Вычисление среднего времени «Жизни» одного класса резервированных восстанавливаемых после отказов систем при произвольной во времени интенсивности отказов и восстановления Текст научной статьи по специальности «Математика»

информатика, вычислительная техника и управление

уДК 62:501.72/ В. И. ПОТАПОВ

РО!: 10.25206/1813-8225-2018-158-121-124

Омский государственный технический университет, г. Омск

ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ «ЖИЗНИ» ОДНОГО КЛАССА РЕЗЕРВИРОВАННЫХ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ПОСЛЕ ОТКАЗОВ СИСТЕМ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ВО ВРЕМЕНИ ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Для резервированной восстанавливаемой после отказов системы, состоящей из п идентичных основных и одного резервного блока при произвольной во времени интенсивности отказов и восстановления найден класс функций интенсивностей восстановления, обеспечивающих в среднем, при заданной функции интенсивности отказов блоков, работоспособное состояние рассматриваемой системы в течение заданного времени. Показаны условия существования функций интенсивности восстановления системы после отказов, обеспечивающих для рассматриваемой системы бесконечное время «жизни» при заданной функции интенсивности отказов блоков.

Ключевые слова: резервированная система, интенсивность отказов, интенсивность восстановления, время «жизни» системы, марковский процесс.

Введение. Вопросам исследования надежности в том числе и среднего времени «жизни», являет-

резервированных систем и, в частности, вопросам ся сложной математической и вычислительной за-

вычисления среднего времени «жизни» таких си- дачей, которая, по-видимому, в общем виде вряд

стем, то есть наработки резервированных систем ли может быть решена. Поэтому в данной работе

до полного отказа посвящено большое число на- и приводится математически обоснованное реше-

учных работ [1—9] и других, в которых, как пра- ние задачи вычисления среднего времени «жизни»

вило, интенсивности отказов X и восстановления для одного из простейших классов резервирован-

|1 считаются постоянными. Однако на практике ных систем, описываемого следующим образом. в реальных условиях функционирования резерви- Для резервированной восстанавливаемой по-

рованных систем интенсивности отказов их блоков сле отказов системы, состоящей из п идентичных

и интенсивности восстановления работоспособ- основных и одного резервного блока при произ-

ности резервированной системы за счет исполь- вольной во времени интенсивности отказов

зования резерва являются функциями времени и восстановления найти класс функций

и исследования их характеристик надежности, обеспечивающих в среднем при заданной функции

Х(^ «жизнь» рассматриваемой системы в течение заданного времени. Показать условия существования функций обеспечивающих для рассматриваемой системы бесконечное время «жизни» при заданной функции

Постановка задачи. Рассмотрим резервированною систему, состоящую из п идентичных основных и одного резервного блока, подключаемого мгновенно вместо любого отказавшего основного блока, которые сразу же после отключения подвергаются полному восстановлению. Интенсивности отказов и восстановления любого из блоков обозначим через Х(^ и соответственно и будем считать, что функции Х(^ и положительны и дифференцируемы при &0, причем при

всех t = 0, так как только этот случай представляет практический интерес (система рассматривается после окончания процесса приработки).

Аппроксимируя поведение (историю «жизни») рассматриваемой системы марковским процессом, можно описать ее по известной методике [10] си-

Сложив уравнения системы (1), получим

р^ + р^Н-л^р^).

Отсюда, рчитыная (2), иинигрщиовеяинл[ пллрчаен

РоД) + Р((а) = 1 - q JH(o)Pt(s )d=

(5)

Посколькд в наш}) зада+у ^зс—j1(hi' решзние неравенства

J(i— -H) ар] -))d- НГ,

то из (5) следует, что это неравннзтво кквивалендно следующем у:

3-1 —— +( Н(и )p) = dв) dt > б)

)Н(

стемой дифференциальных уравнений Колмогорова Но из «чевидненн соотношенио Гн | «ноН / Т) dt

т ад — а—( н + 1(НД) Po (-) + (-) р Д), р) Д( а а -i)) 3)-)тн (-) - )а-)Д) + Ц+) ] т) (-( (1)

с начальны ми условиями

Ро(0) = 1, Ро(0) = 2,

(2)

р(Д) + q(+p) (3) + К(-)Р)(-) = 0

с начальным— анаавитми

Р)(о) = о, pqo) а(н + i)3)o),

где

(3)

(4)

следует, чтт неривеиетсыо (6) будет выпоышяться, еели будев вышнлвыньоо нервьянстио

( 3))s?) р1,^^:) ds < )1 - тхц )-Д / (Г)) / а.

(7)

где р0(0 — вероятность нахождения резервированной сисвеипр и ыостоялии, когда ии /ыщн блок не отказал; р1(() — вероятность нахождения резервирований состыны о состоянии, когда отказал один блок.

Состоянои «иибеыи» сиетеесьы наступает при отказе не менее двух блоков в течение времени восстановления отказавшего блока.

Для исслерованоя ыюведения рассматриваемой восстанавливаемой системы рассмотрим решение двух следующих задач.

Задача 1. По иаденывой функцит Х(^ найти такой класс функций, чтобы любая функция из этого класса гарантировала в среднем «жизнь» рассматриваемой системы в течение заданного времени Т>0.

Задача 2. Дать ответ: существуют ли функции которые при заданной функции Х(^ обеспечивают бескоьыоное ьремя «жияни» ры1симатриваемой системы. и если такие функции существуют, то каким условиям «ни -о/ж/ы удовлетворять?

Решеоесе задаит (.

Для решения задачи 1 преобразуем систему (1) путем исключение функции рн)« я ы>—ниму )фляне«ию

Обт тает— нер+венства (7) при 1 = 0 равны 0. Следовательно, она В+pPб выполнотьея . тсли Судет выполнятся нерзванзтвн

Р)(Р <4

езв^ь (-0 0Т( абз)-) '

(8)

Теперь оетолоеь —а—тзе нслония, нвлагаемые на коэффиь,иенты q(t) и h)t) урзвне ння /С3(. чтобы дла рншзнин c=((i)), нмoвтeтвop-ющeгo начтльным вс-ловиям (4), была евраавдливо оавеннтво (8).

Приверем н—т-цптнтз (3, а кaнoничcзкaмy -нгвн водаттнцвкой [ 1 1 ]

Р(Д) =т =)мтхц| -р J]0()) )do

1 t

()

Получим ураанение С = НД) и р начзрьными ус-роди<ми ь(0) а 0, ь'(0) а )н + 1)Н(0(, где

•^)P = -КJ(П■■нPогB(Г^-б;tlO')I)■

После подьтановки урвцнения (T) в неравенство ^80 палучим нн ране—взво

ьде

С Г

ь(-) < -вл-к тхЦ J 0i( и)dи, нбН0) 0

о0.) = «-6=.

(10)

у(С не )ееи((и-) -с- Iм—) -(ы/) /од,

с(н) н и(и и-1;> те22 -и л—Н) - л))) т«и/ть(.

В далвнейшим. дсо диобетеа, иногда будем обозначать Х(^ и |н(е) п«юыто чеиел (с и «е., ы ^(0) и |(0) — через Х0 и н0 слотныыеи«твенно.

Обознаовм правую оаптв неравенства (1С1) через ф (t). Нетрудн- уба—итзея, —го ар (' яв^нleтco -einз-нием уравнения —р>)' = МД)— с начальными услониями

—<0) а )qбHн>-() м'(0) п (IвT>-t1Ho((ы1)H) - -H-B, вде

■Д'^+о^Ш -НР - -H)о-

Очевидно, что ц(0) < ф(0).

Выбирая |0 такое, чтобы выполнялось неравенство

ц0 0 2л(л+1) Г^о+Т + З^2 - (¡2л+ 1)^0, (11)

I к0

добьемся того, что ц'(0) < р'(0).

Но тогдо неравенство (10) буд-т вып)литься при условии С)) <0 ор).

Это неравенство эквивалентно следующему дифференциальноми н-равенству:

где

ц '-l 1 + 2 ^V-cp(i)>0,

p+1) = ++"+1Я, - л(л + 1)1 +

(1+)

емся). Следовательно, путем подстановки (14) в (3) с учетом выражений q((( и h(И для X(t) и |i(t) получим следующее уравиетте

(15)

где

Ц'У'ее!2^^") + 'И,

F(t) = 2(2n + 1) И - (n (n + 1) Н2 +

оГН^'^2 11'' 6 'Н'6 0

2 (2n ^Мф) +Т-7Ш РГ

Решением уравнения (15), +огнасно [14]г является функция

f И)

Q + о FHF-иу Bt 1 J i2(1(i)

t21 (И) L(t) ,

+ (2n + 1)1' +---2l —I----- .

T 1 U1 1 T1

Согласно [ 12], pешенке! нера1енетвt (12) является ф^К+И)

Ц'И) е (ЦИ;- exp (B— -е! | B-

ОД:

е 12(t)

I2 д

К 0 12(е)

exp (-И / T). (13)

0-До(О + Д-'! Bit

}1(е)де(е) Ви е!^-)]. Отсюда следует

Д()Ц е ИХ

1

n t21(t)

(14)

Г Bt

exp JBBt

C, = const.

Из выражения (13) следует, что для всех интен-сивностей воостановления оВ) > О*В) , удовлетворяющих ]в наталн [«юрнинет -оравонству (11), с-едн-е время «жизни» расоматриваемой восоттнавливае-мой системы будео НН п)ои заданной интенсивносои отказов в().

Таким обрасом, rroлгчоою решение задачи 1.

Решение зада™ 1

Рас смотуим ]1ешение тлоду!^]е]]с^й задач о.

Каким условием цоежны уоовлнтворять функции чтобы п-и отданной функцин X(^ интеграл

расходился, то всоь утробы среонов ¡врем) <]воизни» рассматриеаемой системе) (5о1хо бтеконвчным. При такой постановке заоaчв. естественно: (одет пртд-ставлято интррев толь,ко осимотстикафункций +(1).

Известно [1Ьб что н)сн&твенный интеграл с бесконечным верхним пределом расходотся, если его подинтегральная функцин ^ситпоготи^^ски эквивалента С/Р, где 'Ш. Вы°е+ем Р]([анииоое енэтении д=1. Таким обраоом, для достаточно большио Н должно выполняться равено о нНН р1 -) = С/1 В се дальнейшег pаcсмооpaдиe ведется для больших t.

Учитывая (5), по)еев^) равенстоо птрепишотоя в воде

Такем обиазом, решением второй задачи являются все функции, удовлетворяющие неравенству ц(И) > f(И) для достаточно больших t.

Библиографический список

1. Дж. Сандлер. Техника надежности систем / пер. с англ. А. Л. Райкина. М.: Наука, 1966. 300 с.

2. Козлов Б. А. Резервирование с восстановлением. М.: Советское радио, 1969. 150 с.

3. Козлов Б. А., Ушаков И. А. Справочник по расчету надежности. М.: Советское радио, 1975. 472 с.

4. Райкин А. Д. Вероятностные модели функционирования резервированных устройств. М.: Наука, 1975. 254 с.

5. Потапов В. И., Потапов И. В. Об оптимизации среднего времени «жизни» однородных нейронных сетей нейрокомпьютеров с замещением отказавших нейронов резервными // Омский научный вестник. 2004. № 1 (26). С. 95 — 99.

6. Антонов А. В., Пляскин А. В., Татаев Х. Н. К вопросу расчета надежности резервированных структур с учетом старения элементов // Надежность. 2013. № 1 (44). С. 55 — 61.

7. Tyurin S. F., Grekov A. V. Functionally Complete Tolerant Elements // International Journal of Applied Engineering Research. 2015. Vol. 10, no. 14. P. 34433-34442.

8. Шебе Х., Шубинский И. Б. Предельная надежность структурного резервирования // Надежность. 2016. № 1 (56). С. 3-8.

9. Тюрин С. Ф. Скользящее резервирование толерантных элементов // Надежность. 2017. Т. 17, № 1. С. 17-21.

10. Вентцель Е. С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972. 550 с.

11. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнение М.: Мир, 1970. 720 с.

12. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. 183 с.

13. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / пер. с англ. А. Н. Черкасова. М.: Мир, 1964. 477 с.

14. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 6-е изд., стер. СПб.: Лань, 2003. 576 с.

Но, с другой стороны, Р((1( удовлетворяет уравнению (3) (от начальных услоиой сейчас отвлека-

ПотАПоВ Виктор Ильич, доктор технических

наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой

«Информатика и вычислительная техника».

БРНЧ-код: 9710-9680

ЛиШогГО (РИНЦ): 8484

Адрес для переписки: гу! @ omgtu.ru

Для цитирования

Потапов В. И. Вычисление среднего времени «жизни» одного класса резервированных восстанавливаемых после отказов систем при произвольной во времени интенсивности от-

казов и восстановления // Омский научный вестник. 2018. № 2 (158). С. 121-124. БОН 10.25206/1813-8225-2018-158-121-124.

Статья поступила в редакцию 26.02.2018 г. © В. И. Потапов

УДК 004.021

РО!: 10.25206/1813-8225-2018-158-124-128

В. П. ПИВОВАРОВ А. В. ЗУБАРЬ

Омский автобронетанковый инженерный институт, г. Омск

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ПРИ ПОИСКЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА СТЕРЕОПАРАХ

ВДОЛЬ ЭПИПОЛЯРНЫХ ЛИНИЙ_

В статье изложено решение задачи нахождения дополнительных ограничений на область поиска изображения по стереопаре, заданной эпиполярной линией. Особенностью данного подхода является возможность определения ограничений на основе математических зависимостей, не требующих нахождения фундаментальной матрицы и предварительной обработки изображений. Ключевые слова: эпиполярная линия, поиск изображения, цифровая видеокамера, система технического зрения, стереопара.

К технике военного назначения предъявляется ряд противоречивых требований: простота и надёжность конструкции, высокая защищённость от физических и электромагнитных воздействий, низкое энергопотребление, низкая стоимость, технологичность производства, ремонта и т.д. Решение этих противоречивых задач накладывает ряд ограничений при принятии технических решений.

При разработке оптико-электронных систем определения параметров целей по изображениям с цифровых видеокамер [1-3] одним из ключевых моментов является точность, робастность и вычислительная реализуемость применяемого алгоритма автоматического поиска изображений. Основным элементом такой системы является ЭВМ. Возможность выполнения всего функционала предусмотренных измерений и их обработки в реальном времени на ЭВМ с ограниченной вычислительной мощностью является весьма актуальной задачей. Её решение во многом определяет правильный выбор способа поиска, являющегося основой для построения специализированных алгоритмов обработки цифровых изображений.

Существуют глобальные и локальные способы поиска объектов на стереоизображениях, полученных с систем технического зрения (СТЗ) [4, 5]. Общий недостаток глобальных алгоритмов, с точки зрения обеспечения минимальных требований к ресурсам ЭВМ, — это их высокая вычислительная сложность; кроме того, они требуют предварительной обработки изображений.

Особенность локальных алгоритмов поиска заключается в том, что поиск в них организуется путём последовательного сканирования между неко-

торыми локальными участками изображений. Как правило, это некоторая интересующая область одного изображения и область поиска на другом изображении. В свою очередь, размеры этих областей и порядок их нахождения будут определять точность поиска и требования к вычислительной мощности ЭВМ.

Для определения координат объекта Р по его изображениям 1тд с двух цифровых видеокамер можно записать пару расширенных векторов положения этого объекта Р] = (аП, тр 1 1) и Рк = (ап2 тП2 1 1) на изображениях соответственно для камер Ю и К2. Пра этор зркчения пиксельных координат объекта Р на изображении первой камеры К1 (нОР — количество ст аок, тОР — количество столбцов) могут бытр зчданы потт-зователем (оператором) или определены автоматически в результате работы, наприр^]^, аннпритка обнаружения,распознавания илиселекции движущихся объектов и т.п. Значения же нОР и троР могут быть определены вручную оператором или автоматически, например, в результате работы алгоритмов определения положения изображения объекта на изображении второй камеры. Однако ручное определение этих координат является трудоёмким и длительным процессоми будетсочетатьсяс субъективными ошибками оператора. Поэтому, как правило, используется автоматическое определение положения изображения объекта на паре изображений.

Одним из наиболее эффективных и распространённых способов поиска изображенияобъекта по изображениям с пары камер является поиск вдоль эпиполярной линии [6, 7, с. 159-162; 8,