пусть размерность централизатора G(gi), г l,n + 1 равна 2. Из леммы 1 получаем, что выполняется один из следующих случаев:

1. gi = х" mod G'n с централизатором G(gi) = .r^.r^2 mod G'n

2. gi = x" mod G'n с централизатором G(gi) = .r^i.r«2 mod G'n.

3. gi = Xkxk+i mod G'n, a/3 / 0 с централизатором G(gi) = х"кх"'^11 mod G'n.

4. gi = x",kx",^t22 mod G'n, ofcofc+2 7^ 0 с цен-

/ \ at 7 /3 7

тралпзатором C(gi) = xk %k+ixk+2 mod G'n. 7 G Q.

5- gi = хкк'хк++1хк+22 mod G'n, ofcofc+iofc+2 7^ О тогда G(gi) = mod G'„ ,

7GQ-

Пусть gi из п. 1, тогда gi-i = x"1x'^2 mod G'n, a gi+1 = x1^1 X22 mod G'n , из леммы 1 следует,

Выполнимость 3 -формул.

17

что уi—i £ C(gi+ i); значит, [c/i-bi/i+i] = 1, что не удовлетворяет формуле ф(РаИгп). Если gi из п. 2, то доказательство аналогично п. 1

Пусть gi из п. 3, тогда gi-\ = х^к mo<i G'r.

а 9i+1 = xtkxk+i mod G'n, из леммы 1 следует, что д%—\ £ C(gi+1); значит, [gi-i,gi+i} = 1, что не удовлетворяет формуле ф(РаИгп).

Пусть д^ из п. 4, тогда gt-1 = .?Г'71-гй+А+2271 mod G'n, a gi+1 = xtkT2xi+^r^l,272 mod G'n, из леммы 1 следует, что gi-i £ C(gi+i); значит, bi-ii^j+i] = 1; чт0 не удовлетворяет формуле ф(РаИгп). Если gi из п. 5, то доказательство аналогично п. 4.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Это означает, что формула ф(РаИгп) не выполняется на группе Gn . □

Из доказательства предложения 1 легко вывести следующие факты.

Следствие 1. Если ф(Т) выполняется на Gn на элементах gi, где Т - дерево, то среди gi не может быть элементов с размерностью централизатора 1.

Следствие 2. Если ф(Т) выполняется на Gn на элементах gi, где Т - дерево, то все ди с размерностью централизатора 2 могут соответствовать только висячим вершинам дерева Т.

Следствие 3. Если ф(Т) выполняется на Gn на элементах gi, где Т - дерево, то элементы, соответствующие внутренним вершинам дерева Т, являются степенями образующих группы Gn, кроме ,ri и хп .

Определение 1. Обозначим за Pathn класс деревьев, полученных из Pathn добавлением висячих вершин к невисячим вершинам.

Предложение 3. Ф(Т) выполняется на Gn для V Т £ Pathk , где к < п.

Доказательство. Зафиксируем к < п. Из предложения 2 следует, что формула <f>(Pathk) выполняется на группе Gn. Покажем, что V Т £ Pathft формула ф(Т) выполняется на группе Gn.

Найдем элементы, на которых выполняется формула ф(Т). Выделим в графе длиннейшую простую цепь То. Её длина будет равна к. Поставим в соответствие вершинам То образующие ,ri,..., Х];+1 группы Gn. Возьмем внутреннюю вершину v графа То, пусть ей соответствует xi, где 1 < г < к + 1. Рассмотрим все висячие вершины, соединенные с v. Поставим им в соответствие элементы вида xf_1xl^+1, где а/3 0. Так как а, (3 £ Q, то мы всегда сможем выбрать а и /3 так, чтобы элементы, соответствующие висячим вершинам, между собой не коммутировали, а коммутировали только с хj. Аналогично для других внутренних вершин графа То ■ □

Теорема 1. Если ф(Т) выполняется на Gn, где Т - дерево, то найдется к < п такое, что Т £ Pathu .

Доказательство. Предположим, что Т (jL Pathk V k < п. Рассмотрим длиннейшую простую цепь в дереве Т. Пусть ее длина равна m. Обозначим эту цепь Pathm.

Так как Т ф Pathm , то либо m > п, либо найдется внутренняя вершина gi в Pathm , из которой выходят три пути с длиной, не меньше 2.

Если m > п, то из условия следует, что формула <f>(Pathm) выполняется на Gn, что противоречит предложению 2.

Пусть у gi будут три соседние внутренние вершины, обозначим их за gi, g-2, gz-

Так как gi, g\, g-2, gz - внутренние вершины, то из следствия 3 следует, что gi = х"г mod G'n, 9i = х^1 mod G'n, g2 = xJ2 mod G'n, g3 = x¿з*3 mod G'n, то есть являются степенями образующих группы Gn. Это значит, что G(gi) =

xi'xii1 xio2 :гч13 mod G'n . Следовательно, у элемента gi размерность централизатора больше 3, что противоречит лемме 1. □

[1] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 с.

[2] Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. 300 с.

[3] Esyp E.S., Kazatchkov I.V., Remeslennikov V.N. Divisibility Theory and Complexity of Algorithms for Free Partially Commutative Groups. Groups, Languages, Algorithms // Contemoprary Mathematics 378 (2005). P. 319 - 348.

[4] Duncan A.J., Kazatchkov I.V., Remeslennikov V.N. Centraliser Dimension and Universal Classes of Groups, http : //www.arxiv.org/pdf / math.GR/QbQ'2A9%