Выделение типовых расчетных ситуаций для определения риска катастроф Текст научной статьи по специальности «Математика»

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

№145

УДК 519.81

ВЫДЕЛЕНИЕ ТИПОВЫХ РАСЧЕТНЫХ СИТУАЦИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РИСКА КАТАСТРОФ

Е.М. ИВЕНИНА, И.Б. ИВЕНИН, А.С. КУРИЛЕНОК Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Предложен методический подход к обоснованию и выделению типовых расчетных ситуаций для анализа риска катастроф воздушных судов в районе аэродромного узла. Т иповые расчетные ситуации выделяются на основе методов теории распознавания образов и соответствуют кластерам в пространстве фазовых координат воздушных судов.

Ключевые слова: методический подход, типовые расчетные ситуации, риск катастроф.

Множество ситуаций (взаимных положений ВС), которые теоретически могут привести к возникновению катастроф или летных происшествий в результате столкновения ВС в воздушном пространстве или входа одного ВС в турбулентный спутный след другого ВС, в общем случае бесконечно. В то же время анализ и прогнозирование рисков катастроф и летных происшествий в силу ограниченности временных и прочих ресурсов проводятся на конечном и весьма ограниченном множестве типовых расчетных ситуаций. При этом, естественно, качество расчетов и объективность выводов существенно зависят от полноты и представительности этого множества [1,2].

В настоящее время состав и параметры типовых расчетных ситуаций (ТРС) в воздушном пространстве определяются в основном экспертным путем. При этом, к сожалению, еще не сформировались единые методические подходы ни к обоснованию самих ТРС, ни к формированию их совокупности для решения конкретных задач.

При решении задач анализа рисков возникновения катастроф и летных происшествий и оптимизации управлений ВС для их предотвращения совокупность ТРС должна удовлетворять требованиям минимальности и представительности.

Требование минимальности естественно с точки зрения минимизации вычислительных ресурсов для решения задач, особенно при наличии имитационных моделей.

С точки зрения требования представительности решения, полученные по выбранной совокупности ТРС должны быть распространимы (масштабируемы) на все множество возможных конфликтных ситуаций в воздушном пространстве, то есть, должна сохраняться адекватность по решению.

В данной работе предлагается следующий методический подход к формированию совокупности ТРС. Типовые расчетные ситуации должны выбираться таким образом, чтобы любая конфликтная воздушная ситуация из рассматриваемого вида могла быть в расчетах заменена типовой, и при этой замене разница в значениях рисков возникновения катастрофы или летного происшествия в типовой и конкретной воздушной ситуации не превышала бы некоторой наперед заданной величины.

В пространствах показателей опасности (рисков возникновения критических ситуаций), которые, как правило, бывают полными и замкнутыми, выделение таких непересекающихся областей, каждая точка которых удалена от геометрического центра области на расстояние, не превышающее заданного значения, особого труда не вызывает. В качестве типовых можно рассматривать, например, ситуации, показатели опасности которых соответствует геометрическим центрам выделенных областей. Но в этом случае для идентификации реальной воздушной ситуации с выбранным центром необходимо каждый раз оценивать опасность конкретной ситуа-

ции, что лишает задачу выделения ТРС практического смысла. Следовательно, ТРС желательно выделять в пространстве некоторых устойчивых внешних характеристик (например, в пространстве фазовых координат ВС). В простейшем случае в качестве внешних характеристик ТРС можно рассматривать параметры относительного движения ВС (рис. 1) в момент (к-г), где к - момент начала физического взаимодействия ВС с другим ВС или его спутным следом, а г - интервал времени, в пределах которого ВС не может изменить траекторию своего движения настолько, чтобы избежать взаимодействия.

Рис. 1. Параметры относительного движения ВС

Терминология, применяемая при описании рассматриваемого методического подхода, соответствует принятой в теория распознавания образов [3,4]. Под классами воздушных ситуаций щ понимаются подмножества пространства всех возможных воздушных ситуаций, образы которых в пространстве показателей опасности группируются внутри выделенных там непе-ресекающихся областей. Кластерами будем именовать области группирования образов воздушных ситуаций в пространстве показателей опасности и в пространстве внешних характеристик. Эталонами классов будем называть центры кластеров.

Рис. 2. Отображение пространства показателей опасности в пространство внешних характеристик

Задача выделения ТРС решается в два этапа (рис. 2) . На первом этапе на множестве возможных вариантов реальных ситуаций определяется выборка мощностью N элементов. Для каждого элемента этой выборки (образа) вычисляются значения показателей опасности. Область пространства показателей опасности (ППО) W разбивается на непересекающиеся области Оі і = 1, к таким образом, чтобы расстояние от любой точки области до геометрического

центра этой области не превышало некоторого наперед заданного значения 8. В качестве меры близости точек пространства показателей опасности может быть использовано, например, евклидово расстояние, определяемое выражением:

Выборочные образы, входящие в выделенные области, образуют кластеры. Геометрические центры областей или какие-либо из образов, входящих в области , определяют эталоны классов.

Выявление кластеров в пространстве показателей опасности может осуществляться с помощью любого из так называемых метрических методов распознавания образов [3,4].

Пусть заданная выборка N образов определяется в пространстве показателей опасности совокупностью точек {М1,М2,...,wN}. Предположим, что центр первого кластера у1 совпадает с первым из заданных образов у1 ° г1 и определена пороговая величина 8 .

По формуле (1) вычисляется расстояние ё21 между образом М2 и центром кластера у1. Если это расстояние больше пороговой величины е, то вводится новый центр кластера у2 = М2. В противном случае образ М2 включается в первый кластер.

Пусть выполнено условие ё21 > е и М2 - центр второго кластера. На следующем шаге вычисляются расстояния ё31 и ё32 от образа М3 до центров кластеров у1 и у2. Если оба расстояния оказываются больше порога е, то вводится новый центр у3 = М3. В противном случае

образ зачисляется в тот кластер, чей центр к нему ближе.

Подобным же образом анализируются расстояния от каждого нового образа из выборки до центров выбранных кластеров. В результате кластеризации в пространстве показателей опасности можно определить границы областей , центры которых совпадают с центрами кластеров, а расстояние от любой точки до центра не превышает е (все выборочные образы располагаются в этих областях).

Качество результатов этой процедуры определяется выбором первого центра кластера, порядком предъявления классифицируемых образов и топологией пространства показателей опасности. Таким образом, кластеризация с помощью этого алгоритма не единственна. При необходимости можно воспользоваться и более тонкими метрическими методами выявления кластеров [3,4], которые хорошо разработаны и доведены до рабочих алгоритмов, поэтому останавливаться на этом вопросе нецелесообразно.

В итоге работы метрических алгоритмов в пространстве показателей опасности не только формируются непересекающиеся области, содержащие кластеры, но и определяется число кластеров, которое до процесса кластеризации неизвестно.

На втором этапе решения задачи выделения ТРС осуществляется переход (рис. 2) из пространства показателей опасности (ППО) в пространство X внешних характеристик (ПВХ).

Обратное отображение образов объектов из ППО в ПВХ порождает в последнем области

, являющиеся прообразами выделенных в ППО кластеров.

В отличие от областей , области Di могут пересекаться между собой, и классы объектов

в пространстве X могут быть лишь условно разделимы. Кроме того, обратное отображение ППО в ПВХ может быть неоднозначным, в результате чего одному кластеру в ППО будут соответствовать несколько кластеров в ПВХ. Поэтому детерминированные алгоритмы распознавания в пространстве X применять нецелесообразно; они уступают место статистическим алгоритмам, которые обеспечивают сходимость процессов построения решающих функций даже при отсутствии строгой разделимости классов.

(1)

В качестве решающих функций в пространстве X рассматриваются функции правдоподобия di (X) = р(щ / X) . Для построения решающих функций используется статистический алгоритм обучения, построенный на основе методов потенциальных функций [3,4]. Обучающая последовательность образуется из предварительно классифицированной в ППО выборки образов.

На каждом к-м шаге итерационного процесса обучения решающая функция d(X) аппроксимируется функцией:

0, если - ¥ < Л (X) < 0;

Л(Х) =< /(ХХ если0 £ Л(х) £!; (2)

1, если1 < Лк (X) < ¥,

где функция Л (X) представляется в виде разложения по усеченному ряду базовых ортонорми-рованных функций:

т

Л (X) = ЕС.«. (3)

1 =0

С каждым к-м выборочным образом связывается потенциальная функция вида

т

К (^ ^ ) = Ё Л12Ф (Щ (^ ). (4)

1=0

В качестве базовых функций предлагается использовать сферические многочлены Лежандра Рп(X) ортогональные на интервале [-1,1] с весовой функцией и{^) = 1 [3].

Ортонормированная система функций получается из ортогональной системы с помощью преобразования

Ф.(X) = ^k2+1P.(x),k = 1,2... (5)

Для простоты изложения в дальнейшем будем рассматривать одномерное метрическое пространство X. Это не приводит к существенным ограничениям общности, так как системы ор-тонормированных функций п переменных образуются как группы произведений из п функций одной переменной

Ф (^ = .1 (X1 )Ф2 (X )ф3 (X3).. фп (^ ) .

Коэффициенты в разложении потенциальных функций К (X, xk) предлагается выбирать исходя из требования мажорирования функции К (X, Xk ) функцией

У( X ^ ) =----Г-----2. (6)

1 + а\ X - xk\

Для определения коэффициентов Л}- в (4) строится приближение функции у(х,хк) выбранными ортонормированными многочленами по методу наименьших квадратов. Как определено в [5], аппроксимация функции у(х,хк), заданной аналитически, многочленами Рт (X) может быть определена в виде

У(X, X ) = Ё атРт (А (7)

т=0

где а = (у, Р ) / (Р , Р ),

^ т \г ? т/ У т> т /’

(Л, 8) = |и (x)f(x) 8(x)dX.

О

Тогда после несложных преобразований можно получить

2т +1 1*1 1 ( - х,

О :[х1, х2];ат(х) = —2~

(х2- +(х2 + х1)

2

-хк

2

-1 I Рт (¿ЖО , (9)

1(хк )Фт (Хк ) = ат (хк )- (10)

и коэффициенты определяются из решения уравнений

Ск )фт (X ) = ат (X

Рекуррентный алгоритм обучения функций /к (х) аппроксимирующих решающие функции

/к (х), строится гак же, как и в [3]. Суть рекуррентного алгоритма можно проиллюстрировать

для случая, когда обучающая последовательность содержит образы, принадлежащие двум классам.

На первом шаге предъявляется выборочный образ х{. Здесь могут возникнуть три ситуации. 1. Если х1 е щ ( щ определяет /-й класс ТРС) и Т (х1) > /02 (х1) или х2 е о2 и /02 > Т, то аппроксимирующая функция / (х) не изменяется.

2. Если х1 е щ и /0 (х1) < /02 (х1), то

'--1 '~'1

Л (х) = ,/0(х) + ГЛ(х,хl),

/2( х) = /02( х) -71К (х, х1).

к1 к2

3 . Если х1е щ2 и х(х1) < У0 (х1), то

'~'1 '~'1

Л(х) = /0(х)-Г1К(х,хl),

/2( х) = /02( х) +Г1К(х, х1).

Множитель у1 представляет собой корректирующий коэффициент, определяющий скорость

сходимости алгоритма. О выборе начальных значений / и значений ук будет говориться ниже. На каждом следующем (к-м) шаге алгоритма аппроксимирующая функция изменяется в соответствии с выражением:

Тк(х) = Тк-1(х) + К7кК (х, хк), (11)

Я

1, если хке щ и Тк-1 < т;2-l, (Я2 = -1);

0, если хке щ и /¿1 > /гк-1, и ; =1,2, (Я2 = 0);.

-1, если хк ещ2 и Л-1 > Л-l, (Я" =1).

Используя представление (4), и подставляя (9) в (2), можно записать

т

"/, Т. (х) = Т (х) + Я у, + (хк +| )ф (х), (12)

I =1

тт

"/, 2 С (к + 1)Ф (х) = ^ [<С (к)+(хк„)]ф (х). (13)

;=1 ;=1

Учитывая свойство ортонормированных функций:

с Г1, если / = ;

| Ч х)ф( х)ф;(х) = ] ^

О 10, если / ^ ;

2

интегрируя правую и левую части (10) и последовательно умножая их на <pj (х), можно получить

с1; (к+1)=с; (к)+куф (хк+1). (14)

Таким образом, с помощью выражения (14) на каждом шаге обучения определяются коэффициенты С! в разложении (4) для каждого / -го класса.

Остановимся теперь на двух моментах: выборе начальных приближений с;0 и определении корректирующих коэффициентов ук .

Сначала рассмотрим вопрос, связанный с выбором начальных приближений с;0 .

В связи с тем, что до начала процесса обучения мы не имеем никакой информации о значениях /0(х), предлагается использовать принцип максимальной неопределенности системы классификации, в соответствии с которым коэффициенты С’;0 определяются таким образом, чтобы энтропия классификации (системы принятия решения) была максимальной на всем поле

с;.

В работах [3,4] отмечено, что нормированная решающая функция

т

_ 2 СФ1 (х) т _

Т (х) = Чт^----------= 2 С;Ф (х) (15)

|2 С;Ф( х)ас ;=0

о ;=0

может рассматриваться как аппроксимация плотности распределения фазовых координат ВС, соответствующей некоторому / -му классу ТРС / (х, щ).

Тогда средняя по области возможных значений внешних характеристик энтропия системы принятия решения определяется следующим образом:

_ х2 Г к т ______ т _ |

н =-Н2 [2 сфф (х)]1п 2 с;ф (х)\у(х)<&, (16)

х I ;=1 /=1 /=1

где О - область интегрирования - замкнутое подмножество пространства X ( в одномерном

случае О = [ х1, х2]); у( х) - априорная плотность распределения внешних характеристик (фазо-

вых координат ВС) анализируемых воздушных ситуаций на X.

Априорные плотности у(х) и априорные вероятности классов Р(щ) могут быть получены в результате детального имитационного моделирования функционирования ВС в исследуемом районе воздушного пространства.

В тех случаях, когда неизвестны априорные вероятности классов Р(щ ) , или, по каким-либо причинам, их не предполагается учитывать, принцип максимальной неопределенности приводит к выражению:

1

/0( х) = ------ , (17)

к (х2 - х1)

где к - число классов.

Если имеются априорные вероятности классов, то коэффициенты определяются путем решения нелинейной задачи оптимизации:

f(x)dx \, (18)

Cj’ = arg max \ H” (Cj") = J Z IZ j (x)]ln Z j (x)

Cj [ xj L j=1 i=0 i=0

при ограничениях

x2 m

J Z Cf (x)f (x)dx = P(w), Vj. (19)

x1 !'=°

Остановимся теперь подробнее на выборе корректирующих коэффициентов yk . Как известно [3,4] , коэффициенты gk определяют скорость и устойчивость сходимости процесса обучения решающих функций. Обычно ук выбирают исходя из одного из условий:

j) П = const; 2) |im П = 0 Zg <¥ .

к®¥ к=1

Постоянные коэффициенты yk обеспечивают быструю сходимость, убывающие значения соответствуют большей помехоустойчивости алгоритма.

Предложенный алгоритм позволяет сформировать множество типовых расчетных ситуаций для анализа рисков возникновения катастроф и летных происшествий.

X

2

ЛИТЕРАТУРА

1. Анодина Т.Г. Моделирование процессов в системе управления воздушным движением. - М.: Транспорт, 1988.

2. Анодина Т.Г., Кузнецов А. А., Маркович Е.Д. Автоматизация управления воздушным движением. - М.: Транспорт, 1992.

3. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. - М.: Мир, 1978.

4. Биргер И.А. Техническа диагностика. - М.: Машиностроение, 1978.

5. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. - М.: Наука, 1972.

SEPARATION STANDARD ACCOUNTING SITUATION FOR DETERMINATION

OF THE COLLISION RISK

Ivenina E.M., Ivenin I.B., Kurilenok A.S.

The methodical approach is offered to motivation and separation standard accounting situation for analysis of the aircraft collision risk. The standard accounting situations stand out on the base of the pattern recognition principles and correspond to the image centres in space of the aircraft phase coordinates.

Сведения об авторах

Ивенина Елена Михайловна, окончила МГУ им. Ломоносова (1986), старший преподаватель кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор 7 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в механике полета и исследовании операций.

Ивенин Игорь Борисович, 1955 г.р., окончил МАИ им. С. Орджоникидзе (1978), кандидат технических наук, доцент ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор более 70 научных работ, область научных интересов - математические методы системного анализа, исследования операций и обоснования решений.

Курилёнок Антон Сергеевич, 1984 г.р., окончил МГТУ ГА (2007), аспирант кафедры прикладной математики МГТУ ГА, область научных интересов - математические методы системного анализа.