CC BY
21УДК 531.01/534.112
А. А. Пожалостин, А. В. Паншина
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ С СУХИМ ТРЕНИЕМ
Рассмотрен аналитический приближенный метод расчета вынужденных колебаний упругих прямых стержней с сухим трением. Предполагается, что трение небольшое, а движение системы безостановочное. Описан подход, основанный на использовании энергетического метода и метода собственных функций. Результаты расчета можно использовать при исследовании динамики нефтепроводов.
E-mail: panalv@mail.ru
Ключевые слова: стержень, балка, вал, трение, вынужденные колебания, приведенные параметры.
Задача о вынужденных колебаниях упругих одномерных систем с сухим трением носит важный методический аспект. В настоящей работе изложен аналитический приближенный метод расчета вынужденных продольных, крутильных и поперечных колебаний упругих прямых стержней (валов, балок) с сухим трением в предположении, что трение небольшое, а движение системы безостановочное. Описан также подход, основанный на использовании энергетического метода и метода собственных функций. При расчете приняты следующие основные допущения:
1) колебания систем малые;
2) материалы стержней однородные и подчиняются закону Гука;
3) для колебаний системы справедливы гипотезы сплошности и плоских нормалей.
Поставленная задача решена приближенно с помощью введения эквивалентного вязкого трения и приведения к эквивалентным параметрам колебательных систем, представляющих собой линейные осцилляторы.
Пусть возмущающее воздействие изменяется в соответствии с гармоническим законом. Стержень расположен на шероховатой плоскости и испытывает силу сухого трения. Распределение силы трения вдоль длины стержня (вала, балки) равномерное. Интенсивность силы трения P
q-гр = f i, где P — сила тяжести стержня; I — длина стержня.
Предположим, что решения однородных краевых задач о продольных, крутильных и поперечных колебаниях таких систем описываются уравнением
L(q) + A2q = 0 (1)
с учетом граничных условий
х = 0 и х = I,
где L( q) — оператор продольных, крутильных или поперечных колебаний; Я — собственное значение краевой задачи; q — прогиб (или угол кручения) стержня; х — координата вдоль стержня. Решение уравнения (1) имеет вид [1]
да
q = 2Xi(х)Bf cos(a>it + а). (2)
i=1
Здесь Xf (х) — собственные формы; a>i — частота f-го тона собственных колебаний; Bf, af — произвольные постоянные; t — время.
Пусть вынуждающее воздействие F = F0 cos pt, где F0, p — амплитуда и частота вынуждающего воздействия.
Собственные функции {Xf} краевой задачи (1) удовлетворяют условиям полноты и ортогональности. Представим интенсивность силы трения в виде ряда по функциям Xf (х) :
да
qтр = 2 afXf ( х), i=1
где af — коэффициент разложения сил трения в ряд по собственным функциям.
Эквивалентные системы (механические аналоги) [2, 3] вынужденных колебаний показаны на рис. 1, 2, где введены следующие обозначения: m0 — приведенная масса механического аналога, m° = 1 1
= —| m0Xfdх (m0 — погонная масса или погонный момент инерции); 20
1 f
c0 — приведенная жесткость системы, c0 = — I G0(X/)2 dх (Go — по-
2 0
гонная жесткость на растяжение, кручение или изгиб); Qf(t) — обобщенная сила; qi — обобщенная координата.
Рис. 1. Механический аналог продольных и поперечных колебаний
Рис. 2. Механический аналог крутильных колебаний
Отметим, что при изгибе X' = dXi/dx следует заменить на
X » = d 2 Xi
i dx2
Коэффициент эквивалентного вязкого трения получим на основании равенства за период вынужденных колебаний T = работы
Р
сил линейно-вязкого сопротивления для каждого i-го члена ряда (осциллятора) и работы сил сухого трения:
T l l
Ц ^iXi2( x) A2 p 2 sin2 (pt + a)dxdt = 4 A jaXi( x ) dx.
0 0 0
Допустим, что вынужденные колебания i-го осциллятора описываются законом
qi = Ai cos (pt + ai), где A — амплитуда вынужденных колебаний; ai — фазовый сдвиг.
T 2 T
Поскольку I sin2(pt + a) dt =—, приведенный коэффициент демпфи-
^ 2
0
рования
| aiXi ( х )dx
_о_
i
2п Ai J Xf pdx
rn -. (3)
Особенность рассмотреного выше подхода заключается в том, что коэффициент демпфирования щ обратно пропорционален амплитуде внешнего воздействия А.
Запишем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний для эквивалентной системы (/-го осциллятора):
т0% + + с0% = Qi ^), (4)
где обобщенная координата %, характеризующая перемещение /-го механического аналога и отсчитываемая от положения равновесия.
Введем обозначение = тогда для /-го осциллятора [1]
т0
Qi (t) =
N
2 Fk (t)-Sr^)
k=1
Sq
Здесь ^ ^) — вектор активной силы; 5гк — вектор соответствующего возмущения.
Для определения коэффициента /0 сравним функции Рэлея механического аналога и исходной системы. Функция Рэлея для механического аналога
1 N
Ф = 2 'Л^,
2 I=1
для исходной системы
N I
ф = 2 i^J dx = 2 ¡MiXfdxqi.
2 i=1 о dt 2 0
С дщ У =10 1д*} "о
Приравняв эти два выражения, получим
л/ =М\х\\,
где И — норма функции X, (х).
Перепишем дифференциальное уравнение (4) в каноническом виде:
(¡1 + 2п( + = И1 соб(рг + а), (5)
где к, — приведенная амплитуда внешнего воздействия. Решение уравнения (5), т. е. закон вынужденных колебаний, описывается уравнением
к , ч
ч = I соб( рг + а- 8),
Л/(®2 - р2)2 + 4п2р2
где = л/да0.
Введем следующее обозначение:
ь
л = —,
и А
где
| ctjXj ( x )dx
И
bi =
2np J Xfdx
Поскольку qi = Аг соб(р1 + аг -81), получим
Ai =
Отсюда
V
(- - p2)2+1^-
АЛ2 2 bi 1 p2
2nip
tgffi = -2-2
— - p2
0\2
AiJ (m0)
A2
(— - p2)2 +
^2 f^ Ai J l m0
= hf,
т. е.
A2(- - p2)2+b2 (-P-12 = h2.
m l" 'i
Окончательно имеем
Ai = ±
(-2 - p 2П
h2 - b2 fmo)2.
Решение уравнения (6) справедливо при >
Ьгр
mi
(6)
небольшом
трении и непрерывном движении системы. Более подробно это решение описано в работе [1].
Теперь рассмотрим применение этого подхода на некоторых примерах:
1) продольные колебания однородной консоли;
2) крутильные колебания однородной консоли (вала);
3) поперечные колебания шарнирно-опертой однородной балки.
Пример 1. Рассмотрим вынужденные продольные колебания однородной консоли с левым защемленным торцем, расположенной на шероховатой плоскости (рис. 3). Пусть погонная масса консоли равна то, длина — I, погонная жесткость — Е/0. На рис. 4 изображена механическая колебательная система, эквивалентная исходной системе.
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 М,кг Рис. 3. Схема для определения продольных колебаний
Рис. 4. Механический анализ колебательной системы
Дифференциальное уравнение продольных колебаний однородной консоли [1] имеет вид
„„ д 2п д 2п EFq—T - m0—iT = 0.
дг 2
dt2
(7)
Здесь u( х, t) — перемещение в продольном направлении материального сечения стержня.
Зададим граничные условия. Так как левый торец защемлен,
ди
и(0, t) = 0, а правый торец свободен, то N(l, t) = EF0 — (l, t) = 0.
дх
Согласно методу Фурье, решение уравнения (7) имеет вид
u(х, t) = X(х)s(t).
Тогда его можно преобразовать в дифференциальное уравнение
,2
^+Д2Х = 0, ¿2=m^i
dx2 EF0
(8)
Решение дифференциального уравнения (8) для X(х), удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид
пх
X(х) = sin — (2i -1), i = 1,2,...
Приведенная масса т0 и жесткость с0 г-го осциллятора определяются формулами
1 1
т0 = | т0 Х2( х) -х = т0 —,
02
с? = -о { (-Х)2 ёх = ^ П—(2г -1)—.
Чтобы вычислить приведенный коэффициент демпфирования (3), представим силу трения в виде ряда
Р , ^ . пх.^. 4Pf
-f = Lai smTT(2i -!)' ai =
I ~=! —Г п—г -1)1''
где/— коэффициент сухого трения первого рода. Поскольку
\ [ип П (—г -1)]—-х = —,
о 21 2
имеем
= 64 Р/ (9)
* = А п31 (2г -1)2 р • (9)
Выражение (5) для коэффициента затухания с учетом формулы (9) принимает вид
„г = Р/
2mi Лп2!2m0p(2i -1)
Поскольку cos Ail = 0, Ai =П~~1~' частота собственных колеба-
ний (5), согласно уравнению (8),
со2 =
п2 (2i -1)2 EFo
4 I2 т0 Обобщенная сила
д = /0 соб( рг + аг) X (х] ),
поэтому
2Fo X ( Xj )
m0l
Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний (см. (6))
Ai =
= ± 1 4 (FoX (xj)^2 ( Pf ^2 4p2
n2(2i -1)2 EF0 2^ 2 V ( mol J П(2i -1)pJ (mO)2 '
4/2
mo
Р2
Пример 2. Рассмотрим вынужденные крутильные колебания однородной консоли (вала) с левым защемленным торцем, расположенной на шероховатой плоскости (рис. 5). В этом случае прослеживается аналогия с продольными колебаниями (см. пример 1). Заменим погонную жесткость Е^о погонной жесткостью консоли на кручение 01 ро (1Р — полярный момент инерции), погонную массу то — погонным моментом инерции ¡о, а перемещение в продольном направлении материального сечения стержня и(х, ¿) — углом кручения <( х, I). Тогда
02 ¡0 2 1 П 2 -1 .
Я2 =-®2, Я =--, 1 = 1,2,3,...
г 01 ро 2 I
9/_
.....а
X
М = Mq cos (pt + a) Рис. 5. Схема крутильных колебаний
Форма собственных колебаний описывается уравнением
пх
X(х) = sin — (2i -1), i = 1,2,... Коэффициенты разложения
4 Pf
a = ■
п(21 -1)1
Здесь Р — сила тяжести консоли; / — коэффициент сухого трения первого рода.
Приведенный коэффициент демпфирования
64Р/
Л =
АП(2i -1)2 p '
где Ai — i -я амплитуда вынужденных крутильных колебаний.
Обобщенная сила
Qi = M0 cos(pt + a)Xi (xj),
М0 — амплитуда внешнего крутящего момента, поэтому
h =
M 0 Xi ( xj ) I0 .
Таким образом, амплитуда вынужденных крутильных колебаний
А =
= +-
2
n2(2i -1)2 GIp0 - p2
4l2
10
'MjXiixj-) I0l
Pf
n2l(2i -1)p) IIl
22 p2
Пример 3. Рассмотрим вынужденные поперечные колебания однородной шарнирно-опертой балки, расположенной на шероховатой плоскости (рис. 6). Применим изложенный выше подход к определению поперечных колебаний однородной шарнирно-опертой балки, расположенной на шероховатой плоскости. Пусть погонная масса консоли равна mo, длина — l, погонная жесткость на изгиб — Е/0. Внешняя возмущающая сила Е(г) = cos(рг + а) действует на балку
Р
в сечении х^. Интенсивность нормальной реакции qN (х, г) = —, где Р — сила тяжести балки; у(х, г) — прогиб балки.
тУ\ о X
Чы
ШШ
Рис. 6. Схема поперечных колебаний
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний имеет вид
Е/0У1У + т0-
IV + m ^У = 0, у IV = d!z
дг2 ' у дх4' Зададим граничные условия закрепления торцев балки:
у(0, г) = 0, у(I, г) = 0, Мизг (0, г) = 0, мШг (I, г) = 0, где Мизг — изгибающий момент в поперечном сечении балки [1].
Представим искомое решение в виде
у (х, г) = / (х) s(t).
Тогда граничные условия для формы колебаний /(х) принимают вид
/(0) = о, /(I) = 0.
Так как МШг = -EJо ду, получаем /"(о) = о, /"(I) = о.
Решая эту краевую задачу, имеем
f (х) = sin
TTXl
Т'
i = 1, 2, 3,...
.P
Интенсивность силы сухого трения ^тр = 8—, где 8 — коэффициент трения скольжения (сухого трения первого рода).
Разложим величину ^тр в ряд по собственным формам свободных колебаний:
Отсюда
Чтр = £ aifi( х ). i=1
г . nxi ,
sin-dx
Р J l
at = 8Р 0-=-,
i l l_
2
48 Р
a2i = 0, i = 1,2,3,..., a2i-1 =
п1 21 -1
Приведенная масса осциллятора 1-го тона колебаний
' I
i = 1, 2, 3, ...
m0 = | m0 f2 dx = m0 —.
о
Приведенная жесткость -го осциллятора
32
с» J\EIо 2 dx = EJо И4 _ = EJо
0
dx 2
l
2l3
Перемещение массы -го осциллятора (см. рис. 1) удовлетворяет дифференциальному уравнению
m" yi + c0 yi = Qi (t).
(10)
Здесь
Qi =
FQcos ptfi ( Xj )Sy
Syt
= F0cosptfi(xjj, Syi *0.
Согласно выражению (9), приведенный коэффициент демпфирования
=
4 PS
Ain3(2i -1)2 p
где Ai — амплитуда вынужденного колебаний /-го осциллятора; р — частота возбуждающего воздействия. Перепишем уравнение (10) в виде
У/ + 2п/У/ + 02У/ = И/ рг + а),
(11)
где
2л- = ^ =
8PS
mf Ain3(2i -1)2pm0l Таким образом,
Ai =
, h =
F0fi( xj )
m0
hi
V(®2 - p2)2 + 4^2p2
(12)
. \ 4
2 £/0 ( т Здесь а>2 = —— I — т2 V I
Угол сдвига фаз
+ 2п/р 8 = агс^ё—:2-2.
а>2 - Р2
Из формул (6) и (12) окончательно получаем
1
A2i-1 = ±-
J Г (2i - 1)п) - p2 m0 v l
4 [F0f2i-1(xj)] ,2
4—mp b-1
m02l2'
SP 4 . 1 „ „
где b2i-1 -, i = 1, 2, 3, ...
12 (2/ -1)рж Отметим, что значение п/ = 0 при / = 2, 4, 6, ...
Таким образом, получены аналитические формулы для расчета вынужденных колебаний одномерных систем [2, 3], которые можно использовать на практике, в частности для исследования динамики нефтепроводов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: ГИФМЛ, 1959.
2. Шиманецкий Ю.А. Динамический расчет судовых конструкций. Л.: Судпромгиз, 1963.
3. Колесников К. С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2оо3.
Статья поступила в редакцию 14.о9.2о12
