Математическое моделирование динамических процессов в криволинейных стержнях, взаимодействующих с вязкой жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

2 2 _ 2-sin Y _2-cos Y

2' 3 45 315' .....+ 4 3' 45' 315' .....+ 1

142618 214261

~Y~+~Y--Y +--Y -■■■-it -Y + ~ Y--Y +--Y"'

2 1 4 2 6 1 8 1

-Y +- Y--Y +-y -■..-it — -

+ 6 3 45 315 +... _ 2 2 • 2

16 768 92160 20643840

--_ - sin2 Y_- cos2 Y,

2

1 • 2 „, ___2

+ 2-sin Y • 4 16 768 92160 20643840 "' + 2

_ sin y_ cos y,

2

1 п п п П П

2 -sin" Y +-----+-----+---■••-it л/ _

+ 2~ cos Y • 6 2 16 768 92160 20643840 + Y _ ~

{4}

Таким образом, в выражении {3} мы умножили его

Действительно, sin2(n/4)=cos2(n/4)=1/2 , -(п/4)2= -(п2/16);

1/3 (п/4)4=п4/768; -2/45 (п/4)6=-п6/92160 и так далее.

о-cos2 х Также очевидно, что других корней не существует.

правую часть на множитель z , после проведенных „ ^ J ^ Возвращаемся к переменной с:

действий он преобразовался в множители 2 содержащиеся в выражении {4}. Очевидно,

-1/2 2-sin y Re(s) = с = sin2y = 1/2 .

= с = sin2y = Гипотеза Римана доказана.

Литература

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Римана

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Дзета-функция_Римана

3. Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. Москва, Альпина нон-фикшн, 2015, 460 с

4. Тактаров Н.Г. Справочник по высшей математике для студентов. Москва, Либроком, 2008, 880 с

5. Никольский С.М. Курс математического анализа. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2001, 592 с

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЯХ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ВЯЗКОЙ

ЖИДКОСТЬЮ

Сафаров И.И.

Отажнова Н.

Болтаев З.И.

Ахмедов М.Ш.

MATHEMATICAL MODELING OF DYNAMIC PROCESSES IN CURVI-LINEAR BARS, INTERACTING WITH VISCOUS FLUIDS Safarov I.I. Otajonova N. Boltaev Z.I. Akhmedov M. Sh.

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается собственные и вынужденные установившиеся колебания криволинейного стержня, взаимодействующего с вязкой жидкостью. На основе принципа возможных перемещений получено разрешающих системы дифференциальных уравнений с частных производных и соответствующих граничных условий. Поставленная задача решена численно методом ортогональной прогонки Годунова и методом Мюллера, найденные собственные частоты колебаний сравнивается с результатами эксперимента.

ABSTRACT

The paper deals with natural and forced steady oscillations curvilinear rod interacting with a viscous fluid. Based on the principle of possible displacements obtained by resolving a system of differential equations with partial derivatives and the corresponding boundary conditions. The problem is solved numerically by the Godunov orthogonal sweep method and Mueller found the natural frequencies of oscillation compared with experimental results.

Ключевые слова: колебания, вязкой жидкость, криволинейной стержень, ортогональной прогонки, возможных перемещений, собственная частота.

Keywords: vibrations of a viscous fluid, curved rod, orthogonal shooting, the possible displacement, natural frequency.

1. Основные соотношения линейной теории криволиней- вдоль некоторой плоской кривой. Осевой линией плоской

ных стержней кривой, так, что центр масс образующей фигуры всегда ле-

Рассматривается криволинейный стержень, образован- жит на этой кривой (рис.1) .

ный движением плоской, возможно переменной формы

Введем криволинейную ортогональную систему коорди-

г ч Д, п,Ьч „

нат (х, у, z) и единичные орты ( ' ' ), в которой направлены соответственно по касательной, нормали и бинормали к осевой линии. Все коэффициенты Ламе тождественно равны единице. Используя известные правила дифференцирования нормали и касательной [1]

d n

d X

= - Kt,

dt dX

= - Kn

где K -кривизна осевой линии. Учитывая, что все остальные производные по координатам от единичных ортов рав-

ны нулю, нетрудно найти выражение для градиента вектора перемещений:

grad и =

д и ди ди

x Ки

д x у д у д z

диу ди у диу

у + Ких у у

д x ду д z

д UZ диz ди z

д о д о д z

Рис.1. Элимент криволинейного стержня.

и% ,и ,и 2 -компоненты вектора перемещений. Тогда компоненты тензора деформаций Коши в системе координат (х, у, z) имеют вид [2]

ди

s„ =

дx -КиУ;

S =

д иу

д у

£yx 2

^ 2

диг ^дЦу д у

ди

д z

Sxz 2

s„ =

д и„

_ д и2

д z ди

д x д z

д у

д иу

+ Ки +- у

д x

ux = и -в у -у z,

u у = w-yz,

Uz = V-у у

(2)

г * п * Ь *

Пусть ' ' - единичные векторы, направленные соответственно вдоль касательной нормали бинормали к деформированной осевой линии. В линейном приближении

(1)

В соответствии с гипотезой плоских сечений при деформации, нормальные к оси сечения стержня перемещаются как жесткое тело и остаются нормальными к деформирован-

гла и,У, w

ной осевой линии. Обозначим через ' ' компоненты

Ф,Ш,в

вектора перемещений осевой линии, а через -углы

„ X, у, 2

поворота нормального сечения относительно осей соответственно. Тогда компоненты вектора перемещений произвольной точки нормального сечения в пределах линейности имеют вид:

г * = (1,в,^)т, п * = (-в,1,^)т

Отсюда с учетом (1) и соотношения

- д , \т -

^ * = —(и, V, w) +1

дх

(3)

(4)

находим геометрическую связь между перемещениями

в Ф

осевой линии и углами поворота сечения ^ и ^ :

в = (г ,п ) =—+Ки, 4 ' д х

Иг 'Ь )=дХ

°х (5)

Подставляя (3) в (2), получаем выражения компонент тензора дефор-маций произвольного нормального сечения:

ди ^ дв

=--Kw - y--z

дх дх

W-Kw

дх

s = s = s = 0

zz zy yy

Сдвиги

xy

д n* д х

=-К J* + т b

т =

дв- K; Кв; & дх дх

1; -в;

в; w 1; <Р

дф „ + Kw

х

u

s =--Kw,

х

х1 =

х

(6)

дв_ х

дw

в рамках гипотезы плоских сечений

определить нельзя, так как они существенно зависят от геометрических факторов сечения. Не отказываясь в целом от гипотезы плоских сечений, предположим, что касательные напряжения имеют такое же распределение по нормальному сечению, как и в случае призматических стержней, для которых известно соотношение [2]

М = GJт

где М - крутящий момент относительно оси вращения,

возникающий в нормальном сечении; т -относительный угол закручивания сечения; G -модуль сдвига; J -момент инерции сечения при кручении. В работе [3] на основе теории оболочек показана справедливость последнего предположения и формулы (6) при достаточно малой кривизне К. Для криволинейного стержня то есть ни что иное, как кручение деформированной осевой линии. Чтобы осуществить геометрическую связь между и поворотами сечения, воспользуемся формулой дифференцирования нормали Френ-се-Серре [1]:

х2 = ^--К¥,

дх

Т = \axxdS, М =\аххУМ, М2 = \ гОххЛЗ

5 5 S

с помощью закона Гука о = Ее

хх хх

нетрудно проинтегрировать соотношения

Т = Е5е, М1 = Е (J1Х1 + Jl2Х2 ) >

М2 = Е ('11Х1 + J21Х2 ) Здесь введены моменты инерции

Jl =| у <,

(10) (11)

(12)

J2 = J z2 dS,

S

J12 = J21 = J yzdS

(7)

где К* -кривизна деформированной осевой линии. Умножая обе части равенства (7) скалярно на Ь*, имеем

дп * дп

т =-Ь* =— ^ п

дх дх

Откуда, учитывая (4) и выполняя дифференцирование, получаем с точностью до линейных членов

площадь поперечны сечения S . Учитывая принятое предположение о характере распределения напряжений сдвига определим виртуальную работу возникающего в сечении крутящего момента

8Ах = -J Ыдтйх

ъ (13)

Виртуальная работа сил инерции в рамках гипотезы плоских сечений приводится к виду

8Лр = -J р[(и5и + w8w + v8v) -

L

+JlвSв + J2w8w + I^S<p}dx

(8)

Уравнения движения стержня выведем на основе принципа возможных перемещений. Для этого нужно определить полную виртуальную работу внутренних и внешних сил, действующим на стержень, включая силы инерции.

Виртуальная работа нормальных напряжений может быть найдена из соотношений

8А = -\\о =

5 Ь

= -\(Т5е + М15х1 + М25х2) dx

1 (9)

где S -площадь нормального сечения; L -длина осевой линии

(14)

где Р - объемная плотность стержня, I- полярный момент инерции нормального сечения относительно оси х. Пусть вдоль стержня действует вектор внешних по-

гонных усилий

внешняя сила

F = (FxFyFz )т G = (Gx, Gy, Gz)

а на краю х = L задана

и внешний момент

т = (тх,,шу,шг)Т относительно центра масс торца стержня, тогда работа внешних воздействий виртуальных перемещений описывается выражением

8Л1 = | ^х8и + Гу8лк + Е28У)<Х +

+(Эх8ы + Gy8w + GI8v + тх8ф - ту8\у - т28в)\

Полная виртуальная работа согласно принципу возможных перемещений должна быть равна нулю

и

8An +8 Ax +5Ap + 8Ai = 0

р ' . (15)

Подставляя в (15) соотношения (9),(13) и (14) после стандартной про-цедуры интегрирования по частям получаем уравнения закона импульса

д2 и

ди

s =--Kw

дx

п дЫх д в Qi =-PJi

дx

да2

дТ дx

за

— + KQX-pS — + Fx = 0 дt

д2 w

+ КТ-pS — - Fv = 0

3z дг у

tfv

6x ' дt2

да.

2 +pS~— - Fz = 0

(16)

^ - КТ + pS ^ - Fy = 0

ax дг2 у

+ Щ-pS ^ + Fx = 0

3x 1 дг2 x

ду ГЛ x2 = -L- - Кф

при уравнении закона сохранения момента импульса

дМ д 2ф „ _

-+ КМ 2+ Fx = 0

дх 2 дг х

_ дМ г д2в

а =~дХТ 02

у =

3X 3x

дМ.

д у

Q2 = ^-pJ V2- - km

3x

дг2

(17)

Одновременно определяются естественные краевые ус-

b)

dф „ т = — + Ку dx

„ дМ2 т д2у

3x дг

д 2V

ловия

x

0: Т = G,

01 =-°у 02 =~Ок

х = Ь : М = тх М2 = -ту М1 = -тг

(18)

Соотношения (5),(6),(8),(10),(12),(17) и (18) образуют замкнутую си-стему 16 алгебраических и дифференциальных уравнений относительно вектора неизвестных

Q + pS^ - Fz = 0

3x дг2 z

dM т , r д2ф

dx

+ КМ2-pI

дг2

- F, = 0

(21)

Система (20 а), (21а) описывает плоское изгибно-про-дольное движение, система (20Ь), (21Ь) -ортогональное ему изгибно-крутильное.

При расчете тонкостенных стержней первое соотношение (20а) следует изменить с учетом эффекта Кармана

Y = (u, w, v, ф, y,e,s, xx, x2,z, T, Qi, Q2, M, Mx, M2f Mi = EJikxi

(19)

Если сечение стержня симметрично нормали осевой линии, что характерно для трубок Бурдона, то

и, следовательно, определяющие соотношения имеют вид

М1 = Ых х М2 = Е32 х2

a)

Т = ESs б) M = GJt

(20)

Нетрудно заметить, что остальные неизвестные также распадаются на две группы, соответствующие двум подсистемам уравнений

где к- коэффициент снижения жесткости, обусловленный поперечными деформациями сечения при изгибе. Этот коэффициент зависит от формы сечения и кривизны К. Методика его расчета приводится в работе [4].

2. Собственные колебания упругого криволинейного стержня

Предполагается, что при собственных колебаниях упругого стержня отсутствуют все взаимодействия неупругого происхождения, включая тре-ние, и движение подчиняется гармоническому закону

xi =

в dx

Y(x, г) = Y0(x) t Y0(x) _,

(22)

a)

Л dw

в = — + Ки dx

где "4 у - вектор собственных форм; ю - частота колебаний. В этом случае

F = G = т = 0, в, = 0

1 (]=1—4) (23)

Ниже приводятся примеры расчета собственных колебаний упругого стержня, выполненные в соответствии с изложенной выше теорией, и результаты экспериментальных исследований.

Пример 1. Колебания сплошного криволинейного стержня. Рас-сматривается стальной криволинейный стержень

постоянного прямоугольного сечения и постоянной кривизны, один конец которого жестко заделан, а другой - свободен. Размеры стержня (в мм): длина 210; поперечное сечение 3,1 18,6; радиус кривизны 56,8. Малая сторона сечения параллельна нормали осевой линии. Подлежат исследованию собственные изгибно-продольные колебания. Исключив из уравнений (21а) алгебраические связи, после тождественных преобразований и замены (22) имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенную относительно производных (здесь и далее индекс при неизвестных собственных формах опущен)

du T

— =-+ Kw

dx ES

в dx

M EJk

— = Q - Ku dx

dT = - KQ1 - pSa 2u dx

dM„

^ = КТ + pSa2 w dM2 = 0 -р5а26 dx dx

где для сплошных стержней К = 1.

Таблица 1

Сопоставление теоретического и экспериментального значения частот

Частота ю/2л (Гц)

№ частоты 1 2 3

Расчёт 75,8 212 713

эксперимент 75 204 680

В силу условий закрепления на краях стержня справедливы соотношения

х = 0, и = w = 6 = 0

х = А т = 02 = м1 = о (24)

Необходимо найти также значения с , при которых система уравнений с краевыми условиями (2.24) имеет ненулевые решения, последняя задача была решена численно методом ортогональной прогонки Годунова, найденные для значений

Е = 19,6 10 МПа, Р = 8 г/см 3 первые три собственные частоты колебаний приведены в таблица.2.1 вместе с результатами эксперимента [4].

Согласно таблице отличие между экспериментальными и расчетными данными больше для высоких частот, но в целом не превышает 5%.

Пример 2. Колебания тонкостенного криволинейного стержня. Исследуются собственные изгибно-продольные колебания стальной трубки Бурдона плоскоовального сечения закрепленной также, как и стержень в примере 1. Размеры трубки (в мм): длина 240; толщина стенки 0,2; большая и малая полуоси сечения 9,5 и 3,2; радиус кривизны 45,2. Модуль Юнга Е = 20,6 104МПа; объемная плотность

Р = 7,8г/см3 ; коэффициент Пуассона ^ =0,25. Постановка спектральной проблемы дается соотношениями (3),(4). На этот раз коэффициент снижения жесткости, равен 0,129. Мини-мальная собственная частота, полученная при решении краевой задачи методом ортогональной прогонки, составляет 88,6 Гц. По данным эксперимента первый резонанс трубки наблюдался на 100 Гц. Несколько заниженное расчетное значение частоты объясняется тем, что стержневая модель не учитывает реальных условий закрепления на концах трубки, вблизи которых эффект Кармана проявляется в меньшей степени.

Пример 3. Сравнительный анализ изгибно-продольных и изгибно-крутильных колебаний криволинейного стерж-

ня. Уравнения собственных изгибно-крутильных колебаний упругого стержня получаются из соотношений (20), (21б) в результате замены переменных (22). В форме, приспособленной для реализации метода ортогональной прогонки, они имеют вид системы дифференциальных уравнений первого порядка

dф М „

=--Ку

<х GJ

= М2- - Кф <х GJ2

d02 о 2

—2 = ръа w dx

dv

dx dM dx dM 2 dx

= w

= -KM2 - pIа2ф

= Q2 + KM 2 + pJ2a2 w

(25)

Жестко защемленному стержню со свободным концом соответствуют краевые условия

х = 0, ф = ¥=& = 0 ;

X = Ц, М = 02 = М2 = 0 (26)

В таблице 2 приводятся расчетные и экспериментальные значения первых двух собственных частот изгибно-крутиль-ных колебаний прямого и двух круговых трубопроводов с неподвижной жидкостью, закрепленных в опорах. Испытания проводил стенде [4], созданном для изучения параметрических колебаний упругих трубопроводов конструкций летательных аппаратов [4]. Образцы труб изготовлена из стали 12 18Н1 ОТ с наружным диаметром 8 мм, внутренним диаметром 7мм.

Таблица 2

Изменение частоты в зависимости от угла и длины стержня

Угол раствора Длина 1 частота (Гц) 2 частота (Гц)

(мм) расчет эксп. Расчет эксп.

0° 800 64,2 61,2 177 166

90° 765 64,7 64,1 185 170

180° 625 84,0 61,5 243 170

Плотность материала трубы составляет 7,9 гм/см3 модуль упругости

Е= 18,0*104 МПа [4], коэффициент Пуассона v=0,3 в качестве рабочей жидкости использовалось масло АМГ-10 плотностью 0,85 г/см (ГОСТ 6794 - 75). В данном случае приведенная плотность трубки с учетом массы жидкости составляет 9,5 г/см3.

Согласно таблице 6 расчетные данные лучше согласуются с опытом при меньшей кривизне трубки, однако в последнем случае со ссылкой на работу [4] не исключена возможность ослабления крепления. Решения краевых задач (22), (23), (24), (25) исследовались численно по параметру кривизны оси на примере колебаний стержня со следующими безразмерными геометрическими отношениями

SL = 7238; — = 1505;

KJX SL2

= 1246;

J2

EJ2

= 3.865

I ' оь

Для каждого типа колебаний: изгибно-продольных и изгибно-крутильных, в таблицах 3 и 4 соответственно приводятся значения первых пяти собственных частот со в зависимости от величины КЬ, характеризую-щей степень искривленности осевой линии. Расчет проводился без учета инерции поворота сечения. Единица времени считается равной Ь(р/Е)1/2.

Таблица 3

Изменение частоты в зависимости от параметра, характеризуюго степень искривленности осевой линии (изгибно-про-

дольных колебаний)

2

N KL Собственные значения

1 2 3 4 5

1 0 0,04133 0,2590 0,7252 1,421 1,571

2 0,78 0,04184 0,2425 0,7043 1,383 1,737

3 1,57 0,04345 0,2091 0,6582 1,334 2,044

4 3,14 0,05046 0,1593 0,5433 1,207 2,090

5 4,71 0,06453 0,1413 0,4240 1,043 1,910

6 6,28 0,08920 0,1463 0,3237 1,8656 1,684

Пример 4. Колебания стержня с грузом на конце. Пусть один конец стержня, по-прежнему, заделан, а на свободном конце жестко закреплен груз, который будем считать неде-формируемым. Покажем, как учитывается инерция груза в краевых условиях. Кинетическая энергия твердого тела согласно [5] определяется выражением

Таблица 4

Изменение частоты в зависимости от параметра, характеризующей степень искривленности осевой линии (изгиб-

но-крутильных колебаний)

T =1J (V + Qr )2 prdU

где интегрирование производится по всему объему тела и плотности р;

N KL Собственные значения

1 2 3 4 5

1 0 0,09063 0,5680 1,590 3,117 5,153

2 0,78 0,07472 0,3827 1,319 2,822 4,843

3 1,57 0,06633 0,2809 0,9891 2,362 4,305

4 3,14 0,07672 0,2240 0,7271 1,896 3,680

5 4,71 0,1045 0,2026 0,5272 1,485 3,066

О -угловая скорость; V, г -соответственно скорость про- ус-вектор из этой точки в центр масс. Раскрывая скобки в (7) извольной точки отсчета, жестко связанной с телом и ради- и выполняя интегрирование, получаем

T =1 ¡V2 0V Q +1QJ Q 2 2

(27)

- J rprdU

Р=\РгЛи

где - масса груза; - ради-

ус-вектор из точки от-счета в центр масс; J-тензор инерции груза в точке отсчета. В качестве точки отсчета возьмем точку осевой линии х = Ь. Тогда, учитывая условия закрепления груза, также обозначения положительных поворотов сечения на рис. 1, можно записать координаты векторов V и ^ в

базисе

J = {J} ;(i,j = x y, z)

Q =d(W + хв- ZoФ),

Q1 = d(v + xW- z0ф)

T = ^(-и + zw- yo0) M = -¡( x,W + y u) - J J - Jхф + JyW M2 = -¡(X0V - Z0W) - JzZd - jхф+JyW

(30)

, п, Ь) .

V = (и, w, у)т; dt

П = ^ (ф-у,6)т Г

Компоненты вектора с и тензора в этой же системе координат обо-значим следующим образом

г с = (х, Ус, 2С )т;

(28)

(29)

С учетом (28),(29) координатное представление кинетической энергии (27) имеет вид

Т = /л(1(и2 + w2 + V2) + у0(Уф-и6) + х0^6-уу) + + -и у2 + J 62 + J ф2 - J у6-J уф + J 6ф)

2 УУ гг хУ У1 угтт у2 т /

Отсюда, пренебрегая изменением во времени вектора и тензора при малых амплитудах движения и, вычисляя в линейном приближении с помощью принципа Даламбера виртуальную работу сил инерции, действующих на груз, получаем естественные условия колебаний стержня на краю х=Ь:

Из условий (30) следует, что центр масс груза не лежит в плоскости осевой линии, или центробежные моменты инерции Jzx, Jzy отличные от нуля, то изгибно-крутильные и изгибно-продольные колебания связаны между собой даже, если разделены соответствующие неизвестные в уравнениях (20), (21). Рассмотрим стержень с параметрами, указанными в примере 3 (КЬ = 3,14), и предположим, что груз закреплен симметрично относительно плоскости осевой линии. Тогда

^0 = Jx = JУ = 0,

и изгибно-продольные колебания не зависят от изгибно -крутильных. В случае собственных колебаний условия (30) после замены (1) преобразуются к виду

Т = /ио2(и + У 06),

01 =Мсо2(-Ж - х06),

М1 =ца>2 (х0Ж - у0и) + Jzza 26, М = ю2(#уу + JxxФ + JxуУ),

02 =ца2(^ - ху- Уфф)

М2 = а 2 О х0у + JyyУ-ф)

Пусть груз выполнен в виде жесткой однородной балки длиной 0,3Ь, причем у0=0. Для указанных выше параметров стержня и груза в табл.5 приводятся первые пять собственных значений краевой задачи (23), (24),(30), найденных методом ортогональной прогонки, в зависимости от массы груза.

Таблица 5

Собственные частоты стержня в зависимости от массы тела.

m Собственные значения

0 0,05044 0,1591 0,5419 1,198 2,064

0,1 0,04207 0,1161 0,3500 0,8259 1,499

0,5 0,02770 0,07410 0,2838 0,7400 1,386

1 0,02110 0,05784 0,2612 0,6969 1,312

На рис.2 а,б,в показаны графики собственных форм w,U и колебаний стержня с массой, вдвое большей, чем масса груза, соответственно на первой, второй и третьей собственных частотах. Согласно результатам расчета наличие груза на конце стержня приводит к стержню собственных частот колебаний, существенных качественных изменений не наблюдалось.

3. Собственные колебания криволинейного стержня, контактирующего с вязкой жидкостью.

Постановка задачи о собственных значениях при наличии вязкого трения формально совпадает с постановкой

рассмотренной выше задачи для упругого стержня. Под собственными колебаниями вязкоупругого стержня понимаются решения однородной краевой задачи для системы уравнений (21) вида (22), где, в отличие от упругого случая,

собственная частота ® и собственная форма У колебаний могут принимать комплексные значения. Действительная и

мнимая части величины ® имеют физический смысл, соответственно, частоты и скорости затухания колебательного процесса по времени. Логарифмический декремент затухания вычисляется по формуле

8 = 2П

|lm ®| Re®

С помощью замены (22) задача о собственных колебаниях сводится к спектральной задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений по параметру С . Эта система в случае плоско - параллельного движения имеет вид

du

T

dx ES (1 + Д®/')

dW = в- ки,

dx

+ Kw

de

M,

dx EJxk (1 + Pxai)

— = -KQj + и (a® - pS®2) dx

dQ

dx

= KT - w(a2®i - pS®2)

dM

dx

1 = Q-pJ®e

(31)

Краевая задача (31) была решена численно методом ортогональной прогонки в комплексной арифметике.

Рис.2. Графики собственных форм w, и и колебаний стержня с массой

Численный анализ задачи о собственных колебаниях криволинейного стержня, контактирующего с вязкой жидкостью, позволяет сделать .

4.Установившихся колебаний стержня.

Предложим, что стержень подвергается воздействию, так что его конец в месте закрепления совершает плоское движение по известному гармоническому закону

п = Uetac, w = , в, = Hetí

или с учетом замены

v0 (L ), W0 (L )

U = 1, W = H = о

Кривая 2 на рис.3. иллюстрирует амплитудно-частотную

ж0 (ь)

характеристику перемещения

и = Н = О, Ж = 1

при воздействии

(35)

(32)

X = О: и0 = и, Ж0 = ж, в,0 = Н

Тогда формы установившихся колебаний - решения краевых задач (31), (32), (33). В данном случае величина принимает известные действительные значения и имеет смысл круговой частоты вынуждающего воздействия. Из физических соображений понятно, что при наличии диссипации однородная спектральная задача (31) будет иметь нулевые решения только для комплексных собственных значений

®. Следовательно, при альтернативе Фредгольма из теории линейных дифференциальных уравнений [1] при действительных значениях ® соответствующая неоднородная краевая задача (21) всегда имеет единственное решение.

Это решение, как и решение задачи о собственных значениях, определялось с помощью программного аппарата метода ортогональной прогонки.

На рис. 3 и 4 (кривая 1) приводятся амплитудно-частот-

Рис.4 свидетельствует о том, что не всегда наименьшему декременту колебаний, найденному при решении спектральной задачи, соответствует максимальное значение резонансного пика вынужденных колебаний. Таким образом, комплексные собственные значения характеризуют диссипативные характеристики конструкции в целом. Для анализа резонансных режимов необходимо учитывать конкретный вид внешнего воздействия. Значения форм ко-

лебаний

U

в точке

х = L

на частоте

с = 0.0504

ные характеристики перемещений ^ р ^ ' свободного конца стержня с параметрами трения, параметром кривизны для нагрузки вида

(34)

и, =-1,76 + 24,4/ близкой к резонансной, составляют 1

и2 = 0,078 - 3,65/

и 2 соответственно в случаях возбуж-

дения колебаний (34), (35).

В результате для заданного осевого возмущения удалось подобрать такое воздействие в ортогональном направлении, что амплитуда продольных колебаний стержня на первом резонансе уменьшилась в 20 раз. Описанный эффект гашения колебаний обусловлен взаимосвязью поперечных и продольных колебаний и принципиально невозможен в случае прямого стержня.

Выводы.

1. С ростом собственного движения декременты затухания увеличиваются при наличии внутреннего трения и уменьшаются при наличии внешнего трения. Причем, с увеличением интенсивной диссипации апериодические режимы (чисто мнимые собственные значения) возникают, начиная с наиболее высоких номеров собственных движения, в случае внутреннего трения, и с наиболее низких номеров собственных движений, в случае внешнего трения.

Исключения из этого правила наблюдались только при неоднородном внешнем трении для сильно искривленных стержней (КЬ > 3,14), у которых с ростом КЬ максимальный декремент затухания переходит с первого собственного движения на второе. В случае прямого стержня аналогичный эффект был впервые установлен В. Бидерманом [6].

2. При однородной диссипации собственные формы совпадают с соответствующими по номеру собственными формами упругих колебаний. В случае внутреннего трения

для колебательных режимов мнимые части собственных значений линейно зависят от параметра . В случае внешнего трения мнимая часть различных собственных значений одинакова, не зависит от кривизны оси и определяется выражением:

Ima =

Jk 2SLL

a 2

3. Если трение неоднородно, собственные формы зависят от интенсивности диссипации, причем колебания различных пространственных точек сдвинуты по фазе. Благодаря учету диссипации энергии модель вязкоупругого стержня позволяет исследовать вынужденные установившиеся колебания при резонансах.

Литература

1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.:Нау-ка,1978,

2. Лурье А.И. О малых деформациях криволинейных стержней. М.: Наука,1966

3. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.Суд-промгиз,1962.

4. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машино-строение, 1978

5. Ильюшин а.А. обобшения одной задачи Кармана и расчет трубок Бурдона.учёные записки МГУМеханика.1937.,-вып.7.с.257-265.

6. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1966. 1977.