Решение задачи оптимального резервирования однородной адаптивной искусственной нейронной сети с замещением отказавших нейронов резервными при пуассоновском потоке отказов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

— \и , если

4,= -

( если } =1.

40. Вычислить р({

41. Если Р({ /г)>(1, идти к44.

42. Вычислить = Д/у, /2 .

43. Идти к 38.

44. положить = +

45. Если г < I/, идти к_37.

46. Вычислить £/■({//]',).

47. Положить 1 = | + 1.

48. Если 1<(/. идти к 36.

49. Вычислить последовательность {//},, для которой

<У({Д)=тт С/'({£};).

0 < I < <7

50.Еспи[/"({ /}},)<£,. идти к53.

51. Положить {//}„= .

52. Идти к 35.

53. Конец ¡[^-искомоеуправление).

И. В. ПОТАПОВ

Омский государственный технический университет

УДК 519.68

В работе [1] обоснована и построена математическая модель многослойной многовыходной структурно однородной искусственной нейронной сети (ИНС), адаптивной к отказам искусственных нейронов (ИН), в предположении, что поток отказов пуассоновский с параметром I, а отказавшие ИН либо блоки нейронов замещаются резервными, соответствующим образом распределенными по структуре ИНС.

При этом рассмотрено два варианта модели. Первый вариант предполагает, что отказавшие ИН (блоки нейронов) после замещения их резервными не восстанавлива-

ЛИТЕРАТУРА

1. Потапов В.И., Потапов И.В, Математическая модель адаптивной искусственной нейронной сети с замещением отказавших нейронов резервными И Омский научный вестник. - 2002,-Вып. 18.-С,135-138.

2. Потапов И.В. Синтез оптимизированных логически стабильных искусственных нейронных сетей, адаптивных к отказам нейронов/Юмский гос. техн. ун-т. - Омск. - 2001,-14с.-Деп. В ВИНИТИ. 21 09.2001. N0 2014.

3. Потапов В.И., Потапов И.В. Вероятностная модель функционирования избыточной адаптивной искусственной нейронной сети// Доклады Сибирского отделения Академии наук высшей школы .- 2001. - N8 2(4). - С.76-82.

4. Потапов В.И., Потапов И.В. Решение задачи оптимального резервирования "стареющей" адаптивной искусственной нейронной сети //Доклады Сибирского отделения Академии наук высшей школы.-2002.-№5.

5. Потапов В.И., Братцев С.Г. Новые задачи оптимизации резервированных систем, - Иркутск. 1986.-110 с,

ПОТАПОВ Виктор Ильич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой икформащюнндоычислигепьной техники. ПОТАПОВ Илья Викторович, аспирант кафедры информационно-вычислительной техники.

ются и не участвуют в дальнейшей работе ИНС. Второй вариант предполагает, что отказавшие блоки нейронов, е качестве которых (для определенности рассматривались одновыходные двухранговые мини-сети ИН, логически стабильные в диапазоне одновременного изменения порогов {Т.(''.')} v ~ 1,2,..., т у нейронов мини-сети [2,3], после замещения их резервными восстанавливаются с интенсивностью восстановления = const.

Будем полагать, как в [1], что рассматриваемая ИНС, которую обозначим .S ), состоит из

«(/; = «, • --wjJ основных и т («t = 5, + s, + ■ ■ ■ + s J

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ ОДНОРОДНОЙ АДАПТИВНОЙ ИСКУССТВЕННОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ С ЗАМЕЩЕНИЕМ ОТКАЗАВШИХ НЕЙРОНОВ РЕЗЕРВНЫМИ

ПРИ ПУАССОНОВСКОМ ПОТОКЕ ОТКАЗОВ_

ДЛЯ МНОГОСЛОВНОЙ МНОГОВЫХОДНОЙ СТРУКТУРНО ОДНОРОДНОЙ АДАПТИВНОЙ ИСКУССТВЕННОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ С ЗАМЕЩЕНИЕМ ОТКАЗАВШИХ НЕЙРОНОВ РЕЗЕРВНЫМИ ПРИ ПУАССОНОВСКОМ ПОТОКЕ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОТКАЗАВШИХ НЕЙРОННЫХ БЛОКОВ, РЕШЕНА ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ, МАКСИМИЗИРУЮЩЕГО СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ЖИЗНИ, И ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ, МАКСИМИЗИРУЮЩЕГО ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ НА ЗАДАННОМ ВРЕМЕННОМ ИНТЕРВАЛЕ РАССМАТРИВАЕМОЙ ИСКУССТВЕННОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ.

резервных блоков (столбцов) искусственных нейронов, разбитых на $ соответствующих групп, в каждой из которых возможна замена отказавших основных только резервными ИН этой группы. При этом целочисленный, постоянный во времени вектор 5 = (Г|.лг,—>^)р назовем вектором резервирования. Расширим условия функционирования нейронной сети принятые в [1], поставив а соответствие каждому из д блоков основных ИН интенсивности отказов . При этом будем полагать, что интенсивность отказов, не включен-ныхв работу резервных блоков ИН равна Очевидно, что А, < тт {Яг, Я,,..., Л^}. После подключения резервного блока ИН вместо отказавшего в своей группе он начинает работать в том же режиме, что и основные ИН, т.е. с интенсивностью отказов Л l<i<q

Обозначим искусственную нейронную сеть, у которс

которой

[ti,m,s j,

-•О С;) (":) С:

\

(D

которое достаточно сложно для вычисления.

отказавшие блоки ИН не восстанавливаются 5л а ИНС, у которой отказавшие блоки ИН в процессе работы восстанавливаются, - 5АДи,т,.г).

Поведение рассматриваемых адаптивных ИНС описывается уравнениями Колмогорова-Чепмена [1] с соответствующими коэффициентами А{,В(, (1 < £ < т) и В,.,, первый из которых характеризует интенсивность перехода системы, из состояния "жизни" Е,.., в состояние "жизни" Е,. а два других характеризуют интенсивность перехода системы из состояния "жизни" Е,., в состояние "гибели" Е„(|. Поэтому одна из вычислительных задач заключается в получении удобных для расчета выражений для коэффициентов дифференциальных уравнений А^В,, и

В.,,.

Основная же решаемая оптимизационная задача резервирования однородной адаптивной ИНС с замещением отказавших нейронов резервными с постоянным во времени вектором 5 = (г,,), заключается в вычислении такого распределения т резервных нейронных блоков по ц группам, которое при заданном разбиении п основных нейронных блоков по 4 группам обеспечивает либо максимальное среднее время "жизни" нейронной системы 5а, (и,т,5) I е {ОД}, либо максимальную вероятность безотказной работы этой системы для заданного времени , либо решаются обе указанные задачи. То есть основная задача сводится к вычислению соответствующего оптимального вектора резервирования ^.

Первоначально получим формулы для коэффициентов уравнений Колмогорова-Чепмена, описывающих 5 Д»,т„$) нейронную систему, поскольку эти же коэффициенты будут использоваться для описания поведения системы 5 , (и,т,,!).

Работоспособное состояние Е, нейронной системы 5 Дп,т,^ определяется количеством отказов к в системе, включая основные и резервные нейронные блоки. Положим, что/(отказов в Е Ди,те,$) системе распределились следующим образом: в 1-й группе ИН основного блока - * отказов, в у-й группе резервного блока - г. отказов (I < ; < ¡7) Очевидно, что при отсутствии отказов в соответствующей группе ИН .т = 0 и/или г = 0.

Введем обозначение для целочисленных векторов

*=(*..*>.-.*,)■ .....0й

(/ = .( +г = (^,.1/,,...,^). Введем множество

п(А',5)={1/ ^-(-у,+ V, 0<у, <■*.}. Тогда

число возможных попаданий нейронной системы Е. (и,»!,■?) а состояние Е, определяется выражением

Преобразование выражения (1) с целью его упрощения [4,5] позволяет получить достаточно простой окончательный результат

о ("■;'■) «

Теперь для вычисления коэффициентов А1,В1 и В„„ уравнений Колмогорова-Чепмена, описывающих поведение ЕаД/7,Л1,$) нейронной системы, введем вектор

=(Д Д..--Д,), элементы которого определяются следующим образом:

[О, если [ I, если $ > 1,

ивектор £(*) = (£,(*),),...,где

0, если к <$.,

1, если к>а+\,

при очевидном равенстве # (1) = 1 - <5 •

После сделанных обозначений и преобразований коэффициент А, можно определить как отношение числа возможных распределений к отказов в 5д (л, им) -системе

к числу возможных распределений этого же числа отказов

(п +

в 5Л(я,т,т) - системе, которое равно I ^ I, умноженное на суммарную интенсивность появления к отказов в

С учетол

I не крон нои системе, : учетом сказанного

(п + т

а коэффициенты В, и В|гИ принимают следующий вид:

М ¿=1

Зная коэффициенты А^В, и В„(|, можно перейти к решению основной оптимизационной задачи резервирования однородной адаптивной ИНС с замещение отказавших ИН резервными

Обозначим т($д, (я,ш,5))-среднеевремя "жизни" адаптивной нейронной системы 5л„ без восстановления отказавших блоков ИН; т($ ,(n,m,j)) - среднее время жизни адаптивной нейронной системы 5 ,(я,т,д-) с восстановлением отказавших блоков ИН; sI =

-_ вектор, максимизирующий t(s „(it,«?,ij)); J,' =(5'1,5|,,...,41'л) - вектор, максимизирующий

В том случае, когда интенсивность восстановления /j = ö. {«,w,j))=t(S4,(л,ш,j)). Следовательно, за-

I смысле С|

времени "жизни" восстанавливаемой £ Д»,т,л) нейронной системы, как и е случае невосстанавпиваемой

дача выбора наилучшей (оптимальной) в смысле ^среднего >емени "ж

ЭЙ СИСТв!

5 системы, свелась кзадаче целочисленного про-

граммирования [1]. Решение находится на целочисленных точках гиперплоскости + 5, + • ■ ■ + ¿в = т в первом от-

'<7 + »1-1'

казе. Число всех таких точек равно | ^

Нетрудно понять, что если » .т1 такие векторы, что т(5ч,(п,ш,.^))= тах и

т(5 ()),т,5,'))=шах т(5..(п.щ,^)), то 5,; = $; Тоесть вектор резервирования, максимизирующий среднее время "жизни" как не «останавливаемой (т./71. тдк и

восстанавливаемой 5д, (/t,m,.i) нейронной системы, один и тот же. Это вытекает из того, что интенсивность восстановления ~ const и одинакова для всех восстанавливаемых блоков ИН. При этом очевидно, что для // > О имеет место неравенство

Используя результаты данного исследования и [1,5] построим алгоритмы решения задачи нахождения векторов, максимизирующих среднее время "жизни" и вероятность безотказной работы к заданному моменту времен t,, для восстаноеляемой нейронной системы S^[n,m,s), поскольку соответствующие решения для не восстанавливаемой нейронной системы SAi(n,m,sJ легко получить, положив fi = 0.

Алгоритм оптимизации среднего времени жизни

адаптивной ИНС с восстановлением отказавших блоков ИН. _

Задача ставится следующим образом. Найти вектор s!.

максимизирующий среднее время "жизни" т(£д1 (и,/и, т' J)

адаптивной ИНС (и,т,$), при заданных ограничениях на параметры системы.

АЛГОРИТМ 1.

1. Задать массив {и],л3>- >и,}>т'9>

{Л.Л.....Л); а;{А(0)} = {1,0,0.....0}.

2. Задать время tf>0.

3. Выполнить процедуру 4-30 для всех целочисленных векторов s&S, где

S = {s |sp + i, + • •• + i = m, V, Jf £ о}.

4. Положить i = l.

5. Если j =0. идти к8.

6. Вычислить 5t= 1.

7. Идти к 9,

8. Вычислить ¿1=0

9. Положить / = t+ 1,

10.' Если i<q, идти к 5.

11. Положить к = 1 ■

12! Положить ( = 1.

13. Если к й 5 идти к 16.

14. Вычислить в(к)~ 1.

15. Идти к 17.

16. Вычислить 6>(*)=0.

17. Положить j = 1 + 1.

10. Если i <<7,идтик13.

19. Вычислить Д, = X

ve!

О (Т)

где

v = (и,, v,.....к ) - целочисленный вектор.

20. Вычислить

rn + т к

A >=Rt

+ + £ S,nt Л,

21. Вычислить в,{к)п, А.

22. Вычислить = А, + В,.

23. Если к = \. идти к 26.

24. Вычислить М, = -(£>, Л1 + р).

25. Идти к 27.

26. Вычислить М, = - О, Л].

27. Положить к = к +1 •

28. Если к 5 т. идти к 12.

29. Вычислить £>я+1 =Вл,„-

30. Вычислить

31. Вычислить вектор л-' такой, что

Т(5А, (л, т, ^ ))= тах (л,т,$)).

32. Конец (.г,1 - искомый вектор)-

Алгоритм оптимизации вероятности безотказной работы адаптивной ИНС с восстановлением отказавших блоков ИН

Задача ставится следующим образом. Для заданного времени > 0 найти вектор , максимизирующий вероятность безотказной работы 5а, (и, т,$)) адаптивной

ИНС 5д,(и,т,$), при заданных ограничениях на параметры системы.

АЛГОРИТМ 2.

1. Задать массив ¡и,,»,,...,^

1л(0)} = {1А0.....0}.

2. Задать время '/>0.

3. Выполнить процедуру 4-30 алгоритма 1 для всех целочисленных векторов $ е ^. где

5 = ¡5 ¡$,+$,+••• + 5 =111, V. 5. >о}.

4. Вычислить спектр матрицы [11,

5. Положить / = о

6. Положить к = 07. Вычислить спектр матрицы Д, [1].

8. Положить к=к +I-

9. Если к<,т. ИДТИ к 7.

10. Положить [ = / +1.

11. Если / <т, идти к6.

12. Вычислить для всех цел очи с ленных векторов 5 е 5.

13. Вычислить вектор такой, что Р(^;5л,(п,т,<)]=шах р((/;$д,(и,т,$)).

14. Конец - искомый вектор).

ЛИТЕРАТУРА

1. Потапов В.И., Потапов И.В. Математическая модель адаптивной искусственной нейронной сети с замещением отказавших нейронов резервными //Омский научный вестник. -2002.-Вып,18.- С.143-147.

2. Потапов И.В. Синтез оптимизированных логически стабильных искусственных нейронных сетей, адаптивных к отказам нейронов /Омский го с. техн. ун-т. - Омск, -2002.14 с.-Деп в ВИНИТИ, 21.09.2001, № 2014.

3. Потапов В.И., Потапов И.В. Вероятностная модель нейронной сети // Доклады Сибирского отделения Академии наук высшей шкопы.-2001 .-№ 2(4).- С. 76-62.

4. Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм.-Новосибирск: Наука, 1977. -281с.

5. Потапов В.И., Братцев С.Г. Новые задачи оптимизации резервированных систем. - Иркутск, 1986.-110 с.

ПОТАПОВ Илья Викторович, аспирант кафедры информационно-вычислительной техники.