Вычисление собственных значений потенциала ионных каналов методом ступеней Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

М.В. Батуков, П.П. Исаев

ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПОТЕНЦИАЛА ИОННЫХ КАНАЛОВ МЕТОДОМ СТУПЕНЕЙ

1. Транспорт ионов через биомембраны является одним из самых важнейших процессов, происходящих в живых клетках. Он играет основополагающую роль в таких важнейших физиологических процессах как поддержание постоянного химического состава внутренней среды, регуляция и рецепция, генерация и распространение нервного импульса и др.

Липидный бислой мембраны представляет исключительно высокий энергетический барьер для прохождения ионов, поэтому для осуществления ионного транспорта требуется наличие макро-молекулярных структур, которые могли бы существенно уменьшить этот энергетический барьер. Именно эту роль выполняют ионные каналы - трансмембранные белки, которые при встраивании в мембрану формируют водные поры, характеризующиеся высокой скоростью транспорта в сочетании с высокой избирательностью к переносимым ионам.

Существенный прогресс, достигнутый благодаря появлению эффективных методов выделения, очистки и определения трехмерной структуры мембранных белков, позволил определить атомную структуру ионных каналов с высоким разрешением. В связи с этим центральной проблемой физико-химической биологии ионных каналов является то, чем объясняется избирательность каналов для определенного типа ионов.

Понимание того, как функционируют ионные каналы с точки зрения их электрического потенциала, является чрезвычайно важной и в то же время сложной задачей. В настоящее время теоретические методы исследования ионного транспорта, в основу которых положена информация об атомной геометрии соответствующих мембранных каналов, достигли того уровня, что их результаты позволяют воссоздать микроскопическую картину прохождения иона через канал. При этом основной задачей является максимально точная оценка того, как движение молекул и ионов зависит от потенциала в канале. К сожалению, существует всего лишь небольшое число потенциальных функций, для которых могут быть найдены собственные значения, играющие главную роль при нахождении решения уравнения Шредингера, составленного для данной функции [1]. Еще реже встречаются случаи, когда с помощью классических методов аппроксимации [3] можно найти величины собственных значений функции. Возникает вопрос: существует ли универсальный метод аппроксимации способный вычислить точные собственные значения, которые представляют собой связанные состояния создаваемые потенциалом. Разрешение данной проблемы и стало целью данной работы.

2. Поскольку ширина ионного канала является величиной много меньшей, чем его длина [8], то для нахождения собственных значений будет вполне справедливо решать одномерное уравнение Шредингера

ё2(р 2т ^ ТТ, - , . п

ах п

для ямы с дискретным потенциалом У(х), который в общей форме может быть представлен следующим образом:

V, х< 0

V ,0< Х<Щ1

V Щ ^ X < щ + щ

V (X) =

(2)

■V-1 _ V-'

V, Г1

Щ

Уп, х>^

п-1

Щ

Решением уравнения Шредингера в _|-ом промежутке будет являться следующее выражение:

/ ч гк ¡х у -гк ¡х

<рЛх) = а1е 1 +Ъ1е 1 , (3)

где] = 0Д,2,3...п, волновое число к =

2/»(/-.-г ) ^

-;- для м/г — х < и'; : здесь Е - иотен-

^ ]

циальная энергия, т - масса частицы, а., Ь. - константы, получаемые из условия нормировки.

Рассмотрим сначала случаи с одной и двумя границами, а затем выведем общий результат для случая с п - границами. Найдем выражения для коэффициента прохождения и отражения в каждом из случаев.

3. В случае потенциала с одной границей имеем две волновые функции <р(х) , которые находятся из выражения (3) в областях х < 0 и 0< X <м?1.

к1 - к

Дпее воспользуемся обозначением Гу =-для двух соседних областей > И', < .V < > >1^

к 1 к ■

1 ]

и И'; < Л* <

Сшивая волновые функции и их производные в х = 0 (при условии, что Ъ1 = 0), получим следующий набор выражений:

ап+Ъп = а,,

(4)

к0а0 И- к0Ь0 —

Из этого находим амплитуду коэффициента отражения Я:

а0 /Гд н~

И коэффициента прохождения Т:

Т = —- =-—. (6)

с { /\ /\

4. В случае потенциала с двумя границами с границами в точках х = 0 и х = Условие непрерывности на границах вместе с тем условием, что Ь2=0, даст следующий набор уравнений:

ап + Ьп = а, + Ъл

; (7)

к0а0 к0Ь0 — к^Ь-^ ахе*™ +Ъхе-,к^=а2е,к

кх 0а- Ъхе~*Л ) = к2а2е,к^1. (8)

Решая эти уравнения, получим следующие выражения для коэффициентов амплитуд Я и Т:

^ 2 ¡к, V

а г +г е т

и(\ ' П1 1 '10 е-

'012

Я = гои=^ = У , (9)

а0 1 +

т_а2_(\ + г01)(\ + ги)е^-к^ а 1 +г г '

Соответственные коэффициенты для коэффициентов отражения и прохождения получаются 2 „ |„|2

из вьфажеиий Нс — и Тс — |/ | [2], соответственно, при условии, что выполняется закон сохранения потока числа частиц 11с +Тс =1

5. Используя метод, описанный выше, можно прийти к выражениям для коэффициентов от-

и-1

ражения и прохождения в области X > / г

Для коэффициента отражения Яс = амплитуда Я задается выражением:

,|2

К ГП1

2г£,

w,

Г) _ - - '01 123...и пп

012„ 1 , „ „ „2Ис,щ

а \ + г г е ^

Ы0 1Т,0Г12. /

Для коэффициента прохождения Тс = |/ | амплитуда Т задается выражением:

а, (1 + гт )(1 + ги уЪ-Ы* (1 + г23 + ^ у^-кл^^-^)

2\/1 . „ „ .2¡к*,и^

^ _ 2 _ " " ш / у- - ■ а/-_у - /з / '_у- - и-1,и / '_ (12)

~ ~ (1 + г г е2Лл¥1 + г г е2гк^\ (\ + г г е2гк"-^Л '

V1 т'01423...ие Л1 ПЧ2'234 ...ие Л'Л1 т'и-2,и-1'и-1,ие /

где

ги +гТ, „е2*^

_ 12_25...п_

123-" ~ 1 + г г

1 т 12 23...и

(13)

_ кп-1 кп

п~1'п к + к Кп-1 + ^п

Рекурсивный характер формулы может быть использован при численной оценке значений Я и Т. С помощью этой формулы можно получить метод вычисления коэффициентов отражения и прохождения для ступенчатого потенциала, а также изменение волновой функции при заданной потенциальной энергии.

Для того, чтобы получить собственные значения или энергии связанных состояний для потенциальной ямы, необходимо следовать следующему принципу: нужно найти координаты острых пиков набольших значений коэффициента Я на графике зависимости Я от Е в области где Е < 0. Эти дискретные значения энергий и будут соответствовать собственным значениям, которые представляют из себя энергии связанных состояний потенциала. С другой стороны, минимум изменения Я от Е в области Е > 0 будет соответствовать собственным значениям, которые представляют из себя резонансные состояния [6, 7].

6. Любой одномерный потенциал может быть разбит на п мелких частей, при этом для такого потенциала можно применить полученные выше формулы и таким образом рассчитать собственные значения для заданного гладкого потенциала.

Далее попытаемся продемонстрировать близость результатов значений Е с соответствующими точными выражениями для некоторых аналитически разрешимых потенциалов.

V

Рассмотрим потенциал Экарта, он задается выражением У(х) —--1-, где Уп и с/. -

собЬ ах

параметры глубины и наклона потенциала, соответственно. Данный потенциал изображен на рисунке 1. Нами были взяты значения У11 = 4фм"2 и СХ, = 0,7 фм"1, единица энергии взята фм2, т.к.

2т

при решении Шредингера мы устанавливаем значение —— равным единице, размер шага выбран

% 2

равным 0.05 - при таком достаточно мелком разбиении соответствующий многошаговый (ступенчатый) потенциал выглядит гладким и практически идентичен оригинальному.

Рис. 1

Потенциал Экарта

Теперь для данного ступенчатого потенциала используем аналитическую формулу (11), чтобы найти амплитуды Я, а, следовательно, и сам коэффициент К. Затем построим график зависимости коэффициента Я от энергии в диапазоне - 4 фм-2 < Е < 0 (рис. 2).

Рис. 2

Положения пиков соответствуют энергиям для связанных состояний обозначенных как Е,.,„

Известно, что потенциал Экарта точно разрешим [4], и собственные значения для связанных состояний могут быть получены из аналитического выражения:

п2

■ (1 + 2 п) + 1 +

4К

а

где п = 0,1,2,...

(14)

Таблица 1

Энергии связанных состояний Еточн и Ешаг потенциала Экарта глубиной 4 фм2 с параметрами 1-'п = 4 фм'2 и ОС = 0,7 фм'1,

вычисленные с помощью выражения (14) и пошаговым методом расчета

п Еточн (фм-2) Ешаг (фм-2)

0 -2,8237 -2,8229

1 -0,9611 -0,9612

2 -0,0782 -0,0790

Используя вышеупомянутые параметры потенциала, были вычислены результаты связанных состояний по этой формуле и сведены в таблицу 1.

На более высоких уровнях энергии (п> 3 ) метод также дает незначительную погрешность, в чем можно убедиться на примере потенциала Морзе (рис. 3):

V = А(е2а<ха) — 2еа<ха)), при А = 40, а = 0.616, а = 3.10821. (15)

Рис. 3

Потенциал Морзе V = А(в 2а(х — 2в при А = 40, а = 0.616, а = 3.10821

Рис. 4

График зависимости Е от Яс рассчитанный для потенциала Морзе

Таблица 2

Энергии связанных состояний Еточн и Еиш, потенциала Морзе V = А{в 2а^х ^ — 2в ^ )

при А =40, а = 0.616, а = 3.10821

N Еточн (фм-2) Ешаг (фм-2)

0 -36.1989 -36.1991

1 -29.16660 -29.1661

2 -22.8919 -22.8921

3 -17.3768 -17.3771

4 -12.6206 -12.6211

5 -8.6233 -8.6231

6 -5.3849 -5.3851

7 -2.9055 -2.9056

8 -1.1849 -1.1851

9 -0.2233 -0.2231

Аналитическое выражение для собственных значений Eточн потенциала Морзе [5]:

а

Е = -А[ 1 - (——)(п + 0,5)] . где А = 40 и а = 0.616. А■

(16)

Сравнивая аналитические значения со значениями, полученными с помощью графика (рис.4), можно убедиться, что пошаговый расчетный метод дает результаты очень близкие к точным.

Таким образом, не прибегая к громоздким аналитическим преобразованиям [4], с помощью данной формулы могут быть найдены собственные значения достаточно близкие к точным, что на практике в значительной мере может помочь упростить процесс и увеличить скорость решения уравнений.

Стоит также отметить, что данный метод дает достаточно точный результат, несмотря даже на то разрешим потенциал аналитически или нет. Так для потенциала Леннарда-Джонса, описывающего межатомное взаимодействие:

У = 4е[(—)12 -(—)б]. при е = 15, а = 3.2.

X X

(17)

который неразрешим аналитически. С помощью данного метода приближенные собственные значения могут быть найдены (рис. 5).

Таблица 3

а.

Энергии связанных состояний Еша! потенциала Леннарда-Джонса, V = —)12 — (—)"]

X

X

при

е = 15,а = 3.2

N Ешаг (фм- )

0 -0.23

1 -2.58

2 -9.32

Рис. 5

График зависимости Е от Яс, рассчитанный для потенциалаЛеннарда-Джонса

7. В результате проделанной работы были получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения для одномерного ступенчатого потенциала, которые могут быть применены к исследованию оригинального гладкого потенциала. Эти выражения были приведены к общему виду для случая потенциала с п границами. Показано, что любой гладкий потенциал может быть представлен в виде потенциала состоящего из п малых промежутков с достаточно малым шагом, а также формулы коэффициентов Я и Т для потенциала с п-границами могут быть использованы для такого ступенчатого потенциала, чтобы вычислить собственные значения исходного потенциала. Применимость метода опробована на потенциалах Экарта и Морзе при этом сделан вывод о том, что метод дает достаточно точный результат и погрешность вычислений незначительна, а также о том, что метод применим и к потенциалам, неразрешимым аналитически.

БИБЛИОГРАФИЧЕЧКИЙ СПИСОК

1. Дмитриев А.В., Исаев П.П., Твердислов В.А. Журнал структурной химии. 2006. 249 с.

2. R T Deck and Xiangshan Li, Am. J. Phys. 63, 1995. 920 c.

3. Andres Udal, Reeno Reeder, Comparison of methods for solving the Schröding er equation, Proc. Estonian Acad. Sci. Eng.,12, 2006, 246-261 c.

4. C Eckart, Phys. Rev. 35, 1930. 1303 с.

5. T Barakt, Exact Solutions for Levels of Morse Potential, Czech Journal of Physics, vol. 56, n. 6, 2006. 588 c.

6. Z Ahmed, Phys. Rev. A47, 1993. 4761 c.

7. B Sahu, S K Agarwalla and C S Shastry, J. Phys. A: Math. Gen. 35, 2002. 4349 с.

8. Корепанова Е.А. Трансмембранный перенос веществ и биоэлектрогенез. 2008. 10 с.

Е.И. Воеводин

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА МЕХАНИЗМЫ ЗАХВАТА СВОБОДНЫХ НОСИТЕЛЕЙ НА МЕЛКИЕ ПРИТЯГИВАЮЩИЕ ЦЕНТРЫ В ОДНООСНО ДЕФОРМИРОВАННОМ Р-ОЕ

В настоящее время рекомбинация свободных носителей на мелких примесных центрах в полупроводниках рассматривается - как каскадный захват при котором, потери энергии носителя на центре определяются взаимодействием заряда с акустическими фононами и меж электронными столкновениями [3, 4]. В магнитном поле, вероятность каскадного захвата на мелкие примесные центры меняется, что должно приводить к изменению кинематических характеристик (времени

жизни, концентрации свободных носителей, сечения захвата и др.) от магнитного поля Н .

Расчёт зависимости времени жизни свободных носителей Тфн от магнитного поля Н проведён в работе [1] для анизотропных зон лишь для случая захвата свободных носителей с испусканием акустических фононов и определяется из выражения:

1фН _

щ

8кТ

\2

1 +

г \1/2 ш_

\шп;

ln

4kT

4kT

>+-

где да2 = да* sin2 3 + m"n cos23, Q =

imuSШ eH

(1)

циклотронная частота,

ешг

шг

cos2 3 sin2 3 m m_mn

Ф<г=

sin2 3cos2 3 4p*u - tn±

m.

t

m,

ТУ2

Л

+

ф

1

2