CC BY
55
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА Серия Прикладная математика. Информатика
№ 120
УДК 519.83
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В УСЛОВИЯХ КОНФЛИКТА
И.Б. ИВЕНИН, Н.С. КУДРЯВЦЕВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.
Рассматривается игровой подход к задаче оптимального управления потоками заявок в системах массового обслуживания. Предлагается способ решения сформированной дифференциальной игры путем ее редуцирования к сепарабельному виду.
Введение
В гражданской авиации, а также во многих других практических областях (телефонии, информационных технологиях, производстве, эксплуатации техники) возникает вопрос оптимального распределения некоторого входящего потока заявок (требований) между обрабатывающими приборами (рис.1), каждый из которых может быть представлен некоторой системой массового обслуживания (СМО).
Генератор заявок
Распределе-
ние
ЧОЛтахО)
Входящий
ПОТОК
Совокупность СМО иі(І )у (Ґ Яшах^ )
СМО 1
СМО 2
им, (ґ)10 шах (0
смол/.
Рис. 1. Схема распределения входящего потока заявок
Условимся считать генератор заявок, порождающий входящий поток, разумным и имеющим цели, в общем случае не совпадающие с целями функционирования совокупности обслуживающих приборов. При этом генератор заявок может управлять интенсивностью входящего потока (общим трафиком) с помощью управления у( ¿), определяющего интенсивность
входящего потока как долю от максимально возможной интенсивности 1^(0 .
Будем считать, что оптимальное управление совокупностью обслуживающих приборов заключается в оптимальном по выбранному критерию распределении
и (0 = («1 ( 0, «2 (0,..., им„ ( 0)
входящего потока между приборами.
В качестве критерия оптимизации управления используется число необслуженных приборами заявок за некоторый отчетный период времени [?0, Т ].
1. Постановка задачи
Предполагается, что входящий поток заявок, порожденный генератором, является пуассо-новским с интенсивностью у(1)Д шах(1), в общем случае являющейся функцией времени, отличной от нуля на некотором конечном отрезке времени.
С каждым г-м обслуживающим прибором связывается некоторый поток заявок с интенсивностью Д (1) = иг (1)у(1)10шах (^), выделяемый с помощью управления иг (1) из общего входящего потока. Разбиение общего потока на подпотоки должно осуществляться таким образом, чтобы в каждый момент времени выполнялись условия:
N
(С) = У^Ншах (1), Д (С)> а 1 = 1, 2, . . . , ^ 1 е[^Т] . (1)
г=1
Будем считать, что каждый прибор представляется открытой многоканальной СМО (по символике Кендалла [1] М/М/ш/п0), с ограниченной очередью и ограниченным временем пребывания заявки в системе, состоящей из т идентичных каналов обслуживания. Время обслуживания для каждого прибора является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром /ц(1).
Время пребывания заявок в системе считается случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром ^ (1). Длина очереди, связанной с каждым обслуживающим прибором, ограничена, причем максимальное число требований, связанных с одним прибором (находящихся на обслуживании или стоящих в очереди), в любой момент времени не превышает некоторую величину N .
При сделанных предположениях распределение вероятностей состояний каждой 1-й СМО г = 1,2,...,Ns описывается процессом типа рождения и гибели [1], динамика которого описывается системой дифференциальных уравнений Колмогорова:
Р =Д М«,М^Р (1)+М,ШР, (1) + П1(1)Е1Р, (1); 1 = 1,2,...,N, (2)
где ¥{, , Ei - известные матрицы коэффициентов, р(1) = (Рп(1),Рг2(1),...,Рт (1)) - вектор ве-
роятностей состояний 1-й СМО.
Система (2) вместе с начальными условиями
Р (О = (р„м, РЖ),..., р,Кг (1о))Т (3)
и ограничениями (1) образует математическую модель рассматриваемой СМО.
В качестве критерия эффективности работы системы приборов рассматривается среднее число необслуженных за отчетный период времени заявок:
Т N.
У (U, ^ 1) = р, йгУ1 ,
<0 г=1
где Д =( 0,^- ,2hi,.., Nр^г + шДшах) вектор, характеризующий интенсивность покидания необ-
служенными заявками 1-ой СМО.
Формирование входящего потока генератором и его распределение между решающими приборами происходит в конфликтной ситуации, когда интересы генератора и системы обслуживания не совпадают. В рамках данной работы предполагается, что интересы генератора и системы обслуживания противоположны. Таким образом, возникает игровая задача оптимизации управления генератора и системы обслуживания, математическую постановку которой можно сформулировать следующим образом: требуется определить такие оптимальные управ-
ления генератора v* (t) и совокупности СМО - и * (t), которые обеспечивают
(v*(t),и*(t),...,и2(t)) = arg inf sup J(v(t),и(t),t). (4)
V ' ui(t )eU 0£v(t )<1
Если ограничиться рассмотрением искомых управлений v(t) и и,(t), i = 1,2,...,Ns в классе кусочно-непрерывных функций и считать, что динамика фазового движения (в фазовом пространстве вероятностей состояний СМО) системы описывается дифференциальными уравнениями Колмогорова (2), то соотношение (4) определяет решение дифференциальной игры.
Для решения этой игры предлагается использовать принцип максимума Понтрягина [2] с предварительной редукцией исходной задачи к сепарабельному виду [3].
2. Оптимальное распределение фиксированного входящего потока
Прежде чем рассматривать игровую задачу, остановимся на решении задачи оптимального распределения входящего потока между обслуживающими приборами, которую можно сформулировать следующим образом: требуется определить управляющую вектор-функцию
при ограничениях
и * (t) = arg min J(уФ (t), и (t), t)
Ui(t y=U
^и, (t) = 1, 0 < и(t) < 1, "te[t0,T], i = 1,2,...,Ns
и дифференциальных связях (2) с начальными условиями (3).
Применим к данной задаче принцип максимума Понтрягина, в соответствии с которым составим функцию Г амильтона-Понтрягина:
н = /о К Р, Д) + К *г, /,),
где:/г - вектор-функция правых частей дифференциальных связей; Ф, = (/г1, /2,...,у ) вектор импульсов (сопряженных переменных), удовлетворяющих сопряженной системе:
дР
i = 1... N.
(5)
i У
где под производной скалярной величины Н по вектору Р понимается вектор-строка:
dH
дР
(
dH dH
dH
Проводя покомпонентное дифференцирование в (5), можно окончательно записать:
R, Sn,+1
Y , A,Sn?+4 J
дР
где: Sj = - единичный орт; j = 1, Nр ;
V
д1
4 = =и,- Д р+ уд .
Щ
Так как в рассматриваемой задаче оптимального управления правый конец свободен (т. е.
N
1=1
нет ограничений на векторы Рі (Т)), то условия трансверсальности справа принимают вид: у}. (Т) = 0 "і, І, что в силу уІ (-)ї 0 определяет у0 =-1.
В таком случае гамильтониан системы может быть записан в виде:
Н = (-1) Т( Р ■ Д)+Т.(ф і ■ })■ (6)
Из принципа максимума следует, что на оптимальном управлении функция Гамильтона- Пон-трягина необходимо достигает своего максимума. Так как функция (6) линейна по управлениям иг., то ее максимум достигается на управлениях и* (*) (г = 1,2,..., ):
*
U
1, если i = arg max br;
0, если i Ф arg max br; i, r = 1, Ns
Y,ER)-P
i = 1,2,..., N .
3. Игровая оптимизация управлений
Перепишем исходную игровую задачу в следующем виде: требуется определить
(u*, V* ) = arg min max J ({R } ,{Y}, u, v, t), (7)
u v
при ограничениях:
а) условие формирования входящего потока (условие генерирования конечного числа заявок за конечное время):
і
jV (t Hmax (t) dt = NP ; 0 £ V (t )£ 1 , t Є [t0, T] (8)
б) условия распределения входящего потока без потерь:
Xи(*) =1, 0<и(*)<^ *e[to,T], г = 1,2,...,.
г
Под решением дифференциальной игры (7) будем понимать такие V* (*) и и * (*), которые обеспечивают выполнение двойного неравенства
Ж (и*, V)< Ж (и*, V* )< Ж (и, V*).
В соответствии с [3], если Э 2Ж/Эм Эv = 0, то дифференциальная игра называется разделимой (сепарабельной). Для сепарабельных игр всегда выполняется:
тт тах Ж (и, V ) = тах тт Ж (и, V). (9)
и V V и
Для редуцирования игры (9) к сепарабельному виду введем вспомогательный функционал
Т Т
3 (u,v) = 31 (^йvф) + 32 (у йф, v) = р,(и,vф))& + Р^ (Мф, v))&,
То г То г
где: Р - векторы фазовых координат задачи оптимального распределения входящего потока при его фиксированной интенсивности - v(t) = vФ (*); Р' - векторы фазовых координат задачи оптимизации входного трафика при фиксированной структуре распределения и(*) = иФ (*) .
Естественный подход [3] к учету интегральных ограничений (8) состоит в присоединении к исходной системе уравнений дополнительного уравнения состояния
0
X = -v (t )10max (t),
с граничными условиями:
#«,) = Nr, X(T) = 0.
Пусть к— сопряженная переменная, соответствующая фазовой координате £ Тогда гамильтониан расширенной системы имеет вид:
H = Я^и, уф ) + H 2(йф, v);
Hi ^, Хр ) = У oí £ ( p, R (u vФ ^ Y i, f (u VФ ^
i i
H2 (U , v) = У02 £ (P R (U0 , v)) + £ ( Y', f (U0 , v)) + Kv10max -
ii
Полученная путем редуцирования (порожденная) игра относится к классу сепарабельных игр, решение которых сводится к нахождению всегда существующей в этом случае седловой точки функции Гамильтона-Понтрягина [3, 4]:
H* = min max H (й, v) = max min H (й, v) .
V й uv
Можно показать, что решение редуцированной игры эквивалентно решению исходной игры, если сойдется рекуррентный алгоритм последовательной оптимизации:
ui*(vo) = arg max H1(^ vo); ul(vl-i) = arg max Hi0л v*-i); (10)
ueU uiU
v*(ux) = arg miiiH2(ui\v); v*k(u*k) = arg millH2(щ, v). (ii)
viV viV
Поиск решения в (i0) можно интерпретировать как решение задачи оптимизации распределения входящего потока, изложенное в п.2. Поэтому остановимся на особенностях решения задачи (ii), т.е. на задаче оптимизации входящего трафика при фиксированной структуре распределения входящего потока между приборами.
С этой целью рассмотрим задачу определения оптимального трафика:
v* = arg mÍn |У02 £(Pi' R(йф , v)) + £( Y', f (йф, v)) + K4max j , (i2)
при дифференциального связях (2) и (i2), граничных условиях (3), и дополнительных дифференциальных связях и граничных условиях:
X = vlomax; X(To) = Np; X(Ti) = 0;
K=-*H = o. (i3)
эх
Из уравнения (i3) следует к = к0 = const.
Раскрывая в (i2) скобки и приводя подобные члены, получим:
*
v = arg min
0<v<i
£ (-i)Ufv10max P'n, +i + 4max £ Uf PP/+
+ K4max ] + Q}= arg lJv + —
(i4)
d=£k (y;, pp'(-UfP;
0max .
+ K.
Из выражения (14) очевидно, что структура условно оптимального управления трафиком имеет вид:
[1, если ё < 0,
у (*) = I л ^ Л
I 0, если ё > 0.
Если ё=0 на конечном интервале времени, то возможно существование особых режимов управления [2, 3].
Граничные условия (13) на правом конце траектории всегда могут быть удовлетворены выбором постоянной сопряженной переменной К0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ивченко Г.И., Каштанов В. А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. - М.: Высшая школа, 1982.
2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1969.
3. Брайсон А., Ю-Ши Хо. Прикладная теория оптимального управления. - М.: Мир, 1972.
4. Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. - М.: Высшая школа, 1998.
OPTIMUM MANAGEMENT BY QUEUING SYSTEMS IN THE CONDITIONS OF CONFLICT
Ivenin I.B., Kudrjavtsev N.S.
Playing approach is examined to the task of optimum management by the streams of requests in the queuing systems. The method of decision of the formed differential game is offered by its leading to the separate kind.
Сведения об авторах
Ивенин Игорь Борисович, 1955 г.р., окончил МАИ им. С. Орджоникидзе (1978), кандидат технических наук, доцент ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор более 60 научных работ, область научных интересов - математические методы системного анализа, исследования операций и обоснования решений.
Кудрявцев Николай Сергеевич, 1979 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (2003), адъюнкт ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 2 научных работ, область научных интересов - математические методы исследования операций и обоснования решений.
