Колебания предварительно деформированных стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 179-180

УДК 539.3

КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ДЕФОРМИРОВАННЫХ СТЕРЖНЕЙ © 2011 г. Д-А. Красноруцкий, В.Е. Левин, Н.В. Пустовой

Новосибирский государственный технический университет levin@craft.nstu.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Рассматриваются колебания гибкого упругого пространственного криволинейного стержня, сильно изменившего свою первоначальную форму под действием приложенной нагрузки. Разработаны и протестированы расчетные алгоритмы. Приведены результаты решения некоторых задач.

Ключевые слова: колебания стерней, предварительно деформированный, собственные частоты, большие перемещения, нелинейная динамика.

Постановка задачи

При выводе уравнений, описывающих большие перемещения и повороты гибкого пространственного криволинейного стержня, принимаются стандартные допущения в рамках гипотезы Бернулли [1, 2]. Радиус-вектор точки осевой линии стержня задан в виде г (5) = х()\к , к = 1, 2, 3, где 5 — естественная координата — длина вдоль кривой, 1к — орты глобальной системы координат. С каждой точкой пространственной кривой связана тройка ортов е;(5) = Р;к(5)1к , где е3 направлен по касательной к осевой линии, е1 ,е2 направлены вдоль главных осей инерции сечения, РДя) — матрица поворота, определяется геометрией исходного стержня. После деформирования тройки векторов

*

ек(5), 1к перейдут соответственно в ек (5), *к (я). Формулы связи векторов:

/к*к, е/ = Р /к** _Р кп*п,

здесь А/к(5) — матрица поворота. Для описания поворота используется вектор конечного поворота [3]. Его направление определяет ось вращения, а длина вектора равна углу поворота. Такое описание не накладывает никаких ограничений на величину поворота.

Кривизны и кручение осевой линии выражаются через векторы ек и их производные. В силу свойств матриц Х]к и Р;к, в выражения для приращений кривизн не входят слагаемые, содержащие начальную кривизну осевой линии, что позволяет рассматривать стержни с произвольной геометрий, например с изломами и скачками кривизны.

Деформирование стержня под действием приложенной нагрузки описывается системой 12 нелинейных дифференциальных уравнений

первого порядка относительно глобальных проекций векторов перемещений, конечного поворота, внутренних сил и моментов: Xs = f (s, X), где нижний индекс после запятой означает дифференцирование по этой переменной; X = (U123, ®и,з , Qu,3 , M12,3)T - вектор-столбец искомых функций. Краевые условия определяют шесть функций при s = 0 и шесть функций при s = l.

Для вывода уравнений малых колебаний предварительно деформированного стержня рассматривается близкое к деформированному равновесное состояние AX = (AU12 3, Аю12 3 , AQ12 3 , AM12 3)T, обусловленное колебаниями. Решение разыскивается в виде функций с множителем exp (iQt). В итоге получается система 12 линейных дифференциальных уравнений для амплитуд малых колебаний Ys = F(s, Y, Q, X), в которую входит деформированное состояние X, найденное из решения нелинейной краевой задачи. Параметр Q — искомая частота малых колебаний. К системе добавляются краевые условия.

Метод решения

Для решения поставленной задачи о статическом деформировании используется итерационный метод Ньютона [4], который сводит решение нелинейной краевой задачи к решению последовательности линейных краевых задач, которые решаются методом конечных разностей.

Систему дифференциальных уравнений для амплитуд малых колебаний можно представить в матричном виде: Y,s = [E — Q K]Y, где Y = = (AU142 3, Araf2 3, AQ142 3, AM142 3)T — вектор неизвестных функций-амплитуд малых колебаний; E(s,X), F(s, X) — матрицы-функции 12x12.

После этого применяется метод конечных разностей [4]: интервал разбивается на N отрезков, значения 12 функций разыскиваются в ^ + 1) точке. Уравнения малых колебаний удовлетворяются в N точках — серединах каждого отрезка. Краевые условия также записываются в матричном виде и представляют собой 12 уравнений. Таким образом, задача сводится к обобщенной проблеме собственных значений ([4] — П[5]) = 0, где [4], [5] — квадратные матрицы специального вида, размерностью 12^ + 1). Обобщенная проблема решается с помощью стандартной подпрограммы РОЯТЯЛК.

Примеры расчета

Рассматривается постановка задачи [5, 6]: изначально прямой шарнирно-опертый (или защемленный) стержень круглого поперечного сечения под действием осевой силы теряет устойчивость и приобретает дугообразную форму. После этого к нему прикладывается крутящий момент в плоскости, перпендикулярной к неде-формированной оси стержня (рис. 1), стержень приобретает существенно пространственную конфигурацию.

M

Q M

EJ, GJp Ш, GJp Q

Рис. 1

По результатам расчетов деформированных конфигураций стержня для разных крутящих моментов были построены кривые деформирования, которые практически совпали с кривыми [5, 6]. Так же проводился расчет малых колебаний деформированных конфигураций. По частотам можно судить о статической устойчивости достигнутой

конфигурации. При анализе частот и форм были найдены критические моменты, а также зависимости критических моментов от соотношения изгибной и крутильной жесткостей.

Разработанный алгоритм был применен к расчету весьма длинных стержней-тросов. Изначально прямой стержень, нагруженный весовой нагрузкой, деформируется перемещением опоры на заданные расстояния, затем к нему прикладывается аэродинамическая нагрузка и находится равновесная конфигурация в потоке. После этого находятся частоты и формы малых колебаний стержня-троса относительно этой конфигурации. Расчетные схемы взяты из [2, 7], где трос представлен моделью нити. В результате сравнения сделан вывод о влиянии изгибных жесткостей на частоты и формы колебаний.

Работа выполнена при поддержке гранта РНП. 2.1.2./10114.

Список литературы

1. Левин В.Е., Пустовой Н.В. Механика деформирования криволинейных стержней: Монография. Новосибирск: Изд-во НГТУ 2008. 208 с.

2. Светлицкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. М.: Изд-во МАИ, 2001. 432 с.

3. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М.: Изд-во лит-ры по стр-ву, 1968. 242 с.

4. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. 312 с.

5. Лось М.В., Орданович А.Е. // Вестник МГУ Сер. 1. Математика, механика. 1994. №5. С. 48—54.

6. Лось М.В., Орданович А.Е. // Вестник МГУ Сер.1. Математика, механика. 1998. №3. С. 62—65.

7. Соколов А. И. Нелинейные колебания абсолютно гибкого провода в потоке воздуха // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2008. №4 (http://technomag.edu.ru/doc/87224.html)

VIBRATIONS OF PRELIMINARY DEFORMED RODS D.A. Krasnorutskiy, V.E. Levin, N. V. Pustovoy

Vibrations of flexible elastic rods preliminary deformed under applied loads are considered. Calculation algorithms are developed and successfully tested. Numerical results of solutions of some problems are presented.

Keywords: vibrations of rods, preliminary deformed, natural frequencies, big displacements, nonlinear dynamics.