Моделирование спектральных функций осциллятора с кубической нелинейностью возвращающей силы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1; 538.226

МОДЕЛИРОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ОСЦИЛЛЯТОРА С КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ ВОЗВРАЩАЮЩЕЙ СИЛЫ

© 2009 А.А. Лукичёв

Институт геологии и природопользования ДВО РАН, г. Благовещенск

Поступила в редакцию 27.10.2008

В настоящей работе получены спектры колебаний заторможенного осциллятора Дуффинга. На основе анализа полученных спектров рассмотрен вопрос о возможности применения модели нелинейного осциллятора с кубической нелинейностью для описания релаксационной поляризации Коул-Дэвидсоновского типа в диэлектриках под действием внешнего электрического поля. Ключевые слова: спектры колебаний, заторможенный осциллятор Дуффинга, модель нелинейного осциллятора, кубическая нелинейность.

В работах [1, 2] авторами показано, что диэлектрические спектры релаксационной поляризации могут быть описаны с помощью модели заторможенного линейного осциллятора. Поскольку реальные релаксационные спектры в большинстве случаев удовлетворительно или плохо совпадают со спектром линейного осциллятора, можно предположить, что для этой цели может быть применена модель заторможенного нелинейного осциллятора. В настоящее время теория нелинейных колебаний разработана достаточно хорошо [3, 4]. Найдены методы решения нелинейных уравнений, различные нелинейные осцилляторы, получены решения, позволяющие получить спектры колебаний. Но теория заторможенных нелинейных осцилляторов сейчас разработана очень слабо.

Рассмотрим классический осциллятор, состоящий из двух пружин и шарика на стержне [5], колеблющийся с достаточно большой амплитудой, настолько, что упругая возвращающая сила становится нелинейной.

Уравнение, описывающее движение линейного осциллятора имеет следующий вид [5]:

dx 2

d 2 x

2 + * = 0, (1) dt2 dt

где х - координата осциллятора, /3- коэффициент затухания, со0 - собственная частота колебаний, m - масса. Собственная частота определяется выражением: coq = k/ m , здесь k - постоянный коэффициент, определяемый упругими свойствами пружины. Для нелинейных колебаний коэффициент k будет неизвестной функцией координаты, разложим эту функцию в ряд: k (х) = ko + k\X + k 2 *2 + kg *3 + ... (2) Коэффициенты k0 и k2 равны нулю, первый в силу того, что в положении равновесия квази-

Лукичёв Александр Александрович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник. E-mail: lukichevaa@mail.ru.

2 4 U (x) = a x + аз x .

упругая сила равна нулю, второй в силу симметрии задачи, поскольку квазиупругая сила должна менять знак при смене знака х. Пренебрегая членами ряда степени выше третьей, получаем:

к(х)» к\ х + кз х . (3)

Отсюда мы можем записать уравнение осциллятора с кубической квазиупругой силой, или осциллятора Дуффинга [3]:

d2 х „ _ dx 2 23

""Т + х х3 = 0 , (4)

dt2 ™

здесь й>01 - собственная частота колебаний линейного осциллятора, оз^к/т - коэффициент, который можно рассматривать как собственную частоту осциллятора с чисто кубической упругой силой. Выражение (3) определяет вид потенциальной ямы, в которой колеблется рассматриваемый осциллятор:

2 4 (5)

где а1 и а2 некоторые константы.

Поскольку нас интересует применение этой модели для описания релаксационной поляризации, нам необходимо рассмотреть заторможенный режим колебаний. Так же как и в работах [1, 2], отбрасываем первое инерционное слагаемое в уравнении (4), поскольку инерция становится пренеб-режимой по сравнению с силой трения и получаем укороченное уравнение Дуффинга: ^ ndx 2 2 3 /л

2^— + ®01х + ®02 х = 0. (5)

(л1

В работе [6] показано, что для линейного осциллятора укороченное уравнение точно описывает заторможенные колебания при условии ¡3>5оз0. Пока мы не можем определить аналогичное условие для нелинейного осциллятора, потому будем считать, что в этом случае с достаточной точностью выполняется приведённое выше условие.

Уравнение (5) может быть представлено в виде уравнения Бернулли [7], интегрирование

Физика и электроника

которого[3] даёт: х(г) = -

Се 2г

(6)

01

где г = - постоянная времени линейно-

го осциллятора [2], г - время, С=1/х^ + ^03/^ - постоянная интегрирования, определяемая начальной амплитудой х0. Очевидно, что при со03=0 решение (6) переходит в функцию

х (г) = Се -г /г, (7)

описывающую свободное движение линейного осциллятора [2, 5].

Поскольку нашей задачей является применение модели нелинейного осциллятора к описанию релаксационной поляризации, то нам необходимо найти зависимость амплитуды вынужденных колебаний осциллятора от частоты внешнего поля А(а>) или спектральную функцию (рис. 1). Эту функцию мы можем найти, применив преобразование Фурье к решению (6) [8]. Преобразование Фурье даёт интеграл

А(®) = 70

гаг

1

Се

2г/т

2

2 ®01

(8)

здесь нижний предел интегрирования взят равным нулю, поскольку время не может быть отрицательным. Этот интеграл мы взять не смогли, поэтому далее применили цифровое интегрирование. Для интегрирования в среде MathCAD выражение (8) было преобразовано к виду:

А(а>) = / е 0

—гаг

Се

2г/г

2 Л

2 ®01

-1/2

Жг

(9)

1,5

1,0

0,5

О

4 5 ~

3 ~

( —"— / / ——-1 2 \ю

-— 1- / бД -1-

111 м

Рис. 1. Действительная (1-5) и мнимая (6-10)

части спектральной функции нелинейного осциллятора для различных значений параметра а: 1, 5 - а = 0; 2, 6 - а = 0,3; 3, 7 - а = 0,6; 4, 8 - а = 0,9; 5, 10 - а = 0,99

Рис. 2. Фазочастотные характеристики для спектральной функции заторможенного осциллятора Дуффинга для различных значений параметра а.

Цифрами на графиках обозначены значения а

Результаты интегрирования показаны на рис. 2. Графики построены в полулогарифмическом масштабе, это форма представления принята в физике диэлектриков. Кривые нормированы на амплитудное значение действительной части спектра линейного осциллятора (а=0). Как видно из рисунка, действительная и мнимая части спектральной функции достаточно слабо зави-

сят от соотношения а =

2

»03

'С . С ростом а

'01

происходит незначительное уширение пиков мнимой части, действительная часть становится более пологой и происходит незначительное увеличение амплитуды. Ещё одно отличие спектров осциллятора Дуффинга от линейных спектров состоит в том, амплитуда пиков мнимой части меньше полувысоты действительной части и координата полувысоты не совпадает с максимумом пика. С ростом а отличия нарастают.

Для того, чтобы выявить различия в форме кривых, в физике диэлектриков применяют диаграммы Коула-Коула (Со1е-Со1е) [9], или графики построенные в координатах (£'(«),£"(«) ), где £'(«), е"(а>) - действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости. С математической точки зрения эта диаграмма представляет собой годограф вектора с соответствующими координатами, или фазо-ча-стотная характеристика (ФЧХ), если использовать термины, принятые в автоматике. Мы будем использовать последнее название, как более удобное. На рис. 3 построены ФЧХ нормированной по амплитуде спектральной функции осциллятора Дуффинга для различных значений отношения а. Из рис. 3 следует, что при а=0 ФЧХ представляет собой правильный полукруг, что соответствует ФЧХ спектральной функции линейного заторможенного осциллятора [6]:

Аь (©) =

А

0

1 + 1агс

■= А0

1

к 1 + ®2г2

— г

а>т

1 + ®2г2.

■ (10)

1

е

Рис. 3. Сравнение фазочастотных характеристик для спектральной функции заторможенного осциллятора Дуффинга (сплошная линия) и формулы Дэвидсона-Коула (пунктир): 1 - а = 0,9, ^=0,73; 2 - а = 0,99, ^=0,5

здесь А0 - амплитудный множитель. С ростом а происходит смещение центра тяжести кривых вправо. Наиболее заметные искажения ФЧХ наблюдается при а > 1.

Известно, что такие искажения диаграмм Ко-ула-Коула соответствуют сильной связи релакси-рующих частиц в диэлектрике с ближайшим окружением [10]. Подобные диаграммы наблюдаются у некоторых жидкостей, стёкол, полимеров и т.п. Спектральные функции, соответствующие подобным диаграммам описываются эмпирической функцией Коула-Дэвидсона [10]:

(1 + гюг)1"^

(ll)

где еа/ е,, - высокочастотная (а»а>0) и низкочастотная (й«й>0) части диэлектрической проницаемости, у/ - параметр релаксации. Можно было бы предположить, что (11) и есть спектральная функция заторможенного осциллятора Дуффинга, но, как показано работе [11], обратное преобразование Лапласа от (11) даёт время-зависимую функцию, которая при Ь >0 стремится к бесконечности, что физически не обосновано. На рис. 3 показано сравнение ФЧХ для спектральной функции осциллятора Дуффинга и функции (11) Коула-Дэвидсона. Из рисунка

видно, что обе функции показывают хорошее, но не полное совпадение. Можно заметить, что явной связи между коэффициентом а и параметром релаксации ^нет.

Таким образом, из сравнения спектров заторможенного осциллятора Дуффинга и формул Коула-Дэфидсона следует, что релаксационная поляризация коул-дэвидсоновского типа может быть описана с помощью модели нелинейного заторможенного осциллятора с кубической нелинейностью упругой силы. Отсюда можно сделать вывод, что релаксационная поляризация этого вида вызвана нелинейными колебаниями заряженных частиц в диэлектрике под действием переменного электрического поля. Появление нелинейности вызвано сильным взаимодействием частицы с ближайшим окружением.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лукичёв А.А., Костюков Н.С. Связь гармонических функций с формулами Дебая для частотной зависимости // Электричество, 2002, № 1. С.55-58.

2. Лукичёв А.А., Ильина В.В. О возможности построения единой модели резонансной и релаксационной поляризации // Электронный журнал "Исследовано в России" 2005. 171. С. 1778-1792. http:// zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/171.pdf.

3. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2005.

4. ЛандаП.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 1997.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1991.

6. Ильина ВВ., Лукичёв А А. Различные режимы вынужденных колебаний линейного осциллятора с затуханием и исследование спектральных функций // Известия Самарского научного центра РАН. 2008. Т. 10. № 3. С. 782-790.

7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Лейпциг, Тойбнер, М.: Наука, 1981.

8. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М: Физматлит, 1962.

9. Поплавко Ю.М. Физика диэлектриков. Киев: Вища школа, 1980.

10. Jonscher A.K. Dielectric relaxation in solids. Chelsea dielectric press, London, 1983.

11. Нигматуллин Р.Р. Диэлектрическая релаксация типа Коула-Дэвидсона и самоподобный процесс релаксации //ФТТ. 1997. Т. 39. № 1. С. 101-105.

SPECTRAL FUNCTION OF NONLINEAR OSCILLATOR WITH THE CUBIC RETURNING FORCE SIMULATION

© 2009 A.A. Lukichev

Institute of Geology and Nature Management, FEB RAS, Blagoveshchensk

In the presented paper the damped Duffing's oscillator vibrations spectra are obtained by digital simulation. On a basis of the obtained spectra analysis the possibility of nonlinear oscillator with the cubic returning force model to Cole-Davidson relaxation polarization description is considered. Key words: spectra, damped Duffing's oscillator, nonlinear oscillator, cubic nonlinearity.

Aleksandr Lukichev, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Research Fellow. E-mail: lukichevaa@mail.ru.