Вынужденные колебания сжатой капли с учетом движения контактной линии Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 4 (22)

УДК 532.5.032

Вынужденные колебания сжатой капли с учетом движения контактной линии

А. А. Алабужев

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1

Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В данной работе рассматриваются вынужденные колебания сжатой жидкой капли, представляющей собой фигуру вращения, зажатую между двумя плоскими стенками под действием продольных вибраций. Обнаружено, что при конечных значениях капиллярного параметра движение линии контакта сред приводит к затуханию свободных колебаний. Влияние диссипации обуславливает ограничение максимальной амплитуды колебаний в резонансе, а также сдвиг резонансной частоты. Наибольшая амплитуда вынужденных колебаний достигается в случае прямого равновесного краевого угла.

Ключевые слова: динамика контактной линии, вынужденные колебания капли.

1. Введение

При высокочастотном колебательном движении контактной линии влияние вязкости наиболее существенно в тонких пограничных слоях вблизи поверхностей раздела, а движение контактной линии в основном определяется быстро осциллирующим полем давления. Сложные процессы, происходящие в непосредственной близости линии контакта, из рассмотрения исключаются с помощью эффективных граничных условий, накладываемых на динамику видимого краевого угла.

Наиболее часто, в силу его простоты, используется условие, примененное в [1], где изучается затухание стоячих волн между двумя вертикальными стенками. Указанное условие предполагает линейную связь между скоростью движения контактной линии и краевым углом (в случае прямого равновесного краевого угла):

где £ — отклонение поверхности от равновесного положения, Л — феноменологическая постоянная (постоянная Хокинга), к — вектор нормали к твердой поверхности. Отметим, что условия фиксированной контактной линии и постоянного краевого угла являются частными случаями граничного условия (1.1): Л —— 0 и Л ^ да соответственно. В [1] было показано, что граничное условие (1.1) приводит к затуханию колебаний, за исключением

двух указанных выше предельных значений Л. Там же приведены результаты качественного сравнения с экспериментами.

В работе [2] исследовались собственные колебания цилиндрической жидкой капли, окруженной другой жидкостью и ограниченной в осевом направлении твердыми плоскостями. Для описания движения контактной линии использовалось эффективное граничное условие (1.1). Найдена зависимость частоты и коэффициента затухания колебаний от капиллярного параметра. Показано, что начиная с некоторого значения капиллярного параметра основная частота трансляционной моды обращается в нуль. В зависимости от геометрического параметра, которым является отношение радиуса и высоты капли, основные частоты могут обращаться в нуль на некотором интервале капиллярного параметра.

В работе [3] рассматривались собственные колебания сжатой жидкой капли, представляющей собой фигуру вращения, зажатую между двумя плоскими стенками под действием продольных вибраций. Выявлено, что существует три характерных масштаба частот собственных колебаний. Высокие частоты не зависят от азимутального числа и для прямого равновесного краевого угла соответствуют частотам капиллярных волн на поверхности жидкости. Низкие частоты не зависят от волнового числа и при больших значениях капиллярного параметра совпадают с частотами собственных колебаний цилиндрической капли. Промежуточный характерный масштаб значений частот

© Алабужев А.А., 2012

соответствует основной частоте трансляционной моды собственных колебаний.

2. Постановка задачи

Рассмотрим вынужденные колебания капли жидкости с плотностью Д, окруженной другой жидкостью с плотностью Д. Здесь и в дальнейшем величины с индексом I относятся к капле, е — к окружающей жидкости. Вся система ограничена двумя параллельными твердыми плоскостями (рис. 1). Равновесный краевой угол между боковой поверхностью капли и твердой поверхностью равен $0. Краевой угол отсчитывается от нижней твердой поверхности в сторону боковой поверхности капли. На систему действуют вибрации с амплитудой А и частотой а , направленные вдоль твердых поверхностей.

Р = ~Рк

щ + 2е (Ур)2 + а2г cos аtcos а |,

7 ^7 д 1 д , д к = г,е, V = —ег + -—еа + Ъ—е,,

дг г да дz

д 1 д д 1 д2 ,2 - „ п

Д =-----------------------------г— + ——- + Ь—- , (2.1)

г дг дг г2 да2 дг2

£ = А , отношение плотностей р = Д / рЕ , р; = р, ре = 1, частоту вибраций

© = © ^/д Я0Н2/а , капиллярный параметр

Я = Лд/Д Я0/а , отношение характерного радиуса капли к ее высоте (геометрический параметр) Ь = R0/h.

3. Равновесная форма

Равновесная форма капли будет определяться условием баланса нормальных напряжений в отсутствие движения (<р = 0):

divп - с = 0 ,

где с — некоторая константа с граничными условиями:

г = ±1/2 : Я2 = +Ъ-1^$0,

г = 0 : Я = 1.

Рассмотрим случай малой толщины слоя, полагая, что Ь » 1, т.е. р = Ь^ 1. Разложим функцию Я (г) в ряд по малому параметру р :

Я (г) = 1 + в Я(1) (г) + в Я] (г) +...,

т.е. предполагаем, что форма поверхности капли мало отличается от цилиндрической.

2 Я(2) (

Рис. 1. Геометрия задачи

Переходя к безразмерным переменным (выбрав в качестве единиц измерения длины Я0 = Я (0),

высоты И, времени р2/а , потенциала скорости , давления Л'а/Н2 , откло-

нения поверхности А ), получаем следующую задачу:

Д^=0,

Рис. 2. Равновесная форма капли. Э0 = 15° - сплошная линия,

30 = 105° - штриховая линия

г = R + < :, £ = ^ • УЯ ,

£ [р] = — Ь-2 divП, г = +1/2 : = 0,

г = R + , г = +1/2 :

£ =±Л(С - ^^ = С:д$0.

Краевая задача содержит следующие безразмерные параметры: малую амплитуду вибраций

В первом порядке получаем уравнение для нахождения поправки к равновесной форме отклонения

Я« + с (1 + я!1)2 )3/2 = 0

с граничными условиями

г = ±12 : Я« = + йд^0, г = 0 : Я = 1, решение которого можно представить в виде

/

Вынужденные колебания сжатой капли с учетом движения контактной линии 9

R(1) =-

2 cos А

1—(і-4

5S А v у

1 --J1 - 4z cos А

)■

На рис. 2. показана равновесная форма для разных значений краевого угла.

4. Вынужденные колебания

Изучим вынужденные колебания рассматриваемой капли в случае малой толщины слоя в ^ 1. Область течения в капле можно условно разделить на область, имеющую форму цилиндра единичного радиуса, и тонкую переходную область между цилиндром и окружающей жидкостью. В переходной области потенциал скорости и давление жидкостей могут претерпевать значительные изменения в радиальном направлении, что требует введения «быстрой» радиальной координа-

ты r

P = P(0) +,

?(1) + ..., z = Z(0) + PZ(1) + •••, (4.1) p = p(0) + вp(1) +....

Подставляя разложения (4.1) в задачу (2.1), в главном порядке систему уравнений и граничных условий для комплексных амплитуд потенциала, давления и отклонения поверхности в разных областях течения, получим

+ r+ r"W0 = 0 ,

т rr т r т аа 7

р(0) = -шрф[0) - ра2е,и‘ cos а, r = 1, r = R(1) : [р(0) ] = 0 , irnZ(0) = ^0), (4.2)

[р(0) ] = 0 .

Решение этой задачи можно представить в виде

ф^' = c re cos а , рЄЄ) = cere cos а , (4.3) Ze(0) = gewt cos а .

В переходной области получаем задачу

^ = 0 j P(0) = ~io)pq>{0),

r, = R(1) : [<» ]- R1» [рГ ] = 0,

ia<z(0) = < - RV0), [p(0) ] = (1+Ri )3/ 2 , (4-4)

z = +i/2: ^0 = 0,

z = + 1/2, r = І, rj = R(1) : iwZ(0) = ±AZt0), решение которой имеет вид

^0) = (c Oi + C1iri +

да

+ ^c1k exp(2nkr1)cos(2nkz) |eiffl‘ cosa,

k-1

т(0) = (c +c r +

ei 0e 1e 1

+ £c2k exp(-2nkr1)cos(2nkz) |e“ cosa,

(4.5)

Рассмотрим возбуждение трансляционной моды собственных колебаний. Решение ищем в виде разложения в ряд по степеням малого параметра в:

Z, = |^c4 + dz2 + £c3k cos (2nkz)JeIffl‘ cos а.

Воспользуемся методом сращиваемых разложений для объединения решений (4.3) и (4.5). Согласно этому методу разложим, например, решение (4.3)

вблизи поверхности г = 1 + рR(l) +... и сравним с

решением (4.5):

q,™ = c.reiat = С,. (1 + pR(1)) eш . (4.6)

Из выражений (4.3) и (4.5) следует, что с0i = с,

cii = Pci. Аналогично сое = се, cie = -все, с = g . Таким образом, можно объединить задачи (4.2) и (4.4) и решения (4.3.) и (4.5):

p(0) = -iaрф(0) - pa2ewt cos а .

r = 1.

?(D

: [«Г] + [<’ ]-R'K’]» 0, i< '•’ = я'*' • я'*' - W,

[ p(0)]^

z,

(О)

(1 + R1)2 )3/2 ’

z = +1/2: p(0) = 0, z = +12, r = 1, r = R(1): £®Z(0) = ±^ZZ0).

Решение данной задачи в случае средних частот будем искать в виде

р!0) = iaeш cos a (c0r +

+ 1 Cik ex

p (2n kr1) cos (2 n kz)),

Ф(е0) = irnelat cos а

(cr 1

-Z c2fc eX|

p (-2 n kr1) cos (2n kz)),

Z(0) = I c4z2 + g + £c3k cos(2nkz) lemt cosa .

Подставляя данные решения в исходную систему, получим систему уравнений для нахождения неизвестных амплитуд, для решения которой использовалась обобщенная процедура Г алеркина.

Зависимость амплитуды колебаний поверхности от частоты вынуждающей силы приведена на рис. 3-4 для трех различных значений равновес-

k -1

<х

k-1

X

k-1

k-І

Рис. 3. Зависимость амплитуды колебаний поверхности от внешней частоты (X = 0, р = 1.33): 30 = 90о (сплошная линия), 30 = 750 (штриховая), 30 = 60о (пунктирная)

Рис. 4. Зависимость амплитуды колебаний поверхности от внешней частоты (X = 0.1, р = 1.3330 = 90о (сплошная линия), 30 = 750 (штриховая), 30 = 60о (пунктирная)

ного краевого угла при разных значениях капиллярного параметра. В предельном случае X = 0 амплитуда колебаний на собственной частоте бесконечна. При конечных значениях капиллярного параметра за счет диссипации, имеющей место при движении контактной линии (см., например: [1]), амплитуда колебаний ограничена.

Отметим, что частота трансляционной моды отлична от нуля только на некотором интервале значений капиллярного параметра [3].

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта Президента МК-2368.2011.1.

Список литературы

1. Hocking L.M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary // J. Fluid Mech. 1987. Vol. 179. P. 253-266.

2. Алабужев А.А., Любимов Д.В. Влияние динамики контактной линии на собственные колебания цилиндрической капли // ПМТФ. 2007. Т. 48, № 5. С. 78-86.

3. Алабужев А.А., Любимов Д.В. Влияние динамики контактной линии на колебания сжатой капли // ПМТФ. 2012. Т.53, № 1. С. 1-12.

Forced oscillations of an oblate drop

A. A. Alabuzhev

Institute of Continuous Media Mechanics, Akademik Korolev St., 1, 614013 Perm Perm State National Research University, Bukirev St. 15, 614990 Perm

The dynamics of an oblate fluid drop are considered in this report. The drop is suspended in the different fluid and confined by two parallel rigid plates. The external vibration force acts on the system. The vibration axis is perpendicular to the symmetry axis of the drop. The both vibration amplitude and drop’s height are small in comparison with the drop’s radius. Arbitrary values of equilibrium contact angle are considered. The specific boundary condition is applied to take the dynamics of contact line into account: the contact line’s velocity is proportional to the deviation of contact angle. Keywords: oblate drop, contact line dynamic.