CC BY
25О возможности построения единой модели резонансной и релаксационной поляризации
Лукичёв А.А. ([email protected]), Ильина В. В.
Институт геологии и природопользования ДВО РАН
Введение.
В современной теории поляризации сложилось устойчивое мнение, что упругие и релаксационные поляризационные процессы имеют различную физическую природу [1-6]. Теория упругой поляризации основана на модели линейного осциллятора, где заряженная частица колеблется в параболической потенциальной яме, создаваемой квазиупругой возвращающей силой. Зависимость поляризации от частоты в этом случае описывается формулами Лоренца [3]. Для описания релаксационной поляризации применяют «прыжковую» модель Дебая-Сканави, согласно которой релаксирующая частица находится в глубокой потенциальной яме с двумя положениями равновесия, каждое из которых частица может занять с определённой вероятностью [1,2]. Частотная зависимость описывается формулами Дебая [3]. В сложившейся ситуации существует противоречие: формулы Лоренца прямо вытекают из модели гармонического осциллятора, тогда как формулы Дебая из «прыжковой» модели прямо не вытекают. Это противоречие с некоторой натяжкой разрешается, обычно, тем или иным способом показывают, что существует связь между «прыжковой» моделью и формулами Дебая [1,5].
Отсутствие единой теории упругой и релаксационной поляризации создаёт определённые трудности в развитии теории поляризации и затрудняет понимание физической природы поляризационных процессов, это отмечал, например, Р. Коул. [7]. В то же время многие авторы обращали внимание на явное сходство дебаевских и лоренцевских зависимостей. Авторы настоящей работы считают, что единая теория упругих и релаксационных процессов может быть построена на основе модели линейного осциллятора.
Обоснование модели.
Сделаем замечание по поводу терминологии. Поскольку в этой работе предлагается описывать релаксационную поляризацию с помощью модели линейного осциллятора, основанной на понятии квазиупругой силы [3,8,9], то общепринятое деление поляризации на упругую и неупругую (релаксационную) теряет смысл. Поэтому далее мы будем использовать достаточно часто встречающееся деление на резонансную и релаксационную поляризацию.
Выделим наиболее существенные различия между резонансной и релаксационной поляризацией, для этого рассмотрим существующие определения. Определение резонансной поляризации, вытекающее из модели квазиупругой силы, достаточно очевидно и вопросов не вызывает. Но приведённые в литературе определения релаксационной поляризации следует признать неудовлетворительными. Большинство авторов определяют этот вид поляризации по признакам, которые не является достаточными. Хиппель [6] относит к релаксационной только объёмно-зарядную поляризацию и делает вывод о том, что резонансная и релаксационная поляризации имеют различную природу, поскольку последняя связана с перемещением макрозаряда в объёме диэлектрика. В работах [3,4] для определения релаксационной поляризации используется чисто качественный признак - большое время установления процесса. В [4] в качестве определения релаксационной поляризации приводится интеграл свёртки, что очевидно неверно. В [10, с.606] приведено условие трансформации формул Лоренца в формулы Дебая: ®<<®0. Это неравенство отражает
известный факт, согласно которому дебаевские и лоренцевские зависимости совпадают на низких частотах [11], но признаком релаксационной поляризации не является. Все приведённые выше признаки либо недостаточны, либо просто не верны.
Единственным бесспорным признаком релаксационной поляризации является экспоненциальный спад поляризации после отключения внешнего поля:
P(t) = P0 exp(-t/т) (1)
где P - поляризация, P0 - её установившееся значение в постоянном поле, т - постоянная
времени, t - время. Функция спада (1) в работах [1,4] называется функцией релаксации. Некоторые авторы в качестве функции релаксации используют функцию отклика на включение внешнего поля, что не имеет принципиальных физических отличий. Заметим, что
в электротехнике функция, подобная (1), называется переходной, это более подходящее название. Согласно определению, приведённому в [10], функция установления поляризации после ступенчатого включения (или отключения) постоянного внешнего поля для упругой поляризации имеет осцилляции в процессе установления, для релаксационной поляризации -не имеет. Очевидно, что это требование сводится к экспоненциальности функции релаксации для релаксационной поляризации, и наличия гармонических составляющих для резонансной поляризации. Последние признаки следует признать наиболее точными. Но количественных критериев они не содержат.
Таким образом, мы имеем единственный признак релаксационной поляризации (1) из которого и будем исходить при дальнейшем анализе. Далее будем считать поляризацию релаксационной, если функция релаксации диэлектрика не содержит гармонических составляющих, и резонансной, если функция релаксации содержит гармонические составляющие.
Исходим из предположения, что движение заряженной частицы в диэлектрике при наложении внешнего гармонического поля описывается уравнением для вынужденных гармонических колебаний с затуханием, как для релаксационной, так и для резонансной поляризации [3,9]:
С2х „ пёх 2 аЕп _
—- + 2 в— + х = ехр(га1) (2)
С ё т
где х - координата частицы, в - коэффициент затухания, т - масса иона, q -заряд, а>0 -собственная частота колебаний частицы, Е0 и а> - амплитуда и частота изменения внешнего поля, I - время. Для определённости считаем, что описываем движение слабосвязанного иона, участвующего в тепловой ионной поляризации. Также, считаем, что локальное поле, действующее на ион, равно среднему макроскопическому (борновское приближение [2]).
Покажем, что модель линейного осциллятора применима для описания частицы, находящейся в потенциальной яме с двумя или более положениями равновесия. Рассмотрим движение слабосвязанного иона в глубокой потенциальной яме с двумя эквивалентными минимумами,
разделёнными потенциальным барьером
0
Рис. 1.
Вид потенциальной ямы для высотой ио, (рис. 1), при этом используем слабосвязанного иона.
- для отдельно исходные положения модели Сканави [2]. для среднестатистическо- Считаем, что концентрация
слабосвязанных ионов в диэлектрике равна
пп
в отсутствие внешнего поля
концентрация ионов в положениях 1 и 2 п1 = п2 = по / 2 , координаты положений равновесия
х12 = ±5 / 2. Очевидно, что индуцированный дипольный момент микрообъёма, содержащего
потенциальную яму, показанную на рис. 1, не равен нулю из-за асимметрии расположения заряда, в то же время момент диэлектрика в целом будет нулевым. Это означает, что поляризация всего диэлектрика определяется не положением отдельно взятого иона, а поведением центра тяжести заряда всех слабосвязанных ионов в диэлектрике. Очевидно, что при п}=п2 центр тяжести имеет координату х = 0. Таким образом, модель Сканави описывает некий усреднённый ион, координата которого совпадает с центром тяжести заряда в диэлектрике. Когда включено внешнее поле Е, концентрация ионов, избыточно переброшенных в положение 2, увеличится на Ап, в положении 1 уменьшается на ту же величину, в этом случае центр тяжести среднестатистического иона сместится на расстояние
5 п2 - п1 „ Ап 2 по по
х(Ап) = - ^^ = 5—.
(3)
Несложно заметить, что максимально возможное значение координаты х(Ап) = 5/2 достигается при Ап=п0 /2, т.е. когда все слабосвязанные ионы находятся в положении 2
(п2=п0). Смещение усреднённого иона из положения равновесия (х=0) вызовет появление возвращающей силы, обусловленной нарушением электронейтральности диэлектрика. Таким образом, если считать возвращающую силу квазиупругой, то движение среднестатистического иона с координатой х=0 может быть описано уравнением (2). Вопрос о точности такого приближения будет решён позже.
Найдём функцию отклика заряженной частицы в диэлектрике на включение внешнего поля. Используем известное выражение для дипольного момента:
P(t) = q ■ x(t) (4)
а также его связь с поляризацией P(t) = ^pi (t) [1,2]. Из этих выражений следует, что
решение уравнения (2) x(t) совпадает с функцией поляризации с точностью до постоянного множителя. Отсюда несложно получить функцию отклика поляризации или функцию релаксации. Для этого ищем решение уравнения (2) с правой частью в виде E01(t), где 1(t) -единичная ступенька [12]. Частное решение такого уравнения тождественно равно константе, следовательно, о наличии гармонических составляющих в функции релаксации можно однозначно судить по виду общего решения [8]:
P(t) = P1 exp[- (в2 -д/в2 -®02 ]t + P2 exp- (в + 4в2 -®02 ) t (5)
где Р1 и Р2 константы, зависящие от начальных условий. Здесь мы получили переходную функцию, описывающую реакцию диэлектрика на включение внешнего поля. Как видно, эта функция отличается от (1).
В случае, если
в < ®0 (6) (корни характеристического уравнения комплексные) решение (5) можно привести к виду [8]:
P(t) = P0exp(-t /т') sin(^m02 - в2 ■ t + ф) (7)
где Р0 - амплитуда колебаний в момент времени t = 0, т' = 1/ в - постоянная времени, ф -фаза колебаний. Т.е. при выполнении условия (5) функция релаксации имеет гармонические составляющие. Если
в>®0 (8)
(корни характеристического уравнения действительны) то функция релаксации (5) не содержит гармонических составляющих, свободные колебания заряженной частицы становятся апериодическими. Таким образом, равенство
(3 = О0 (9)
определяет границу между гармоническим и апериодическими режимами свободных колебаний. Для вынужденных колебаний частицы под действием гармонической внешней силы апериодический режим невозможен. Пока будем считать, что равенство (9) также определяет границу между резонансным и релаксационным режимом вынужденных колебаний. Обращаем внимание, что термин «вынужденные релаксационные колебания» -новое понятие.
Из приведённых выражений вытекает условие существования релаксационных процессов: колебания будут релаксационными, если коэффициент затухания больше собственной частоты колебаний (выполнение неравенства (8)).
Исходя из этого, проведём анализ решения уравнения (2) с правой частью в виде гармонической функции. т.е. рассмотрим вынужденные колебания частицы под действием внешнего гармонического поля. Запишем уравнение (2) в канонической форме [12]:
1 й х йх аЕ.
—Т-Г + Т-+ х = ! 2
О0 йх йх шю
+ Т—+ х = е (10)
/0 чл «-«•<• »»»1^0
Здесь введена постоянная времени:
т = ^ (11)
О0
'0
Решение уравнения (10) даёт комплексную амплитуду колебаний [3,12]:
А(() = —тО--7 (12)
шю0 — О /ю0 + 1ОТ + 1
Далее, с помощью соотношения (4), перейдём к индуцированному дипольному моменту р , и, учитывая связь между моментом и поляризуемостью иона р = аЕ [2], из (12) получаем комплексную поляризуемость на один ион а = а' — га":
,, ч а 1 — о /ю0 ^„ч а (о) = -^--(13)
ш®0 (1 — О2/(02 ) +ю2-
2
п, ч q ат /1
а' (а) = -^--(14)
та0 (1 -а2/а02) + а2т2
В спектроскопии эти формулы известны как формулы Лоренца, графики функций для различных значений в показаны на рис. 2а и 2б. В резонансном режиме зависимость а (а) (рис. 2а) имеет выраженный резонансный пик, при переходе через границу релаксационного режима пик исчезает, кривые выполаживаются и по форме приближаются к дебаевскому виду. Функция а"(а) (рис. 2б) в резонансном режиме имеет вид узкого резонансного пика, полуширина которого равна в, амплитуда, также, существенно зависит от коэффициента затухания. В релаксационном режиме пик имеет дебаевский вид, его ширина и амплитуда от затухания уже не зависят.
Проанализируем изменение поляризуемости в зависимости от соотношения величин в и а0, для этого рассмотрим предельные случаи.
1. Затухание мало, в <<а0, резонансный режим колебаний.
Второй член уравнения (10), учитывающий трение, пренебрежимо мал, опускаем его, и получаем упрощенное уравнение, описывающее вырожденную колебательную систему [3,9]:
АСХ + х = (15)
а0 с та0
Из решения этого уравнения получаем формулу для поляризуемости, хорошо известную из теории электронной поляризации [3]:
а2 1
а(а) = а--2-Г> О6)
т а<2 - а2
5 т ос'(со) o.e.
со
-5
Л ^"О®)
o.e.
2-
0,3 оо0
оо0-Ю
б
Рис. 2
Зависимость действительной (а) и мнимой частей (б) поляризуемости от частоты (функции (13) и (14)) для различных значений коэффициента затухания. Случай в = ю( соответствует сверхбольшим затуханиям (функция (28)), в = 500ю0 - переходная функция. Пунктиром построены графики релаксационной функции (18).
а
аналогичное выражение даёт квантовая теория. Область применения формулы (16) в< 0,01а0.
2. Большое затухание, в >> а0, выполняется условие (8), колебания релаксационные.
Для гармонического осциллятора это условие означает, что сила инерции становится пренебрежимой по сравнению с силой трения. Поэтому в уравнении (10) отбрасываем первое слагаемое, учитывающее инерционность осциллятора, и получаем уравнение первого порядка [9]:
Сх , „ _ аЕ0 ¿м
т— + х = в1Ш. (17)
Л та 0
Это уравнение описывает колебания невесомой частицы в среде с высоким трением.
Комплексная поляризуемость, соответствующая решению уравнения (17), будет:
~( ) а2 1 а2 ( 1 • ат Л
а(а) =-—:— =-21 ;-ГГ - К-ГГ I• (18)
та2 1 + гат та2 \ 1 + а2т2 1 + ат )
Присутствие массы в этой формуле обусловлено только принятыми обозначениями, как уже
говорилось, в этом случае а(а) от массы не зависит.
На рис. 2 пунктиром построены графики действительной и мнимой частей
релаксационной функции (18). Как видно из рисунка, приблизительно при в> 3а0 графики
неупрощенных (13), (14) и релаксационных функций (18) практически полностью совпадают, при меньших затуханиях расходятся. Это означает, что условие (9), которое мы считали границей между резонансным и релаксационным режимом вынужденных колебаний таковым не является и не определяет область применения формулы (18). Для определения этой области составим отношение релаксационной функции (18) к резонансной функции (12):
1 + гат
-а /а0 + гат +1
(19)
Возьмём отношение модулей на частоте а0, и определим значения т, при которых это отношение отличается от 1 не более чем на 0,01 (1%):
л/1 + а2т2 = V1 + а^т2
7(1 -а2/а02)2 +а2т2 а0т
01 < 1,01 (20)
Это условие выполняется при
7
->— (21)
— 0
или, если раскрыть обозначение (11), то:
в> 3,5—0. (22)
Таким образом, неравенства (21), (22) определяют область применения полученной нами релаксационной формулы (18), а также релаксационный режим вынужденных колебаний. Заметим, что при выполнении условия (22) функция релаксации (5) переходит в функцию (1), т.к. второе слагаемое в (5) становится пренебрежимо малым. Если взять различие между (18) и (12) в 15% (точность эксперимента), то условие (22) будет выглядеть следующим образом: в> 0,88—0 (т> 1,76/ —0 ), что близко к условию (8), которое в первом приближении можно считать границей резонансного и релаксационного режимов. Также, грубым признаком релаксационного режима можно считать исчезновение резонансного пика на зависимости а'— (рис. 2а).
Легко заметить, что уравнение (17) подобно тому, из которого Дебай вывел свои известные формулы [13]. Покажем, что формулы Дебая являются аналогами полученного нами соотношения (18). Используя формулу Борна [2]:
е(о) = 8Х+— (23)
е0
и выражение (18) переходим к комплексной диэлектрической проницаемости:
ч а2п 1
е — = е00 + 4 . (24)
е0 ш—0 1 + г—т
где п - концентрация заряженных частиц, участвующих в процессе поляризации, е0-диэлектрическая постоянная, £х - диэлектрическая проницаемость на высоких частотах. Далее разделяем на действительную и мнимую части:
2 1
е'(о) = 1 + аП 21 '2 2 (25),
е0 ш—0 1 + — т
п, ч а2п от е» = -гт (26).
е0 ш—0 1 + — т
Несложно увидеть, что если ввести обозначение,
а2 п
—-еш) = > (27)
та0£0
то выражения (25), (26) переходят в формулы Дебая. Здесь е, - статическая проницаемость.
Таким образом, формулы Дебая являются частным случаем решения уравнения для вынужденных колебаний гармонического осциллятора при больших затуханиях. Это подтверждает сделанное нами предположение о возможности построения общей модели для резонансной и релаксационной поляризации на основе теории линейного осциллятора. Успешность применения формул Дебая в течение длительного времени снимает вопрос о точности такого приближения, очевидно, что возвращающую силу можно считать квазиупругой а потенциальную яму параболической. Очевидно, что полученная нами область применения формулы (18) распространяется и на формулы Дебая. Введённое ранее соотношение (11) устанавливает связь между дебаевской постоянной времени и параметрами осциллятора.
3. Сверхбольшое затухание, в>аI, колебания релаксационные. Такие ситуации
могут иметь место, например, при колебаниях макродиполей [3], таких, как участки решётки в стекле и т. п.
Сила трения становится значительной не только по сравнению с силой инерции, но и с упругой силой. В уравнении (10) пренебрегаем первым и третьим слагаемыми и получаем поляризуемость для этого случая:
а2 1
а(а) = а" = ^-Т--(28)
та0 гат
Поляризуемость чисто мнимая, это означает, что колебания со сверхбольшими затуханиями приводят к росту диэлектрических потерь без увеличения проницаемости. График функции (28) приведён на рис. 2б, он имеет вид гиперболы, там же показаны графики мнимой части неупрощённой функции (12) для переходных значений коэффициента затухания, от больших к сверхбольшим. Из графиков следует, что условие в <а0 является второй границей применимости релаксационной формулы (18) и формул Дебая (граница справа).
Заключение.
1. Самым значимым результатом безусловно является вывод о том, что формулы Дебая являются частным случаем решения уравнения для линейного осциллятора. Это означает, что резонансные и релаксационные процессы имеют одну природу и могут быть описаны единой теоретической моделью. Разработка единой модели поляризации позволит решить многие проблемы теории диэлектриков и лучше понять физическую природу поляризационных процессов. Эта модель открывает широкие возможности как для развития теории, так и прикладной науки. Появляется, например, уникальная возможность связать термодинамическую и механическую модели поляризации. Также эта модель может быть полезна при описании релаксационных процессов и в других областях физики, где используются зависимости, подобные дебаевским, при описании вязкости, упругости, внутреннего трения и т. д.
При построении нашей модели мы использовали достаточно простые и общеизвестные положения теории колебаний. Обратившись к первоисточнику [13], мы обнаружили, что Дебай, при выводе своих известных формул, использовал ту же логику. Он также отбросил инерционный член уравнения (2), мотивируя это наличием высокого трения. Можно только недоумевать, почему эта идея не получила дальнейшего развития.
2. Из вышесказанного следует, что точное определение релаксационной поляризации до сих пор не сформулировано. Согласно изложенной модели, релаксационная поляризация - это переторможенные упругие колебания заряженной частицы. Но такое определение не универсально, оно не распространяется на поляризацию в постоянных полях. Сформулировать законченное определение релаксационной поляризации мы пока не можем Далее мы приводим наиболее бесспорные признаки релаксационной поляризации [14]:
• экспоненциальная функция релаксации;
• частотная зависимость описывается функцией (18) (или функциями Дебая);
• фаза колебаний в максимуме пика поглощения равна -п/4 (для резонансной
поляризации фаза &-п/2);
• отсутствие резонанса на зависимости действительной части амплитуды от частоты.
• выполнение условия (8), т.е. высокое затухание;
Перечисленные признаки, за исключением последнего, не зависят от применяемой модели и могут быть измерены экспериментально. Методы измерения затухания в диэлектриках настоящее время отсутствуют, поэтому условие (8) пока имеет только теоретическое значение. Наиболее общий характер имеет экспоненциальность функции релаксации.
3. Как видно из рис. 2, переход от упругой поляризации к неупругой происходит достаточно плавно и не сопровождается резкими качественными изменениями. Этот переход, как в прямом, так и в обратном направлении, может происходить под действием внешних (температура, давление) и внутренних (дефектность) факторов, влияющих на внутреннее трение, и одна и та же частица может принимать участие как в том, так и в другом процессе. Хиппель, например, приводит диэлектрические спектры газа, котроый с увеличением давления прохордит через границу режимов поляризации. Из рис. 2 следует, что вынужденные колебания, в отличие от свободных. не имеют резкой границы перехода от резонансного режима к релаксационному, в диапазоне 0,1а0 <в<3,5а0 вынужденные колебания имеют признаки как релаксационного, так и резонансного режимов. В работе [15] показано, что коэффициент затухания с ростом температуры может изменяться в очень широких пределах. Это означает, что можно подобрать такие условия, когда диэлектрический спектр материала с ростом температуры, давления и других факторов, влияющих на внутреннее трение, пройдёт трансформацию от резонансного до предельно заторможенного.
4. Рассмотрим сумму мнимых частей функций, описывающих колебания с большими (18) и сверхбольшими (29) затуханиями:
а' (а) =
а2 п
таг, V1 + а
(29)
График этой функции (рис. 3) представляет собой типичный спектр поглощения с подъёмом на низких частотах для твёрдого диэлектрика с релаксационной
поляризацией [6,16]. Это означает, что, в
Рис. 3.
1 - функция (26); 2 - функция (28); 3 - суммарная функция (29).
диэлектриках с релаксационной поляризацией одновременно присутствуют колебания, как с большими, так и со сверхбольшими затуханиями. Формула, подобная (29), применяется для описания релаксационных потерь, но второе слагаемое обычно объясняется активными потерями [5,6]. По всей видимости, низкочастотный подъём складывается из потерь, обусловленных проводимостью и поляризационными потерями. С другой стороны, не следует забывать, что и поляризация, и проводимость связаны с перемещением зарядов внутри диэлектрика и резкой границы между ними нет.
5. Как уже говорилось, при условии о <<о0 функции Лоренца трансформируются в релаксационные [10, с.606], это следует из общего вида этих выражений, также это следует из рис. 2. Физического смысла это условие не имеет, поскольку простое снижение частоты вынуждающей силы не превращает резонансную систему в релаксационную. Но, несмотря на это, указанное соотношение является удобным средством преобразования, например, с его помощью несложно показать, что резонансная фаза поляризуемости, которую можно получить из решения уравнения (10), переходит в релаксационную:
а
( глт \
ОТ
а
(1 — О2 /о02)J
аг^О) = — = --^^ -от (30)
Очевидно, что подобные преобразования правомерны только при выполнении условий (21), (22).
6. В заключение заметим, что постоянная времени для резонансного и релаксационного режимов колебаний имеет совершенно различный физический смысл. Для гармонического режима т' = 1/ в [6,8]. Как следует из (7), эта величина определяет скорость затухания гармонической составляющей, чем больше трение, тем быстрее заканчивается переходный процесс. Для релаксационного режима постоянная времени определяется выражением (11) и прямо пропорциональна затуханию, т.е. время переходного процесса растёт вместе с трением.
Литература
1. Фрёлих Г. Теория диэлектриков: пер. с англ.- М.:, И.-Л., 1960.- 250 с.
2. Сканави Г.И. Физика диэлектриков. Область слабых полей.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.500 с.
3. Поплавко Ю.М. Физика диэлектриков.- Киев: Вища школа, 1980 -400 с.
4. Губкин А.Н. Релаксационная поляризация диэлектриков.- Известия вузов.- Физика.-1979, № 1.- с. 56-73.
5. Орешкин П.Т. Физика полупроводников и диэлектриков.- М.: Высшая школа, 1977.444 с.
6. Хиппель Р. Диэлектрики и волны: пер. с англ.- М.: И.Л., 1960.- 438 с.
7. Cole R. H. Dielectrics in physical chemistry .//Ann. Rev. Phys. Chem. V. 40. Polo Alto (Calif.) 1989.- p.1-28.
8. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике.- М.: Наука-Физматлит, 1996.624 с.
9. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Наука, 1991.- 568 с.
10. Физическая энциклопедия. В 5 т.- М.: Советская энциклопедия, 1988, Т.1. - 704 с.
11. М. Лайнс, А. Гласс. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы.- М.: Мир, 1981. - 736 с.
12. Теория автоматического управления./ под ред. Нетушила А. В. - М., Высшая школа, -1976.- 400 с.
13. Дебай П. Полярные молекулы: пер. с нем.- М.-Л.: ГНТИ, 1931- 247 с.
14. Лукичёв А. А., Костюков Н. С. Основные признаки и отличия релаксационной и резонансной поляризации. - Вестник АмГУ, 2004, вып. 25,.- с. 7-8.
15. Костюков Н. С., Лукичёв А. А. Диэлектрические свойства керамики на основе а-Al2O3 в области релаксационной поляризации.- Электричество.- 1999, №5.- с. 44-47.
16. Kingery W.D., Bowen Y.K., Ulhmann D.R. Introduction to ceramics. 2-nd edition.- Willey Interscience, New-York, 1971- 1032 р.
