Математическая постановка задач обоснования качественного состава авиационного парка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.81

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОБОСНОВАНИЯ КАЧЕСТВЕННОГО СОСТАВА АВИАЦИОННОГО ПАРКА

Е.М. ИВЕНИНА, И.Б. ИВЕНИН

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Рассмотрены проблемные ситуации обоснования качественного состава авиационного парка гражданской авиации. Приведены математические постановки задач обоснования рационального типажа воздушных судов. Рассмотрены особенности решения этих задач.

Ключевые слова: математическая постановка, качественный состав, авиационный парк.

Задача обоснования качественного и количественного состава авиапарка (задача обоснования типажа и парка воздушных судов) в настоящее время является типовой задачей стратегического планирования деятельности авиапредприятия и широко представлена в научнотехнической литературе [1, 2, 3]. Однако попытки учета различных аспектов и особенностей этих задач приводят к различным математическим постановкам и требуют применения, а в ряде случаев и разработки различных методов их решения.

Проблему векторного показателя качества функционирования авиапарка (эффективность-стоимость) чаще всего решают путем фиксирования уровня одного из показателей и оптимизацией другого.

Рассмотрим задачу формирования парка ВС авиапредприятия в обратной постановке, когда требуется минимизировать стоимость создания и эксплуатации в течение заданного времени такой совокупности ВС, составляющих парк, которая обеспечивает выполнение заданного плана воздушных перевозок

где Сг - стоимость создания и эксплуатации в течение заданного интервала времени одного ВС г-го типа; - количество ВС /-го типа в авиапарке предприятия; ЖП - показатель реальной эф-

фективности парка ВС, отражающий среднее за период недовыполнение плана перевозок; Ж0 - заданное допустимое значение, ограничивающее недовыполнение плана перевозок;

СП - плановая интенсивность перевозок поу-му маршруту; Л/}. (^) - текущая интенсивность перевозок воздушными судами /-го типа по у-му маршруту; mi - пасажировместимость ВС /-го типа.

Естественно, что минимальная стоимость авиапарка при заданных характеристиках ВС различных типов зависит от планируемого объема перевозок

Введение

Сп = 2 Сгкг ® тіп;

хГ = Ё хПЛ • С1)

3=1

Поэтому, представляет интерес динамика изменения рационального состава авиапарка в зависимости от планируемого объема перевозок. Для того чтобы эта зависимость была однозначной, будем полагать, что суммарный объем перевозок может меняться при сохранении структуры перевозок, задаваемой отношениями

хПЛ

ЛПЛ

Лі+і

bi; і = 1, n» -1. (2)

Анализ проблемы обоснования рационального типажа парка ВС авиапредприятия позволяет выделить две проблемные ситуации, отражающие различные аспекты проблемы.

ПС1: проблемная ситуация, связанная с обоснованием рационального качественного состава (или нескольких рациональных составов) для обеспечения заданного планового объема перевозок.

ПС2: проблемная ситуация, связанная с выделением в пространстве плановых объемов перевозок областей постоянства рационального качественного состава авиапарка.

В рамках данной работы предполагается, что использование ВС разных типов на одном маршруте нецелесообразно.

Первая проблемная ситуация порождает три возможные частные постановки задачи, имеющие самостоятельное значение:

Задача А. Заданы: совокупность маршрутов (расчетных задач) и определенные на этой совокупности объемы %ПЛ и структура {bj} перевозок, упорядоченный набор альтернативных

вариантов ВС и их характеристики. Необходимо определить рациональный по критерию минимальной стоимости состав однородного (включающего единственный тип) парка ВС, обеспечивающий заданный объем и структуру перевозок.

Математически эта задача может быть сформулирована следующим образом: требуется определить такой индекс Г , соответствующий единственному типу ВС, что

= arg mir» Кг ({хг }г- ,лп,{ß} м

•XieXQ

(\ ПТ

,лпл ,{ß,}i^ )=І

i=1

J Іmax jo, f%ПЛ -11 (t)mi |Ц < W0;

ck;

wn = —

П Dt to 1

C N»

izl______= ß • сПЛ = \ ' сПЛ

сПЛ гі-> Лъ Л]

Лі+1 1=1

Пт

І1 <m, і=l, N». (3)

2=1

Неравенства (3) отражают ограничения по пропускной способности маршрутов.

Задача В. Отличается от задачи А допустимостью нескольких (Ц ) типов ВС в составе рационального типажа для реализации заданного плана (1) и структуры (2) перевозок L1 < NM .

Математически задача B может быть сформулирована следующим образом: требуется определить вектор

k* = (k*,k*,...,Кн) = arg min Kr ({kj} .=__ ,{x.}=-,{#.} .=_); (4)

", хjiEXo

N

Wn = — П Dt

- to +Dt

Hz

max < 0,

to 3

x7 - ZA(t )mi

it < Wo;

X

ПЛ

X

■P ; хП = Z X

ПЛ ; І ;

З+1

З=1

Z1 <^-, і=1, ;

i=1

rang

ZZ Kkj

r З

<

Li < NM,

(5)

(6)

(7)

(8)

где через rang

ZZ Kkj

rj

будем обозначать ранг соответствующей квадратичной формы.

Задача С. Отличается от задачи В тем, что в ней не ограничивается в пределах заданных альтернатив число типов ВС, входящих в рациональный состав авиапарка для обеспечения плана перевозок. В математической постановке задачи С ограничение (8) заменяется ограничением

rang

< L

Nm < L2 < ПТ •

(9)

Вторая проблемная ситуация обуславливается особенностями обоснования рациональных составов авиапарков при стратегическом планировании и формировании программ закупок авиатехники. Эта проблемная ситуация приводит к следующей задаче.

Задача Б. Заданы: совокупность маршрутов (расчетных задач) и определенная структура {Ь} перевозок; упорядоченный набор альтернативных вариантов ВС и их характеристики; об-

ласть ХПЛ : [хтт, Хтах ] возможного изменения планируемых объемов перевозок. Необходимо выделить в области ХПЛ подобласти постоянства рациональных типажей ВС. В зависимости от допустимого числа типов ВС , определяющего рациональный типаж ВС в каждой точке области ХПЛ (решение какой из задач А, В или С определяет рациональный типаж), задачу Б можно разбить на три подзадачи: БА, Бв и БС.

^ ^ ^ *

Пусть {її , ^2,. ., їа,...} - упорядоченное множество рациональных типажей ВС, соответствующих решению задач А, В или С, при условии, что параметр х™ пробегает все возможные

значения от х™ д° стах;

1*а = (С , L X С і = sign(k*a і) = •

0,

если к„ ■ > 0, если к*. = 0,

где к*а]- - элемент решения задач А, В или С.

Постановка задачи Б может быть записана в терминах теории покрытий [1,2], в соответствии с которой распределяющей функцией будем называть целочисленную функцию Е (х™), определенную на интервале Х™, Х^] и принимающую в любой точке этого интервала значение, равное номеру (индексу) того типажа, который является рациональным в этой точке. Распределяющая функция Е(х™) порождает на сегменте ХтП, Х^] ряд областей Дирихле Ха,

на которых определена соответствующая мера m (Х ) в виде длины интервала Ах

.ПЛ .

X а = X î ХтЛ, xmf]/ EХПЛ ) = a, С = 1,2,. ••}•

n

rj

1

Отметим основные особенности задачи БА, как наиболее простой, позволяющей проследить изменение рационального типажа ВС в зависимости от планируемых объемов перевозок. Постановку и решение задачи БА упрощает следующее утверждение: число областей Дирихле Ха, порожденных распределяющей функцией Е(хПЛ) на множестве М конечно.

Необходимо отметить, что в задаче БА граничными точками областей рациональности типажей (областей Ха ) могут быть только точки, определяемые равенствами

V/, ] = I; Кгг (хПЛ) = Кг, (хПЛ);

Пусть функции Кг, (х^ПЛ), і = 1, ПТ являются кусочно-гладкими на ХПЛ, тогда на сегменте

Стіп, СтаХ] может быть выделено конечное множество частичных интервалов \аа,Ъа], на каждом из которых эти функции имеют непрерывные первые производные.

Введем в рассмотрение функции

р (хПЛ)=Кг (хПЛ) - Кг (хПЛ),

образуемые таким образом, что если на частичном интервале \аа,Ъа] существуют і,I, для которых Кг (х™ ) = Кг (х™ ), то р (хП ) можно выбрать так, что:

Р и (аа) < 0, Р (Ъст) > 0, 0 < Лї < р '(хПЛ) < Л2.

Если на \а°, Ъа] есть граничные точки множеств Ха, то они должны удовлетворять уравнению р (х^г ) = 0, равносильному при 1 ф 0 уравнению /и (хПг ) = хПЛ,

где і (хПЛ)=хПЛ-1рп (хПЛ), (10)

причем 1 -1Л2 < І'¡і ) < 1 -1Ли

и точка хПЛ по определению \4] - неподвижная точка отображения (10).

Всегда можно подобрать 1> 0 так, чтобы /и (х™) было сжимающим отображением на

\а°, Ъа]. В соответствии с принципом сжимающих отображений всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве Я, имеет одну и только одну неподвижную точку. Таким образом, на каждом частичном интервале \а°, Ъа] могут существовать не более С2Т неподвижных точек отображений вида (10), а следовательно, и граничных точек областей Ха. Так как число частичных интервалов \аа, Ъа] конечно, то конечно и множество граничных точек областей Ха на всем сегменте х,™, х^аХ].

В качестве следствия рассмотренного утверждения можно отметить, что каждая точка интервала хІП, хІ^аХ ], за исключением упомянутых граничных точек, принадлежит только одной области Ха.

Необходимо отметить, что сказанное выше предполагает возможность равноэффективности альтернатив ВС только на множествах малой меры. В то же время это допущение не является жестким, так как: во-первых, существование конечных интервалов равноэффективности альтернатив на практике маловероятно; во-вторых, всегда можно считать, что точки интервалов равной эффективности (равной стоимости) принадлежат какой-либо одной области.

В С -

Для условий задач Б и Б могут быть рассмотрены аналогичные утверждения, основанные на обобщениях принципа неподвижной точки [4].

В итоге задача БА может быть математически сформулирована следующим образом: требу-

ется определить число X областей ХПЛ и оптимальную распределяющую функцию Е(с™) так, что

при выполнении условий (7) - (9).

Методам решения задач типа А, В, С и Б посвящено большое количество работ, что само по себе говорит о методической незавершенности проблемы обоснования рационального типажа. Достаточно общие, но трудоемкие алгоритмы решения подобных задач разработаны на основе применения методических подходов теории покрытий [ 1, 2].

Тем не менее, практика исследовательской работы показывает, что наиболее эффективными, как правило, являются алгоритмы, использующие особенности решаемых задач.

Задача А в рассматриваемой статической постановке является задачей скалярного математического программирования на конечном множестве. Ввиду сравнительно малой мощности исходного множества альтернатив ВС, решение этой задачи с методической точки зрения большого труда не вызывает.

В силу упомянутого выше допущения о нецелесообразности использования ВС различных типов на одних и тех же маршрутах задача С может быть приведена к сепарабельному виду, допускающему декомпозицию [5]

при выполнении ограничений (5) - (7).

Вследствие того, что Nм < Ь2 ограничения (9) всегда удовлетворяются, и задача

определения рационального типажа ВС сводится к независимому решению Nм подзадач типа ВС для каждого маршрута

"], х^еХ0

", х^Хц

при условиях

І=1

и координирующей задачи [6]

к* = (к\ k*2,..., ) = тіп^ к* о);

Решение задачи В осложняется наличием активных ограничений (8) на число типов ВС, входящих в рациональный типаж. Для решения этой задачи можно достаточно эффективно использовать аппарат динамического программирования.

Задача В относится к неклассическим задачам вариационного исчисления. Для ее решения в общей постановке требуется привлечение специального аппарата, например, упомянутых методов теории покрытий. Задача БА ввиду сравнительно малой мощности исходного множества альтернатив ВС практически сводится к построению нижней огибающей зависимостей

К СП\Р,},. _______) и не требует специальных методов решения.

3 =1 ^м

ЛИТЕРАТУРА

1. Пиявский С.А., Брусов В.С., Хвилон Е.А. Оптимизация параметров многоцелевых летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1974.

2. Брусов В.С., Баранов С.К. Оптимальное проектирование летательных аппаратов. Многоцелевой подход.

- М.: Машиностроение, 1989.

3. Орлов В.В. Методический подход к выбору рационального типажа воздушных судов пассажирской авиации // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, №145, 2009.

4. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1984.

5. Первозванский А.А., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация.

- М.: Наука, 1979.

6. Лэсдон Л. Оптимизация больших систем. - М.: Наука. 1975.

THE MATHEMATICAL STATEMENT OF THE PROBLEMS OF THE SHAPING OF AIRCRAFT PARK QUALITATIVE COMPOSITION

Ivenina E.M., Ivenin I.B.

The problem situations of a substantiation of qualitative structure of civil aviation park are considered. The mathematical statements of problems of a substantiation of a rational qualitative composition of aircrafts are resulted.

The features of the decision of these problems are considered.

Key words: mathematical statement, qualitative structure, aviation park.

Сведения об авторах

Ивенина Елена Михайловна, окончила МГУ им. Ломоносова (1986), старший преподаватель кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор 7 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в механике полета и исследовании операций.

Ивенин Игорь Борисович, 1955 г.р., окончил МАИ им. С. Орджоникидзе (1978), кандидат технических наук, начальник лаборатории Гос НИИАС, автор более 70 научных работ, область научных интересов - математические методы системного анализа, исследования операций и обоснования решений.