О параметрическом резонансе полуцилиндрической капли на осциллирующей твердой подложке Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Физика Вып. 1 (6)

О параметрическом резонансе полуцилиндрической капли на осциллирующей твердой подложке

Н. Н. Картавых, С. В. Шкляев

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В двумерной постановке изучены колебания помещенной на осциллирующую подложку полуцилиндрической капли (цилиндр с полукругом в основании, образующие которого параллельны твердой поверхности). Для закрепленной контактной линии изучены собственные и вынужденные колебания. Определены условия параметрической неустойчивости вынужденных колебаний. Учтены слабые эффекты диссипации за счет вязкости и проскальзывания контактной линии.

1. Введение

Исследование параметрической неустойчивости гидродинамических систем берет свое начало с известной работы Фарадея [ I ], в которой наблюдалось возбуждение гравитационно-капиллярных волн на поверхности жидкости, налитой на вибрирующую пластину (рябь Фарадея). Обзор основных результатов линейной и нелинейной теории ряби Фарадея можно найти в работах [2, 3].

В ряде исследований изучается параметрическая неустойчивость систем, обладающих дискретным спектром собственных частот, - см., например, [3] (капля) и [4] (жидкая зона). Изучено, в частности, поведение сферической капли, помешенной в осциллирующую жидкость иной плотности. Показано, что параметрический резонанс возникает, если частота внешнего воздействия совпадает с суммой частот двух соседних мод собственных колебаний. Параметрическая неустойчивость полусферической капли, находящейся на осциллирующей твердой подложке, имеет место на частоте внешнего воздействия, равной сумме частот двух мод одинаковой четности (одновременно симметричных или антисимметричных по отношению к отражению в плоскости подложки) [5]. В работе [5] вычисления проводились для свободной контактной линии - краевой угол в ходе движения остается прямым. Более реалистичной выглядит противоположная ситуация - контактная линия зацепилась за неровность поверхности или острую кромку и остается неподвижной в ходе движения. В данных условиях также возможен корректный учет вязкости в приближениях пограничного слоя.

Предлагаемая работа посвящена именно такой постановке задачи.

2. Постановка задачи

Рассмотрим колебания цилиндрической капли, помещенной на твердую подложку. Ось г направим вдоль оси цилиндра, ось х - по нормали к подложке. В равновесном состоянии сечение капли плоскостью х - у имеет форму полукруга радиуса #, т.е. равновесный краевой угол считается прямым, что значительно упрощает выкладки. Капля окружена газом пренебрежимо малой плотности. Подложка совершает поступательные колебания с частотой оъ и амплитудой а вдоль нормали

к собственной поверхности. Амплитуда колебаний капли мала по сравнению с ее равновесным радиусом. Частота колебаний настолько велика, что вязкими эффектами в объеме капли можно пренебречь. С другой стороны^частота колебаний мала по сравнению с собственными частотами звуковых колебаний капли, что позволяет считать жидкость несжимаемой. Рассматривается плоская задача, для описания течений в капле введем полярные координаты г,а. Контактная линия при колебаниях остается неподвижной.

В данных условиях движение жидкости описывается следующей задачей:

р-р^-<рг—(^4>) + П гсовасозШ, (2.1)

Лр = 0, (2.2)

а = ±я/2 : <ра = 0 , (2.3)

© Н. Н. Картавых, С. В. Шкляев, 2007

г = 1 + (а, = <рг, р = є 1К, (2.4)

г = 1, а = + л[ 2 : ^ = 0,

(2.5)

= "(п2 -1).

4(-1)

П + 1

где К - кривизна свободной поверхности, р0 = е1 - равновесное давление в капле, индексами обозначаются частные производные по соответствующим переменным.

Задача (2.1) - (2.5) записана в безразмерном виде, в качестве единиц измерения расстояния, времени, потенциала скорости (р, давления р и

отклонения £ свободной поверхности от ее равновесного положения выбраны соответственно Я,

!сг, а^а/рИ , асг/И2 , а (сг - коэффи- "^п ~ я-(4п2 - 1)

циенг поверхностного натяжения, р - плотность

жидкости). Краевая задача характеризуется двумя безразмерными параметрами: частотой

П = а).-}[р^/а и амплитудой е = а/И вибраций;

последний параметр считается малым.

Очевидно, что при учете вязкости основную роль играет пограничный слой вблизи твердой поверхности. Вязкие эффекты характеризуются ма-

с { 1 I

лым параметром о = 1ру /#<т1 , равным от-

ношению толщины вязкого пограничного слоя к радиусу капли ( у - кинематическая вязкость жидкости). Для решения задачи использовался метод сращиваемых разложений [6]; стандартные уравнения динамического пограничного слоя не приводятся (см. [7]).

Кроме того, в указанной системе существует механизм затухания, связанный с диссипацией вблизи контактной линии. Для описания динамики контактной линии будем использовать условие Хокинга [8]:

' '' I ' ЦМ ? ' М * ственных колебании. ----------(~

Для четных мод собственные функции ВЫГЛЯДЯТ следующим образом:

(Р[е) = £ А/2" со8 2паг, / (

п~0 г ' ' ' Г '

/ 2 \ С3'1)

(4п -1)/„ г . ■ ,

П22„-со2 '

. Л‘

(п = 1,2,3...),

/о=-.

ж

Собственные частоты четных МОД 0) являются решениями уравнения

п2 2 п=0112п ~ ю

(3.2)

Для нечетных мод потенциал скорости записываем в виде

= геоеш1 Д/2"*1 8т(2п + 1)а , (3.3)

л»0

А,=

9п =

2п(п + 1)(о2дп

И)

2л+ 1 п + 1

л = ±*/ 2:£ =+Я^,

(2.6)

2 п(п + 1)

Аз = і

(п- 1,2,3...),

т.е. скорость движения контактной линии пропорциональна отклонению краевого угла от равновес* ного значения. Здесь Л - параметр смачивания, предполагаемый малым, что соответствует слабому проскальзыванию контактной линии.

3. Собственные и вынужденные колебания

Приведем результаты решения задачи о малых собственных и вынужденных колебаниях; детали вычислений могут быть найдены, например, в [9] для качественно схожей задачи о колебаниях полусферической капли (условия закрепления контактной линии соответствуют предельному случаю X = 0 в цитируемой работе).

Вследствие симметрии задачи удобно рассмотреть отдельно четные и нечетные по а моды соб-

Дисперсионное соотношение для нечетных мод имеет вид

со

і у {~1Т 9п

112п+\ “ а

- — + 2 = 0.

(3.4)

Собственные частоты, удовлетворяющие уравнениям (3.2) и (3.4), определялись численно. Результаты вычислений приводятся в табл. 1; моды пронумерованы по возрастанию собственных частот (четность индекса т совпадает с четностью моды). Основной является трансляционная мода: центр масс совершает поступательные колебания за счет взаимодействия с подложкой [4, 10].

Учитывая вязкую диссипацию 8 рамках приближений пограничного слоя, найдем комплексную поправку к собственным частотам:

Таблица 1. Собственные частоты колебаний и коэффициенты затухания полуцилиндрической капли с фиксированной линией контакта

т "2 т У2т Г 2т ®2т-1 У 2т-1 Г2т-1

1 4.034 1.135 0.2121 1.910 1.300 0.3635

2 9.847 1.092 0.3218 6.806 1.127 0.3678

3 17.02 1.083 0.4069 13.30 1.097 0.4175

4 25.35 1.079 0.4830 21.06 1.087 0.4792

5 34.68 1.077 0.5539 . 29.91 1.082 0.5430

<у'1)=<?(г-1)Г(в*0), р(е) _

(3.5)

(2.5)) имеет вид ( 00

<р0 - і О.

£Слг2л со$>2па ехр(/Т2ґ), (3.7)

\,л=о У

= /1

СО

^ ъ (-1Г пи С&Д

■& пмо 2(п + 1)-1п1„-а>2 п1,-а‘

С. =

Да(С/„+^„)(4п3-1) П2„ - А2

р(°) _

16 СО

5/2 да

2п + 1

2/ + 1

Л(4я2+1)

2(4п2-!)’

(3.8)

*2 Я п%02{п + 1) + 1 0?2п+1-со2 оЪ+1-а2

С =

/И -

^ 2а,4 (-!)"/„ п-о(п|л-^)2

-1

уНі

п=0 ^2л ^

-1

00

(-1)4

(3.9)

4-І

со

(-1 Га.

П=0(^2п+1 -^2)

-1

Несмотря на наличие знаменателей - О2, коэффициенты Сп остаются конечными при

^ &2п •

Ряды (3.7) - (3.9) суммировались численно, амплитуда ар колебаний капли в верхней точке

(а = 0) как функция частоты представлена на

Несложно показать, что коэффициенты у^е,°^ и Рис- ^ • По мере приближения частоты внешнего

воздействия Г2 к собственной частоте одной из четных мод со2т, которые определяются выраже-

Г(е,о) положительные.

Используя граничное условие (2.6), учтем ела- , .

бое проскальзывание контактной линии. При ма- нием ™™итуда колебаний неограниченно

лых Л получаем чисто мнимую поправку к часто- наРастает' Вблизи Р«онансной частоты становится

существенной даже слабая диссипация. При учете

обоих диссипативных механизмов (вязкого и хо-

(3.6) кинговского) получаем для постоянной С:

те:

а)? = іЛу[е,о]

с =

усо

со-0. + Т5(і-\) + іуЛ

(-04

4 -Vі

Так как оба диссипативных механизма являются слабыми, то поправки к собственным частотам, определяемые формулами (3.5), (3.6), складываются. Численные значения коэффициентов

/в,0\ Г(е,0) приводятся в табл. 1.

Решение задачи о малых вынужденных колеба- является асимптотически большой, порядка б

ниях капли (нулевой по б порядок задачи (2.1) - или Л~1, что позволяет пренебречь слагаемым Рп

Как видно, амплитуда резонансных колебаний

-і

в выражении (3.8) для коэффициентов Сп. Резонансная частота уменьшается за счет вязкости: = со -Т8. Кроме того, постоянная С ста-

П

шах

новится комплексной, т.е. колебания подложки и капли происходят не в фазе.

Рис. 1. Амплитудно-частотная характеристика колебаний поверхности капли в верхней точке

4. Устойчивость колебательного движения

Рассмотрим задачу устойчивости полученного пульсационного течения. Представим поля потенциала, давления и отклонение свободной поверхности в виде (р = (р0+Ф, Р = Ро+<?> С = Со +Т1 ■ Подставляя указанные разложения в

краевую задачу (2.1) - (2.5) и линеаризуя уравнения и граничные условия по малым возмущениям,

получим (слагаемые порядка £2 отброшены как несущественные):

д =-ф( _г'У^УФ, ДФ = 0, (4.1)

а = ±к/2 : Фа = 0, (4.2)

г = 1: 77, + £ (Фа£0а + <р0аПа) =

= ФГ +£{(р0ггт1 + ФггСо)>

Я + £{СоЯг + ПРОг) = ~{Лаа + Г/) +

+£ (2£д^7 + Соа^а ~1г'^‘СоПаа ^ ааЛ) > (4-3)

г = 1, а = ±л[2 : 77 = 0. (4.4)

Будем искать решения данной задачи с использованием метода многих масштабов [6], раскладывая поля возмущений и производную по времени в ряды по малому параметру £. Введем также обозначения 31, \ для отношений асимптотически

малых параметров: 6 = ед^, Я = £\.

В нулевом порядке получим задачу о собственных колебаниях; ее общее решение имеет вид

фо = I Втп (*1) (р[т] {г, ос) ехр(штг), (4.5)

т=1

где - собственная функция линейной однородной задачи, определяемая выражением (3.1) для четных т и (3.3) для нечетных, Вт - амплитуда соответствующей моды, зависящая от медленного времени Ц .

Для определения границ параметрической неустойчивости достаточно найти условия разрешимости неоднородной задачи первого порядка. Анализ этой задачи показал, что колебательное движение капли может быть неустойчивым лишь для частот, близких к резонансным:

Пгея = сот + а>к, к + т = 27^

(4.6)

В этом случае возникает взаимодействие двух мод колебаний, для амплитуд которых справедливы следующие уравнения:

д^

ав*

ди

\

а1т + *Тт81 “ 2 ДП

Вт “ 2 аткВк>

’1к

\

Вк + ^актВт-

Здесь а1т к = ут к\ + . Коэффициенты

атк’ акт * отвечающие за взаимодействие двух мод, определялись численно для каждой пары мод.

Рис. 2. Области параметрической неустойчивости: а - т * к (взаимодействие двух разных мод), Ь - полуцелая мода неустойчивости. Линии 1 и 2- границы устойчивости без учета и при наличии диссипации соответственно. Штриховая линия - граница устойчивости при сколь угодно слабой диссипации

Система уравнений (4.7) была изучена во многих работах, посвященных параметрической неус-

Таблица. 2. Резонансные частоты и коэффициенты для нижних мод колебаний

т к ^res ПтА: т к G^res nmfc

1 1 3.820 14.60 3 3 13.61 15.86

3 8.716 7.513 5 20.11 8.008

5 15.21 8.056 4 4 19.69 2370

2 2 8.068 221.7 6 26.86 229.2

4 13.88 76.53 5 5 26.61 108.8

6 21.05 110.1 6 6 34.04 16266

тойчивости [2-4]. Укажем кратко основные результаты.

Без учета диссипации границы устойчивости определяются выражением

f|0| = ±nmt(n-nr«).

П-2 _

— ^ткакт '

(4.8)

Границы устойчивости на плоскости £■(£}) являются двумя лучами, выходящими из резонансной частоты. Они показаны на рис. 2 линиями /.

При учете диссипации область устойчивости определяется уравнением

('п-пгеа-(г„,+г|1)г

ат + ак

+ 1,

(4.9)

Здесь атк = еа1т к = уткЛ + Tm kS - декременты затухания соответствующих мод. Качественный вид кривой устойчивости приведен на рис. 2 линиями 2. В присутствии диссипации параметрическая неустойчивость возникает только при £•>£■*. Кроме того, за счет вязкости резонансная частота сдвигается относительно значения, определяемого формулой (4.6).

Из рис. 2 видно, что учет диссипации приводит к дестабилизации - в область неустойчивости на плоскости f(Q) попадают точки, в которых согласно (4.8) нарастания колебаний не наблюдалось. В пределе сколь угодно слабой диссипации (max [S, Я) «: е) кривая устойчивости (4.9) вырождается в два луча, вообще говоря, не совпадающих с лучами (4.8):

£|d| - lim £

<М-»о а,

* 5<°>,

т+сгк

■ДО)

(4.10)

Знак равенства достигается лишь для полуце-лой моды неустойчивости (т = к , рис. 2Ь). В остальных случаях область неустойчивости при сколь угодно слабой диссипации шире, чем в без-диссипативном случае. На рис. зависимость

е(П) показана штриховой линией.

Значения коэффициентов Пт*. приводятся в табл. 2. Как видно, ПтЛ: особенно быстро растут с

номером моды для полуцелых четных резонансов. В этом случае область неустойчивости узкая, а пороговое значение амплитуды е* высокое. Наиболее просто возбуждаются нечетные моды при тфк.

5. Заключение

В работе рассмотрены колебания полуцилиндрической капли жидкости, помещенной на осциллирующую твердую подложку. Получены собственные частоты и малые декременты затухания собственных колебаний. Изучены вынужденные колебания капли, вызванные нормальными вибрациями подложки. Обнаружен линейный резонанс и определена амплитуда резонансных колебаний в присутствии слабой диссипации.

Исследована устойчивость колебательного движения. Обнаружено, что параметрический резонанс возникает, если частота внешнего воздействия близка к сумме собственных частот двух мод одинаковой четности. Получены границы области параметрической неустойчивости, в том числе с учетом диссипации.

Авторы признательны проф. Б. Л. Смородину за его интерес к работе и А. А. Алабужеву за полезные обсуждения и чтение рукописи. Авторы благодарят своих друзей и коллег за моральную поддержку в период подготовки статьи. Работа выполнена в рамках Программы поддержки ведущих научных школ (грант НШ-1981.2003.1).

Список литературы

1. Faraday М. //Phyl. Trans. R. Soc. London. 1831. Vol. 52. P. 229.

2. Miles J., Henderson D. // Annu. Rev. Fluid Mech. 1990. Vol. 22. P. 143.

3. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Черепанов А. А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. М., 2003. 216 с.

4. Алабужев А. А. Резонансные колебания цилиндрической жидкой капли в вибрационном поле: Дис. канд. физ.-мат. наук. Пермь, 2004.

5. Lyubimov D. V., Lyubimova Т. P., Shklyaev S. V. // XXX Summer School “Advanced Problems in Mechanics”, S. Petersburg, 27 June - 6 July, 2002.

Proc. on CD. St.-Petersburg: IPME RAS, 2002. Vol 8. P. 29.

6. Nayfeh A. H. Introduction to Perturbation Techniques. N.Y., 1981; Найфэ А. Введение в методы возмущений. М., 1984. 535 с.

7. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.

8. Hocking L. М. II J. Fluid Mech. 1987. Vol. 179. P. 253.

9. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. // Phys. Fluids. 2005. Vol. 18. N 1.012101.

10. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Шкляев С. В. // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2004. № 6. С. 8.