Вычисление спектральных радиусов некоторой серии групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2006. № 1. С. 18-20. © П.В. Морарь, 2006

УДК 543.123

ВЫЧИСЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАДИУСОВ НЕКОТОРОЙ СЕРИИ ГРУПП

П.В. Морарь

Омский государственный университет, кафедра математической логики и логического

програлширования 644077, Омск, пр. Мира, 55а

Получена 26 июля 2005 г.

The spectral radius of a sequence of groups is calculated.

1. Введение

Работа посвящена вычислению асимптотических характеристик для некоторой конкретной серии групп. Введем эти характеристики.

Определения всех используемых, но не введенных в работе терминов могут быть найдены в книгах [7] и [2]. Пусть С - конечнопорожден-ная группа, М - ее конечная система порождающих и С = С(С,М) - граф К эли группы С по отношению к множеству М. Назовем сферой радиуса п множество вп = {в € С | с/(в,1) = ?г}, где с/(в, 1) - расстояние от 1 до элемента в в графе С. Введем две характеристики, близкие для групп, рассматриваемых в этой заметке. Логарифмическим объемом группы С называется чис-

ло V(G) = linx,

In I sn

, где |S'„ | - число эле-

ментов . В [6] доказано, что этот предел существует. Спектральным радиусом группы С назовем число р(С) = Цт^—юо \f\Sn |. Предел в этом определении существует вследствие того, что существует предел в определении логарифмического объема.

2. Оценка спектрального радиуса для специальной последовательности групп

Целью настоящей работы является оценка спектрального радиуса для последовательности групп

Zr 1 = Zr * Zl =< ,Г1,..., х,,, у |

Vi^/j [х^х^] = 1 >, (1)

где 2Т - свободная абелева группа ранга г, * -знак свободного произведения групп. Обозначим через соответствующий моноид, порожден-

ный ;Г1, . . . ,Хг,у.

Для дальнейшего изложения нам потребуется привести некоторые предварительные замечания, определения и теоремы.

Рассмотрим группы, заданные порождающими элементами и определяющими соотношениями вида

СГ)Д =< XI ,..., хг |

[Хг, х^*] = 1 при (г, у) € Д >, (2)

где Д С {1,..., ?-} х {1,...,?'}. Такие группы называются частично коммутативными (см. [3]).

Нам потребуется следующая нормальная форма. Пусть ад £ СГуд. Определим НИИ-нормальную форму N(10) индукцией по г. Если г = 1, то ^ бесконечная циклическая и, по определению, эта форма имеет вид х^к € Ъ. Для индуктивного шага предположим, что г > 1 и для любой группы С^щ при ! < г и = ЯП {?' — I, ..., ?'}2 нормальная форма уже определена. Тогда

{[;Гь= 1 ПРИ е Щ >

и ассоциированная подгруппа А в этом HNN-расширении порождается всеми символами х;, г > 1, которые коммутируют с хх. По индуктивному предположению Ж(и>) определена для слов ад, которые не содержат XI. Это известный факт из теории HNN-pacшиpeний, что каждый элемент группы С,, д единственным образом может быть представлен в виде

О! а--> а и

■■Ш = воХ-^ 51Х1-в2 ' ' ' в^-ХХ-^ V,

где во,..., V <Е и в» принадлежат

такой системе слов в, что соответствующие элементы являются представителями левых смежных классов А в Сг_1дг1 . Система представителей в выбирается таким образом, чтобы она удовлетворяла двум следующим условиям.

Вычисление спектральных радиусов.

19

1) Каждое слово веб' записано в нормальной форме в группе .

2) Если буква х^ € А появляется в ,з, то она не может быть передвинута в самую правую позицию с помощью соотношений коммутативности

Приведем некоторые факты из теории Перрона-Фробениуса, более подробно с которой можно ознакомиться в [4]. Пусть М - матрица порядка т. Доминирующим собственным числом будем называть наибольшее по модулю собственное число. Граф зависимостей матрицы М -это ориентированный граф, имеющий множество вершин V = {1,..., т} и множество ребер, содержащее ребро (а —>■ Ъ) только в том случае, если таъ ^ 0. Матрицу М назовем неразложимой, если ее граф зависимостей сильно связный.

Предложение 1. Пусть М - неотрицательная матрица (имеющая неотрицательные элементы). Тогда, если М неразложима и по крайней мере один диагональный элемент М ненулевой, то М имеет единственное доминирующее собственное значение, причем это собственное значение положительное и не кратное. □

Предложение 2. Рассмотрим матрицу

Р(г) = (1-гМ)-\

где М - постоянная неотрицательная матрица. Пусть М является неразложимой. Тогда каждый элемент матрицы ^¿¿(.г) имеет радиус сходимости р, равный наименьшему положительному корню уравнения

Д(.г) := сШ(1 — гМ) = 0.

Более того, точка р является простым полюсом любого ^(г). А также, если М удовлетворяет условию предыдущего предложения, то р строго доминирует по модулю над всеми остальными сингулярностями, отличными от р. □

Обратимся к проблеме вычисления спектрального радиуса для частично коммутативных групп.

HNN-нopмaпьныe формы элементов группы, определенной (2), можно рассматривать как регулярный язык Ь, распознаваемый некоторым детерминированным конечным автоматом. Этот ДКА можно рассматривать как конечный ориентированный помеченный граф. Пусть его вершины помечены числами 1,... ,п, с этим графом связана его п х п матрица смежности А, элемент а^ которой равен числу ребер (г —>■ j). Легко видеть, что число различных редуцированных путей длины I из вершины г в вершину :) равно (А1)ц и получается, что

п

1^1= Е

Ь3 = 1

Рассмотрим регулярный язык, словами которого являются HNN-нopмaпьныe формы элементов группы, определенной (2). Соответствующая 2г х 2г матрица смежности М имеет вид:

(т 1+1+ Ш1+1_ ... Ш1+г \ л,г т1_1 Ш1_1_ ... т1_г_

уп1г_1+ тг _1_ ... тг_г_1

где обозначения - временные и будут ис-

пользоваться только для объяснения значения этих элементов. Она строится следующим образом. Пусть у нас есть элемент группы, записаный в HNN-нормальной форме. Допустим, он заканчивается на х^, дописываем как к слову букву х^ , если получилась HNN-нopмaпьнaя форма, то тг±з± = 1' иначе т1±з± = 0 •

Отсюда получаем следующие правила построения этой матрицы:

т- • ,,/ ■ / "I"1 * > 11 ['гь хз\ = 1 1+3+ 1~3~ 1 1, в противном случае

Фактически это - правило построения матрицы для соответствующего моноида С^д (т.к. выписаны все правила для случая, когда х^ ставится после .гг). Остальные правила имеют следующий вид:

{0, при г > ;) И .Гу] = 1

0, при г = 2

1, иначе

Далее, объясним связь спектрального радиуса группы, определенной (2), и доминирующего собственного значения соответствующей матрицы М = j=Y2r ■ построенной по правилам, описаным выше. Матрица М удовлетворяет условиям предложения 1, а значит, у нее существует единственное доминирующее собственное число А* > 0. Из предложения 2 следует, что радиус сходимости любого элемента ((/ — гМ)-1)^ ра-

оо

вен 1/А* . Допустим, что ряд ^ гкМц сходится.

к = 1

Рассмотрим сумму

2 г оо оо 2 г "х.

Е = Е^ Е Щ =

¿,,7 = 1 /с=1 /с = 1 1,3 = 1 ^=1

Получившийся ряд сходится, перестановка знаков суммирования возможна в силу того, что это конечная сумма сходящихся рядов. Далее, если

оо оо 2 г

ряд V ^Му расходится, то ряд V V

к= 1 /с=1 ¿,,7 = 1

оо

тоже расходится, а значит, расходится ряд |.

к=1

20

П.В. Морарь

Доказано, что ряд ^ сходится тогда

к = 1

оо

и только тогда, когда сходится ряд ^

к=1

оо

Значит, радиус сходимости ряда равен

к=1

1/А*. Т. к. 1/Л* > 0, то можем рассмотреть ряд как вещественный, и по формуле Коши-Адамара получаем

Л* = Йт ^/Щ = р(Сг).

к—>оо

Вернемся к оценке спектрального радиуса группы Zr> 1, определенной формулой (1). Будем рассматривать соответствующий моноид .

Теорема 1. При достаточно больших г выполняется р> \[г ■

Доказательство. Матрица смежности для будет (г + 1) х (г + 1) матрицей, имеющей

вид

/1 1 1 ... 1 1 1\

М =

0 1 1 0 0 1

1 1 1 1 1 1

0 0 0 ... 0 1 1 \1 1 1 ... 1 1 1/

Доминирующее собственное число матрицы М положительное и единственное в силу того, что для М выполняются условия предложения 1. Найдем это собственное число. Для этого найдем характеристический многочлен этой матрицы.

|А/ - М| = Бг+1 = (Л - 1)13,. + (-1 )Г+1ЕГ, ?•+1

где Ег =

-1 -1 . . -1 -1 -1

А - 1 -1 . . -1 -1 -1

0 0 . . А-1 -1 -1

0 0 . 0 А - 1 -1

= (-1 + 1 - Л= -ЛЕг-! = (-1 у-2\г-2Е2 =

г-2 Лг-2

= i-iy-'X

-1 -1 Л - 1 -1

= (-1ГА'

Г Л Г — 1

Получаем реккурентную формулу для D,, Д.+1 = (Л-1)А. + (-1)г+1Д. = (Л-1)А. -Л'-1. Лемма 1. При г > 1

г — 1

Д.+1 = (А - l)r+1 - ^(Л - l)'1-1-fcÄfc.

fc=0

Продолжим доказательство теоремы. Мы нашли характеристический многочлен матрицы М

г — 1

Р( Л) = |Л/-М| = (A-D'^-^A-D'-^A^.

fc=0

Рассмотрим следующий многочлен:

г — 1

Q(A) = (A-1)''+1-^(A-1)'-1 = fc=0

= (Л-1Г1((Л-1)2-г).

При А G К. и А > 2 верно, что Q(А) > Р(А). Также верно, что Q(\/r + 1) = 0. Получается, что Р(Л/г + 1) < 0, но Ишл^+оо Р(А) = +оо. Так как многочлен является непрерывной функцией, то ЗАо > -к/г + 1 такая, что Р(Ао) = 0. Отсюда получаем требуемый результат А* > Ао > л/F+l. □

Следствие 1. lim p(Zr i) = lim p(Z^1) = +oo

r—>00 ' Г—' "X. '

□

Выражаю благодарность своему научному руководителю Ремесленникову Владимиру Никано-ровнчу за постановку задачи и внимательное отношение к моей работе.

[1] Borovik A.V., Myasnikov A.G., Remeslennikov V.N. Multiplicative measures on free groups // International journal of algebra and computation, Volume 13, Number 6, December 2003. P. 705-731.

[2] Epstein D.B.A., Cannon J.W., Holt D.F., Levy S.V.F., Paterson M.S., Thurston W.P. Word processing in groups // Jones and Bartlett Publishers, 1992.

[3] Esyp E.S., Kazatchkov I.V. and Remeslennikov V.N. Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups // AMS Cont. MATH 2005. P. 317-346.

[4] Flajolet P. and Sedgwick R. Analytic combinatorics: Functional equations, rational and algebraic functions // Res. Rep. INRIA RR4103, January 2001.

[5] Vershik A.M., Nechaev S., Bikbov R. Statistical properties of braid groups in locally free approximation // Comm. Math, Phys. 212(2000). P. 469-501.

[6] Вершик A.M. Численные характеристики групп и соотношения между ними // Записки научного семинара ПОМИ 256, 5-18 (1999)

[7] Лет С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

Доказательство. Индукцией по г.

□