CC BY
68
УДК 532.612
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
V ___ _ __ и _ _ __ А
ЖИДКОЙ КАПЛИ НА ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОДЛОЖКЕ1
А.Е. Коренченко2, Д.С. Исаков3
Разработаны программы, позволяющие описать поведение свободной поверхности и контактной линии раздела лежащей капли. Изложены результаты численных исследований линейных вынужденных колебаний капли вязкой жидкости, лежащей на вибрирующей горизонтальной поверхности. Задача решена для случаев постоянного краевого угла и закрепленной трехфазной линии. Найдены резонансные частоты для трех первых основных мод колебаний в условиях осевой симметрии. Проведено сравнение результатов с найденными в литературе экспериментальными данными, хорошее согласие продемонстрировано.
Ключевые слова: поверхностное натяжение; межфазное натяжение; гидродинамика; лежащая капля; численное моделирование.
Введение
В последнее время повышенный исследовательский интерес наблюдается в отношении системы «капля на подложке». Эта система эффективна в медицинской диагностике, проводящейся по структуре следа, оставленного после испарения капли биологической жидкости (например, сыворотки крови) [1]. Выявлена принципиально новая возможность использования системы «микрокапля на подложке» в качестве микрореактора для реализации процесса самосборки наноструктур в процессе испарения на подложке коллоидной капли с наночастицами [2]. Остаются актуальными технологические приложения явления: в струйной печати, для охлаждения твердых поверхностей испарением помещенных на них капель, в технологиях нанесения жидких защитных покрытий. В сравнительно недавних работах изучается падение капли на жидкую пленку [3] и твердую поверхность [4], отскок капли воды от гидрофобной поверхности [5].
Кроме того, исследования вынужденных и свободных колебаний лежащей капли имеют фундаментальное значение, в частности потому, что включают два важных аспекта: поведение свободной поверхности жидкости и области трехфазного контакта. Так, в [6, 7] проведен численный анализ нелинейных вынужденных колебаний висящей капли и обнаружен гистерезис контактного угла. В [8] проведено аналитическое решение задачи о капле идеальной жидкости на вибрирующей подложке, когда условия на трехфазной границе описываются формулами Хокинга [9]. Скорость движения линии раздела в этом случае предполагается пропорциональной отклонению контактного угла от равновесного. В [8] показано, что такие условия вызывают появление трения на трехфазной границе и приводят к энергетическим потерям даже для колебаний идеальной жидкости. Капля на вибрирующей подложке подробно исследована экспериментально, например, в [10], в обоих крайних случаях постоянного краевого угла и закрепленной границы раздела. Авторы наблюдали формирование стоячих гравитационно-капиллярных волн, измерили их собственные частоты и зафиксировали положения узлов и пучностей. Результаты были интерпретированы в рамках теории одномерного осциллятора.
Однако за границами исследованной области остаются следующие вопросы: какова фазовочастотная характеристика объекта «капля-подложка», как на фазу колебаний влияют поверхностное натяжение, межфазное натяжение, плотность и вязкость жидкости? Кроме того, все известные авторам численные исследования колебаний капли на подложке проведены для невязких жидкостей в отсутствие силы тяжести и для случая постоянного радиуса пятна смачивания.
Цель настоящей работы состоит в разработке программного пакета, способного описать поведение капли вязкой жидкости на плоской горизонтальной поверхности, вибрирующей с малой амплитудой (случай линейных колебаний) в присутствии поля тяжести и с учетом эффектов, связанных с межфазным натяжением.
1 Работа поддержана грантом РФФИ № 13-03-00918.
2 Коренченко Анна Евгеньевна - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра оптики и спектроскопии, ЮжноУральский государственный университет.
E-mail: korenchenko@physics.susu.ac.ru
3 Исаков Денис Сергеевич - заведующий лабораторией физических исследований, Южно-Уральский государственный университет.
1. Математическая модель
В работе рассмотрена лежащая капля, помещенная на плоскую горизонтальную подложку (рис. 1). Подложка осциллирует в направлении своей нормали с частотой о и малой амплитудой А, так что ее положение в лабораторной СО описывается как z^ (t) = A sin cot. Приняты следующие обозначения: р - плотность жидкости, V - кинематическая вязкость, <rlg, OgS, <7ls - коэффициенты межфазного натяжения на границах жидкость-газ, газ-твердое, жид-кость-твердое соответственно. Индексами l, g и s обозначены жидкая, газовая и твердая среды.
Рис. 1. Лежащая капля располагается на вибрирующей горизонтальной подложке. Показана половина осевого сечения капли
1.1. Приближения модели
Мы предполагаем верными следующие предположения о состоянии капли и течениях в ней:
• жидкость является ньютоновской и несжимаемой; практически это означает, что выполнено условие оЯ << с, где с - скорость звука в жидкости, Я - радиус равновеликой сферической капли;
• влияние газа пренебрежимо мало;
• пренебрегаем испарением с поверхности капли, т.е. нет необходимости рассматривать смещение границы, связанное с потерей массы;
• форма капли имеет осевую симметрию, как и поля скорости и давления в ней;
• можно пренебречь тепловыделением внутри капли, так что жидкость можно считать изотермической.
1.2. Система уравнений сохранения и граничные условия
Введем систему координат с осями, в которой подложка неподвижна (см. рис. 1),
V = {УГ, У2} - вектор скорости, р есть превышение давления над гидростатическим Р0, т.е. р = Р - Р0, где Р0 - гидростатическое давление в равновесной капле, определяемое формулой Р0 (z) = -а 1ё • К0 (z), К0 (z) - кривизна равновесной капли.
Тогда уравнения сохранения вещества и импульса в неинерциальной системе отсчета запишутся в виде
д+(V V )к = - - Vр¥+-А
д t р
V • V = 0.
Условия на границе жидкость-газ Slg запишутся как:
й-Т-й|„ =OjgK,
lSig jg
я-T-fL = о,
Slg
- sin ot,
o
(1)
(2)
(3)
(4)
здесь T =-PSij +n(dui/dxj +duj/dxt) - тензор напряжений, A = {0,0, A} , r/ = vp - динамическая вязкость. Уравнение (3) представляет собой формулу Лапласа, а (4) означает, что касательные напряжения отсутствуют. В (3) и (4) граница «жидкость-газ» предполагается бесконечно тонкой и невесомой.
Граничные условия на твердой подложке запишутся как:
VI = о, Vz\ = 0. (5)
nSls z|sls
Динамика поведения контактной линии описана в работе следующими способами
1) r1 = const - постоянный радиус пятна смачивания,
2) 0 = 60 = const - постоянный (равновесный) контактный угол.
(6)
Здесь ту - радиус пятна смачивания, 0О - равновесный контактный угол.
Уравнения приведены к безразмерной форме так, что все линейные размеры отнесены к радиусу Я, скорости - к м0 = Лю, напряжения - к рщ и время - к ^/и0 . Характерные значения параметров жидкости и материала подложки и безразмерных критериев задачи приведены в таблице 1 и обсуждены в секции 3.
1.3. Начальные условия
Предположим, что при г < 0 капля находилась в состоянии статического равновесия и в момент г = 0 подложка начала вибрировать:
г = 0: р = 0, 51§ = 50, V = 0,
где 50 - есть равновесная форма поверхности капли.
2. Численные методы
Численное решение проводилось методом конечных разностей, где использовалась неравномерная сетка. Сначала капля делилась на т равных по толщине горизонтальных слоев. Форма
Таблица 1
Значения парамет ров расчета и безразмерных характеристик
Радиус равновеликой сферической капли Я, м 10-3 Кинематическая вязкость V , м2с 1 10-6
Амплитуда колебаний подожки А, м 10-4 Частота колебаний подложки со, с-1 400-3500
Плотность жидкости р, кг-м~3 1000 м0 Ь Число Рейнольдса Яв = -°— V 4 - 35
Поверхностное натяжение , Н-м-1 0,073 п я2 Число Бонда Во = — 0,14
Разность межфазных натяжений аъ - , Н'м 1 0 2 Число Вебера Wв= Я 10-4 -10-2
Номер моды колебаний І 2, 3, 4
капли описывалась массивами {r, i = 1, m} и {zi, i = 2, m+1} (рис. 1). Очевидно, что rm+l = 0 и Zj = 0 . Затем производилось деление вертикальными линиями, при этом необходимо соблюдение условия, чтобы ширины прямоугольных ячеек разбиения не отличались более чем на 30 %, это необходимо для сходимости расчета. Уравнения (1)-(6) записывались в разностной форме. Полученная система алгебраических уравнений решалась методом Гаусса. Решение проводилось в духе метода расщепления и делилось на следующие стадии:
• давление и скорости в капле находятся решением (1)-(5). Форма капли считалась неизменной на этой стадии;
• определяется новая форма капли по формулам:
Г+At = Г + VrI • At, i = 2, m, z\+At = z\ + Vz\n -At, i = 2, m +1.
г г r IAlg ‘ ‘ ZISlg
Радиус пятна смачивания определяется из условий (6) по формулам
1) r1 = const;
2) r/+At = r2+At + Z2 • ctg #0 ;
• сетка перестраивается в соответствии с новой формой капли.
Расчеты проводились для различных пространственных разбиений и временных шагов, и было получено независящее от параметров сетки решение. Алгоритм был протестирован сравнением с известным аналитическим решением [11, 12]. Программы для расчета были написаны на языке Фортран и распараллелены с использованием библиотеки MPI. Вычисления проводились на суперкомпьютере ТОРНАДО (ЮУрГУ).
3. Обсуждение результатов
Значения физических параметров, использованных при решении задачи, и соответствующих безразмерных критериев указаны в табл. 1. Как видно из таблицы, амплитуда колебаний подложки мала, так что ожидается только линейный отклик системы. Число Рейнольдса также мало, следовательно, в капле возникают лишь ламинарные течения. Значения числа Вебера указывают на то, что при колебаниях не будет разбрызгивания. Значения числа Бонда показывают, что и гравитационная, и поверхностная силы будут влиять на течения в капле и ее форму.
На рис. 2 приведены амплитудно-частотные характеристики вынужденных колебаний капли для случаев постоянного контактного угла и закрепленной линии контакта. Обе кривые представляют собой зависимости безразмерной амплитуды колебаний капли в вершине от частоты вибраций подложки. Как показало сравнение с результатами работы [13], абсциссы пиков на графиках совпадают с собственными частотами капли для соответствующих мод колебаний.
Резонансные частоты колебаний с постоянным контактным углом (I) получились меньшими, чем для колебаний с закрепленной линией контакта (II). В [10] такой сдвиг частот был исследован экспериментально, и для его описания была предложена формула (щ/Щ =(21 —1)/(21 — 2),
Таблица 2 Отношение О%/щ для мод колебании
Номер моды 1 = 2 1 = 3
Эксперимент [10] 1,5 1,25
Расчет [эта работа] 1,509 1,237
■ ..................- 1-------
500 1000 1500 2000 2500 3000 ,
Ф )
Рис. 2. Амплитудно-частотая характеристика вынужденных колебании капли; I - постоянный контактный угол,
II - закрепленная линия трехфазного контакта
где О и (I - есть резонансные частоты в случае свободно движущейся и закрепленной границы трехфазного контакта, I - номер моды. Номера мод колебаний капли совпадают с индексами полиномов Лежандра, которые были получены Рэлеем при решении задачи о колебаниях свободной капли в [12]. В табл. 2 представлены численные значения Оц/щ . Как видно из таблицы, численные и экспериментальные значения близки между собой, что указывает на хорошую точность расчетной схемы.
На рис. 3 показаны мгновенные поля скоростей в осевом сечении капли, полученные при резонансе для трех мод с постоянным контактным углом. Длины векторов на рисунке масштабированы так, что относятся как 15:5:1. Как видно из рисунка, на поверхности капли существуют узлы - точки, находящиеся в покое при колебаниях (на рисунке отмечены жирным). Рассчитанные положения узлов качественно совпадают с экспериментальными, полученными в [10].
0.050.040.030.02 0.01 -\
А(б.р.), 10
/ .
/
/ '
/ \
* \
/
2250 2500 2750 3000 3250
а) I = 2 Ь) I = 3 с) I = 4
Рис. 3. Мгновенное поле скоростей для низших мод с постоянным контактным углом. Показана половина осевого сечения капли
4. Выводы
В работе проведено исследование поведения лежащей капли на вибрирующей подложке с учетом гравитации, вязкости и условий на трехфазной границе. Получены амплитудно-частотные характеристики колебаний вершины капли на подложке для режимов с постоянным контактным углом и закрепленной трехфазной границей. Резонансные частоты совпадают с собственными частотами колебаний капли для всех изученных мод колебаний. Наблюдалось формирование в капле стоячих капиллярных волн, расположение узлов и пучностей которых качественно совпадает с экспериментальными данными, найденными в литературе.
Проведенные расчеты и сравнения позволяют сделать вывод о возможности использования разработанных программ для количественного исследования характеристик системы «капля-подложка» при различных значениях физико-химических параметров жидкости и материала подложки.
Авторы благодарят проф. В.П. Бескачко за полезное обсуждения и внимание к работе.
Литература
1.Тарасевич, Ю.Ю. Механизмы и модели дегидратационной самоорганизации биологических жидкостей / Ю.Ю. Тарасевич // УФН. - 2004. - Т. 174, № 7. - С. 779-790.
2. Driving forces of the solute self-organization in an evaporating liquid microdroplet / L.V. Andreeva, A.V. Koshkin, P.V. Lebedev-Stepanov et al. // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. - 2007. - Vol. 300, № 3 Spec. Iss. - P. 300-306.
3. Nikolopoulos, N.A. Normal impingement of a droplet onto a wall film: a numerical investigation / N.A. Nikolopoulos, А. Theodorakakos, G. Bergeles // Int. J. Heat Fluid Fl. - 2005. - Vol. 26. - Issue 1.
- P. 119-132.
4. Fedorchenko, A.I. Effect of capillary and viscous forces on spreading of a liquid drop impinging on a solid surface / A.I. Fedorchenko, An-Bang Wang, Yi-Hua Wang // Phys. Fluids.
- 2005. - Vol. 17. - Issue 9. - P. 093104.
5. Water spring: A model for bouncing drops / K. Okumura, F. Chevy, D. Richard et al. // Euro-phys. Lett. - 2003. - Vol. 62, no. 2. - P. 237-243.
6. Wilkes, E.D. Forced oscillations of pendant (sessile) drops / E.D. Wilkes, O.A. Basaran // Phys. Fluids. - 1997. - Vol. 9. - Issue 6. - P. 1512-1528.
7. Wilkes, E.D. Hysteretic response of supported drops during forced oscillations / E.D. Wilkes,
O.A. Basaran // J. Fluid Mech. - 1999. - Vol. 393. - P. 333-356.
8. Lyubimov, D.V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate / D.V. Lyubimov, T.P. Lyubimova, S.V. Shklyaev // Phys. Fluids. - 2006. - Vol. 18. - Issue 1. - P. 012101.
9. Hocking, L.M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary / L.M. Hocking // J. Fluid Mech. - 1987. - Vol. 179. - P. 253-266.
10. Noblin, X. Vibrated sessile drops: transition between pinned and mobile contact line oscillations / X. Noblin, A. Buguin, F. Brochard-Wyart // Eur. Phys. J. E - 2004. - Vol. 14. - Issue 4. - P. 395-404.
11. Korenchenko, A.E. Oscillations of a sessile droplet in open air / A.E. Korenchenko, V.P. Beskachko // Phys. Fluids. - 2013. - Vol. 25. - Issue 11. - P. 112106.
12. Rayleigh, Lord On the capillary phenomenon of jets / Lord Rayleigh // Proceedings of the Royal Society of London. - 1879. - Vol. 29. - P. 71-79.
13. Коренченко, А.Е. Численное исследование свободных колебаний лежащей капли / А.Е. Коренченко, А.Ж. Илимбаева, В.П. Бескачко // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2011. - Вып. 4. - № 10(227). - С. 72-76.
Поступила в редакцию 30 августа 2014 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics” _________________2014, vol. 6, no. 4, pp. 26-31
NUMERICAL SIMULATION OF A VIBRATING SESSILE DROPLET
A.E. Korenchenko\ D.S. Isakov1
The software enabling the description of behavior of a free surface and a contact line of a sessile droplet was developed. Linear forced oscillations of a viscous liquid droplet placed on a horizontal vibrating substrate were investigated numerically. The problem was solved: (1) for the pinned contact line; (2) for cases with constant contact angle. Resonant frequencies for the three first basic modes were found. The numerical results showed good agreement with the ones found in the literature.
Keywords: surface tension; interphase tension; hydrodynamics; sessile droplet; computer simula-
Referenees
1. Tarasevich Yu.Yu. Mechanisms and models of the dehydration self-organization in biological
fluids. Physics-Uspekhi. 2004. Vol. 47, no. 7. pp. 717-728. DOI: 10.1070/
PU2004v047n07ABEH001758
2. Andreeva L.V., Koshkin A.V., Lebedev-Stepanov P.V., Petrov A.N., Alfimov M.V. Driving forces of the solute self-organization in an evaporating liquid microdroplet. Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 2007. Vol. 300, no. 3. Spec. Iss. pp. 300-306.
3. Nikolopoulos N.A., Theodorakakos A., Bergeles G. Normal impingement of a droplet onto a wall film: a numerical investigation. International Journal of Heat and Fluid Flow. 2005. Vol. 26. Issue 1. pp. 119-132. DOI: 10.1016/j.ijheatfluidflow.2004.06.002
4. Fedorchenko A.I., Wang An-Bang, Wang Yi-Hua Effect of capillary and viscous forces on spreading of a liquid drop impinging on a solid surface. Phys. Fluids. 2005. Vol. 17. Issue 9. pp. 093104. http://dx.doi.org/10.1063Z1.2038367
5. Okumura K., Chevy F., Richard D., Quere D., Clanet C. Water spring: A model for bouncing drops. Europhys. Lett. 2003. Vol. 62, no. 2. pp. 237-243. http://dx.doi.org/10.1209/epl/i2003-00340-1
6. Wilkes E.D., Basaran O.A. Forced oscillations of pendant (sessile) drops. Phys. Fluids. 1997. Vol. 9. Issue 6. pp. 1512-1528. http://dx.doi.org/10.1063/L869276
7. Wilkes E.D., Basaran O.A. Hysteretic response of supported drops during forced oscillations. J. Fluid Mech. 1999. Vol. 393. pp. 333-356. DOI: http://dx.doi.org/10.1017/S0022112099005819
8. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Shklyaev S.V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate. Phys. Fluids. 2006. Vol. 18. Issue 1. pp. 012101. http://dx.doi.org/10.106371.2137358
9. Hocking L.M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary. J. Fluid Mech. 1987. Vol. 179. pp. 253-266. DOI: http://dx.doi.org/10.1017/S0022112087001514
10. Noblin X., Buguin A., Brochard-Wyart F. Vibrated sessile drops: transition between pinned and mobile contact line oscillations. Eur. Phys. J. E. 2004. Vol. 14. Issue 4. pp. 395-404. DOI 10.1140/epje/i2004-10021-5
11. Korenchenko A.E., Beskachko V.P. Oscillations of a sessile droplet in open air. Phys. Fluids. 2013. Vol. 25. Issue 11. p. 112106. http://dx.doi.org/10.1063/L4829025
12. Rayleigh, Lord On the capillary phenomenon of jets. Proceedings of the Royal Society of London. 1879. Vol. 29. pp. 71-79.
13. Korenchenko A.E., Ilimbaeva A.G., Beskachko V.P. Chislennoe modelirovanie svobodnykh kolebaniy lezhashchey kapli. (The numerical simulation of sessile drop free oscillations). Bulletin of the South Ural State University. Series of "Mathematics. Mechanics. Physics". 2011. Issue 4. no. 10(227). pp. 72-76. (in Russ.).
Received 30 August 2014
1 Korenchenko Anna Evgenievna is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Optics and Spectroscopy Department, South Ural State University.
E-mail: korenchenko@physics. susu.ac.ru
2 Isakov Denis Sergeevich is Head of the Laboratory of Physics Research, South Ural State University.
