Статическое и динамическое распределение ресурсов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

№132

УДК 519.83

СТАТИЧЕСКОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ

В.А. ГРЕХОВ, И.Б. ИВЕНИН, Н.С. КУДРЯВЦЕВ Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Рассматриваются новые методические подходы к решению задачи оптимального распределения ресурсов. Задачу статического распределения ресурсов предлагается решать в постановке теории покрытий. Задача динамического распределения ресурсов в условиях конфликта ставится и решается как дифференциальная игра.

Введение

Распределение ресурсов для эффективного решения некоторой совокупности задач является составной частью процесса оперативного планирования в различных предметных областях. К этому классу задач относятся, например, задачи распределения горючего, запасных частей и агрегатов и других ресурсов для обеспечения заданного плана воздушных перевозок. К этому же классу задач относится распределение парка воздушных судов авиапредприятия по различным маршрутам воздушных перевозок.

Задача распределения ресурсов может решаться как в статической, так и в динамической постановках. Причем под статической постановкой понимается такая постановка задачи, когда распределение ресурсов производится единовременно по всей совокупности расчетных задач (РЗ) без учета возможности взаимного влияния и перераспределения ресурсов во времени. Динамическая постановка предполагает оптимальное распределение ресурсов во времени (в непрерывном или многошаговом процессе решения расчетных задач).

Чаще всего задачи статического распределения ресурсов сводятся к оптимизационным задачам нелинейного программирования [1,2]. В рамках данной работы задачи распределения ресурсов ставятся в статической и динамической постановках, как задачи оптимального управления. Причем в динамической постановке рассматривается задача распределения ресурсов в конфликтной ситуации, приводящая к дифференциальной или многошаговой игре.

1. Статическое распределение ресурсов

Рассмотрим частный, отличный от классического, вариант распределения разнородных ресурсов по расчетным задачам и определения областей рационального применения каждого из типов ресурсов. К таким задачам относится, например, распределение неоднородного парка воздушных судов по маршрутам воздушных перевозок с одновременным определением рационального типажа воздушных судов и рациональных областей (на множестве расчетных задач) их использования.

Будем считать, что заданы совокупность расчетных задач £ = {Д.}, упорядоченный набор X имеющихся в распоряжении оперирующей стороны альтернативных вариантов ресурсов, их условные стоимости {С.} и ограничения на их допустимое количество }, требуемая эффективность решения каждой расчетной задачи {Щ0}, а также определены функциональные зависимости эффективности решения расчетных задач от количества выделяемых для их решения единиц ресурсов каждого типа {Щ (к.), V/}. Совместное выделение ресурсов разных типов для решения одной и той же расчетной задачи не допускается.

Необходимо определить рациональное по критерию минимальной условной стоимости распределение имеющихся ресурсов по расчетным задачам при условиях:

Р1: типаж ресурсов, привлекаемых к решению расчетных задач, не ограничен (одновременно разрешена к применению вся номенклатура ресурсов - Ь типов);

Р2: типаж ресурсов, привлекаемых к решению расчетных задач, ограничен по техническим условиям некоторым предельным значением Ь1 входящих в него типов ресурсов, причем Ь < N ( N - число расчетных задач).

Математически подзадача Р1 может быть сформулирована следующим образом: требуется определить матрицу оптимального распределения ресурсов

Щ\ = ar§ min S C S kV

j=1 i=1

и соответствующим вектор

r =■

\j. k j > °; 0, kj = °

(1)

(2)

минимизирующие условную стоимость решения совокупности расчетных задач с заданной эффективностью

W (kl, k 2,..., klL ) > W0

при условии

rang

SS rrj

< L в подзадаче Pl, или rang

SS rrj

(3)

< L < N в подзадаче P2, (4)

отражающем ограничения на допустимую номенклатуру применяемых ресурсов, и ресурсных ограничениях

Через rang

SS V,

S k < r , ",=u .

здесь обозначен ранг соответствующей квадратичной формы.

(5)

Вектор г * определяет области рационального применения (и, следовательно, рациональный типаж) располагаемых ресурсов.

Под областями Ц рационального применения ресурсов будем понимать множества расчетных задач, для решения которых применение данных ресурсов является оптимальным по выбранному критерию, при условии допустимости одновременного применения ограниченного количества или всех типов ресурсов.

Необходимо отметить, что задача (1).. .(5) может быть записана и решена в терминах теории покрытий [3], в соответствии с которой распределяющей функцией будем называть целочисленную функцию Е(£.), определенную на множестве £ и принимающую в любой точке этого множества значение, равное номеру (индексу) того типа ресурса, который является рациональным в этой точке. Распределяющая функция Е (£) порождает на множестве £ ряд областей Дирихле Ц, на которых определена соответствующая мера тл (£) в виде мощности множеств Ц.

В данной работе предлагается рассматривать и решать задачу (1)...(5) в терминах динамического программирования.

*

r = Kl , r2 ,..., 'N

г =1

Процесс распределения типов ресурсов по расчетным задачам можно рассматривать как многошаговый управляемый процесс, на каждом шаге которого управлением является вектор Щ, характеризующий выбор одного и только одного из допустимых типов ресурсов для решения каждой расчетной задачи:

щ г,...,пшX ХЩщ =1

}=1

где г/„- - индикатор использования ]-го типа ресурса для расчетной задачи с номером б:

(6)

{-1 О \ .... >< О О г \ .. г \ г \ x\ 0\ ~*.. • /\ г \ \ .. X О <■* г X \

1, апее аеу оа0 аі еу Б-е дааа^е аиаеоааопу і - ие оеі оапоопа,

(7)

0, а і оі оеаі 11 еі жі 11 пео^аа.

Для построения алгоритма решения задачи (1)...(5) методом динамического программирования введем дополнительные переменные X = (ХХ2,..., Хш) такие, что

Х 11, если V/ = 1,, -1, щ = 0,

|

10 в противоположном случае.

(8)

Тогда задачу (1)...(5) можно сформулировать следующим образом: требуется определить набор управлений {щ1,Щ2,...,Щ } , минимизирующий критериальный функционал

Кг = I с, (Л,) = II с,к,А,

(9)

с учетом уравнений связи

", Х+и = тах{0, ^ - Л}, І =1, N , С+и =С,І -кЛ, С = К, ",

(10)

(11)

ограничений на допустимую номенклатуру ресурсов

N

ИХ, г N - ц= М; V,, Хъ. = 1

У ] ]=1

и ограничений на располагаемое количество ресурсов

X К щ£ к>, " ^ сг 0 .

В выражении (9) к. определяются как

(11)

(12) (13)

Решением этой задачи будет набор оптимальных управлений {щ* ,Щ2* ,...,Щ*} и соответст-

к, = {тіпк,, П',(к,)>Г,", і}

вующая матрица оптимального распределения

І|кІ =

ресурсов

7 *

кі лА .

Основное уравнение динамического программирования в форме Беллмана для условно оптимальных значений функционала и условно оптимальных управлений записывается в виде [4]

б* (Х-1 )= тіп і а’+1 (Х) + С, (Л) + с1

тах

0; М -1 тах (j -Л)

І'

Л (I-1 ) = агБ б* (І,-1);

+ С0 • тах

0; Пс-1,і - кЛі

(14)

(15)

.V

* І

66N (Х-1 ) = тіп і СN (Ли ) + С1 • тах

0; М -1тах (0; х-1І -Лиі )

І _

Ли (4-1 ) = 6И(4-1)

+ С0 тах

0; ПІС-1, і А

N

>; (16)

(17)

где 31 = СО • тах

0; М -1тах (0; х-1,; -л )

- штрафная функция за нарушение ограничений

(11), а 32 = С02 •тах

0; Кі -1тах(°; х-1,і-Лі )

штрафная функция за нарушение ограни-

чений (12); СО и С02- положительные штрафные константы.

Решение рассмотренной задачи позволяет получить оптимальное распределение ресурсов и области рационального применения каждого типа ресурса при единовременном планировании (в статической постановке).

В практике оперативного планирования часто приходится иметь дело с распределением ресурсов многократного применения в процессе некоторых операций. Особый интерес представляет динамическая задача распределения ресурсов в условиях конфликта. К таким задачам относятся, например, задачи распределения информационных ресурсов компании и задачи распределения летного ресурса авиапредприятия в условиях жесткой конкуренции и борьбы за рынки.

2. Динамическое распределение ресурсов в конфликтных ситуациях

Данную задачу будем рассматривать на некотором классе процессов конкурентной борьбы, описываемых уравнениями типа уравнений Ланчестера [1].

Для простоты изложения рассмотрим двусторонние действия противоборствующих сторон (стороны I и стороны II), каждая из которых имеет в своем распоряжении запасы ресурсов двух типов, способные действовать каждый по каждому (рис. 1), то есть применение ресурса какого-либо типа стороны I по ресурсу стороны II приводит к уничтожению (вытеснению) элементов последнего с некоторой заданной интенсивностью. Ниже будем называть противоборствующие стороны противниками.

Рис. 1. Граф состояний двусторонних действий с восстановлением

Для описания динамики конкурентного взаимодействия, соответствующей приведенному графу состояний, ограничимся простейшей математической моделью в виде уравнений Ланче-стера с восстановлением ресурсов [1,2]:

^ = -(V lmnl + ътъ) ^т)+х (мі- ті);

2 = -( ^2/^ + ^2п2 ) Q(m2 ) + X2 (М2 - т2 ) і (18)

йт.

~£2~~(V12mlnl + V22m2í*2 ) 1 І^”2 "‘2

= - (ииЯіт + и2іЛт2) Q(nl)+hl (^і- пі);

ййПг = - (и12^1т1 + и22^2т2 ) Q(n2 ) + h2 (^2 - П2 ) і =+(vllmlnl + ^2 п2 ) Q(ml) - х (т);

^йт^ = ( + ^2^ ) Q(m2) - X2 (т2 ) і

й (П1)

= (ип\т1 + и21Л2 т2 - h1 (/51); (19)

=(и12^1т1 + и22Л!т2 -h2 ( П2 ) »

где т1, т2 - средние численности работоспособных ресурсов первого и второго типа в распоряжении стороны I, а М1 и М2 - их начальные численности; п1, п2 - средние численности ресурсов,

находящихся в распоряжении стороны II, а Ы1 и Ы2 - их начальные численности; Ц - эффек-

тивные интенсивности воздействий по противнику ресурсов первого и второго типа стороны I; дд- эффективные интенсивности воздействий по противнику ресурсов первого и второго типа стороны II; и^ - управления I стороны - доля ресурсов 1-го типа, действующих по ресурсам ]-го типа противника; V^ - аналогичные управления стороны II; Х,Х2 - интенсивности восстановления ресурсов стороны I, ^^- интенсивности восстановления ресурсов стороны II, т1, пг2, п, П2 - средние численности прекративших функционирование (неработоспособных) ресурсов, соответственно, стороны I и II , удовлетворяющие в любой момент времени уравнениям баланса:

тп1 ^) = М1 ^) - т1 ^), / = 1,2, (20)

п! (1) = N() - /(), 1 =1,2 • (21)

В системе уравнений (18).. .(19) Q( х) - функция Хевисайда вида

(1, х > 0;

Q( х) = \ (22)

[0, х < 0.

В качестве критериального функционала задачи оптимального динамического игрового распределения ресурсов можно рассмотреть функционал качественно-количественного соотношения ресурсов сторон на момент Т окончания конкурентного взаимодействия:

^ (и11, и12, и21, и22, V11, V12 , V21, ^22) = [а1т1(Т ) + а2 т2(Т )] — [а1П1(Т ) + а2 П2(Т)] , (23)

где а,а2 - коэффициенты соизмеримости (важности) ресурсов разных типов, которые для обеих сторон будем для простоты считать одинаковыми.

Учитывая, что

щ (T) = f dt, (24)

: dt

t0

T

n (T) = fdt; i=1,2, (25)

J Ht

dt

l0

с учетом системы (18) _ (19) критериальный функционал можно записать в виде

1

J = f [(am (t) + a2 m2 (t)) - (a1n1 (t) + a2 n2 (t ))]dt =

t0

TT

= f ai t- ( V1imni + V2im2П2 ) Q(mi ) + X1 (mi )]dt + f a2 [— ( V12mni + V22/^2П2 ) Q(m2 ) + X2 (m2 )]dt —

t0 ¿0

TT

—f ai [— (U11 Km + u21^2m2 ) Q(ni ) + h (n1 )]dt — f a2 [— (U121mi + u221m2 ) Q(n2 ) + h (n2 )]dt (26)

t0 t0

Тогда задачу динамического распределения ресурсов с учетом разумности действий противника и противоположности их интересов можно сформулировать в виде дифференциальной игры: требуется определить управления

T

« , u*2 , U*21, U*22 , v*1, v*2 , V21, V22 ) = аГ§ maX min f [(Цт (t) + CC21'h2 (t)) — (aA (t) + ^2 (t))]dt (27)

uij vij *

l0

при дифференциальных уравнениях связи (18), (19) и ограничениях на управления:

u11(t) + u12(t) = 1, "t, 0 < Uj < 1, i, j = 1,2; (28)

vn(t) + v^(t) = 1, "t, 0 < Vj < 1, i, j = 1,2. (29)

Для каждой из сторон задача (27), (18),(19), (28), (29) при фиксированных управлениях противника является задачей оптимального программного управления с интегральным критери-

альным функционалом в форме Лагранжа, закрепленным левым и свободным правым концами.

Для построения схемы решения модифицируем критериальный функционал и запишем его в виде

J = Jl(U, V0) + J2 (U0 , V) (30)

где u0 и V0 - фиксированные управления сторон.

Дифференциальная игра с критериальным функционалом (30) является условно сепарабельной [6,7].

Можно показать, что если итерационный процесс

u*= arg max J (Uk, v*—1) (31)

u

v*= arg min J (uk—^ vk) (32)

V

сходится при k ® ¥ , то его предельные значения определяют оптимальное программное динамическое распределение ресурсов.

Структуру оптимального управления сторон можно показать на примере решения частной задачи оптимального управления (27).

Составим функцию Гамильтона-Понтрягина [5], соответствующую этой задаче:

Н =У0Ц {-( Л>тп + ¿21^2 )0(тО + Х ( т1 )}+ Уоа2 {-( ^12^1^1 + ¿22^2 )0(™2) + Х2 (^2 )} + +Уо«1 [(^„Дт1 + ЩАт2 )0(пО + ^1 (П1 )] + Уоа2 {(и121т1 + ^22^2 ) ^(П2) + % (Щ2 )} +

+У {- (¿11^1П1 + ЗДЩ ) 0(^1 ) + Х (Щ )} + У2 {- (¿12 АП1 + ¿22^2П2 ) 0К ) + Х2 (^2 )} +

+У3 {(¿11^1^1 + ¿21^2П2 ) 0(т1 ) - Х (т1 )} + У4 {(¿12^1^1 + ¿22^2^2 ) 0(т2 ) - Х2 (т2 )} +

+01 {- (Щ1 Дт1 + Щ2112т2 ) 0(Щ ) + Ъ (Щ )} + 02 {- (Щ121т1 + Щ2212т2 ) 0(Щ ) + ^2 (Щ2 )} +

+03 {( Щп1т1 + ^21^2^2 )©(Щ1)-^1 (Щ1 )}+ (Р4 {(Щ12Дт1 + ^22^2^2 )©(Щ2) - % ( Щ2 )} (33)

где \ц -фиксированные управления второй стороны, у и 0 - соответствующие сопряженные переменные.

Полагая у0 = -1 и учитывая линейность функции Гамильтона-Понтрягина по управлениям,

можно, используя теорему принципа максимума [5], определить структуру оптимального управления в виде

[ 1, если 0(и, ) [j - j + a ] > 0(и2 ) [ j4 - j + a ] ; 0, если 0(n ) [j3 - j + a1 ] < 0(n2 ) [ j4 - j2 + a2 ]

(34)

* I1, если 0(Щ1) [^3 -0 +а1 ]<0(п2) [04 -02 +а2 ];

Щ12 = 1 г , г , (35)

если 0(Щ1 ) [^3 - (р1 + а1 ] > 0(п2 ) [04 - 02 + а2 ] .

Аналогично определяется вектор .

Заключение

Рассмотренные постановки и методы решения задач статического и динамического распределения ресурсов позволяют построить достаточно эффективные алгоритмы численного решения этих задач. При этом обе задачи рассматриваются и решаются как задачи оптимального управления ресурсами.

*

“il

ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е.С. Введение в исследование операций. - М.: Советское радио, 1964.

2. Гурин Л.С., Дымарский Я. С., Меркулов А. Д. Задачи и методы оптимального распределения ресурсов. -М.: Советское радио, 1968.

3. Брусов В.С. Системный анализ и автоматизированное проектирование летательных аппаратов. - М.: Изд-во МАИ, 1982.

4. Беллман Р, Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. - М.: Наука, 1965.

5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1969.

6. Брайсон А., Ю-Ши Хо. Прикладная теория оптимального управления. - М.: Мир, 1972.

7. Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. - М.: Высшая школа, 1998.

THE STATIC AND DYNAMIC RESOURCE ALLOCATION

Grekhov V.A., Ivenin I.B., Kudrjavcev N.S.

The new methodical approaches is examined near the decision of resources optimum allocation task. It is suggested to decide the resources static allocation task in statement of the coverage theory. The resources dynamic allocation task in the conditions of conflict is set and decides as a differential game.

Сведения об авторах

Грехов Виктор Анатольевич, 1977 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1999), научный сотрудник научно-исследовательского отдела ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 7 научных работ, область научных интересов - математические методы системного анализа, исследования операций и обоснования решений.

Ивенин Игорь Борисович, 1955 г.р., окончил МАИ им. С. Орджоникидзе (1978), кандидат технических наук, доцент ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор более 60 научных работ, область научных интересов - математические методы системного анализа, исследования операций и обоснования решений.

Кудрявцев Николай Сергеевич, 1979 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (2003), адъюнкт ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 2 научных работ, область научных интересов - математические методы исследования операций и обоснования решений.