CC BY
29
КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КАПЛИ В ПЕРЕМЕННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Алабужев Алексей Анатольевич
канд. физ.-мат. наук, с.н.с. лаборатории Вычислительной гидродинамики, Института Механики сплошных сред УрО РАН, РФ, г. Пермь
E-mail: alabuzhev@mail. ru Кашина Марина Анатольевна студент 2 курса физического факультета Пермского национального
исследовательского университета, РФ, г. Пермь
E-mail: [email protected]
PARAMETRICAL INSTABILITY OF CYLINDRICAL DROP IN ALTERNATING ELECTRIC FIELD
Aleksey Alabuzhev
candidate of Science, Senior staff scientist of Laboratory of Computational Hydrodynamics, Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Russia, Perm
Marina Kashina
student of Physical Department, Perm State University, Russia, Perm
Работа поддержана РФФИ (грант № 14-01-96017-р-урал-а).
АННОТАЦИЯ
В данной работе исследуется поведение капли несжимаемой жидкости под действием переменного электрического поля. В равновесном состоянии капля имеет форму цилиндра, ограниченного в осевом направлении параллельными твердыми плоскостями. Электрическое поле периодично по времени с некоторой частотой. Рассмотрены вынужденные колебания капли. Получены данные об отклонении поверхности и частотных характеристиках в зависимости от параметров задачи.
ABSTRACT
The behavior of a drop of incompressible fluid under the influence of an alternating electric field is investigated in this paper. In equilibrium, the drop is cylindrical, limited axially parallel solid planes. The electric field is periodic in time with a certain frequency. The forced oscillations of the drop considered. The surface deviation and frequency characteristics depending on the parameters of the problem were obtained.
Created by DocuFreezer | www.DocuFreezer.com |
Ключевые слова: капля жидкости; линейный резонанс; переменное электрическое поле; вынужденные колебания; электросмачивание.
Keywords: fluid drop; linear resonance; alternating electric field; power oscillations; electrowetting.
1. Постановка задачи
Капля несжимаемой жидкости с плотностью р*, окруженная другой жидкостью плотности ре. Вся система ограничена двумя параллельными твердыми поверхностями (рис. 1), расстояние между которыми равно к *. Сосуд замкнут на бесконечности. Капля имеет форму цилиндра радиусом я * в отсутствие внешних сил. Равновесный краевой угол между боковой поверхностью капли и твердыми плоскостями прямой. На систему действует переменной неоднородное электрическое поле с амплитудой л и частотой а . Это поле играет роль внешней силы, которая заставляет двигаться контактную линию. Для описания движения контактной линии используется модифицированное условие Хокинга [3]: скорость движения контактной линии пропорциональна сумме отклонения краевого угла и скорости быстрых
релаксационных процессов, частоты которых пропорциональная удвоенной
*
частоте электрического поля а .
Рисунок 1. Геометрия задачи
Выберем в качестве единиц измерения времени +р*3, радиальной * ^ * *
координаты я , осевой координаты к , отклонения поверхности л , скорости
л
^/((Р +р* )Я*3], плотности р* +р* , давления л*а/я2 , где а - коэффициент
поверхностного натяжения.
В пренебрежении вязким затуханием запишем в безразмерной форме уравнения Бернулли и непрерывности и граничных условий:
г=1:
г=1, г=±1/2:
г=±1/2:
дф дт
Р = -рРдф > АФ=0 : дí
д£ дф г , „ д2С ,2 д V
=о, 1^=1г> [ р Н+^+ь2 £
дt дт
дал
дг
2
1к=±л^+а со< )1,
дф дг
=0
(0.1) (0.2) (0.3) (0.4)
где квадратные скобки обозначают скачок величины на границе раздела между внешней жидкостью и каплей, ф — потенциал скорости, £ — отклонение поверхности от равновесного положения, я — безразмерная постоянная Хокинга. Отметим, что постоянная Хокинга в условии (0.3) имеет два важных предельных случая: я=0 — закрепленная линия контакта, л^ю — свободно скользящая контактная линия.
Краевая задача (0.1)—(0.4) содержит шесть безразмерных параметров:
*
малую относительную характерную амплитуду е=л*/я , постоянную Хокинга
(параметр смачивания) л=а*1 ^р* +р* )я*3н*2^, частоту внешнего воздействия ю=ю* ^р* +р* )я*н*2 а, геометрический параметр ь=я*/н*, плотность внешней жидкости ре =р**1 [рРе +р*), плотность жидкости в капле р =р*! [ре +р*), последние
два параметра связаны соотношением р +ре =1. 2. Вынужденные колебания
Собственные колебания такой капли были изучены в работе [1]. Нечетные моды вынужденных колебаний исследовались в [2]. Решение уравнения Лапласа (0.1) с учетом граничного условия (0.4) можно записать в виде:
сре (г)= 2 Ък К0 (2кяЪг)соэ(2клг)егшí , к=0
(р{ (г,í)= 2 ак 10 (2клЪг) соэ(2кжг)е к=0
(
|(—Л)= 2 ск соэ(2кжг)+й сов[ — ] соэ(а)е
I к=0
Л
(0.5) (0.6) (0.7)
где 10, к0 — модифицированные функции Бесселя. Подставляя решения (0.5)—(0.7) в уравнения (0.1)—(0.4), получим выражения для неизвестных амплитуд ак , ък, Ск и й.
Рисунок 2. Максимальное отклонение боковой поверхности и краевого угла
/~\ Г-!
при трех разных значениях Ь (Л = 1, а = 1.5, Рг = 0-7
На рис. 2 показано максимальное отклонение боковой поверхности на верхней подложке || 1/2=Ц, в середине слоя ||2=0=Ц и значения краевого
угла &: ||=с1д(&) в зависимости от частоты электрического поля при разных
значениях геометрического параметра Ъ .
На рис. 3 показано максимальное отклонение боковой поверхности на верхней подложке , в середине слоя и значения краевого угла &: ||=с1д(&)
в зависимости от частоты электрического поля при разных значениях постоянной Хокинга 2.
Сравнивая полученные зависимости с результатами натурных экспериментов можно определить постоянную Хокинга 2.
О 20 40 60 80 ш 100 0 20 40 60 80 щ 100 0 20 40 60 80 ш 100
Рисунок 3. Максимальное отклонение боковой поверхности и краевого угла при трех разных значениях Л (b = 1, а = 1.5, Pi = 0 7).
Список литературы:
1. Алабужев А.А., Любимов Д.В. Влияние динамики контактной линии на собственные колебания цилиндрической капли // ПМТФ. — 2007. — Т. 48, № 5. — С. 78—86.
2. Кашина М.А. Влияние переменного электрического поля на колебания цилиндрической капли // Материалы XXIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках». Изд-во ПНИПУ, г. Пермь, 2014. — С. 120—122.
3. Hocking L.M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary // J. Fluid Mech. — 1987. — V. 179. — P. 253—266.
