CC BY
12
ресурсо- и энергосбережения в металлургии тугоплавких металлов / С. М. Григорьев // Металлургия. - 1988. -Вып. 1. - С. 17-23.
6. Мошкевич Е. И. Пути утилизации легированных отходов / Е. И. Мошкевич // Сталь. - 1989. - № 6. - С. 3235.
7. Григорьев С. М. Технико-экономические показатели развития металлургии губчатых и порошковых лигатур на примере металлизованного молибденового концентрата / С. М. Григорьев // Черные металлы. - 2005. - № 3. -С. 26-29.
8. Григорьев С. М. Получение и использование сплава для легирования и раскисления быстрорежущей стали / С. М. Григорьев // Сталь. - 1994. - № 5. - С. 45-48.
9. Patent Specifikation 1472118. Improvements in or relating to molybdenum and ferro-molybdenum production / Kennecott Copper Corp. - London: Compl. Cpec. Publ., May 4., 1977.
10. Eketarp S. Decisive factor for the planning in future steel planets / Eketarp S. / Practical 3-rd Inf. Iron and steel Congress. - Chicago, 1978. - P. 181-185.
11. Григорьев С. М. Разработка и оптимизация многофун-
кциональной системы зависимости технико-экономических показателей производства металлизованного молибденового концентрата / С. М. Григорьев, Ю. И. Нагорный, С. Ю. Былим // Новi матерiали i технологи в металургй та машинобудуванш. - 2006. - № 1. - С. 101— 103.
12. Киреев В. А. Методы практических расчетов в термодинамике химических реакций / В. А. Киреев. - М. : Химия, 1970. - 328 с.
13. Самсонов Г. В. Тугоплавкие соединения : справочник / Г. В.Самсонов, И. М. Виницкий. - [2-е изд.]. - М. : Металлургия, 1976. - 176 с.
14. Справочник по расчетам равновесий металлургических систем / [А. Н. Крестовников, Л. П. Владимиров, Б. С. Гуляницкий, А. Я. Фишер]. - М. : Государственное научно-техническое издание литературы по черной и цветной металлургии, 1963. - 356 с.
15. Куликов. И. С. Термодинамика оксидов: справ. изд./ Куликов И. С. - М .: Металлургия, 1986. - 137 с.
16. Карапетьянц М. Х. Основные термодинамические константы неорганических и органических веществ / М. Х. Карапетьянц, М. Л. Карапетьянц. - М. : Химия, 1968. - 470 с.
Одержано 17.07.2009
Проведены соответствующие расчеты равновесия в системе V-O-C и выполнен анализ термодинамических закономерностейуглеродо-термического восстановления, который свидетельствует о большой вероятности параллельного протекания реакций карбидообразования. Такая же тенденция наблюдается при восстановлении ванадия из оксидов монооксидом углерода, что подтверждает ничтожно низкую вероятность получения безуглеродистого продукта в этих системах. Полученные результаты являются достаточно весомой теоретической основой для разработки методов утилизации ванадийсодержащего металлооксидного сырья при изготовлении марок стали, где нет жестких ограничений по углероду.
Corresponding calculations of balance in system V-O-C are carried out and the analysis of thermodynamic laws of carbon-thermal reduction which testifies to a high probability of parallel course of carbide-formation reactions is studied. The same tendency is observed at reduction of vanadium from oxides by of carbon monoxide that gives evidence insignificantly low probability of carbon-free production in these systems. As received results product strong theoretical base for development of methods of recycling vanadium-contain metal-oxide raw materials for manufacture of steel grades possesing are no rigid restrictions on carbon content.
УДК 71.027
О. В. Хромов
Национальный технический университет, г. Севастополь
АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОСЦИЛЛЯТОРА В СЛУЧАЕ КОМБИНИРОВАННОЙ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ
ТРЕНИЯ
Исследованы вынужденные колебания осциллятора в режиме резонанса. Выведены аналитические зависимости для расчета коэффициента динамичности осциллятора при наличии силы трения, которая описывается комбинированной степенной функцией.
Математическое моделирование нелинейных колебаний, например, при наличии нелинейного трения, в большинстве случаев требует применения численных методов решения дифференциальных уравнений [1-4].
Однако некоторые частные задачи, как известно, могут иметь конечные аналитические решения [1, 2]. Поиск подобных решений постоянно привлекает внимание специалистов, поскольку наличие конечных
© О. В. Хромов, 2009 120
формул всегда упрощает создание прикладных методик проектирования динамических объектов. Особый интерес в этом отношении представляет теоретический анализ нелинейных колебаний в околорезонансной области.
Цель настоящей работы - вывод аналитической зависимости для расчета коэффициента динамичности осциллятора в режиме резонанса при наличии силы трения, которая описывается комбинированной степенной функцией. Поставленная задача рассматривается на примере механической системы с одной степенью свободы (рис. 1).
но численным экспериментам [3, 4], осциллятор совершает гармонические колебания с постоянной амплитудой a = const и фазой е =-2 при любых значениях
коэффициентов демпфирования, кроме случая сухого трения, когда B * 0, B2 = B3 = 0. На основании этого можно полагать, что движение тела на рисунке 1 описывается гармоническими функциями:
y = a sin | pt + — | = - a cos( pt),
(3)
Рис. 1. Расчетная схема
Тело движется под действием трех внешних сил:
- сила упругости Fуп = cy, c - коэффициент жесткости упругого элемента;
- гармоническая вынуждающая сила
Рвын = Рэт(pt), р,,-p - амплитуда и частота силы;
- сила трения, зависящая от скорости Етр ( у ).
Рассмотрим случай, когда сила трения описывается комбинированной степенной функцией вида:
Fmp Fmp1 + Fmp2 + Fmp3;
(1)
y = ap sin( pt).
(4)
Коэффициент динамичности системы по определению равен отношению амплитуды вынужденных
F
колебаний a к смещению тела а- = —0 под действием
статической силы F0 :
Ц =
a ac ak
2
a 0 F0 fo
(5)
Fo
где /0 = —- - приведенная амплитуда вынуждающей
т
силы.
Для определения неизвестной амплитуды колебаний и коэффициента динамичности по аналогии с работами [1, 2] используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы (энергетический метод). Согласно этой теореме для одного полного цикла периодических колебаний, описываемых функцией (3), должно выполняться равенство
AE = Ауп + Атр + Авын =
(6)
В силу симметрии функции (3) работа линейной силы упругости равна нулю (Ау„ = 0). Работа синусоидальной вынуждающей силы Авын определяется интегралом
Т т
Авын = I Fо 8Ш(р()уж = pFо а|8Ш2(рг)йг = пР-а. (7)
Fmp1 = - B1
Fmp2 = -B2y , F
тр3
|y|
-B3YT, (2)
гдеВ1,В2,В3 - коэффициенты демпфирования.
Подобная функция, как показано в работах [5, 6], наиболее точно отражает характер внутреннего трения в упругих стальных и резиновых элементах.
_ Р _1
В установившемся резонансном режиме (2 = к ~ ,
к
[7
где к = л--частота собственных колебаний), соглас-
V т
Полную работу силы трения для комбинированной функции (1) представим в виде суммы
Атр | Ртр (у) № = Атр1 + Атр2 + Атр3. (8)
о
Для отдельных слагаемых в этом выражении с учетом простых степенных функций (2) и функции (4) можно получить следующие конечные формулы, приведенные в работе [2]:
c
ISSN 1607-6885 HoBi Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2009
121
Атр1
-В 1
Т 2 2 ■ 2, ^ а р 81И (рг)
Т/2
ар| 81д( рг )|
Сг = -2 рВ^а 181д( рг)Сг = -4В1а,
Г 2 2 ■ 2
Атр2 = -В2 I ар 8ш (р/)С/ = -прВ2 а 0
разом, формулы (3, 4), как отмечено выше, непригодны для описания колебаний осциллятора при сухом трении.
Для линейной функции трения ¿2 Ф 0, ¿1 = ¿3 = 0, С3 = 0 , тогда из (12):
С2а + с?1 = прЬ2а - /= 0.
Т ' 4( ) Т/2 8
Атр3 =-В3аъръ 1 рр)! Сг=-2р3В3а3 ^рЛ=-8р2В3а3
0 I
0
3
Отсюда находим амплитуду: а =
Ь2 р
Тогда
Атр = -а\ 4В1 + прВ2а + -3р2В3а2 |. (9)
Подставив (9) и (7) в (6), получим квадратное уравнение относительно неизвестной амплитуды колебаний:
8 р 2 В3а 2 + прВ2а + (4В1 - п) = 0. (10)
Введем обозначения:
и коэффициент динамичности:
.2 =
/0 р = _Р_
Ь2 р /0 Ь2
(15)
При квадратичной функции силы трения ¿3 Ф 0, ¿1 = ¿2 = 0, й?2 = 0 на основании (12) получим урав-
нение:
2 822
С3а + С1 = 3р ¿3а - /0п= 0.
с3 = -р ¿3, С2 = прЬ2, С1 = 4^ -/0п, (11)
Следовательно, амплитуду и коэффициент динамичности можно определить по формулам:
, В, В2 В3 ,
где ¿1 = —, ¿2 = —-, ¿3 = —3— приведенные коэф-
т т т
фициенты демпфирования. Перепишем уравнение (10):
С3 • а2 + С2 • а + С1 = 0. (12)
Решая последнее уравнение, находим амплитуду:
а=
- С?2 + д/С^2 - 4С1^3
2С3
(13)
и коэффициент динамичности:
^2 2
С2 - 4С1С3)р
— --^гт-• (14)
а0 2С3/0
Покажем, что из уравнения (12) следуют приведенные в [2] частные формулы для простых видов степенной функции трения.
В случае сухого трения ¿1 Ф 0, ¿2 = ¿3 = 0, С3 = С2 = 0 , и уравнение (12) принимает вид:
С = 4Ь - п/0 = 0.
Амплитуда не входит в это уравнение, следовательно, ее значение остается неопределенным. Таким об-
а = №; .3 =. /2 = р.
1 8bз р2
I 8Ь3 р2 /0 V 8^/0
3п
(16)
Для проверки эффективности аналитических формул используем результаты численных экспериментов из работы [4], в которой был выполнен сравнительный анализ поведения осциллятора при различных видах функции трения. Исходные данные: масса т = 3,9 кг ; жесткость упругого элемента
с = 3,267 -105 Н/м ; амплитуда вынуждающей силы
/0 = 100 Н/ кг; коэффициенты демпфирования для
Н Нс простых функций трения: ¿1 = 0,635 —, ¿2 = 65-,
кг кгм
Ь3 = 8000
Нс
2
кгм
; коэффициенты демпфирования для
комбинированной функции: ¿1 = 0,0508
Ь2 = 13— и Ь3 = 2400-
Н
г. Коэффициенты демп-
кгм кгм
фирования для всех исследуемых видов функции трения выбирались из условия обеспечения одинакового времени затухания колебаний.
2
кг
2
Обобщенные результаты численных экспериментов из работы [4] представлены на рисунке 2 в виде амплитудно-частотных характеристик. Подстановка исходных данных в формулы (14), (15) и (16) дает следующие значения коэффициентов динамичности:
ц = 0,64 , м-2 = 4,45 , цз = 0,35 . Из графиков на рисунке 2 при условии 2 = 1 получим практически такие же значения коэффициента динамичности.
И
4,5 4 3,5 3 2,5
1,5 1
0,5 0
Выводы
1. Энергетический метод позволяет выполнять точный аналитический расчет основных параметров резонансных колебаний осциллятора без использования процедуры численного решения нелинейных дифференциальных уравнений движения;
2. Полученные формулы для амплитуды и коэффициента динамичности осциллятора являются естественным обобщением на случай комбинированной степенной функции трения.
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
1,1 1,2 1,3
1,4
Рис. 2. Расчетная амплитудно-частотная характеристика осциллятора с внутренним трением для различных функций трения:
1 - для сухого трения; 2 - для линейного трения; 3 - для квадратичной функции; 4
функции
для комбинированной степенной
Перечень ссылок
Магнус К. Колебания / Магнус К. - М. : Мир, 1982. -302 с.
Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний / Я. Г. Пановко. - М. : Машиностроение, 1967. - 313 с. Хромов Е. В. Исследования вынужденных колебаний осциллятора в около резонансной области для различных характеристик демпфирования / Е. В. Хромов // Вестник НТУ «ХПИ». - 2007. - № 38. - С. 168-174. Хромов О. В. Теоретический анализ вынужденных колебаний груза на резиновом гасителе с учетом нелинейного характера функции внутреннего трения / О. В. Хромов, А. О. Харченко // Вестник СевГТУ. Вып. 95 : Механика, энергетика, экология. - Севастополь : изд-во СевНТУ, 2009. - С. 103-109.
Хромов Е. В. Исследования вида функции внутреннего трения для собственных изгибных колебаний стальной балки / Е. В. Хромов, О. В. Хромов // Новi матерiали и технологи в металургп та машинобудуванш. - 2008. -№ 1. - С. 111-114.
Акопян Р. Исследования демпфирующих свойств резиновых упругих опор узлов и агрегатов автомобиля / Р. Акопян, А. Харченко, О. Хромов // Sakon'08. Metody obliczeniowe i badawcze w rozwoju pojazdow samochodowych i maszyn robozych samojezdnych. Tom xix, rzeszOw, Polska. - 2008. - P. 9-14.
Одержано 28.04.2009
5
2
Z
До^джеш вимушеш коливання осцилятора в режимi резонансу. Отримаш аналтичш залежностi для розрахунку коефщента динамiчностi осцилятора за наявностi сили тертя, що описуеться комбiнованою степеневою функцiею.
The forced vibrations of oscillator are explored in the resonance conditions. Analytical dependences are shown for the calculation of dynamic quality of coefficient of oscillator at presence of friction force, which is described by combined power function.
ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудуванш №2, 2009
123
