CC BY
32
Имитационное математическое моделирование определения параметров упругого материала с памятью
# 01, январь 2009 автор: Чжао Чжи Хао
Рассчитывается отклик на тестовое гармоническое воздействие линейного осциллятора , материал упругого элемента которого обладает памятью , и на основе результатов расчетов обосновывается возможность экспериментального определения физикомеханических параметров конструкционного материала упругого элемента
Ключевые слова: релаксация , наследственность , осциллятор ,погрешность измерения
УДК 681.2.087;004.942.519.876.5
МГТУ им.Н.Э.Баумана, Тайвань K_mt4@org.bmstu.ru,
http://technomag.edu.ru/doc/ 123365.html
Исследование изменения во времени свойств конструкционных материалов представляет большой практический интерес. Здесь, в частности, одним из важных аспектов решения данной проблемы может быть определение с повышенной точностью параметров реологической модели материала.
В связи с этим ниже рассматривается схема определения параметров осциллятора, упругий элемент которого обладает памятью . Уравнение движения такого осциллятора под действием колеблющейся на фиксированной частоте вынуждающей силы имеет вид [1] [2] :
t
x + 2Ь x + w¥2x + (w 02-w2 )s e~s{t~x ) x(t )dt = /0cosw t (1)
Здесь x - смещение осциллятора относительно положения равновесия, ft -коэффициент затухания, w о2и w¥2 - релаксированное и нерелаксированное значения собственной циклической частоты s - параметр релаксации , Л -постоянная амплитуда вынуждающей силы, w - её циклическая частота.
Поскольку , обладая памятью, материал упругого элемента может измениться необратимо после воздействия на него осциллирующей силой, переход к изучению отклика материала упругого элемента на новой частоте колебаний, отличной от предыдущей, может привести к погрешностям.
Поэтому амплитуда осуществляющей тестовое воздействие вынуждающей силы должна быть минимальной .
Решение уравнения (1) для установившихся колебаний ищется в виде :
(ю • t + у )
(2)
где а и у - зависящие от циклической частоты ю амплитуда и сдвиг фазы между вынуждающей силой и откликом смещением-осциллятора.
Из уравнения (1) с помощью (2) следует система для определения амплитуды а и фазы у .
)= ли
22 5 + ю
2$ю +
(*
5ю (ю 2 - ю.
22 5 + ю
(3)
которая позволяет получить
(ю 0 -ю¥2 )
2^ю +
22 5 + ю
2
2
V
22 ю 02 - ю ¥2
\ и ¥ 2 2 5 2 + ю 2
Л
а
(ю.2 - ю 2) +
2 (, 52 (ю2 -ю о )
22 52 + ю 2
(4)
2^ю +
5ю (ю ¥2 - ю о2)
2 2 52 + ю 2
(5)
Для экспериментального определения параметров осциллятора по результатам определения его амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик полагается , что отсчеты амплитуды и фазы выполнены в заданной полосе частот на дискретных частотах Юi , отстоящих друг от друга на одинаковые интервалы так , что Юi+l- Юi=const во всей исследуемой полосе частот.
Выбранным произвольно из полученного дискретного набора частот их четырем значениям ю1 , ю2 , ю3 , ю4 соответствуют четыре значения амплитуды а1, а2, аз, а4 и четыре значения фазы ф1 , ф 2 , ф 3 , ф 4 , полученные экспериментально .
Этого набора величин достаточно для образования системы четырех уравнений для определения четырех величин s , Юо , ю® , в .
Из уравнений (4) и (5) получается уравнение
1_ии_
а
5
1
2
2
2
+
1
в котором параметры / и а известны из эксперимента.
Последнее уравнение позволяет получить систему
2 (й О - )
22 ^ + ® 2
2 52 (а 02
®¥ -®2 + ^^ ,
2
1® о2 - ®¥2)
5 + ®
- Ч 2 = 0
2 5 2 (® 02
® 32 + 10
(® 0 - ®¥2 )
2 2 5 + ® 32
1® 0 - ®¥2)
® 2 + ^ (® 00 -®2
22 5 + ® 4
Чз = 0
Ч 4 = 0
2
®
2
®
(f
У о
а
(і + tg 2(рІ)) ^
(І = 1,2,3,4 )
Из уравнений (7) следует система :
2 2 52 (® 02 - ® ¥2 )(® 2
® 22 - ® 2 + 10 ¥ А
(52 + ® 2 )(52 + ® 2
2 ® 2)
-------------- + Ч2 - Чі = 0
2
2 2 2 2
® 4 - ® 3 +
2
®
+ Ч4 - Чз = 0
(8)
2/ 2 2^
позволяющая после исключения произведения * \ю. - ю0) и простейших алгебраических преобразований получить биквадратное уравнение относительно * :
54 (- <і2) + 52 йх (® 2 + ® 2) - ё2 (® 32 + ® 4) + ^ (® 2® ;2) - гі,2 (® 32® 4) = 0 (9)
где ^ = I- (ю 22 -ю 12 )- (q2 - ql )1(ю 42 -ю 32 ) d 2 = I- (ю 42 -ю 32 )- (q4 - q3 )1(ю 22 -ю 12 )
Вычислив величину параметра * из этого уравнения легко получить из системы (8) систему линейных уравнений для вычисления параметров ю 0 и
2 .
22 52 + ® 2
22 ®¥ = ® 2 + Ч
(Ю)
22 52 + ® 2
22 ®¥ = ® 2 + Ч2
Решение этой системы получается в виде .
®¥2 = ® 2 ® 2 I 1® 2
® 2 - ® 2
^ [(® 2 + Ч )(5 2 + ® 2 )- (® 2 + Ч2 )(5 2 + ® 2 )]
0 21 2 5 (®
(® 2 - ® 2 )
2\\(® 22 + Ч2 )(52 + ® 2 )® 2 - (® 2 + Ч )(52 + ® 2 )® 22 ]
(И)
(22)
1
4
2
2
®
5
2
2
®
5
2
2
Для определения погрешности результатов накопление статистики можно имитировать , подбирая значениям частот юi (1 £ * £ п) , где п - число эквидистантных частот в заданном диапазоне .
Из соотношения (4) , используя найденные значения s , юо и ю® легко получить и значение коэффициента затухания в :
Ь = 5(ю о2
2ю
ю +
5(ю о2 - ю. )
22
5 + ю г
агс%(9 г)
(13)
Таким образом , определение амплитудо-частотных и фазочастотных характеристик осциллятора , упругий элемент которого обладает памятью , как уже было отмечено сводится к экспериментальному нахождению амплитуды и фазы колебаний осциллятора под действием вынуждающей силы , задаваемой в необходимом диапазоне частот .
Особенностью такого экспериментального исследования является применение тестовых воздействий минимальной величины , чтобы они не вызвали дополнительных необратимых изменений материала упругого элемента . Однако в этом случае отклик на тестовое воздействие по своему уровню приблизится к уровню случайных фоновых помех или даже будет сравним с их уровнем . Источником таких помех могут оказаться колебания основания установки , создаваемые микросейсмами и вибрациями индустриально промышленного происхождения , влиянием нестабильности других параметров внешней среды : давления , температуры ,
аэродинамическими эффектами , электромагнитными наводками , фоновыми засветками , а также внутренними шумами измерительной аппаратуры.
Однако решение проблемы отстройки от помех в значительной степени упрощается , так как задача определения параметров полезного сигнала (его амплитуды и фазы ) в виде одной гармоники на фиксированной и заранее известной частоте хорошо изучена.
Средние квадратические значения погрешности определения координаты х , амплитуды а и фазы у , как показывают расчеты , связаны соотношением :
Их2 = а28у 2 + На2 (14)
или 0 2 = а2в 9 + 0 а . Существенно , что здесь 0 х 0. получаемые при обработке результатов измерений . Введение обозначений
/о
а
V )
л/1 + *8 2 (~ ) приводит к системе
г = 1,2,3,4
(15)
1
ю
2
ю
1
~2 2 5 2 (ю 2
ю-ю г +
(ю¥2 - юо2 )
~2
5 + ю г
Чг = о
(16)
где знак ~ над обозначениями ю о , ю. и 5 подчеркивает наличие случайной составляющей в результатах их определения .
Так же как и в случае детерминированного процесса можно получить
биквадратное уравнение для определения частоты релаксации 5:
54(~- <2)+ 52 ~(ю2 + ю)-d2(ю32 +ю4)+ <1 (ю 12ю22)- d2(ю32ю4) = о (17)
Где 5 = |- (ю 2 -ю 12 )- (~2 - )1(ю 42 -ю 32 ) <2 = |- (ю 42 - ю 32 )- (~4 - ~3 )1(ю 22 - ю 2 )
и формулы , определяющие значения ю о и ю
ю¥2 =
2 1 2 |(ю 12 + 51 )(5 2 + ю 12 )- (ю 22 + 52 )(5 2 + ю 2 )]
ю 1 - ю 2
(18)
1
5 2 (ю 12 - ю 2,
[(ю 22 + ~2 )(5 2 + ю 22 )ю 12 - (ю 12 + ~1 )(52 + ю 12 )ю 22 ]
(19)
Необходимо установить погрешности определения величин 5 , ю о и ю, Для этого , сначала определяется корень уравнения (9) :
5 =
- т ± л/ т2 - 41и 21
1
\ — 2
Где 1, т ,и - коэффициенты уравнения (9) .
1 = (< - <2) , т = [< (ю 1 + ю 22)- <2 (ю 32 + ю 2)] ,и = < (ю 12ю 2 )- <2 (ю 32ю 4 )1 Таким образом ,
(2о)
85 =
8т +
т8т + 2и 81 + 218и д/т2 - 41 и
+ (- т + д/т2 - 41 и)
и 81
(21)
451
2
где 81 = (85 + 8й?2 ) 8т = 8<1 (ю 12 + ю 2)+8<2 (ю 32 +ю 2)] 8и = [8<?1 (ю 12ю 2)+ 8<2 (ю 32ю 4)] Выражения для оценки погрешностей определения величин ю о и ю
следует из соотношений (11) , (12) :
[ю 128ч2(52 + ю 22)+ ю 228ч1 (52 + ю 12)+ 2?85[ю 12(ю 22 + 52)+ ю 22(ю 12 + д1)
8ю
8ю
[8 ч1 (52 + ю 1) +
2ю о54(ю 12 - ю 22)
) + 8 42 (5 + ю 2 )25 85(ю 1 + Ч1 + ю 2 + 52 )1
2ю. (ю 2 - ю 2)
(22)
(23)
1
о
Здесь выражения для погрешности определения величин Чг (г = 1,2А4)
следуют из уравнения (15) и получаются в виде
а
V у
с^2о. )7(і + &2 (9 .)) 3
1
1
а
а
+
Выражение для погрешности определения частоты релаксации 5 получается аналогично из формулы (2о) и не приводится ввиду его громоздкости .
Очевидно , снижение погрешностей определения амплитуды 8 а и фазы 89 гарантирует и уменьшение погрешностей 8ю о , 8ю¥ и 85 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Постников В.С. Физика и химия твердого состояния. «металлургия» , 1978,544с.
2. Мешков С.И. , Почевская Г.Н. , Постников В.С. , Рудис М.А. Случайные колебания осциллятора с наследованными свойствами ./ физ. и хим. обработка материалов 197о. N6 с 137-138 .
