CC BY
34
УДК 519.63:532.5
ИССЛЕДОВАНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ ДОРЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ КАПЛИ НА ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОДЛОЖКЕ
КУЗЬМИН И. М., САРМАКЕЕВА А. С., ЧЕРНОВА А. А.
Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Рассматриваются вопросы математического моделирования методом объема жидкости (Volume of Fluid) колебаний капли жидкости, расположенной на вибрирующей с различными частотами недеформируемой гидрофобной подложке. Исследуются топологические особенности внутренних течений, развивающихся в капле под действием вибраций, и их связь с процессом образования и распространения поверхностных волн. Также изучаются вопросы влияния частоты колебаний подложки на режимы течений и процесс образования и трансформации поверхностных волн. Численные результаты сопоставляются с известными экспериментальными данными.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: капля жидкости, метод объема жидкости, свободная поверхность, поверхностные волны, топология течения.
ВВЕДЕНИЕ
Задача о вынужденных колебаниях капли жидкости, расположенной на вертикально вибрирующей подложке, представляет интерес в виду широкого распространения динамики капель в различных процессах и устройствах. Динамика колеблющейся капли актуальна также в рамках изучения процессов распыления жидкости и механизмов его инициации. При передаче капле энергии от вибрирующей подложки на границе раздела сред индуцируются поверхностные эффекты в виде гравитационных и азимутных волн, а также ряби Фарадея. Причем, интенсивность поверхностных явлений в первую очередь определяется параметрами вибраций подложки. Однако, помимо образования и развития поверхностных волн в колеблющейся капле жидкости формируются сложные пространственные микротечения, взаимосвязь которых с деформацией свободной поверхности капли на данный момент не изучена.
В экспериментальной гидродинамике большинство работ по изучению параметрического резонанса в жидкости объединяет постановка - как правило, рассматривается сосуд, совершающий колебания [1, 2]. Частотный диапазон возбуждения волн на свободной поверхности в капле жидкости экспериментально исследован в работах [3 - 6]. Работа [3] посвящена экспериментальному изучению вертикальных колебаний капли, расположенной на вибрирующей несмачиваемой подложке с малым гистерезисом контактного угла. Экспериментально получены два типа колебаний свободной поверхности капли и выявлен переходный режим, также проанализировано влияние контактного угла и гистерезиса на моду колебания жидкости. В работе [7] рассматривается колебание капли жидкости, объемом 100 10-9 м , лежащей на вибрирующей с ультразвуковыми частотами нежесткой подложке. В качестве подложки используется тонкая металлическая диафрагма, совершающая изгибные колебания. Изучаются процессы атомизации капли и параметры, влияющие на скорость и интенсивность распыления. В работе [8] экспериментально исследуется межфазная динамика капли жидкости (в том числе поверхностные эффекты: осесимметричные стоячие и азимутные волны, образование и трансформация устойчивой узловой решетки волн, образование гребней на свободной поверхности), лежащей на вибрирующей с ультразвуковой частотой нежесткой диафрагме. Выявлены и указаны режимы колебаний, в том числе и амплитудно-частотные характеристики, на которых начинается процесс атомизации. В [9] приводятся результаты экспериментального исследования процесса распыления капли жидкости, свисающей с поверхности твердой
недеформируемой вибрирующей пластины. Там же приводятся выявленные резонансные частоты колебаний пластины и минимальные значения амплитуд, при которых начинается процесс атомизации. В работах [4 - 6] исследуются колебания жидкости сверхмалого объема (5 • 10-9 м3), лежащей на недеформируемой (твердой), вибрирующей с низкими частотами (до 800 Гц) и малыми амплитудами (до 22 10-6 м), подложке. Приводятся данные о колебаниях свободной поверхности капли в зависимости от положения вибрирующей подложки, также рассматриваются полученные методом PIV мгновенные профили капли и внутренние капиллярные течения.
Современные аналитические работы посвящены вопросам определения положения профиля свободной поверхности капли, как покоящейся [10], так и свободно колеблющейся [11, 12]. Результаты исследования динамики капли приводятся в работах [13 - 15]. При этом, в [13] изучаются колебания свободной поверхности капли при вращении подложки, а в [14] - динамика полусферической капли, расположенной на вертикально колеблющейся подложке, в рамках осесимметричного представления. В работе [15] изучаются вопросы получения, в рамках модели Хокинга [16] для трехфазной границы, амплитудно-частотных характеристик колебания свободной поверхности симметричной капли идеальной жидкости, расположенной на вибрирующей подложке и изучается процесс распространения поверхностных волн в рамках осесимметричной постановки.
Численные исследования динамики капли, расположенной на вибрирующий поверхности немногочисленны [2, 17 - 21]. В работе [20] представлено решение методом конечных элементов и генерации адаптивной сетки задачи о динамике капли, свисающей с вибрирующего твердого стержня. В [19] численно изучается процесс колебания и распыления с поверхности твердого стержня одиночной капли жидкости объемом 30 10-9 м . Предложенная в [19] математическая модель предполагает использование таких физических допущений, как применение полусферической капли вместо равновесной и ограничение на движение контактной линии. При этом, синусоидальный закон движения стержня, как и силы поверхностного натяжения, включается в используемую форму уравнения импульса. Отметим, что в [19] приводятся результаты решения только двумерной задачи. Работа [21] посвящена численному исследованию осесимметричных линейных вынужденных колебаний капли вязкой жидкости, в предположении о постоянстве краевого угла и фиксированном положении трехфазной линии, методом конечных разностей с использованием процедуры расщепления и неравномерной сетки. Также, в [21] испарение жидкости с поверхности капли не учитывалось, а жидкость считалась изотермической.
Таким образом, взаимосвязь внутренних микротечений, формирующихся в колеблющейся капле, с поверхностными явлениями остается неизученной, как и, собственно, сами микротечения. Данная работа посвящена описанию внутренних микротечений в капле, лежащей на вибрирующей с низкими, соответствующими 2, 4, 6 и 8 модам собственных колебаний жидкости, частотами жесткой недеформируемой подложке, а также посвящена вопросам взаимосвязи структуры микротечений с процессами индуцирования и распространения поверхностных волн.
В первом параграфе приводится формулировка задачи и основные допущения. Во втором параграфе рассматриваются особенности вычисления свободной границы при использовании метода конечных объемов и VOF. В третьем приводятся как результаты тестирования выбранных схем и алгоритмов на примере имеющий экспериментальное описание задачи [5], так и обсуждается анализ полученных мгновенных картин капиллярных течений в колеблющейся капле. Рассматриваются характерные особенности формирующихся микротечений для каждой моды колебаний в отдельности. Приводится анализ топологических особенностей микротечений и их связи с процессом индуцирования и распространения поверхностных волн.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим задачу о динамике капли вязкой жидкости малого объема V = 5 -10-9м3, свободно лежащей в поле силы тяжести в воздушной среде на горизонтальной гидрофобной недеформируемой поверхности (рис. 1).
Рис. 1. Расчетная область
Подложка совершает вертикальные колебания по гармоническому закону
г1 = Азт (2ж/г), (1)
где амплитуда А и частота / колебаний подложки определены, в зависимости от рассматриваемой моды, согласно таблице.
Таблица
Параметры колебаний подложки
Мода 2 Мода 4 Мода 6 Мода 8
А, м 22 -10-6 46 -10-6 13 10-6 3,5 10-6
I, Гц 85 225 495 655
Обозначим Ц область занятую жидкостью, - воздухом, 00 - колеблющуюся поверхность (подложку), Г0 - поверхность раздела фаз, Г1 - атмосферную границу расчетной области.
Поскольку амплитуда скорости течений, вызванных колебаниями подложки, соизмерима со скоростью ее движения и, согласно (1) не превышает 0,013 м/с, то эффектами сжимаемости можно пренебречь [22].
Рассматриваемая в данной работе система является двухфазной. Будем обозначать нижним индексом ¡ = 1 жидкую фазу, а нижним индексом ¡ = 2 - воздушную. Движение 1-й фазы описывается уравнениями Навье-Стокса
V- и. = 0, (2)
^ + иг • Vp1u1 = -Vр + V - тг+ р^ (3)
где р - плотность 1-й фазы, иг. - поле скорости 1-й фазы, р - поле давления 1-й фазы, тг = ^иг. + Vuf) - тензорное поле вязких напряжений 1-й фазы, - динамическая вязкость 1-й фазы, g - вектор ускорения свободного падения.
На границе раздела сред Г0 выполняются условия динамического равновесия
(Т1 - Т2 ) e = (Pi - Р2 + oK I1 - COS0 )) e> (4)
Ui U2 .
где e - единичный вектор нормали к поверхности Г0 , K - кривизна поверхности Г0 , о - коэффициент поверхностного натяжения (для системы вода-воздух о = 0,7288 Н / м), в - угол смачивания в тройной точке контакта.
Описание движения рассматриваемой системы на основе уравнений (2) с условиями динамического равновесия (3) влечет дополнительные алгоритмические трудности, связанные с необходимостью явного определения формы поверхности Г0 и перестроением расчетной сетки на каждом шаге интегрирования по времени. Существенные упрощения в вычислительной процедуре позволяет применять подход, основанный на методе объема жидкости - Volume of Fluid (VOF), впервые описанном в работе [23].
Согласно методу VOF для моделирования движения двух несмешивающихся вязких сред вводится скалярная функция
Г 1 х е Ц а (t,x) = < ,
v ' |0, хе Q2 иГ0
имеющая смысл объемной концентрации жидкости. Внешняя нормаль и кривизна поверхности раздела фаз Г0 однозначно определяются, как
va
e , K = V-е, (4)
Va
а плотность и вязкость определяются, соответственно, как
Р = Р2+ (Pi - р2 ) а И = И2+ (Hi - И2 ) а . (5) С учетом (3)-(5) система уравнений (2) может быть записана в следующей форме
V-u = 0,
^ + u -V( pu) = -Vp + V-т - oK (1 - cos&) + pg, (6)
где u - поле скорости, p - поле давления, плотность p и вязкость и определяются выражениями (5).
Согласно методу VOF для замыкания системы (6) используют уравнение вида
da w
— + u-Va = 0, (7)
dt
описывающее нестационарный перенос свойства а полем скорости u. Необходимо отметить, что уравнение (7) содержит только конвективные члены и описывает эволюцию разрывного скалярного поля а. При численном решении этот разрыв будет сглаживаться вследствие численной диссипации.
Второе уравнение системы (6) зависит от контактного угла &. В работе [24] было показано, что для корректного численного моделирования течений в капли жидкости малого объема необходимо учитывать динамическое изменение контактного угла. В рамках вышеописанной математической модели используется модель гистерезиса контактного угла
(и }
в = в0 + (&А - &R) th , (8)
I и& J
где в0 - статический контактный угол, вА - максимально допустимое значение контактного угла, &R - минимальное значение контактного угла, uW - скорость движения твердой границы, и& - масштаб скорости изменения контактного угла.
- на открытой атмосферной границе Г1 : — = 0, р = р0, где п - внешняя нормаль;
- на границе жидкость/подложка а1 П а0 : — = 0, их=и2 = 0, иу = иа
Граничные условия для записанных выше уравнений определим следующим образом:
Эи Эп
Эр
ЭП - ^ -"о
Таким образом, при заданных параметрах pi, а, &0, &А, &R система
уравнений (6), (7) с соотношениями (1), (5) и (8) полностью описывает движение рассматриваемой системы. Согласно экспериментальной работе [5] статический угол смачивания (в случае неподвижной подложки) составляет &0 = (115 ± 1)° для капли с высотой
h = 1,52 • 10-3 м и диаметром контакта D = 2,02 • 10-3 м . ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ И АЛГОРИТМЫ
Решение системы уравнений (6), (7) осуществлялось с помощью модуля interDyMFoam, входящего в состав Open Source пакета OpenFOAM на динамических сетках. Расчетная сетка для конечно-объемной дискретизации, включающая 364140 шестигранников, построена с помощью утилиты blockMesh пакета OpenFOAM и имеет осевое и радиальное сгущения. Движение узлов сетки, совпадающих с подложкой, определялось согласно (1). Для связывания уравнения неразрывности и уравнений количества движения в данной программе используется метод PISO [25].
Численное решение полученной системы уравнений (6) строится с применением методов контрольного объема для дискретизации исходных уравнений по пространству и Эйлера - по времени. Запишем аппроксимацию уравнений (6)
n+1 n
X Sf < = 0; pMVM+ X FfU^ - X HMSf • (Vun+1) = -(Vp^ (9)
где uM - скорость в центре ячейки c номером M на n-м временном шаге; pM - плотность в ячейке с номером M; ¡j.m - вязкость в ячейке с номером M; VM - объем ячейки; Ff - конвективный поток через грань с номером f, NM - множество номеров соседних ячеек; S f - вектор внешней нормали к грани с номером f, по модулю равный площади этой грани.
Процедуру продвижения на один шаг интегрирования по времени можно записать в следующем виде:
1. По известному полю и находим а с помощью решения сеточных уравнений
г/П+1 _ nn |eu S
+ X Ff (<) + X (1 - а )MF (aM) = 0, где F« (а) = са • maxQ ^ e.
т f^NM f*NM lSl
Скалярный коэффициент ca служит для управления искусственным сжатием решения в области разрыва для компенсации эффекта численной диффузии.
2. Определение полей скорости и давления с помощью процедуры PISO, подробно применение процедуры PISO приведено в работах [24, 26, 27].
3. Если сходимость не достигнута, то повторить шаги 1 и 2.
Дискретизация конвективных слагаемых по пространству производится схемой Ван-Лира второго порядка точности. Реконструкция потоков на гранях ячеек производится с использованием TVD схемы с ограничением градиентов [27], в которой аппроксимация строится на основе центральных разностей, а в качестве ограничителя используется функция Ван-Лира minmod [28]. Полученная система алгебраических уравнений решается методом сопряженных градиентов с неполным диагональным предобусловливателем Холецкого.
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
2-я мода колебаний
Верификация предложенной математической модели проводилась на основе моделирования колебания капли воды, расположенной на вибрирующей недеформируемой подложке (рис. 1), частота и амплитуда колебаний которой соответствовали второй моде (таблица). Отметим, что изучение динамики жидкости требует знания формы и параметров капли, находящейся в положении равновесия, а также учета динамического изменения угла смачивания. Вопросы получения равновесной конфигурации капли и выбора ограничения диапазона изменения контактного угла рассмотрены в работе [26]. В результате моделирования получены формы вынужденных колебаний свободной поверхности капли (рис. 2).
Рис. 2. Формы капли для второй моды: а) экспериментальная [5]; б) численная
Из рис. 2 видно, что расчетные формы колебаний свободной поверхности соответствуют экспериментальным: зафиксирована одна кольцевая линия узлов перегиба на свободной поверхности, что свидетельствует о корректности математической модели и вычислительной процедуры. Кроме того, полученные колебания свободной поверхности соответствуют второй моде вынужденных колебаний капли жидкости [5, 6, 17].
Для изучения структуры внутренних течений, топологических особенностей потока и их связи с поверхностными явлениями были получены мгновенные распределения векторов скорости в капле для различных моментов времени. Векторные картины течений в поперечном сечении капли для первого и второго периода осцилляций подложки приведены на рис. 3.
Выявлено, что взаимодействие разнонаправленных капиллярных течений, как сформированных под действием массовых и поверхностных сил, так и обусловленных движением подложки, приводит к образованию в капле парных симметричных вихревых структур, локализованных вдоль оси симметрии капли. При этом, топологические особенности течения в капле значительным образом определяются направлением движения подложки (рис. 3).
В начальные моменты подъема четко визуализируются парные вихри, при этом, подъем подложки сопровождается слиянием центральных вихревых структур. Если в момент времени / = 0,75/ (минимальное положение подложки) фиксируется 5 парных симметричных вихревых структур, то в момент времени / = 0,775/ выявлено уже только два укрупненных симметричных парных вихря. Также в момент времени / = 0,775/ фиксируется две четко выраженные линии стекания, четыре сепаратрисы и одна особая точка типа седло, локализованная на оси симметрии. Наблюдаемое укрупнение вихрей связано с объединением нижних вихрей и, в силу обусловленной перемещением подложки перестройки течения, демонстрирует некоторую инертность жидкости: внутренние течения жидкости с опозданием реагируют на изменение направления движения подложки и начинают изменение направления движения с нижних слоев жидкости.
г = 1: г = 1,25?
Рис. 3. Внутренние течения в капле, 1=1 / Т
В начале нового периода колебаний подложки, вдоль оси симметрии, в виду минимального влияния поверхностных сил, формируется течение, ориентированное направлением движения подложки, которое транспортирует укрупненные парные вихри в верхнюю часть капли. Такая трансформация вихревых структур приводит к существенному вытягиванию профиля капли в осевом направлении. Взаимодействие разнонаправленных внутренних течений приводит к образованию циркуляционных зон, а взаимодействие разворачивающихся течений - к образованию линий стекания и седловой точки. Вследствие их взаимодействия, часть течений перестраивается в направлении действия распирающего давления и начинает движение к границе раздела фаз, параллельно подложке. Что, в свою очередь, приводит к увеличению диаметра контакта и, как следствие, уменьшению высоты капли.
Таким образом, в момент времени, соответствующий подъему подложки на максимальную высоту (/ = 1,25 ?, рис. 3), наблюдается вытягивание формы свободной поверхности капли одновременно по осевому и радиальному направлениям, при этом, как и в момент времени, соответствующий началу следующего периода, в капле устанавливается течение без топологических особенностей.
Со стороны свободной поверхности описываемый процесс сопровождается зарождением и развитием (продвижением) поверхностной волны, местоположение которой определяется взаимодействием парного вихря с осевым течением и последующим разворотом части внутренних течений.
Аналогично вышеописанному протекают процессы трансформации внутренних течений в капле при движении подложки вниз. При этом наблюдается вырождение вихревых структур, сопровождаемое их смещением на периферийную область капли с дальнейшим расширением в радиальном направлении. А переориентация, в соответствии с движением подложки, осевого течения приводит к сплющиванию капли в осевом направлении.
Выявлено наличие переходного участка, соответствующего моменту времени, когда подложка начала движение вниз, после достижения максимальной высоты до прохождения нулевого (начального) положения. В силу инерции, внутреннее осевое течения еще не перестроились, а течение в нижних слоях уже переориентировалось, и наблюдается образование нескольких (от 4-х до 8-ми) симметрично расположенных зон взаимодействия разнонаправленных течений, существенно вытягивающих каплю в осевом направлении. Рассмотрим подробно процесс образования и продвижения поверхностной волны (рис. 4).
Из рис. 4 видно, что положение поверхности смешения, как и высота действия распирающего давления, совпадают с верхней границей поверхностной волны в моменты времени 1 = 3,08 ^3,11 1 . Далее инициируется процесс образования второй поверхностной волны. В момент времени 3,154 1 фиксируются две бегущие друг за другом поверхностные волны, при этом, поверхность смешения совпадает с мгновенным местоположением вновь образованной поверхностной волны, а увеличение высоты действия распирающего давления (горизонтально направленные внутренние потоки) с продвижением первой
1 = 3,08 ? 1 = 3,11 ? 1 = 3,154 ? 1 = 3,19 ?
Рис. 4. Образование и продвижение поверхностной волны
1 = 3,23 И
Таким образом, можно заключить, что возникновение и развитие поверхностных волн обусловлено как действием распирающего давления, так и локальными топологическими особенностями внутренних течений, их трансформацией и взаимодействием между собой.
Для сопоставления численных результатов с экспериментальными рассмотрим векторные картины скоростей. Из рис. 5 видно, что распределения векторов скоростей в плоскости симметрии схожи: и на экспериментальной (рис. 5, а) и на расчетной (рис. 5, б) векторных картинах можно выделить боковые симметричные циркуляционные зоны, две линии стекания в верхней части капли, седловую точку между ними и две симметричные малые разворотные зоны в верхней части капли. Однако экспериментальная картина распределения векторов скорости по плоскости симметрии содержит зону перестройки потока по направлению движения подложки, отделенную от основного течения двумя линиями стекания и центральной нижней особой точкой типа седло, также отсутствующей на экспериментальной (рис. 5, б) картине. Однако, в целом, расчетная векторная картина внутренних течений в капле соответствует экспериментально зафиксированной.
Рис. 5. Векторные картины скоростей: а) численная; б) экспериментальная [5]
4-я мода колебаний
В результате моделирования получены формы вынужденных колебаний свободной поверхности капли (рис. 6), расположенной на вибрирующей недеформируемой подложке (рис. 1), соответствующие четвертой моде (таблица).
а) б)
Рис. 6. Формы капли для четвертой моды: а) экспериментальная [5]; б) численная
Из рис. 6 видно, что расчетные формы колебаний свободной поверхности соответствуют экспериментальным: зафиксирована две кольцевые линии узлов перегиба на свободной поверхности, соответствующие четвертой моде колебаний [5, 6, 17], что свидетельствует о корректности математической модели и вычислительной процедуры.
Векторные картины течений в поперечном сечении капли для первого и второго периода осцилляций подложки приведены на рис. 7.
г = 1,51 г = 1,75 ?
Рис. 7. Внутренние течения в капле
Из рис. 3, 7 видно, что повышение частоты колебаний подложки приводит к существенному усложнению структуры внутренних течений в капле. Так в момент времени, соответствующий началу второго периода колебаний (/ = 2 / ) на векторной картине скоростей (рис. 7) можно четко выделить три основных зоны внутренних течений, отделенных друг от друга поверхностью стекания. Первая зона расположена в нижней (придонной) части капли, а ее наличие является следствием действия распирающего давления. Второй зоной является центральное осевое вертикальное течение, ориентированное движением подложки. На периферии верхней части капли можно выделить еще одну локальную кольцевую зону течения, характеризующуюся как существенным искривлением изотах, наличием внутренней поверхности растекания, так и направлением течения - к центру капли.
Подъем подложки до максимального положения (/ = 2,25 /) сопровождается перестроением кольцевой периферийной зоны в верхней части капли. Конусовидная поверхность стекания разделяет течение в верхней части капли, ориентированное силой тяжести, с внутренними течениями, ориентированными движением подложки в донной области. Перестройка потоков в капле, вызванная сменой направления движения подложки (рис. 7, / = 2,25 ^ 2,5/) приводит к усложнению течения. Движение подложки вниз способствует формированию центрального, близкого про форме к цилиндру, потока, характеризующегося минимальными (близкими к нулю) значениями завихренности течения. Взаимодействие разворачивающихся потоков приводит к формированию двух локальных, расположенных в верхней части капли кольцевых циркуляционных зон, отделенных друг от друга конусообразной поверхностью стекания. Верхняя циркуляционная зона отделена от центрального столба криволинейной поверхностью растекания. Аналогично происходит разделение нижней циркуляционной зоны с течением в донной части капли, ориентированным движением подложки. Между поверхностями стекания и растекания, симметрично относительно оси капли, наблюдается образование седловых точек.
Дальнейшее движение подложки вниз приводит к объединению периферийной нижней циркуляционной зоны с донным течением (рис. 7, / = 1,75 /). Поверхность стекания стягивается в цилиндр, стремящийся к прямой, а разделяющая разнонаправленные потоки поверхность растекания приобретает форму конуса, в вершине которого находится особая точка типа "седло". Течения в донной части капли под действием массовых сил и распирающего давления меняют направление движения, а их взаимодействие с верхними течениями приводит к закрутка потока вблизи поверхности растекания. При этом, местоположение локальных закрученных течений совпадает с кольцевой линией перегиба свободной поверхности капли, а их локальная высота соответствует высоте части границы раздела сред, радиально расширяющейся при последующем подъеме подложки.
Рассмотрим процесс образования и продвижения поверхностной волны (рис. 8).
Ш Ьл
/ = 5,46 ?
/ = 5,5 ?
/ = 5,55 ?
/ = 5,591 ?
/ = 5,635 ?
Рис. 8. Продвижение (распространение) поверхностной волны
Процесс распространения поверхностной волны вверх по капле продемонстрирован на рис. 8. На векторных картинах можно видеть, что, как и при образовании и распространении волн на поверхности капли для 2 моды, местоположение волн совпадает с расположением локальных особенностей микротечений, а именно - возвратной (нижней) и разворотной (локализованной вверху капли) зон закруток потока. Кроме того, угол раствора конусообразной поверхности стекания определяет направление дальнейшей деформации границы раздела сред. Необходимо отметить, что изменение положения размеров локальных особенностей микротечений (например, возвратных разворотных зон) определяет деформацию свободной поверхности капли, что может свидетельствовать не только о взаимосвязи внутренних течений и поверхностных явлений, но и об индуцировании поверхностных волн за счет перестройки (разворота) сформированных микротечений в капле. Для сопоставления численных результатов с экспериментальными рассмотрим векторные картин скоростей (рис. 9).
а) б)
Рис. 9. Векторные картины скоростей: а) численная; б) экспериментальная [5]
Из рис. 9 видно, что распределения векторов скоростей в плоскости симметрии схожи, однако экспериментальная картина распределения векторов скорости по плоскости симметрии (рис. 9, б) характеризуется наличием широкого центрального "столба" - течения, ориентированного движением подложки, а аналогичный "столб" на расчетной структуре не только имеет меньшие поперечные размеры, но и содержит разнонаправленные и отклоненные от осевого направления вектора скорости. При этом положение поверхности стекания, в верхней части капли, определенное экспериментально и полученное в ходе расчета совпадает, как и наличие кольцевой разворотной зоны. Поэтому, в целом, расчетная векторная картина внутренних течений в капле соответствует экспериментально зафиксированной.
6-я мода колебаний
В результате моделирования получены формы вынужденных колебаний свободной поверхности капли (рис. 10).
а) б)
Рис. 10. Формы капли для шестой моды: а) экспериментальная [5]; б) численная
Из рис. 10 видно, что расчетные формы колебаний свободной поверхности соответствуют экспериментальным: зафиксировано три кольцевых линии узлов перегиба на свободной поверхности, соответствующие шестой моде колебаний капли жидкости [5, 6, 17].
Мгновенные распределения векторов скорости в капле для второго периода осцилляций подложки приведены на рис. 11.
Как и в случае колебаний жидкости с частотой, соответствующей 2 моде, в начале нового периода (г = 1:, рис. 3, рис. 11) формируется течение, ориентированное движением подложки, характеризующиеся минимальным числом топологических особенностей. Однако, сопоставление мгновенных векторных картин микротечений, соответствующих началу нового периода колебаний, позволяют сделать вывод об усилении влияния поверхностных сил с увеличением частоты колебаний подложки: локальная кольцевая зона течения, формирующаяся при колебаниях с частотой 221 Гц (4 мода) в моменты времени, соответствующие перестройке микротечений, образование которой обусловлено действием поверхностных сил, при вибрации подложки с частотой 469 ГЦ (6 мода) уже является постоянной характерной особенностью течений в капле.
г = 1,5 г г = 1,75 г
Рис. 11. Внутренние течения в капле, г = г / Т
Другой, общей для всех рассмотренных частот колебаний капли, характерной особенностью внутренних микротечений является формирование центрального, близкого к прямолинейному и ориентированного направлением движения подложки, течения - так называемого центрального "столба" (рис. 3, 7, 11). При этом увеличение частоты вибраций подложки приводит к увеличению диаметра этого столба.
Из рис. 11, видно, что вибрационное движение подложки сопровождается только изменением размеров кольцевой зоны микротечений, обусловленных влиянием поверхностных сил. Так, в момент времени г = 1,25 г взаимодействие периферийного направленного к центру течения с центральным "столбом" и с локализованным вблизи подложки разворотным течением приводит к формированию пространственной кольцевой возвратной зоны. Аналогично, взаимодействие центрального, ориентированного движением подложки течения ("столба") с обусловленным действием силы тяжести верхним микротечением приводит к формированию малого, смещенного к вершине капли, возвратного течения. При этом, поверхности стекания, имеющие форму параболоида (в верхней части капли) и гиперболоида вращения (на периферии), взаимодействуя с конусообразными и цилиндрическими поверхности растекания, образуют систему особых
седловых точек. Всего в момент времени г = ! фиксируется 3 точки типа "седло", что полностью удовлетворяет топологическому закону Дейви-Лайтхилла. Необходимо отметить, что деформация свободной поверхности капли наблюдается по радиусу взаимодействия границы раздела с внутренними поверхностями стекания.
Движение подложки вниз (рис. 11, г = 1,5г ) и вызванная изменением направления движения перестройка микротечений приводит к увеличению верхней полусферической возвратной зоны с одной стороны и вытягиванию верхней части капли, с другой. При этом, действие сил инерции приводит к развороту нижних микротечений и уменьшению диаметра нижней части капли (уменьшению диаметра контакта). Отметим, что в минимальном положении подложки (г = 1,75 г ) начинается перестройка нижних, взаимодействующих с подложкой, микротечений, что может быть следствием уменьшения влияния сил инерции. Также наблюдается разворот микротечений в верхней части капли, вследствие чего седловая точка, локализованная на оси симметрии капли, перемещается вниз в центральную часть капли. Со стороны свободной поверхности описываемый процесс сопровождается зарождением и развитием (продвижением) поверхностной гравитационной волны (рис. 12).
г = 2,62 г г = 2,77 г г = 2,91 г г = 3,05 г г = 3,189 г
Рис. 12. Продвижение (распространение) поверхностной волны
Процесс индуцирования и распространения поверхностной волны показан на рис. 12. Отметим, что механизм зарождения волны аналогичен вышеописанному для 2 и 4 мод. Однако, к существенным деформациям границы раздела сред приводит не перемещение и взаимодействие внутренних циркуляционных и вихревых структур, а изменение размеров микротечений, обусловленных действием поверхностных сил и, как следствие, изменение формы и местоположения поверхностей стекания.
Для сопоставления численных результатов с экспериментальными рассмотрим векторные картины скоростей (рис. 13).
ШШ!;
.-». и
а)
б)
Рис. 13. Векторные картины скоростей: а) численная; б) экспериментальная [5]
Из рис. 13 видно, что экспериментальная и расчетная векторные картины близки друг к другу, в частности на векторных картинах фиксируется наличие цилиндрического осевого течения - " столба" (диаметры цилиндрических течений совпадают) и периферийных кольцеобразных возвратных зон. Некоторые отличия в структуре течения можно выявить в верхней части капли, однако они, в первую очередь, связаны с экспериментальными возможностями разрешения течений.
8-я мода колебаний
Получены формы вынужденных колебаний свободной поверхности капли, при вибрации с частотой f = 665 Гц, характерной для 8 моды колебаний капли жидкости (рис. 14).
Рис. 14. Формы капли для восьмой моды: а) экспериментальная [5]; б) численная
Из рис. 14 видно, что расчетные формы колебаний свободной поверхности соответствуют экспериментальным: зафиксировано четыре кольцевых линий узлов перегиба на свободной поверхности, соответствующие восьмой моде колебаний капли жидкости [5, 6, 17]. Для изучения структуры внутренних течений, топологических особенностей потока и их связи с поверхностными явлениями были получены мгновенные распределения векторов скорости в капле для различных моментов времени (рис. 15).
4 1"«» 1 п ; и пт м гг ^
Рис. 15. Внутренние течения в капле, 1=1 / Т
Как и при колебаниях капли жидкости с частотой / = 469 Гц (6 мода), в момент
времени, соответствующий началу второго периода (г = г ) наблюдается течение, близкое к безвихревому. При этом тенденция увеличения диаметра цилиндрического центрального "столба" сохраняется. Также, аналогично 6 моде, визуализируется периферийная, обусловленная действием поверхностных сил, возвратная зона и. как следствие, кольцевая поверхность стекания (рис. 15, г = г). Подъем подложки до максимальной высоты сопровождается увеличением зоны микротечения, обусловленного действием поверхностных сил (рис. 15, г = 1,25 г).
Изменения направления движения подложки и сопутствующее ему перестройка микротечений приводят к усложнению структуры течения (рис. 15, г = 1,5 г). Так, в верхней части капли формируется область разворота потока, при этом центральный "столб" начинает стягиваться в линию, а периферийное кольцевое возвратное течение смещается в верхнюю часть капли, существенно расширяясь по направлению к оси симметрии. В нижней части капли, под действием поверхностных сил, также формируются зоны возвратного течения. Такое взаимодействие микротечений приводит и к формированию новых поверхностей раздела потоков и, как следствие, к увеличению числа седловых точек.
Дальнейшее движение подложки вниз приводит к формированию стремящихся к линиям центральных поверхностей: горизонтальных - растекания и вертикальных - стекания и, как следствие их взаимодействия, - к образованию центральной особой точки типа "седло" (рис. 15, г = 1,75 г). Выше описанное кольцевое возвратное микротечение, обусловленное действием поверхностных сил, удлиняется по направлению к подложке, а отделяющая данное течение от центрального "столба" поверхность стекания приобретает форму гиперболоида вращения. Отметим, что в минимальном положении подложки начинается перестройка нижних, взаимодействующих с подложкой микротечений, что может быть следствием уменьшения влияния сил инерции. Также необходимо отметить образование новых конусообразных возвратных зон, отделенных от вышеописанной дискообразными поверхностями стекания. Необходимо отметить, что деформация свободной поверхности капли наблюдается строго вблизи локализации взаимодействия поверхностей разделения потока с границей раздела сред. Процесс зарождения и развития поверхностных волн рассмотрен на рис. 16.
г = 2,395 г г = 2,66 г г = 2,92 г г = 3,192 г г = 3,325 г
Рис. 16. Продвижение (распространение) поверхностной волны
Из рис. 16 видно, что, как и в случае колебания жидкости на 6 моде, положение поверхностной волны совпадает с областью взаимодействия поверхностей стекания с границей раздела сред. Кроме того, вытягиванию, как и последующему оседанию, свободной поверхности в верхней части капли предшествует перестройка (разворот) возвратных,
обусловленных действием поверхностных сил, течений, локализованных в верхней части капли. Таким образом, можно заключить, что возникновение и развитие поверхностных волн обусловлено локальными топологическими особенностями внутренних течений, их трансформацией и взаимодействием между собой.
Анализ топологии структуры формирующихся в капле микротечений выявил ряд общих, характерных топологических особенностей. Так, для всех рассмотренных частот колебаний подложки (для всех рассматриваемых мод) отмечено образование нижней зоны действия распирающего давления, связанного с уменьшением влияния массовых сил и действием сил инертности, при прохождении подложкой минимального положения. Другой общей особенностью микротечений в капле является образование центрального цилиндрического "столба" - течения, ориентированное направлением движения подложки. Кроме того, выявлено образование периферийных кольцевых течений, обусловленных действием поверхностных сил. Таким образом, общая для всех рассматриваемых частот вибрации подложки, соответствующих 2, 4, 6 и 8 модам колебаний капли жидкости, топологическая схема показана на рис. 17.
Необходимо отметить, что размеры и положение возвратных зон, как и размеры зоны действия распирающего давления, зависят от направления движения и положения подложки.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведенное исследование показало, что топологические особенности течения значительным образом определяются направлением движения подложки. Показано, что в силу инертности течения изменение направления движения капиллярных течений начинается с нижних слоев и происходит с запаздыванием относительно изменения направления движения подложки.
Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что возникновение и развитие поверхностных волн обусловлено локальными топологическими особенностями внутренних течений, их трансформацией и взаимодействием между собой. При этом, формирование периферических локальных топологических особенностей течений в капле обусловлено влиянием поверхностных сил, а присущий всем модам разворот нижних микротечений связан с действием сил инерции.
Выявлены и описаны общие для всех рассматриваемых частот вибраций подложки характерные топологические особенности микротечений в капле жидкости, построена общая топологическая схема течений.
Выполненное сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными позволяет заключить что используемые численные методы и алгоритмы адекватно описывают процессы передачи энергии от подложки к капле.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты 16-38-00127 мола и 16-37-00060 мол а).
Рис. 17. Общая топологическая схема микротечений в капле
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kalinichenko V. A., Nesterov S. V., So A. N. Faraday waves in a rectangular reservoir with local bottom irregularities // Fluid Dynamics,. 2015, vol. 50, is. 4, pp. 535-542.
2. Ehrhorn J., Semke W. Numerical Modeling of Vibration Induced Atomization of Liquids // Topics in Model Validation and Uncertainty Quantification.Part of the series Conference Proceedings of the Society for Experimental Mechanics Series, 2013, vol. 5, pp. 243-253.
3. Noblin X., Buguin A., Brochard-Wyart F. Vibrated sessile drops: Transition between pinned and mobile contact line oscillations // European Journal of Physics Е, 2004, vol. 14, is. 004, pp. 395-404.
4. Shin Y. S., Lim H. Ch. Shape oscillation and detachment conditions for a droplet on a vibrating flat surface // European Journal of Physics Е, 2014, vol. 37, is. 74, pp. 1-10.
5. Kim H., Lim H. Ch. Mode Pattern of Internal Flow in a Water Droplet on a Vibrating Hydrophobic Surface // Journal Physical Chemistry B, 2015, vol. 119, pp. 6740-6746.
6. Park Ch. S., Kim H., Lim H. Ch. Study of internal flow and evaporation characteristics inside a water droplet on a vertically vibrating hydrophobic surface // Experimental Thermal and Fluid Science, 2016, vol. 78, pp. 112-123.
7. James A. J., Vukasinovic B., Smith M. K., Glezer A. Vibration-induced drop atomization and bursting // Journal of Fluid Mechanics, 2003, vol. 476, is. 2, pp. 1-28.
8. Vukasinovic B., Smith M. K., Glezer A. Dynamics of a sessile drop in forced vibration // Journal of Fluid Mechanics, 2007, vol. 587, pp. 395-423.
9. Kim H. Y. Drop fall-off from the vibrating ceiling // Physics of Fluids, 2004, vol. 16, no. 2, pp. 474-477.
10. Канчукаев В. З. Определение профиля жидкой капли на твердой поверхности // Письма в Журнал технической физики. 2004. Т. 30, В. 2. С. 12-16.
11. Заславский Ю. М. О частоте собственных неосесимметричных колебаний капли жидкости на подложке // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2014. № 4(1). С. 62-65.
12. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. Non-Axisymmetric Oscillations of a Hemispherical Drop // Fluid Dynamics, 2004, vol. 39, no. 6, pp. 851-862. (Translated from Izvestiya Rossiiskoi Academii Nauk, Mekhanika Zhidkosti i Gaza, 2004, № 6, pp. 8-20).
13. Лебедев-Степанов П. В., Карабут Т. А., Чернышев Н. А., Рыбак С. А. Исследование формы и устойчивости капли жидкости на вращающейся подложке // Акустический журнал. 2011. Т. 57б, № 3. С. 323-328.
14. Иванцов А. О. Акустические колебания полусферической капли // Вестник Пермского университета. Физика. 2012. В. 3. С. 16-23.
15. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate // Physics of fluids, 2006, vol. 18, is. 012101, pp. 1-11.
16. Hocking L. M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary // Journal Fluid Mechanic, 1987, vol. 179, pp. 253-266.
17. Li Y., Umemura A. Two-dimensional numerical investigation on the dynamics of ligament formation by Faraday instability // International Journal of Multiphase Flow, 2014, vol. 60, pp. 64-75.
18. Foote G. B. A numerical method for studying liquid drop behavior: simple ascillation // Journal of Computational Physics, 1973, vol. 11, pp. 507-530.
19. James A. J., Smith M., Glezer A. Vibration-induced drop atomization and the numerical simulation of low-frequency single-droplet ejection // Journal Fluid Mechanic, 2003, vol. 476, pp. 29-62.
20. Wilkes E. D., Basaran O. A. Drop Ejection from an Oscillating Rod // Journal of Colloid and Interface Science, 2001, vol. 242, pp. 180-201.
21. Коренченко А. Е., Илимбаева А. Ж., Бескачко В. П. Численное исследование свободный колебаний лежащей капли // Вестник Южно-Уральского университета. Серия Математика. Механика. Физика. 2011, В. 4, № 10(227). С. 72-76.
22. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.
23. Hirt C. W., Nichols B. D. Volume of Fluid (VOF) Method for the Dynamics of Free Boundaries // Journal of computational physics, 1981, vol. 39, pp. 201-225.
24. Chernova A. A., Kopysov S. P. Tonkov L. E. Simulation of a liquid drop on a vibrating hydrophobic surface // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2016, vol. 158, no. 1, pp. 12026: 1-7.
25. Issa R. I. Solution of implicitly discretised fluid flow equations by operator-splitting // Journal of Computational Physics, 1986, vol. 62, pp. 40-65.
26. Кузьмин И. М., Сармакеева А. С., Чернова А. А. Моделирование колебаний капли жидкости, лежащей на вибрирующем недеформируемом основании // Химическая физика и мезоскопия. 2016, Т. 18, № 4. С. 515-523.
27. Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction. Third Edition. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009. 721 p.
28. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme III. Upstream-centered finite-difference schemes for ideal compressible flow // Journal of Computational Physics, 1977, vol. 23, no. 3. pp. 263-275.
RESEARCH OF TOPOLOGICAL FEATURES UP TO RESONANT OSCILLATIONS OF THE DROP ON THE VIBRATING SUBSTRATE
Kuzmin I. M., Sarmakeeva A. S., Chernova A. A.
Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The problem of forced oscillations of a drop of liquid which is located on vertical vibrating base. It is interesting because of wide spreading of drops dynamics in different processes and techniques. The dynamic of the oscillating drop is also relevance within the context of studying the processes of liquid dispersion and the mechanisms of its initiation. When a drop of energy is transmitted from the vibrating base, surface effects in the form of gravitational and azimuth waves, as well as Faraday ripples, are induced at the media interface. Moreover, in the first instance, the intensity of surface phenomena is determined by the parameters of the base vibrations. However, surface waves formation and development in an oscillating drop of liquid, complex spatial microflows are formed, the relationship of which with the deformation of the free surface of the drop has not been studied at the moment. Let us consider the low-frequency mode of oscillations of a droplet with small amplitudes for capillary-gravitational exiting waves on a free surface. The behavior of a drop of viscous Newtonian fluid, which lies on a solid un-deformable rigid base, produces vertical vibration of low frequency 85 Hz (mode 2), 225 Hz (mode 4). 495 Hz (mode 6) and 655 (mode 8) is considered. Numerical simulation of dynamics of a vibrating fluid by Volume of Fluid method (VOF) is produced. Furthermore, how to obtain the equilibrium configuration of the drop was discussed. It is found that for stationary droplet form, close to the experimental use of a cylindrical column to describe the initial situation of liquid is appropriate. Effect of accounting model was investigated of the contact angle at the triple point of the base liquid gas. The necessity to address the dynamic changes in the contact angle is shown. Waveforms Profile drop isotachs in the plane of symmetry and changes depending on the time of drop height for the second mode of forced oscillations of a drop corresponding to the base of the vibration with a frequency of 85 Hz are also obtained. One ring line of nodes on free surface corresponding to the second oscillation mode is fixed. Dependence on the topology of internal flows in a drop from the base movement direction identified and described in the example isotachs. The dependence of the change of height drops resulting from modeling the known experimental data corresponds to. Comparison of numerical results with experimental data are made and allows us to conclude that the method used adequately describes the processes of energy transfer from the base to drop.
KEYWORDS: liquid droplet, Volume of Fluid method - VOF, free surface, gravity waves, flow topology. REFERENCES
1. Kalinichenko V. A., Nesterov S. V., So A. N. Faraday waves in a rectangular reservoir with local bottom irregularities. Fluid Dynamics, 2015, vol. 50, is. 4, pp. 535-542. doi: 10.1134/S0015462815040080
2. Ehrhorn J., Semke W. Numerical Modeling of Vibration Induced Atomization of Liquids. Topics in Model Validation and Uncertainty Quantification. Part of the series Conference Proceedings of the Society for Experimental Mechanics Series, 2013, vol. 5, pp. 243-253. doi: 10.1007/978-1-4614-6564-5_23
3. Noblin X., Buguin A., Brochard-Wyart F. Vibrated sessile drops: Transition between pinned and mobile contact line oscillations. The European Physical Journal E, 2004, vol. 14, is. 004, pp. 395-404. doi: 10.1140/epje/i2004-10021-5
4. Shin Y. S., Lim H. Ch. Shape oscillation and detachment conditions for a droplet on a vibrating flat surface. European Physical Journal E, 2014, vol. 37, is. 74, pp. 1-10. doi: 0.1140/epje/i2014-14074-5
5. Kim H., Lim H. Ch. Mode Pattern of Internal Flow in a Water Droplet on a Vibrating Hydrophobic Surface. Journal Physical Chemistry B, 2015, vol. 119, pp. 6740-6746. doi: 10.1021/acs.jpcb.5b02975
6. Park Ch. S., Kim H., Lim H. Ch. Study of internal flow and evaporation characteristics inside a water droplet on a vertically vibrating hydrophobic surface. Experimental Thermal and Fluid Science, 2016, vol. 78, pp. 112-123. doi: 10.1016/j.expthermflusci.2016.05.018
7. James A. J., Vukasinovic B., Smith M. K., Glezer A. Vibration-induced drop atomization and bursting. Journal of Fluid Mechanics, 2003, vol. 476, is. 2, pp. 1-28. doi: 0.1017/S0022112002002835
8. Vukasinovic B., Smith M. K., Glezer A. Dynamics of a sessile drop in forced vibration. Journal of Fluid Mechanics, 2007, vol. 587, pp. 395-423. doi: 10.1017/S0022112007007379
9. Kim H. Y. Drop fall-off from the vibrating ceiling. Physics of Fluids, 2004, vol. 16, no. 2. pp. 474-477. doi: 10.1063/1.1637352
10. Kanchukaev V. Z. Opredelenye profilya zhidkoy kapli na tverdoy poverhnosti [Profile Determination of a liquid droplet on a solid surface]. Pisma v ZhPh [Technical Physics Letters], 2004, vol. 30, is. 2. pp. 12-16.
11. Zaslavskij Yu. M. About frequency of the axisymmetric vibrations of a liquid droplet on a substrate. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo [Vestnik of Lobachevsky University of Nizhni Novgorod], 2014, vol. 4, is. 1, pp. 62-65.
12. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. Non-Axisymmetric Oscillations of a Hemispherical Drop. Fluid Dynamics, 2004, vol. 39, no. 6, pp. 851-862. see also: Izvestiya Rossiiskoi Academii Nauk, Mekhanika Zhidkosti i Gaza, 2004, no. 6, pp. 8-20. doi: 10.1007/s10697-004-0002-3
13. Lebedev-Stepanov P. V., Karabut T. A., Chernyshov N. A., Rybak S. A. Investigation of the shape and stability of a liquid drop on a rotating substrate. Acoustical physics, 2011, vol. 57, no. 3, pp. 320-325: see also: Rus. Akustic Journal, 2011, vol. 57b, no. 3, pp. 323-328. doi: 10.1134/S1063771011030122
14. Ivancov A. O. Acoustic oscillations of semispherical drop. Vestnik Permskogo universiteta. Fyzica [Bulletin of Perm University. Series: Physics], 2012, vol. 3, pp. 16-23.
15. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate. Physics of Fluids, 2006, vol. 18, is. 012101. pp. 1-11. doi: 10.1063/1.2137358
16. Hocking L. M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary. Journal Fluid Mechanic, 1987, vol. 179, pp. 253-266. doi: 10.1017/S0022112087001514
17. Li Y., Umemura A. Two-dimensional numerical investigation on the dynamics of ligament formation by Faraday instability. International Journal of Multiphase Flow, 2014, vol. 60, pp. 64-75. doi: 10.1016/j. ijmultiphaseflow.2013.12.002
18. Foote G. B. A numerical method for studying liquid drop behavior: simple ascillation. Journal of Computational Physics, 1973, vol. 11, pp. 507-530.
19. James A. J., Smith M., Glezer A. Vibration-induced drop atomization and the numerical simulation of low-frequency single-droplet ejection. Journal Fluid Mechanics, 2003, vol. 476, pp. 29-62. doi: 10.1017/S0022112002002860
20. Wilkes E. D., Basaran O. A. Drop Ejection from an Oscillating Rod. Journal of Colloid and Interface Science, 2001, vol. 242, pp. 180-201. doi: 10.1006/jcis.2001.7729
21. Korenchenko A. E., Ilimbaeva A. Zh., Beskachko V. P. Numerical study of free vibrations of a sessile drop. Vestnik YUurGU. Ser. Matematika. Mekhanika. Fizika [Bulletin of South Ural University. Mathematics. Mechanics. Physics], 2011, vol. 4, no. 10 (227), pp. 72-76.
22. Schlichting G. The theory of a boundary laye. Moscow: Nauka Publ., 1974. 712 p.
23. Hirt C. W., Nichols B. D. Volume of Fluid (VOF) Method for the Dynamics of Free Boundaries. Journal of Computational Physics, 1981, vol. 39, pp. 201-225.
24. Chernova A. A., Kopysov S. P. Tonkov L. E. Simulation of a liquid drop on a vibrating hydrophobic surface. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2016, vol. 158, no. 1, pp. 12026: 1-7. doi: 10.1088/1757-899X/158/1/012026
25. Issa R. I. Solution of implicitly discretised fluid flow equations by operator-splitting. Journal of Computational Physics, 1986, vol. 62, pp. 40-65.
26. Kuzmin I. M., Sarmakeeva A. S., Chernova A. A. Modelirovanie kolebaniy kapli zhidkosti, lezhashchey na vibriruyushchem nedeformiruemom osnovanii [Simulation of oscilations liquid droplet lying on a vibrating undeformable base]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2016, vol. 18, no. 4 pp. 515-523.
27. Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction. Third Edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009. 721 p. doi: 10.1007/b79761
28. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme III. Upstream-centered finite-difference schemes for ideal compressible flow. Journal of Computational Physics, 1977, vol. 23, no. 3, pp. 263-275.
Кузьмин Игорь Михайлович, научный сотрудник ИМ УрО РАН
Сармакеева Анастасия Семеновна, младший научный сотрудник ИМ УрО РАН
Чернова Алена Алексеевна, кандидат технических наук, старший научный сотрудник ИМ УрО РАН, e-mail: alicaaa@gmail. com
