CC BY
41
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Навигация и УВД___________
№ 121
УДК 629.735
МОДЕЛИРОВАНИЕ РИСКА ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЛЕТНОГО ПРОИСШЕСТВИЯ С УЧЕТОМ ВНЕШНЕГО ВИХРЕВОГО СЛЕДА
Е.М. ИВЕНИНА, В.Л. КУЗНЕЦОВ
Предложен подход к математическому моделированию и расчету риска возникновения летного происшествия с учетом возможности столкновения или выхода за допустимые параметры полета в результате попадания в вихревой след воздушных судов, следующих по одному маршруту на параллельных курсах. Риск возникновения летного происшествия оценивается по результату решения последовательности двумерных задач по вероятностным характеристикам, полученным путем интегрирования уравнений статистической динамики воздушных судов.
Введение
При анализе безопасности полетов воздушных судов (ВС) наряду с моделированием риска непосредственного столкновения ВС необходимо учитывать и моделировать риск возникновения летного происшествия (ЛП), вызванный влиянием различных факторов внешней среды. Одним из наиболее значимых факторов внешней среды, влияющих на безопасность полетов ВС, является турбулентный вихревой след [1, 2].
Образование аэродинамической подъемной силы всегда сопровождается возникновением и сходом в поток свободных вихрей, которые превращаются в устойчивые долго живущие вихревые жгуты (вихревой след), представляющие опасность для попадающих в них летательных аппаратов. Протяженность дальнего вихревого следа за тяжелыми магистральными самолетами достигает 10.. .12 км.
При полете на высоте дальний вихревой след самолета представляет собой два параллельных опускающихся вихревых жгута противоположного вращения. Развитие дальних вихрей со временем определяется процессами их диссипации, приводящими к уменьшению циркуляции вихрей (зона разрушения следа). Структура вихревого следа за воздушным судном показана на рис. 1.
Вихревой след характеризуется наличием значительных по величине скосов потока, существенно меняющих картину обтекания аэродинамических поверхностей ВС, попавшего в след. На ВС, попавшее в вихревой след, в зависимости от места и условий входа, начинают действовать дополнительные аэродинамические силы и моменты (наиболее опасным из которых является момент крена), которые могут создать предпосылки к летным происшествиям.
В настоящее время риск столкновений ВС и риск возникновения летных происшествий (катастроф) в результате входа ВС в вихревой след оцениваются отдельно по независимым методикам, использующим различный математический аппарат. В предлагаемой работе делается попытка сформировать единый методический подход и единую математическую модель для оценки вышеупомянутых угроз с учетом статистических свойств ошибок навигации и параметров вихревого следа. Предлагаемый методиче-
ский подход рассматривается для частного расчетного случая полета двух ВС по одному маршруту на параллельных курсах.
1. Постановка задачи
Рассматриваются два воздушных судна (ВС1 и ВС2), летящих по одному маршруту на параллельных курсах по заданной программе (равномерно и прямолинейно). Первое ВС будем называть ВС-генератором вихревого следа, второе - ВС-преследователем. Будем также считать, что абсолютная величина скорости у ВС-преследователя при полете на догонных курсах больше чем у ВС-генератора.
Состояние рассматриваемой системы ВС характеризуется векторами их фазовых координат у1 и у2 (совокупностью параметров, определяющих состояние ВС в текущий момент времени), которые в общем случае являются случайными в силу неточности измерения их бортовыми и наземными техническими средствами и воздействия внешних случайных факторов. Предполагается, что в момент ^ = ^0 известны совместные функции распределения /1 (у) и /2 (у).
Первое ВС генерирует вихревой след, который представляется пространственной областью опасных взаимодействий с ВС-преследователем.
Считается, что известны статистические характеристики области опасных взаимодействий ВС-преследователя с вихревым следом, определяемые вероятностями достижения критических значений параметров полета ВС-преследователя.
Требуется построить прогноз вероятности летного происшествия при пересечении ВС-преследователем области опасных взаимодействий.
2. Критерии безопасности ВС при попадании в вихревой след
Критерии оценки риска столкновения ВС достаточно подробно и полно рассмотрены в ряде работ [3, 4]. Поэтому остановимся на вопросе формирования критериев риска возникновения ЛП при взаимодействии с вихревым следом.
Необходимо отметить, что в настоящее время система критериев безопасности ВС при взаимодействии его с вихревым следом самолета-генератора окончательно не сформирована.
В качестве частных физических показателей безопасности ВС при попадании в вихревой след можно рассматривать: величины дополнительных средних скосов потока и дополнительные угловые скорости; потребные для компенсации возмущений отклонения рулевых поверхностей; величину возникающей в результате попадания в вихревой след скорости вращения ВС; дополнительный угол крена; дополнительные нагрузки (подъемную и боковые силы, момент крена и др.).
Результаты исследований показывают, что в качестве скалярного физического критерия риска взаимодействия с вихревым следом целесообразно рассматривать дополнительный момент крена, который определяет и дополнительные нагрузки, и время развития критической ситуации.
Однако с точки зрения единства методического подхода и полноты описания риска возникновения ЛП при взаимодействии с вихревым следом предлагается использовать функциональный критерий -вероятность возникновения ЛП как функцию параметров движения ВС и вихревого следа.
3. Методический подход
Предлагаемый методический подход основан на декомпозиции пространственной задачи оценки риска столкновения воздушных судов и риска возникновения летного происшествия в результате взаимодействия ВС-преследователя с вихревым следом ВС-генератора. В результате декомпозиции исходная пространственная задача приводится к последовательности плоских задач оценки вероятности попадания в опасную зону на плоскости и координирующей задаче оценки вероятности возникновения летного происшествия по результатам решения плоских задач.
X,
VI
Рис. 2. Расчетная схема оценки риска летного происшествия
Для декомпозиции задачи производится (рис.2) сечение пространства опасных взаимодействий 0.ОВ конечным числом эквидистантных плоскостей Хк (к = 1,2,...,N), расстояние между которыми С определяется статистическими характеристиками развития критической ситуации при взаимодействии ВС-преследователя с вихревым следом ВС-генератора. Ввиду бесконечности плоскостей переход ВС-преследователя из одной локальной области опасных взаимодействий (0.к) в другую (Нк_1) возможен только путем пересечения плоскости Хк (т.е. невозможен вход в область опасных взаимодействий через какую-либо боковую поверхность).
Считается, что в каждой плоскости Хк известен осредненный по ряду параметров двумерный координатный закон возникновения ЛП Ок (zk, ук) - условная вероятность возникновения ЛП, при условии, что координаты точки пересечения ВС-преследователем плоскости Хк относительно проекции теоретической оси вихревого следа приняли значение (zk, ук). В плоскостях Хк, секущих область опасных столкновений с ВС-генератором, координатный закон возникновения ЛП имеет ступенчатый вид.
При известном законе распределения /к (ук) вектора ук фазовых координат точки пересечения ВС-преследователем плоскости Хк может быть вычислена вероятность возникновения ЛП в локальной области опасных взаимодействий 0.к _1.
С точки зрения достижения достаточной точности при определении вероятности возникновения ЛП в областях 0.к, последние можно считать конечными панелями (рис.3) с размерами 12^ по каждой оси (&- СКО координатного закона возникновения ЛП).
Координирующая задача оценки вероятности ЛП при пересечении ВС-преследователем пространственной области опасных взаимодействий решается как задача оценки вероятности возникновения критической ситуации хотя бы в одной локальной области опасных взаимодействий
Рлп = 1 -
П(і - Р'лп (У ) )
П(1 - Р'лп (У ) )
(1)
где ІГ -множество локальных областей опасных столкновений с ВС-генератором; ІВС - множество локальных областей опасных взаимодействий с вихревым следом.
Закон распределения - /к (ук) вектора ук фазовых координат точки пересечения ВС-преследователем плоскости Хк может быть получен с помощью моделирования статистической динамики каждого из ВС.
ІЄІ
Г
Сечения дальнего вихревого следа
Рис. 3. Расчетная схема с конечными панелями опасных взаимодействий
4. Математическая модель статистической динамики ВС
Для иллюстрации подхода можно воспользоваться примером моделирования полета ВС в атмосфере по заданной программе в вертикальной плоскости с учетом турбулентности ветрового потока, приведенным в [5].
Ввиду локальности участка прогнозирования риска ЛП движение ВС рассматривается в земной декартовой системе координат Oxgygzg без учета кривизны Земли. Кроме того, для пояснения сути методического подхода ограничимся моделированием движения ВС в вертикальной плоскости.
Оси связанной (Ox) и скоростной (Ox1) систем координат имеют углы наклона к оси Oxg J ив
соответственно. Уравнения движения самолета с учетом ветра (без учета турбулентности внешнего вихревого следа) записываются в форме:
x = vcose, y = vsine, v = -(cySq)/m + Pm - gsine- [(cxS)/m]pvWx,
в = (( caySq)/(mv) + Р/ (mv)) (J-q)-(g/v) cosq-(( caySq)/(mv )(Wy/v)), J = «^ (2)
w
1
, =- ai W - aa (Wzi -<^)-aa(J-e) + ad5, d = -Y 5+ k1(J-J„ + X) + k2Wzi 5
где
a,, = —
mWzi l2 Sq
<zi?2< J,,v
ma l2 Sq
< l2< J,,v
mg lSq
J, ’
ad=-'
mj lSq J. ’
(3)
cx,сау,ш^,,ша^ - аэродинамические коэффициенты; а- угол атаки; l- длина хорды крыла; q = р2/2 -
скоростной напор; Б - площадь крыла, ускорение силы тяжести; g - ускорение силы тяжести; т - масса самолета; Р - сила тяги двигателя; р - плотность воздуха; Jzл - момент инерции самолета относительно
поперечной оси; 8- угол отклонения руля; Т - постоянная времени привода; 1}пр (/) - программное значение угла тангажа; Wx (/), Wy (/)- составляющие случайной скорости ветра; X (/)- случайная ошибка измерения рассогласования, которую в первом приближении можно считать белым шумом со спектральной
1^1
1~1
1^1
плотностью Sx = const. В рамках рассматриваемой приближенной модели составляющие дополнительных скоростей вихревого следа не учитываются, хотя их учет в виде дополнительных аддитивных составляющих при известных характеристиках не представляет труда.
Вектор состояния каждого воздушного судна определяется переменными x, у, v , в, J, w1 , 8 и
полностью характеризует состояние ВС.
Уравнения (2), (3) при заданных характеристиках случайных возмущений X, Wx, Wy и начальных
условиях описывают эволюцию самолета во времени.
Также как и в [5] , будем придерживаться гипотезы о статистической однородности и изотропности атмосферы и «замороженности» поля скоростей по отношению к ВС. При этом составляющие скорости ветра определяются средними значениями w0 (t) и спектральными плотностями
Sx(w) = ((2vS)/(pv[1 + (wL)2/v2]));Sy(w) = ((La2)/(2pv))((l + 3(wL/(2v))2)/(i + (wL/(2v))2)), (4)
где L - масштаб турбулентности, характеризующий длину интервала корреляции; a - СКО скорости ветра. На основании этих спектральных плотностей строятся уравнения формирующих фильтров [5] для случайных функций Wx и Wy:
Wx =-(v/L)Wx +Xi, Wy =-(v/L)Wy +(v/L)Z + £, Z = -(v/L)Z + ((л/з-1)/л/з)£ , (5)
где X, X2 - белые шумы со спектральными плотностями соответственно, S1(w) = ( 2va2 )jL и
S2(w) = (3va2)lL .
Известно [5, 6] , что дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию нелинейных динамических стохастических систем различными способами можно преобразовать к канонической форме
y = D(tj(y, t) + F(y, t)u + H(jp, t)V(t), y(to) = Уо , (6)
где D(t) - матрица коэффициентов; j(y, t) - векторная, а H(у, t) - матричная детерминированные, в общем случае нелинейные, функции фазовых переменных; F (у, t)- детерминированная матрица порядка
n X r ; и -вектор управления порядка r (r < n); V(t) - вектор центрированного гауссовского белого шума с матрицей интенсивностей G(t) и корреляционной функцией Kv (t, t') = G(t)8(t — t'), где 8(t — t') -функция Дирака.
При программном управлении и = u(t)- детерминированный вектор, при управлении с обратной
связью вектор и является функцией вектора состояния Y или его оценки. И в том и в другом случае второе слагаемое уравнения (6) может быть объединено с первым
у = D(t )y( у, t) + H (у, t )V (t), у (to) = Уо . ( 7)
Для оценки вероятности возникновения летного происшествия необходимо знать законы распределения w(y, t) вектора состояния самолета в определенные моменты времени. Эти законы распределения
можно получить, если учесть, что вектор состояния Y(t) , удовлетворяющий каноническому уравнению (6 или 7), обладает марковским свойством [7] и для него можно записать уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова в виде
n 1 n n
awO^0/dt = -Xd[Ak0^OwO^0]/ЭУк + -ЁЁЭ2[Bki(.y,OwO^t)}^yk, (8)
k=1 2 k =1 l =1
или в виде
n
aw( y, t V at=-div p (y, t)=-ё apk (y, t)/ayk, (9)
k=1
где p( у, t) = p( y, t), P2 (У, t),..., Kn (y, t)) - вектор плотности потока вероятности;
1 n ___
pk (у, t)=A (у, t )w( y, t)-~Ё a[Bki (y, t )w( У, t )]/ay; k = 1, n . (10)
21=1
В формулах (8), (10) Ak (у, t) - коэффициенты сноса, Bkl (у, t)- коэффициенты диффузии, выражаемые [5, 6] через правые части канонических уравнений
Ак (У*) = А50М [(Ук (* + А{) - Ук ^А) 1 У*] ’ (11)
Бк1 (у, *) = 1™ М [((Ук (*+А) - Ук (*))( у, (*+А) - у, (*))/А) I у5, * ] • (12)
Для записи стохастических уравнений и определения вектора сноса и матрицы диффузии для рассматриваемого выше примера можно ввести следующие обозначения
У1 = х; у2 = у; Уз = V; У4 = 0; У5 = $; Уб = й; У7 = £; Ув = К; У9 = К; Ую = 2;
при этом У1= У2 =... = Уб = 0; У7 = X ; У8 =^1; У9 = У|0 = £2; матрица Б(*) = / - единичная матрица. Тогда
компоненты вектора пк (у, *) определяются соответственно
р = V 008 ва\ (у, *), Р2 = V $,т6а\(у, *), Р3 = [-(су^^)/га + Р/т - g 8т0-(( )/ т )руК ~\^щ( у, *),
Р = (()/(mv) + Р/(mv))($-0)-(^v)0080-((с“5^)/(mv))(ку^) й(У,*),
Р ^йО5, рб = - ^(й -0)-аа($-0) + ^^йО5, О (14)
Р = [-(VТр) ^ + кД$ - $ + X) + к2а11 ] й (У, *) - 0,5077 Эй, (у, *)/ЭУ7 Р = -(У/^ )КЩ( У5, *) - 0 50вв Эй? (у * )/ Эу8 р = [-(У/Ь)Жу +(У/Ь) 2 ]й( у, *) - 0,5099 (1 + ((>/3 -1)/ л/3 ))Эй( У, *)/Э У9
Яіо = -(Г/£) у, і) - 0,5СЭ,
(і+((^ - IV ^))-((і+№ - IV^))
Зйі( у?, і V Эук
5. Вычисление вероятности летного происшествия при пересечении ВС-преследователем произвольного сечения области опасных взаимодействий
Для вычисления вероятности возникновения ЛП в результате взаимодействия ВС-преследователя с вихревым следом в каком-либо его сечении возможны различные подходы.
Если в к -м сечении области опасных взаимодействий определена детерминированная область
0.кОВ, вход в которую ВС-преследователя приводит к неизбежному возникновению ЛП, то вероятность этого события можно определить в виде
РЛп = | /(ук2 )^ук2 , (15)
Ок
где /(у2) - плотность вероятности распределения вектора у2 в к -м сечении.
Далее предполагается, что на основе детального стохастического моделирования взаимодействия ВС с вихревым следом при пересечении к -го сечения области опасных взаимодействий построен двумерный координатный закон возникновения ЛП Ок (zk, ук). На рис. 4 этот закон представлен линиями равных значений вероятности.
В качестве регистрационной системы координат в плоскости к -го сечения рассматривается проекция О^'у^ земной системы координат, ориентированной по скоростной системе ВС-генератора, на
плоскость Хк.
Ограничимся рассмотрением в рамках данной работы влиянием на возникновение критической ситуации только координат пересечения ВС-преследователем плоскости Хк . Случайный вектор Як определяет в регистрационной системе координат положение проекции теоретической оси вихревого следа, а случайный вектор Я2 определяет в этой же системе координат положение ВС-преследователя в момент пересечения плоскости к -го сечения. Тогда случайный вектор АЯк = Я2 - Як определяет положение ВС-преследователя относительно проекции теоретической оси вихревого следа.
С учетом рассмотренного выше координатного закона вероятность возникновения ЛП в к -м сечении может быть вычислена по формуле
2
РкЛП = | | 0(Дгк, Дук)/(Д*к, Лу МЛ^Дук,
(16)
где /(Лгк, Лук) - закон распределения координат вектора ДЯк. Так как ДЯк представляет собой разность случайных векторов, то /(ЛЯк) представляет собой композицию законов распределения /к (Я ) и /2(Я2)
/ (ДЯк) = | /к (Я )/2( ^^к +ДЯк )«Я
(17)
О'
Рис. 4. Двумерный координатный закон возникновения ЛП
Законы распределения /к (г'к, ук) и /2 (г2, у2) могут быть получены совместным для двух ВС решением уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (8) и осреднением по всем фазовым переменным, кроме декартовых координат в плоскости к -го сечения
f2(г2,у2) = й (^,У2,11 х'(0 + Дх^О = х2(*)) = I Йу,* I х^'(Г) + Дх[(г) = Х2(г))^р';.у' = у/(х,у,г)
о.к
/к(гк, ук) = й(+Дгк, у'+Дук, *1 х'(г)+Лх1(г) = Х2(*)), (18)
где (х' + Дхк, у' + Дук, г[ + Дгк) определяет положение начала системы координат ОкХкУкХк относительно ВС - генератора при условии, что область опасных взаимодействий стационарна и движется вместе с ВС - генератором.
Для приближенных расчетов по аналогии с [8] можно использовать дискретную аппроксимацию
координатного закона возникновения ЛП в виде
„ Г1, если (гк, ук) е Б 77
{2к, ук) = I . . / , ^ = /г X 1у = | | Ок (2к, ук )йгкйук , (19)
если (гк, ук) г 5ПГ у
где £ - приведенная зона опасных взаимодействий.
С учетом (19) вероятность ЛП при пересечении плоскости к -го сечения области опасных взаимодействий приближенно может быть рассчитана в соответствии с выражением
РкП = II&к(Дгк,Дук)/(Дгк,Дук№Дгк^Дук = &кII/(Дгк,Дук№Дгк^Дук . (20)
-¥ -¥ Ппр
Таким образом предложенный декомпозиционный подход для оценки вероятности возникновения ЛП является замкнутым и конструктивным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аубакиров Т.О., Белоцерковский С.М., Желанников А.И., Иванов П.Е., Ништ М.И. Спутные следы и их воздействие на летательные аппараты. Алматы: Гылым, 1999.
2. Вышинский В.В., Судаков Г.Г. Вихревой след самолета в турбулентной атмосфере (физические и математические модели). М.: Издательский отдел ЦАГИ, 2005.
3. Mehadhebi K. A unified framework for collision risk modeling in the airspace planning manual document with further applications. ICAO SASP-WG/WHL/9-WP/12, attachmenta.
4. Kuznetsov V.L. Markov collision risk model. ICAO SASP-W6/WHL7/-IP/2, Monreal, May, 2005
5. Казаков И.Е., Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. М.: Наука, 1983.
6. Казаков И.Е., Артемьев В.М. , Бухалев В. А. Анализ систем случайной структуры. М.: Наука, 1993.
7. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.:ИЛ, 1956.
8. Васильев В.Н. Вероятностные методы оценки эффективности авиационного вооружения на этапе поражения целей. М.: Издательство ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1984.
FLYING INCIDENT ORIGIN RISK MODELLING TAKING INTO ACCOUNT
EXTERNAL VORTICAL TRACK
Ivenina E.M., Kuznetsov V.L.
Approach is offered to the mathematical modeling and calculation of flying incident origin risk taking into possibility of collision or output for the assumed parameters of flight as a result of hit in vertical track of aircraft following on the same route on parallel courses. Flying incident origin risk is estimated on the result of sequence of the twodimensional tasks decision by probabilistic characteristics receiving by integration of equation of aircraft statistical dynamics.
Сведения об авторах
Ивенина Елена Михайловна, окончила МГУ им. М.В. Ломоносова (1986), старший преподаватель кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор 4 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в механике полета и исследовании операций, безопасность полетов.
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 90 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах, безопасность полетов.
