Многокритериальная оптимизация систем обслуживания с ожиданием, функционирующих в условиях конкуренции входящих потоков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.248: 519.6

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ В УСЛОВИЯХ КОНКУРЕНЦИИ ВХОДЯЩИХ ПОТОКОВ

В. А. Чекменев, Т. Д. Чекменева

MULTICRITERIAL OPTIMIZATION FOR QUEUEING SYSTEMS WITH WAITING OPERATING AT COMPETITIVE INPUT FLOWS

V. A. Chekmenev, T. D. Скектвпвуа

В статье рассматривается подход к оптимизации функционирования систем обслуживания, основанный на принципах устойчивости, выгодности и справедливости при распределении заявок на обслуживание от разных клиентов. Ставится задача многокритериальной оптимизации, для решения которой применяются методы теории игр. Получены аналитические решения для ряда систем обслуживания с ожиданием.

The paper describes an approach to optimizing the functioning of queueing systems based on the principles of sustainability, profitability and equity in the allocation of support requests from different clients. The methods of the theory of games are applied to mee t the objective of multicriterial optimization. The analytical solutions to some of queueing systems with waiting have been obtained.

Ключевые слова: системы массового обслуживания, многокритериальная оптимизация, теория игр.

Keywords: queueing systems, multicriterial optimization, theory of games.

Введение

Во многих информационных и других обслуживающих системах возникает проблема наиболее оптимального распределения заявок клиентов к каналам обслуживания. Так как часто в таких системах входящие потоки заявок поступают от разных клиентов, то между ними возникает конкуренция за ресурсы системы. В этих случаях целесообразно искать оптимальное решение с точки зрения нескольких критериев: устойчивости, выгодности и справедливости принимаемых решений для всех пользователей (клиентов) информационной или обслуживающей системы [2].

В статье ставится и решается задача оптимизации распределения входящих потоков по каналам обслуживания для ряда математических моделей информационных систем, описываемых системами массового обслуживания (СМО) с ожиданием, с точки зрения нескольких критериев, предложенных в [4].

Постановки задач для разных типов систем отличаются числом каналов (рассматриваются двух- и многоканальные системы), а также законами распределения времени обслуживания (экспоненциальным и произвольным с известными первыми моментами). Общим для всех задач является предположение о входящих потоках, которые образуются разными пользователями. Приведем общую часть постановки задачи оптимизации распределения заявок по каналам обслуживания с точки зрения минимизации среднего времени их пребывания в системе или в очереди.

Постановка задачи. Рассмотрим систему массового обслуживания (СМО) с ожиданием с т (в общем случае) параллельно функционирующими обслуживающими приборами (каналами). На вход СМО поступают п независимых простейших потоков интенсивности Л, (і=1,...,п). Будем считать, что требования (заявки) каждого потока генерируются отдельным пользователем А, (і=1,...,п). Пользователь А, направляет свои требования на каждый обслуживающий прибор с определённой вероятностью Ху (] - номер прибора). Требования обслуживаются в порядке по-

ступления (FIFO). Задача оптимизации состоит в определении оптимального распределения (х1 ,..., xn) заявок для каждого пользователя в условиях конкуренции пользователей за средства обслуживания. Здесь x,*= (x,!*,..., x,-m*), i=1,...,n.

В качестве показателей эффективности L, распределения заявок по приборам берутся потери, приходящиеся на суммарное среднее время у пребывания в системе (в очереди) требований, поступивших за единицу времени от каждого пользователя А, (i=1,...,n). Очевидно, потери каждого пользователя зависят от выбора всех пользователей, т. е. L, = Lt (x1,.,xn). Таким образом, получаем многокритериальную задачу оптимизации, которая формулируется как задача теории игр. Оптимальное решение рассматривается как решение бескоалиционной игры n лиц с использованием принципов равновесия и Парето-оптимальности, описанных в [6, с. 78 - 85], а также на основе вышеуказанных представлений об устойчивости, выгодности и справедливости оптимальных решений.

Для поиска Парето-оптимальной ситуации, как и в [6], пользуемся следующим утверждением [1].

Утверждение. Если для некоторых

ai > 0, i е I, x* е X имеет место равенство:

n n

min £aiLi (x) = £aiLi (x ^ (1)

xe X ,=1 ,=1

* TT

то ситуация х оптимальна по Парето.

Данной постановке задачи удовлетворяют многоканальные марковские и полумарковские СМО с ожиданием, рассмотренные ниже.

1. Марковские СМО с ожиданием

Постановка задачи. Рассмотрим марковскую систему массового обслуживания (СМО) с ожиданием, в которой параллельно функционируют m узлов (приборов). На вход системы поступают n простейших потоков заявок интенсивности X, i=1,...,n. Требования каждого потока генерируются отдельным пользователем и направляются в очередь к j-му при-

бору с вероятностью Ху . На основании теоремы просеивания и объединения простейших потоков по полиномиальной схеме образуется т простейших потоков заявок к обслуживающим приборам с интенсивностями

п

Л у = Е х1]Л1 , ] = т. і=1

Средние потери на ожидание і-го пользователя в единицу времени определяются выражением:

т

Ц (xl,.., Хп) = Л Е Хик?1, і = 1,.., n,

у=1

Е Ху =1,г'=1,.., п

у=1

Ху > 0,і = 1,.., п; у = 1,.., т.

Тогда для нахождения ситуации равновесии, являющейся внутренней точкой множества стратегий, можно воспользоваться методом множителей Лагранжа. Необходимо минимизировать функции Лагранжа

т

Zг■(xl,..,Хп) = Ц^.^Х„) -Д(^Ху- -1), 7 = l,...,П ,

У=1

где Д. - множители Лагранжа.

Покажем выпуклость функций X.. Для этого вычислим второй дифференциал:

—і /—і У ік

= 1 к=1 д Ху д Хк

Находим:

М і (Л,Ху + Л / ) - л2

= л1к,г~]"'1"у ' Гу - Д■

дХу ] М] (М; -л і)

откуда следует, что

д2 2 дху дХк

= 0, ] * к , и

д2^ л2ьт ІМ] -Лу)2 + (м] - лу)лу + МіЛіХі]

дх:

■ = 2Л2К,.

Му (Мі -Лу)3

у о ^

Так как система функционирует в стационарном

режиме ( ______]- < 1 ), то

Му

д х2

- > 0 для любого

где

х і = (Хі1,..,х іт) - вектор вероятностей распределения заявок і-го пользователя по т очередям;

к у - стоимость единицы времени ожидания заявки у у-го прибора;

Л /

V: =----------, (у = 1,...,т) - среднее время ожи-

Му (Му -Л у)

дания в очереди у у-го прибора [3];

Му - интенсивность обслуживания заявки на у-ом приборе.

Ставится задача: найти оптимальное распределение заявок для каждого пользователя в условиях конкуренции пользователей за средства обслуживания.

Оптимизация. Решением поставленной задачи будет являться точка равновесия бескоалиционной игры. Задачу поиска ситуации равновесия можно сформулировать в виде многокритериальной задачи нелинейного программирования с ограничениями:

Ц(Х1,.., Хп) ^ шіп,г = 1,..,п

Ху Є [0,1] . Таким образом, второй дифференциал

функции 2і по переменной Хі - это положительно определенная квадратичная форма. Следовательно, функция 2і выпукла на множестве Xі, а ее минимум определяется из системы уравнений:

' д2

дХі

д1_

дД

- = 0,і = 1,.., п;у = 1,.., т;

(2)

і- = 0,і = 1,.., п.

Для рассматриваемой СМО условия (2) представляют собой систему нелинейных уравнений по переменным Х у, Д :

к М (ЛХгу +Лу) -Лу Д . 1 . 1

К----------і-----=^-,г=\..,п, у = 1,..,т;

у му (му -Лу )2

. (3)

ЕХу =1, і = 1,..,п.

у=1

Применим для решения уравнений данной системы следующий метод: суммируя уравнения по

/ = 1,..,П и приравнивая их левые части к одной из них, получаем одно квадратное уравнение относительно Л у . При условии

К К

—= —т (у = 1,..., т -1) система принимает вид:

Му Мт

(П + Ст )Л2 - (П + 1 + 2Ст )Л ] + Ст М) = 0,

У = 1,..., т -1,

(п + 1)Мт Л т - п Л

т . Подставляя реше-

где с =

т , . , 2

(мт - Л т )

ние этого уравнения в исходную систему (3) и определяя множители Лагранжа из условия нормировки, можно найти следующее решение:

У (/ = 1,..,П; У = 1,..,т). (4)

Х

Ему

і=1

При этом функции потерь принимают вид:

Ц (х*,..^) =

п

Ел

1 т К 1т

=л Е?—у—л = л-----------Ек*

т т п у

Ем м I Емк -ЕЛ

к=1 V к=1 і=1 і = 1,.., п.

Теперь покажем Парето-оптимальность точки

* *

(Х1,.., Хп) с координатами (4), которая отражает

свойства выгодности принимаемого решения. Согласно (1), рассмотрим функцию £ (Х) = £ (Х) .

.=1

Представим Ь( х) в виде:

Л m (X l*m ,.., XL ) = Е (l - Е X і/ А =

L = l

n I :-l X K Л

L (x) = a2] А, -Е X/K/ Л J

n m -1 і n im -1

= Е (i-Ем А =Е (l --M Е Mj А

J = l M 1=l M J = l

1=l

1=l

=l м /(M / - Л /)

+

j =l j j j

+ a]^ А|(l-]T Xj) K:Л:л J,

1=l | J = l Mm (Mm -Л m ) J

m-l

где Xim = l - Е Xij,

J=l

n

Л j = Е xj аі , J = m -1,

i=l

n m -1

Л m = Е (l - Е X,j )Аі.

l=l J=l

Так как объединение выпуклых функций дает в результате выпуклую функцию, то функция

m -1

= -j так как Е M j = М - М,

j=i

= Е (l - ^ Е А =

і=i м М і=i м

Подставляя найденные выражения в (5), получим:

m

д L д x„

= аА kT

і-А)' і і-А''

= О,

ri

L( x) = Е L (x) является выпуклой на множестве Х, k = 1,.,n; l = 1,., m - !.

I=1

и её минимум определяется системой уравнений: д L

■= О,k = 1,.., n;l = 1,.., m .

Таким образом, точка

j

(i = і,... , n; J = і,..., m)

8xh.

Дифференцируя функцию L(x) и меняя порядок суммирования, найдём:

дХ = а2А.lKl2kMl(мі -Лі ) + ЛlKl2kMl ] +

дк.

+ а- —

| Ml (м1 Лl) J

2ЛmKm2kМm (Мт -Лm ) + ^m^mKMm

МІ(Мт -Л т )

= аА k K-i-Mi

K

+ аА k —m-

Mm

- 1 +

1 -

Нї

(мі - Л і)2 мт

( М т - Л т )

k = 1,.., n; i = 1,.., т -1. Предположим, что

K = Km = т(і = l,...,m -l). Тогда

можно записать:

Mi Mm

д L

дx

= аАТ

kl

Mi

Mm

(Ml - Л l ) (Mm - Л m )

. (5)

Выразим интенсивности объединённых потоков

*

Л через найденные значения Ху (4) и, используя обо-

т п

значения м=£м , X = £X, получим:

у=1 1 ,=1

Л у (Хуу ,.., Хту ) = ЕХу0 =

,= 1

^ Му 0 Му . . . .

= £ —Д. = у =1,...,т -1,

1=1 М М

у т

'=м]

у=1

доставляет минимум функции £(х) , следовательно, является Парето-оптимальной точкой при условии

К, К

= -^, у = 1,..,т-1. (6)

Му Мт

Условие (6) отражает естественное предположение о том, что стоимость пребывания заявки в очереди пропорциональна скорости обслуживания.

Частный случай. В случае двулинейной СМО (т = 2) пользователь А. с вероятностью х, (0 < х, < 1) направляет свои требования в очередь к 1-му прибору, а с вероятностью (1- х,) - ко второму. Время обслуживания требования на каждом приборе есть случайная величина, подчиненная показательному распределению с параметрами м и ц2 соответственно. Потери, приходящиеся на суммарное среднее время пребывания у в системе требований, поступивших за единицу времени:

4(Х1,..., ХП) = К ЛХ1 М{Г1( Х1,..., ХП)} +

+ К2° (1 - Х )М{Г2(Х1>...> Хп )}( = 1,...5 П\

где М{Г1( х1,.--, хп)} и М{Х2( хl,..., Хп)} - среднее время пребывания заявки в первой и второй очередях и на приборах соответственно, найденное по стаци-нарному распределению вероятностей состояний системы, К1 и К2 - потери от пребывания одной заявки в очереди и на обслуживании у первого и второго приборов соответственно.

Так как в результате декомпозиции СМО образуется два простейших потока к очередям с интенсивностями Л1 = яiхг и Л 2 = яi (1 - х, )

,=1 ,=1

соответственно, то, используя известные результаты

1 = 1

м

м

Мт

А

А

И

м

аА kT

м

2

+

2

2

для однолинейных СМО с ожиданием, функционирующих в стационарном режиме, т. е. при условии:

Р1 = £ ХгХг М1 < 1

0 < Хі < 1, і = 1,..., п

получим [4]:

М{М хl,..., хп)} =

М{^2( хl,..., х„ )} =

1

М1(1 -Р1) 1

М2(1 - Рг)

Тогда функция потерь каждого игрока принимает вид:

Ц (Х1,...,Хп) = К1

- + К2

Л(1- Хі)

или

М1(1-Р1) М2(1 -Р2)

Ц (Х1,...,Хп) = -КЛХ- + К2Л(1-Хі) .

М1 -Л1 М-Л2

. у у у у .

Ц(Х1,...,х,-1,Х,Х+1,...,ХП) непрерывно дифференцируемы по х, е X, , то эквивалентным определением равновесности будут условия:

дЦ ^у., ^ х , х^.., хп)=0

дХі ’

0 < хі < 1, і= 1,...,п, ^Щх*,..., Х-, х, x*,l,..., х)

дХ

>0, і =],..., п.

(7)

(8)

Для рассматриваемой СМО условия (7) представляют собой систему нелинейных уравнений по переменным (хь. .., хп):

М1 - Л1 + °х,

К г

- К,

(м1 - Л 1)2 М2 - Л 2 + Л (1 - Х і ) ' (м2 - Л 2 ) 2

= 0, і = 1,..

Определим оптимальное распределение заявок по которая сводится к одному уравнению относительно пе-

очередям как ситуацию равновесия (ху,..., Х*) , исхо- ременной Л1. Представляя уравнения системы в виде:

дя из необходимого условия экстремума. Если ситуация равновесия является внутренней точкой множества стратегий, и функции потерь

ЛК2(м1 -Л1)2 + (м1 -Л1)М2 -Л2)[К2(м1 -Л1) -К1 (м2 -Л2)]

=■

К1(м2 -Л2)2 + К2(м1 -Л1)2

(9)

и суммируя их по / = 1,...,П, получим одно уравнение относительно неизвестного

Л 1 (Л 2 = X - Л 1 , X = £ X ):

а Л3 + Ь Л2 + с Л1 + ё = 0, (10)

где а = (К1 + К 2)( п - 1) ,

Ь = П (К1 + К 2 )( М2 - Х- М1) +

+ п(К1М2 - К2М1 - КX) -- 2К 1 (М2 - X) + К2 (2М1 + X), с = — п (К1 + К 2)М1(М2 — X) +

+ п (К1М2 — К 2М1 — К XX М2 — X — М1) —

- К1 (М2 - °)2 - К 2 М1(М1 + 2X), ё = п М1 (М 2 — X)(К1М2 — К 2 М1 — К1X) + К 2 Ам 1 .

Решение полученного уравнения при численных значениях его коэффициентов, а также выводы о характере его корней, можно получить с помощью известных из алгебры формул Кардано, согласно которым кубическое уравнение

у = аХ + Ьх 2 + сх + ё имеет один либо три действительных корня в зависимости от знака величины

д2 + р^_

4 27

где

ь_2_

3а7

с

- + —,

2Ь3 27 а3

Ьс й

:гт + _.

3а2 а

имеет один действительный корень, полученный в виде:

Лм 1 | л _ Лм 2

Л1

М1 + М2 ^ М1 + М2

Подставляя теперь полученные значения Л1 и Л2 в (9), найдем:

х, = М1 , ,= 1,..., п. (11)

М1 + М2

Покажем, что данное решение действительно является ситуацией равновесия. Для этого проверим выполнение условий (8). Найдем:

=2л=

дх2

Очевидно,

К М1 -Л1 +Лхі + К М -Л2 +Л(1-хі)

(1-Л1)3

д 2 Ц дх2

> 0, так как

Для рассматриваемой СМО данная величина положительна в предположении (6) о пропорциональности стоимости пребывания заявки в системе и скорости её обслуживания, которое в данном случае имеет вид: К1 = К 2 . Следовательно, уравнение (10) М1 М2

М -Л1 > 0, М2 -Л 2 > 0 .

Таким образом, Ьі строго выпукла по своей переменной х. Следовательно, найденное решение (11) является единственным и представляет собой ситуацию равновесия. Каждый пользователь посылает заявку на первый прибор с одной и той же вероятностью, равной м /(М1 + М2) , а на второй прибор - с вероятностью м2 /(М1 + М2) . При этом значения функций Ц і равны:

К1 + К 2

М1 + М2 — X

Найденная ситуация равновесия (11) является также Парето-оптимальной. Это следует из того, что функция

і = 1

і = 1

п

Ч

а

ц (х) = ЕаіЦі(х) = аЕ Ці(х):

К1Л1 + К 2 Л 2 М1 -Л1 М2 -Л 2

достигает минимума в точке (11). Действительно, матрица Гессе функции Цх) положительно определена, так как для любого х є Х и любого ненулевого вектора у размерности п квадратичная форма:

а

п п д2 Ї

< Ну , у >= Е Е д д УгУу = а

і=1 у=1 дХі дХу

К 1(М1 + Л 1) + М1 - Л 1 + К2(М2 + Л 2 ) + М2 - Л 2

(М1 -Л 1)3

= а

К 1(м1 + Л 1) + М - Л1 + К2 (м2 + Л 2 ) + М2 - Л 2

М -л 1)3

(м2 - Л 2 )

ЕЛуг

і =1

(М2 -Л 2 )3

> 0.

Е ЕЛіЛ1УіУ1 =

і = 1 у = 1

Следовательно, функция Ь(х) выпукла на множестве х = ПП [01], а её минимум определяется из систе-

мы уравнений:

= -аЛ .

М1

М2

(Л 1 + М1) (Л 2 + М2)

= 0,

і = 1,..., п.

Данная система сводится к одному уравнению:

М1

М2

(Л 1 + М1)2 (Л 2 + М 2 ) 2

= 0

решение которого имеет вид:

ЛМ1

Л1 =

Л 2 =

Лм

известные результаты для однолинейных СМО типа М/вЛА» [3, с. 210], получим выражения для Vу для стационарного режима функционирования СМО ( р = Л уа у < 1 для всех у):

V] = у у

Л уЬу

1 -Р, 2(1 -Л а)

(у = и..^ т).

Тогда

М1 + М2 М1 + М2

Очевидно, такие значения величин Л1 и Л2 получаются при вероятностях Хі = М\ /(м + М2), і = 1,. ., п ,

представляющих собой координаты ситуации равновесия. Таким образом, ситуация равновесия является Парето-оптимальной.

2. Полумарковские СМО с ожиданием

Постановка задачи [5, с. 157 - 158]. Рассмотрим СМО с т параллельно функционирующими приборами. На вход СМО поступают п независимых простейших потоков интенсивности Л (і = 1,..., п). Будем считать, что требования каждого потока генерируются отдельным лицом (пользователем) Аі (і = 1,., п), с вероятностью Ху (0 < Ху < 1, Е Ху = 1) направляющим свои требования на у-й прибор. Время обслуживания -рекуррентное с первыми двумя моментами ау, Ьу (у = 1,., т). В качестве показателя эффективности распределения заявок по очередям к приборам выберем средние потери на ожидание в очередях за единицу времени:

т . л

Ц (хп ) = Л Е Хг]K]V] , і = 1,.., п,

у=1

где Хі = (хіЬ..., хіт) - вектор вероятностей распределения заявок і-го пользователя по т очередям, уу- -среднее время ожидания заявки в у-й очереди ( = 1,., т); К - стоимость единицы времени ожидания одной заявки в у-й очереди (у = 1,., т).

На основании теоремы просеивания и объединения простейших потоков по полиномиальной схеме образуется т простейших потоков к обслуживающим приборам с интенсивностями

Л у = Е ЛіХіу , і = 1 т .

Это позволяет провести декомпозицию СМО на т полумарковских однолинейных СМО. Опираясь на

Ьг (Х1,..., Хп ) = X, £ КуХу Л уЬу /[2(1 - Л уау)] ,

у=1

, = 1,.., П,.

Ставится задача: найти оптимальное распределение заявок для каждого пользователя в условиях конкуренции пользователей за средства обслуживания. Рассмотрим задачу оптимизации данной СМО.

Оптимизация. Оптимальным решением бескоалиционной игры является ситуация равновесия

х = (Х1,..., Хи) , для определения которой воспользуемся методом множителей Лагранжа. Для функций Лагранжа вида

т

гг(х1,...,хп)=£(х1,...,хп)-в(£ху-1) (=1,...,п),

у=1

где Д - множители Лагранжа, необходимые условия экстремума имеют вид (2). Для рассматриваемой СМО эти условия представляют собой систему нелинейных уравнений по переменным Ху , Д , (, = 1,..., п, у = 1,...,т):

ЛКЬ [ Лу (1 -Лу ау) + Ху Л ] Д = 0.

2(1 -Лу а у )2 і ’

і = 1,..., п; у = 1,..., т;

т

Е Хц-1 = 0.

у = 1

(12)

(13)

Суммируя уравнения (12) по і = 1,., п и применяя метод, использованный для решения системы (2), сведём систему (12) к следующей системе:

О) ]Л2] + Су Л} + С 2 у = 0, у = 2,..., т, (14) где Л у = ЕЛіХіу (у = 1,., т); Су - квадратные многочлены от Л1. Тем самым решение системы нелинейных уравнений сводится к нахождению корней многочлена (14), представляющих собой многочлены относительно Л1 с коэффициентами, зависящими от ау, Ьу , Ку (у = 1,...,т). С учетом очевидного равенства

т п

ЕЛ,=ЕЛ, получим уравнение относительно

у =1

і=1

2

Ль £ А, - Л! + £ Л у .

, -1 у - 2

При конкретных значениях ау, Ъу , Ку нетрудно найти (численными методами) Ль решить квадратные уравнения (14) относительно Лу и затем найти х,у из системы линейных уравнений:

£А,Ху -Л у ( = 1,..., да).

Если не существует действительных решений системы (14), либо некоторые из найденных х,у не принадлежат промежутку [0,1], то равновесное решение следует искать на границе множества

П

X - П [0,1] , т. е. при некоторых Ху, равных нулю

1

либо единице и удовлетворяющих условиям (13), исследуя при этом знаки производных целевых функций в соответствующих направлениях. Проведённые на модельных примерах численные расчёты показывают, что найденные при конкретных значениях параметров СМО ситуации равновесия являются Парето-оптимальными.

В частном случае т = 2, применяя для функций:

Ц(x1,...,хп) -

= Л

K1Xi Л1Ь1 + K 2(1 xi )Л 2b2 2(1 -A1a1) 2(1 -Л 2 a2)

необходимое условие экстремума, получаем уравнение четвертой степени относительно Л1 с коэффициентами, зависящими от ау, Ъу, Ку (у = 1,2) и а - £ А .

, -1

Решая это уравнение при заданных значениях ау, Ъу , Щ и А , можно найти интенсивности объединённых потоков Л1 и Л2, а затем оптимальные значения х, из уравнений

дц,(x1*,..., x;-1, х, х,у^.^ хП)

д x

= 0,

(0 < х, < 1, , - 1,..., п),

разрешённых относительно А,Х, (по аналогии с (9)).

Оптимальность по Парето проверяется также с помощью численных расчётов и построенных по ним наглядных графических иллюстраций.

Таким образом, в данной статье рассмотрена задача оптимизации функционирования системы массового обслуживания с ожиданием с точки зрения трёх критериев: устойчивости, выгодности и справедливости принимаемых решений. Показано, что полученные решения являются равновесными и Парето-оптимальными.

(Л 2 = Х-Л,)

Литература

1. Вилкас, Э. И. Оптимальность в играх и решениях / Э. И. Вилкас. - М.: Наука, 1990. - 256 с.

2. Воробьев, Н. Н. Теория игр / Н. Н. Воробьев. - М.: Наука, 1985. - 272 с.

3. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

4. Чекменев, В. А. Оптимизация управляемых СМО с конкурирующими потоками / В. А. Чекменев, Т. Д. Чекменева // Проблемы теоретической кибернетики: сб. мат. конф. - Горький, 1988.

5. Чекменёв, В. А. Оптимальное формирование очередей в СМО с конкурирующими потоками / В. А. Чекменев, Т. Д. Чекменева // Матем. методы иссдед. сетей связи и сетей ЭВМ: сб. мат. конф. - Минск, 1990. - 172 с.

6. Чекменев, В. А. Многокритериальная оптимизация систем обслуживания с отказами, функционирующих в условиях конкуренции входящих потоков / В. А. Чекменев, Т. Д. Чекменева // Вестник КемГУ. - 2013. -№ 1.

Информация об авторах:

Чекменев Владимир Алексеевич - кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизации исследований и технической кибернетики математического факультета КемГУ, 8(384-2)35-98-48, chtd42@yandex.ru.

Vladimir A. Chekmenev - Candidate of Technical Science, Associate professor, Assistant Professor at the Department of Automation of Studies and Technical Cybernetics, Kemerovo Stsate University.

Чекменева Татьяна Дмитриевна - кандидат технических наук, доцент кафедры общей и региональной экономики экономического факультета КемГУ, 8-923-612-4890.

Tatyana D. Chekmeneva - Candidate of Technical Science, Associate Professor, Assistant Professor at the Department of General and Regional Economics, Kemerovo State University.