CC BY
22Вынужденные колебания растянутых (сжатых) стержней при комбинированных возмущениях
см о см
<0 О!
о ш т
X
<
т о х
X
Казиев Ислам Асланович
аспирант, Кабардино-Балкарский государственный университет", kaziev1969@mail.ru
Балов Азамат Асланович
магистрант, Кабардино-Балкарский государственный университет", kaziev1969@mail.ru
Мечиев Руслан Эльдарович
магистрант, Кабардино-Балкарский ситет", kaziev1969@mail.ru
государственный универ-
Чапаева Алина Исмаиловна
магистрант, Кабардино-Балкарский государственный университет", kaziev1969@mail.ru
Каскулов Алан Бесланович
магистрант, Кабардино-Балкарский государственный университет", kaziev1969@mail.ru
В данной статье приведены методы решения задач гармонических и случайных колебаний растянутых (сжатых) стержней с учётом вязкого трения. Сначала рассмотрены свободные колебания стержня постоянного сечения. Для свободных колебаний определяются коэффициент затухания и спектры собственных частот. Для вынужденных колебаний состоящее из пяти компонентов. 1 и 2 - это кинематические поперечные колебания опор. 3 и 4 - это изгибающие моменты на обоих концах стержня и 5-я это поперечная распределённая нагрузка. Для каждого из перечисленных воздействий получены передаточные функции. Приведены формулы для расчета перемещений при действии вынужденных гармонических колебаний. Показаны формулы для определения перемещений от векторных возмущений, которые состоят из пяти компонент. Далее рассмотрены случайные колебания. Определены формулы спектральной плотности и дисперсии отклонений стержня при случайных колебаниях.
Ключевые слова: растянутый стержень, сжатый стержень, гармонические колебания, передаточная функция, корреляционная матрица, собственная частота, случайный процесс, скрытая периодичность.
1. Введение
Методы решения задач поперечных колебаний изгибаемых элементов, где не учитывается продольная сила и трение - классическая задача, которая исследована многими учеными [1-5]. Отдельное влияние на такие колебания продольной силы и трения также подробно изучены [6-10]. Тем не менее, вопрос одновременного учёта продольной сжимающей (растягивающей) силы и вязкого трения на колебания стержней остается мало рассмотренным.
Колебания стержня неизменного сечения от продольной силы и трения решаются неоднородным дифференциальным уравнением в частных производных
и™ -2(3иЧаи + ви = ад
х е где
(0, £), t > - <ю,
(1)
в = N/2EJ, a = £ = ОД = q ( t
1|(х, ^ - функция прогибов; т - погонная масса, г| -коэффициент вязкого демпфирования; EJ - изгибная жесткость ; N - продольная сила, которая постоянна во времени; q( t ) - равномерно распределенная нагрузка. Точки над переменными указывают дифференцирование по- ^ штрихи в верхних индексах указывают дифференцирование по х, IV - четыре штриха.
2. Свободные колебания. Свободные колебания стержня с постоянной продольной силой и вязким трением рассчитываются уравнением (1) при = 0. Для расчета примем однопролётный элемент, с шарнирным опиранием по торцам. В этом случае граничные условия и примут вид
II (0, ^ = 0, 1Г'(0, ^ = 0,
11 (£, ^ = 0, 1Т( £, ^ = 0, t > - <». (2)
Для решения задачи применим метод разделения переменных ы(х, ^ = Х^^и, где Л = - р + ¡и> ,
р и и> - коэффициент затухания и частота свободных колебаний. При решении уравнения по методу разделения переменных получим коэффициент затухания и спектр собственных частот
р = а / 2, и^ :
ш
.2 коо
(
! + ■
N
Л
N1
2
V " ' кэ
k = 1, 2, ... . (3)
Для частоты свободных колебаний при отсутствии трения и осевой силы
def
Vk = £
ш
к00
= V кл/И7
т
и критической силы КкЭ = V кЕ;.
Формула (3) даёт хорошо известные результаты для различных частных случаев при отсутствии N или р.
3. Вынужденные гармонические колебания.
Изгибные колебания стержня с учетом комбинированных возмущений опишем уравнением (1) и следующими граничными условиями
и(0, ^ = f2(t) , и' (0, t) = fз(t) , и( £ , t) = f4(t) ,
и''( £ , ^ = f5(t) , t > -да. (4)
Здесь
fз(t) = М^)^, f5(t) = M2(t)/EJ,
М^), M2(t) - сосредоточенные моменты от нагрузок, приложенных к опорам.
Возьмём, что все возмущения являются гармоническими с частотами Ок и начальными фазами ак. В этом случае они могут быть представлены через комплексно-значные функции
1к(Ч = Ак е1 Пк', Ак = аке1ак , к = 1, 2, ... 5.
причём ак, - амплитуда возмущений.
Далее рассмотрим пять отдельных задач, в каждом из которых будет учитываться одно из возмущений
и1У - 2ри" + аи + ви = е 1 Ю \ х е (0, £ ), t > - да,
и(0, t) = 0, и''(0, t) = 0, и( £, ^ = 0, и''( £ , t) = 0.
Далее используя метод разделения переменных для решения этих задач получим
ц(х, ^ = 4(х, Ю) е¡nt,
где Hj(х, Ю) = С Т е(х) + 8^ Ь-1 -передаточная функция, с неизвестным вектором произвольных постоянных интегрирования
С Т = (С1 , C2j , cзj , с^ ).
Результаты решения таких задач показывают, что произвольные постоянные интегрирования находятся из матричного уравнения
G С = D,
где
G =
1 1 1 1
2 2 2 2
Г1 2 Г3 Г4
е1(£) е2(£) ез(£) е4(£)
Р1(£) Р2(£) Рз(£) Р4(£)
Ь-1 1 0 0 0Л
D =
V
0
- ь
0
-1
0 10 0 0 0 10 0 0 0 1
У
>"1,2,3,4
= ±>/ в ±#
ь2
аи (х) = | [А, Н(х, Ю)] | .
4. Случайные колебания. Теперь для математической модели (1), (4) распределённая нагрузка и возмущения на концах стержня f2(t), ..., являются случайными функциями, причём такими, что общий процесс = { f1(t), f2(t), ..., f5(t) }, со стационарно связанными компонентами, с нулевым математическим ожиданием, с заданной спектральной матрицей Б^ю). Тогда u(х,t) будет пространственно-временным случайным полем, стационарным во времени t и неоднородным по пространственной координате х.
Далее поиск спектральной плотности и дисперсии поперечных отклонений стежня не представляет сложности.
Используя передаточные функции Щх, Ю), ] = 1, 2, ., 5. Выпишем спектральную плотность случайного процесса колебаний
5 5
Su(x, ю) = ^^ нк (х,1ю)Н* (хДю^к1 (ю) =
к=1 1=1 Нт(х, ¡ю)Б<ю)Н*(х, ¡ю).
Du(x)
= | Su(x, ю^ю.
Здесь ] - й столбец в каждой матрице соответствуют номеру задачи, также
Ь2 = а(Ю)2 + £(¡0), еп(х) = ехр(гпх), Рп(х)= г12 еп(х), п= 1,2,3, 4.
Учитывая линейность оператора задачи (1) и применяя принципы суперпозиций далее вычисляем и(х, ^ = [А, Н(х, Ю)]еЮ .
Уравнение амплитуд отклонений балки от х находим по формуле
Вывод. В данной работе нами ставилась задача возможности расчёта растянутого или сжатого стержня на общие возмущения при решении которой получены следующие результаты:
- представлена последовательность получения передаточных функций от кинематических перемещений опор, динамического действия момента на концах и распределённой нагрузки в пролёте;
- приведен порядок получения спектральной матрицы для стационарных случайных процессов, с учётом их коррелированности;
- определена спектральная плотность и дисперсия поперечных отклонений балки.
Литература
1.Казиев А. М. Колебания однородных и континуально-дискретных балок при векторных гармонических и случайных возмущениях: Дис. ... канд. техн. наук : 05.23.17 Нальчик, 2005 130 с. РГБ ОД, 61:05-5/3003.
2.Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. - М.: Стройиз-дат, 1982. - 351 с.
3. Казиев А. М., Хуранов В.Х., Костенко О.В. Исследование воздействия векторных случайных нагрузок на балки. //Инженерный вестник Дона, №3 (2017) ¡vdon.гu/гu/magaz¡ne/aгch¡ve/n3y2017/4277.
4. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука,1979.335 с.
5. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.
6. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые случайные колебания балок. Инженерно-технические науки. Материалы научно-практической конференции 1994.Нальчик: Каб.-Балк. гос. с/х акад. 1995.Ч. 3. С. 2327.
X X
о
го А с.
X
го т
о
ю
2 О
м
7. Культербаев Х.П., Казиев А.М., О случайных колебаниях растянутых балок. Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: Сам. гос. тех. ун-т. 2003. С. 100-103.
8. Казиев А.М., О влиянии характерной частоты и ши-рокополосности случайной нагрузки на колебания балок. Вопросы повышения эффективности строительства. Межвузовский сборник. Нальчик: КБГСХа, 2004. Вып. 2. С. 79-83.
9. Gajewski Antoni. Vibrations and stability of a non-conservatively compressed prismatic column under nonlinear creep conditions. J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 2000. 38. - № 2. - рр. 259-270.
Forced oscillations of stretched (compressed) rods under combined perturbation
Kaziev I.A., Balov A.A., Mechiev R.E., Chapaeva A.I., Kaskulov A.B.
Kabardino-Balkarian State University named after Kh.M. Berbekova
JEL classification: C10, C50, C60, C61, C80, C87, C90_
This article presents methods for solving the problems of harmonic and random vibrations of stretched (compressed) rods, taking into account viscous friction. First, the free vibrations of a rod of constant cross-section are considered. For free oscillations, the attenuation coefficient and the eigenfrequency spectra are determined. For forced oscillations, consisting of five components. 1 and 2 are the kinematic transverse vibrations of the supports. 3 and 4 are the bending moments at both ends of the rod and 5 is the transverse distributed load. Transfer functions are obtained for each of the listed effects. Formulas for calculating displacements under the action of forced harmonic oscillations are given. Formulas for determining the displacements from vector perturbations, which consist of five components, are shown. Next, random fluctuations are considered. The formulas of the spectral density and variance of the rod deviations under random oscillations are determined.
Keywords: stretched rod, compressed rod, harmonic oscillations, transfer function, correlation matrix, natural frequency, random process, hidden periodicity.
References
1. Kaziev A. M. Oscillations of homogeneous and continuous-discrete beams
under vector harmonic and random perturbations: Dis. ... Cand. tech. Sciences: 05.23.17 Nalchik, 2005 130 p. RSL OD, 61: 05-5 / 3003.
2. Bolotin V.V. Methods of the theory of probability and theory of reliability in
the calculations of structures - M .: Stroyizdat, 1982 .-- 351 p.
3. Kaziev A.M., Khuranov V.Kh., Kostenko O.V. Investigation of the impact of
vector random loads on beams. // Engineering Bulletin of the Don, No. 3 (2017) ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4277.
4. Bolotin V.V. Random vibrations of elastic systems. Moscow: Nauka, 1979,
335 p.
5. Wentzel E.S. L.A. Ovcharov The theory of stochastic processes and its
engineering applications. M .: Higher. shk., 2000.383 p.
6. Kulterbaev Kh.P. Kinematically excited random vibrations of beams.
Engineering and technical sciences. Materials of the scientific-practical conference 1994. Nalchik: Cab.-Balk. state agricultural acad. 1995, Ch. 3.S. 23-27.
7. Kulterbaev Kh.P., Kaziev AM, On random vibrations of stretched beams.
Mathematical modeling and boundary value problems. Samara: Himself. state those. un-t. 2003.S. 100-103.
8. Kaziev AM, On the influence of the characteristic frequency and
broadbandness of a random load on the vibrations of beams. Questions of increasing the efficiency of construction. Interuniversity collection. Nalchik: KBGSKhA, 2004. Issue. 2.S. 79-83.
9. Gajewski Antoni. Vibrations and stability of a non-conservatively
compressed prismatic column under nonlinear creep conditions. J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 2000. 38. - No. 2. - pp. 259-270.
CN
0
es
<0
01
О Ш
m
X
<
m о x
X
