Динамика цилиндрической капли с учетом влияния гистерезиса краевого угла Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 4 (22)

УДК 532.5.032

Динамика цилиндрической капли с учетом влияния гистерезиса краевого угла

А. А. Алабужев

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1

Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В представленной работе исследуется влияние гистерезиса краевого угла на колебания цилиндрической капли жидкости. Капля ограничена в осевом направлении параллельными твердыми плоскостями. Равновесный краевой угол между боковой поверхностью капли и твердой пластиной предполагается прямым. Движение контактной линии учитывается с помощью эффективного граничного условия: скорость движения контактной линии прямо пропорциональна углу отклонения и движение контактной линии возможно, если значение краевого угла превышает некоторое критическое значение. На систему действует внешняя высокочастотная вибрационная сила, направление вибраций параллельно оси симметрии капли. Амплитуда вибрации мала по сравнению с характерными размерами капли.

Ключевые слова: капля, гистерезис краевого угла.

1. Введение

Одним из важных направлений исследования поведения межфазных поверхностей является изучение влияния гистерезиса краевого угла на поведение контактной линии капли жидкости. В настоящее время имеется много экспериментальных результатов в этой области, которые не объясняются существующими теоретическими моделями. Поэтому актуальным является создание теоретических моделей, учитывающих гистерезис краевого угла, для конкретных гидродинамических систем, которые можно воссоздать экспериментально.

В работах [1, 2] использовано граничное условие, допускающее неоднозначную зависимость краевого угла от скорости движения контактной линии. Это условие предполагает, что малые отклонения краевого угла не приводят к движению контактной линии. Движение контактной линии возможно, если абсолютное значение краевого угла превысит некоторое критическое значение. Результаты экспериментальных работ [3, 4] хорошо описываются данным краевым условием при малых отклонениях краевого угла. В работе [5] рассмотрено поведение полусферической капли жидкости на твердой подложке. Учитывался гистерезис краевого угла [2]: контактная линия могла двигаться, если значение краевого угла превышало критическое. Подложка совершала вертикальные вибрации. Полученное поведение капли в определенных случаях качественно совпадало с результатами экспериментов [5].

Рис. 1. Геометрия задачи

2. Постановка задачи

Рассмотрим колебания капли жидкости с плотностью р; , окруженной другой жидкостью с плотностью ре. Здесь и в дальнейшем величины с

индексом I относятся к капле, е — к окружающей жидкости. Вся система ограничена двумя параллельными твердыми плоскостями (рис. 1). Сосуд замкнут на бесконечности. В отсутствие внешних сил капля имеет форму цилиндра радиусом N . Краевой угол между боковой поверхностью капли и твердыми плоскостями в равновесии составляет п/2. Расстояние между ограничивающими поверхностями равно Н. На систему действует внешняя вибрационная сила с амплитудой А и частотой т *, направленная параллельно твердым плоскостям.

© Алабужев А. А., 2012

Характерная амплитуда колебаний капли А мала по сравнению с равновесным радиусом Ы . Будем предполагать, что, с одной стороны, основная частота колебаний т достаточно велика, чтобы можно было пренебречь вязкостью, с другой стороны, частоты вибраций достаточно малы, чтобы можно было пользоваться приближением несжимаемости: 3 = -у/у/© ^ Я и ф К ^ с , где с — скорость звука, V — кинематическая вязкость. Например, для капли воды радиуса 10-2 м частоты т , удовлетворяющие указанным требованиям, лежат в широком диапазоне от 0.1 до 100 Гц . Наименьшая частота собственных колебаний свободного водяного столба, окруженного жидкостью

схожих параметров, т ~ 10 Гц.

Удобно использовать цилиндрическую систему координат (г ,а, х ), в которой поверхность капли

будет описываться соотношением

* * / * * \ * / * * \

г = К + £ (а, г ), где £ (а,2 Л ) — отклоне-

ние поверхности от равновесного положения, угол а отсчитывается от оси х, которой параллельно направление внешней вибрационной силы.

Выберем в качестве единиц измерения времени Т0, радиальной координаты N , осевой координаты Н, отклонения поверхности А , скорости у0 , плотности ре + р , давления р0, где

т0 =7 (Ре + р) Я 7 , у0 = А^ а/ (( рЄ + р*) Я3) ,

р0 = А а/Я2, а — коэффициент поверхностного натяжения.

Р = -P Vi + 2(v^)2 j, A^=0 ,

= 1 + sZ : [n • ] = 0 , Ft + eVp ■ VF = 0,

[p] = -divn ,

z = ±— : 2

z = +12, r = І + < : Zt =

k • V^ = 0,

*(Y - Yо). Y > Yо 0 И < Yо * (Y + Yо) Y <-Yо

(1)

(2)

(3)

(4)

клонения поверхности меньше некоторого характерного значения у0. Квадратные скобки

обозначают скачок величины на границе раздела между внешней жидкостью и каплей, индексом у неизвестных функций обозначаются производные по соответствующим переменным.

Краевая задача (1)—(4) содержит пять безразмерных параметров: малую относительную характерную амплитуду є = А /Я, капиллярный параметр X = Л, геометрический параметр Ь = Я/Ь, плотность внешней жидкости Ре = Ре/(Ре + Р;) , плотность жидкости в капле Р; = Р; /(Ре + Р;), последние два параметра заны соотношением рі + ре = 1.

свя-

3. Метод решения

Несмотря на то что граничное условие (4)дела-ет задачу (1)-(4) нелинейной, решения для функций p, p, Z можно представить в виде рядов (см.: [5]):

да

Фі = Xak (Т)Io ((2К +1)nbr)sin (2К +1)nz , (5)

k=0

Ре = £bfc (Т)K0 ((2k +1)nbr)sin(2k +1)nz , (6)

k=0

Z = Xck (t)sin (2k +1)nz,

(7)

P = -P (ft

+ a 2z cos

bk (t)=ak (t)

I0 ((2k +1)n b) ... ckt

K0 ((2k +1) nb), ak = I0 ((2k +1)nb)

at), (8)

(')

Вместе с тем, используя условие баланса нормальных напряжений (2), решение для отклонения поверхности С, можно представить в виде

z = ■

cos

Sin I — l + У

1Ї I b J У 2b

v^k

(9)

(Pi -Pe)®2gkcosrnt ,, , ,

He’ -sin ((2k +1) n—)

1 - (2k +1)2 n 2b2

Здесь введены: потенциал скорости жидкости соотношением V = У , р — давление, £ — отклонение поверхности от равновесного положения, К = г -1 - еС, , п = УЕ/|У^| — вектор нормали к боковой поверхности капли, к — орт оси z, у _+у2 — отклонение поверхности от

равновесного значения. Эффективное граничное условие (4) показывает, что контактная линия будет неподвижной, если абсолютное значение от-

Здесь gk = (2 (-l)k |Д( 2k +1)2 п2) - коэффициент

разложения в ряд Фурье функции z по базисным функциям sin ((2к +1)пz), Qfc — частоты собственных колебаний цилиндрической капли с нулевым азимутальным числом:

m2 -1 + 4п2b2k2 ,

_

mk

-Kkr (1), (10)

c

+

Динамика цилиндрической капли

5

где L, = m = 0,1,2,...

азимутальное число,

k = 0,1,2,... - волновое число, Я'т0(г) = гт,

К0 (г) = Г ~т , Кк (Г ) = |т (2пЬкг ) для К ^ 1 ,

Кк(г) = Кт(2пВКг) для К ^ 1 , |т , Кт - мОДи" фицированные функции Бесселя,

^=рк* (1) - ккг (1) кк (1)/ккг (1),

Як г (г) = (г )/- нижний индекс г обо-

значает производную по радиусу г . В рассматриваемом случае т = 0 в (10).

Сравнивая решения (7) и (9) для С,, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для неизвестных амплитуд ск ):

Cktt + ^кСк = ^kSkУ ^kLk C0S at , где введены следующие обозначения:

(11)

Sk = bfk CeS

fk =

— I, L = lb

( a - Pe) q> 2gk (2k +1)2 n2b2 -1

\k

2b(-1) ( 1

--------^---------cosI —

(2k +1) n2b2 -1 v 2b

f — коэффициенты разложения в ряд Фурье функции sin(z/b). Уравнение (11) необходимо

решать совместно с (4). Отметим, что ряд для функции Z сходится очень медленно. Однако значения частот Qfc собственных колебаний растет довольно быстро (см. таблицу), поэтому начиная с некоторого к можно пренебречь первым слагаемым в левой части уравнения (11) по сравнению с остальными, т.е. ск » Skу - Lk cos at. Таким образом, используя конечную сумму и решение (7),

получим следующее уравнение для функции отклонения поверхности:

N

£ = Zc«sin ((2k+1)n z)+

k=0

да

+ X (SkYt + Lk0 sin (®t)) sin ((2k +1) nz) = (12)

k = N +1 N

= X Dktsin ((2k+1)n z)

k=0

где Dk = ck + Skу - bk cos (at). Подставляя (12) в условие (4), получим уравнение для Я :

/

Yt =

- Z (-l) ckt + Z (-l) Lk0 sin (at) -

^ (y - Y0), Y > Y0 0 |y| < Yo

^ (y + Yo ) Y < -Yо

(13)

l

Z і-l)k Sk

/ k=0

Система уравнений (11), (13) решалась с помощью метода Г ира.

Частоты собственных колебаний (Ь = 1.5, р = 0.7;

k □k Qk k □k Qk

1 9.7 94.8 6 372.39 138677.66

2 52.6 2766.79 7 478.62 229075.49

3 113.75 12938.48 8 593.4 352087.4

4 188.76 35632.17 9 716.06 512736.4

5 275.45 75870.89 10 846.19 716045.52

Рис. 2. Области движения контактной линии на плоскости (а, у0). р; = 0.3, Ь = 1, в закрашенных областях контактная линия неподвижна

4. Результаты

Г раничное условие Хокинга (4) показывает, что контактная линия будет неподвижной, если значение краевого угла не превышает некоторого критического значения. В противном случае контактная линия движется. На рис. 2 показаны зоны, в которых контактная линия движется или покоится.

60-|

А

40

/ І ї

20-

*' 11 і .1

Л •' / >1

т

т

40 80 120 160 Ю 200

Рис. 3. Амплитуда колебаний (у0 = 1).

Я = 3 — штриховая линия, Я = 5 — штрих-пунктирная, Я = 10 - штрих-два-пунктирная

0

k=0

k=0

0

На рис.3 и 4 приведена зависимость амплитуды колебаний от частоты внешнего воздействия для разных значений капиллярного параметра и критического значения краевого угла. Ранее найдено, что в отсутствие гистерезиса существуют частоты внешнего воздействия, при которых контактная линия не движется. При наличии гистерезиса контактная линия не движется уже в некотором интервале частот. При увеличении характерного значения краевого угла время, в течение которого контактная линия не движется, растет, а интервал частот, в котором она находится в движении, сужается.

Рис. 4. Амплитуда колебаний (у0 = 10).

^ = 0, у0 = 0 - пунктирная линия, Я = 3 -штриховая, Я = 5 - штрих-пунктирная,

Я = 10 - штрих-два-пунктирная

5. Заключение

В данной работе исследовано влияние гистерезиса краевого угла на динамику жидкой капли, имеющей в равновесии форму цилиндра и ограниченной в осевом направлении двумя твердыми параллельными поверхностями, при действии осевых

вибраций. Влияние динамики контактной линии учитывалось с помощью эффективного граничного условия, допускающего гистерезис краевого угла. Ввиду диссипативного характера эффективного краевого условия существует устойчивый режим нелинейных колебаний. Получены данные об отклонении поверхности и частотных характеристиках в зависимости от постоянной Хокинга и характерного значения краевого угла. Ранее установлено, что в отсутствие гистерезиса существуют частоты внешнего воздействия, при которых контактная линия не движется. При наличии гистерезиса контактная линия не движется уже в некотором интервале частот. При увеличении характерного значения краевого угла время, в течение которого контактная линия не движется, растет, а интервал частот, в котором она находится в движении, сужается. При больших значениях постоянной Хокинга, когда контактная линия слабо взаимодействует с подложкой и диссипация мала, возможно существование резонансов.

Список литературы

1. Young G.W., Davis S.H. A plate oscillating across a liquid interface: effect of contact-angle hysteresis // J. Fluid Mech. 1987. Vol. 174. P. 187-200.

2. Hocking L.M. Waves produced by a vertically oscillating plate // J. Fluid Mech. 1987. Vol. 179. P. 267-281.

3. Ablett R. An investigation of the angle of contact between paraffin wax and water // Phil. Mag. 1923. Vol. 46. P. 244-256.

4. Dussan V.E.B. On the spreading of liquids on solid surfaces: static and dynamic contact lines // Annu. Rev. Fluid Mech. 1979. Vol. 11. P.371-400.

5. Fayzrakhmanova I., Straube A. Stick-slip dynamics of an oscillated sessile drop // Phys. Fluids 2009. Vol. 21, 072104.

The influence of contact angle’s hysteresis on the cylindrical drop’s dynamics

A. A. Alabuzhev

Institute of Continuous Media Mechanics, Akademik Korolev St., 1, 614013 Perm Perm State National Research University, Bukirev St. 15, 614990 Perm

The forced oscillations of a cylindrical drop are considered in the present work. The drop is suspended in the different fluid and confined by two parallel rigid plates, subjected to vibrations. The vibration axis is perpendicular to the symmetry axis. The amplitude of vibrations is small in comparison with the drop radius. The equilibrium contact angle is right. The specific boundary conditions is applied to take into account: the contact line starts to slide only when the deviation of the contact angle exceeds a certain critical value. As a result, the stick-slip dynamics can be observed.

Keywords: drop, contact line dynamic, contact angle hysteresis.