CC BY
58
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014
%
ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 539.173(04) и. И. ГОНЧАР
М. В. ЧУШНЯКОВА И. А. ДРОЗДОВА
Омский государственный университет путей сообщения
Омский государственный технический университет
АНАЛИЗ РЕАКЦИИ ЗАХВАТА 58Ы1+60Ы1 С ПОМОЩЬЮ ТРАЕКТОРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ________________________________________
С помощью траекторной модели с поверхностным трением проанализирована экспериментальная функция возбуждения реакции захвата 58Ы1+*0Ы1. Процесс столкновения тяжелых ионов описывается стохастическими динамическими уравнениями, в которых учтены диссипация, тепловые флуктуации и эффекты памяти. Для описания диссипации используется модель поверхностного трения, в которой сила трения пропорциональна квадрату производной от ядерной части ядро-ядерного потенциала. Эта часть потенциала рассчитывается с помощью модели двойной свертки. В ней применяются М3У ЫЫ-силы с плотностной зависимостью и конечным радиусом обменного слагаемого. Оказалось, что функция возбуждения чувствительна ко всем варьируемым параметрам модели: диффузности распределения ядерной материи, силе радиального трения, времени корреляции случайной силы. Наилучшее значение критерия Пирсона сп2, которого удалось добиться, составило около 10.
Ключевые слова: слияние тяжелых ионов, стохастические дифференциальные уравнения, потенциал двойной свертки, запаздывающее трение.
Модель ТМПТ (траекторная модель с поверхностным трением) была разработана в [1, 2] для описания столкновения сферических ядер. Относительное движение сталкивающихся ионов моделируется как движение броуновской частицы в центральном поле под действием флуктуационной и диссипативной сил. Квантовые аспекты столкновения игнорируются, так что флуктуации носят сугубо тепловой характер.
Такое приближение оправданно, когда сечения захвата (слияния) превосходят примерно 100 мб.
В модели есть опция, позволяющая учитывать конечное время корреляции случайной силы Тс и, соответственно, запаздывающее трение. Сила трения считается пропорциональной квадрату производной от ядерной части ион-ионного потенциала (модель поверхностного трения). Эта часть потенци-
ала рассчитывается в рамках модели двойной свертки с М3У ^^-силами. Учитываются конечный радиус обменной части нуклон-нуклонного взаимодействия и его плотностная зависимость.
В работе [1] с помощью первого варианта ТМПТ была сделана попытка продвинуться в решении проблемы «аномально большой диффузности», которая сформулирована в работе [3]. Эта проблема состоит в том, что для согласования расчётных сечений захвата с экспериментальными требуется аномально большая диффузность Вудс-Саксоновского профиля для ядерной части ион-ионного потенциала. Расчёты, проведённые в [1], показали, что сечения захвата для сильно асимметричных реакций 160 + 927г, 144Бш, 208РЬ могут быть описаны с помощью потенциала двойной свёртки с М3У ^^-силами. Этот потенциал, имеющий нормальную (малую) диффузность, успешно применялся для анализа данных по упругому рассеянию [4]. Обнаруженная в [3] аномально большая диффузность была следствием того, что при анализе данных игнорировался диссипативный характер столкновения ядер при энергиях выше среднего ку-лоновского барьера.
Использованная в работе [ 1 ] траекторная модель не учитывала тепловые флуктуации и эффекты памяти. Ответу на вопрос, до какой степени эти два аспекта важны при расчёте сечений захвата, была посвящена работа [2]. Оказалось, что учёт флуктуаций меняет сечения в пределах 5 %, как с мгновенным трением, так и с запаздывающим, а учёт памяти приводит к росту сечений на 10—15 % для реакции 160 + 927г и на 20-30 % для реакции 16О + 208РЬ. Все уравнения и алгоритм динамического моделирования, использованные в данной работе, полностью совпадают с [2]. Нашу модель можно применять только для анализа сечений надбарьерного слияния (а>90 мб), поскольку квантовые эффекты в ней не учитываются.
В настоящей работе мы анализируем функцию возбуждения захвата в реакции 58№ + 60№. В идеале хотелось бы анализировать данные о симметричной реакции (например, 58№ + 58№), но такие данные нам в литературе обнаружить не удалось. Исключение составляет работа [5], однако в ней в диапазон значений сечения, на который мы претендуем, попадают лишь три точки, а верхний предел измеренного сечения слияния в реакции 58№ + 58№ составляет 200 мб. Поэтому мы делаем расчёты для реакции 58№ + 58№ и сравниваем их результаты с данными работы [6] по реакции 58№ + 60№. В работе [6] сечения слияния измерены с высокой точностью и вплоть до глубоко подбарьерных энергий. Из результатов этой работы видно, что связь с каналами передачи нейтронов и фононных возбуждений может быть существенной вплоть до энергий столкновения Ест = 105 МэВ. Поэтому мы исключаем соответствующие точки из нашего анализа.
Мы рассчитываем, что анализ функции возбуждения в области энергий, где квантовые эффекты несущественны, позволит определить диффузность распределения материи в 58№, а также амплитуду коэффициента трения и время корреляции случайной силы, соответствующих межцентровому расстоянию.
Ядерная часть потенциала, используемого в нашей модели, игЮР, вычисляется методом двойной свёртки. В роли нуклон-нуклонного эффективного взаимодействия используется М3У взаимодействие, в котором учтён конечный радиус обменного слагаемого и плотностная зависимость. Алгоритм вычисления подробно описан в [7, 8] (в последней работе
-10
-20
-30
- 58ІЧі + 58ІЧі
И ипОК
10 11 12 I* {Щ 13 14 1
15 20
Р(Пп)
Рис. 1. Ядерная часть потенциала, используемого в нашей модели, ипОР и ее аппроксимация по формулам (4, 5) ипСК в зависимости от межцентрового расстояния Я. Вверху — малые расстояния, внизу — большие расстояния.
Расчёт сделан для диффузности ад=0,550 фм
опубликован компьютерный код для вычисления потенциала). Распределение плотности ядерной материи (мы предполагаем, что распределение нейтронов не отличается от распределения протонов) задаём в виде Ферми-функции
Рл (г)=Ро \1 + ехРІ Г Ка
-1
(1)
Здесь параметр р0 определяется условием сохранения числа нуклонов, а радиус половинной плотности ЯА и диффузность аА определены неоднозначно. В экспериментах по электронному рассеянию определяется среднеквадратичный зарядовый радиус Ятч, а затем распределение заряда в ядре аппроксимируют Ферми-функцией с параметрами
Яч и
Мы варьируем а . как свободный параметр, тогда Я находится из определения Ят по формуле:
ЯЧ \1 5 Ят Ч
7р2а2
(2)
Эта формула получается в первом приближении по малому параметру р2а2Яд~2. Далее принимается, что Я=Я и
Л. д
22 а л = аа-^2
5
7Р
22 < ГЧР > — < гдп >
(3)
Здесь <гчр2> = 0,76 фм и <гчп2> = 0,11 фм [9] представляют собой среднеквадратичные радиусы распределения заряда в протоне и нейтроне соответственно. Данные о Ятч взяты нами из недавнего обзора [10]. Зависимость потенциала, вычисленного таким способом, от межцентрового расстояния, показана на рис. 1. На нижней панели видно, что точность вычисления интегралов становится недоста-
а
А
5
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014
Рис. 2. Коэффициенты прохождения в зависимости от углового момента, рассчитанные при £ст=106,59 МэВ, К=3,0102 МэВ1-зс,СйА=0,550 фм.
Открытые символы — расчёт с помощью ТМПТ, сплошные символы с линией — расчёт с помощью квантовой модели проницаемости параболического барьера
ипСК (Я ) = -1п І1 + ехр
АЯ
аЄК
А
0ЄК '
+ А1СКАД + А2ЄКАЯ
2
АД
-Я - гСК (А1/3 + а|/3 )
(4)
(5)
а А
^ОЄК'
А А
^ЮК' ^2ЄК
Параметры этой функции гСК1 подбираются так, чтобы минимизировать относи тельную разницу между ипПР и ипСК. Построенный таким образом потенциал ипСК показан на рис. 1 квадратами. Видно, что он хорошо аппроксимирует функцию ипОР как на больших межцентровых расстояниях (нижняя панель), так и на малых (вблизи барьера, верхняя панель). Радиус барьера (межцентровое рас-
Рис. 3. Экспериментальные сечения захвата (открытые кружки с погрешностями [6]) в зависимости от энергии столкновения в системе центра масс Ест сравниваются с нашими расчётами, в которых учтены флуктуации, но нет задержки трения (сплошные значки с линиями). Квадраты — яА=0,600 фм, треугольники — яА=0,500 фм, кружки — йа=0,400 фм, Кя=3,0^10-2 МэВ^зс
точной, когда межцентровое расстояние превосходит 20 фм: потенциал ипОР осциллирует, меняя знак. Между тем для расчёта силы трения нужна производная от ядерной части потенциала при значительно бульших расстояниях. Поэтому необходимо аппроксимировать потенциал двойной свёртки какой-нибудь удобной гладкой функцией. В работе [1] было показано, что для этой цели хорошо подходит профиль, предложенный Гроссом и Калиновски в работе [11]
Рис. 4. Экспериментальные сечения захвата (открытые кружки с погрешностями [6]) в зависимости от энергии столкновения в системе центрв мвсс Ест сравниваются с нашими расчётами, в которых учтены флуктуации, но нет задержки трения (сплошные значки с линиями).
Квадраты — Кд=3,0-10"2 МэВ-1-зс, треугольники — Кя=2,0^10-2 МэВ^зс, яа=0,500 фм
стояние, при котором появляется барьер) в данном случае составляет 10,85 фм.
Сечение захвата определяется коэффициентами прохождения барьера. Коэффициент прохождения для данного орбитального углового момента, Т3, в модели ТМПТ определяется как число захваченных траекторий к полному числу моделированных (часть траекторий отражается от барьера). Типичная зависимость Т3 от 3 показана на рис. 2. Видно, что для данной энергии столкновения (Ест = 106,59 МэВ) коэффициенты прохождения, рассчитанные с учётом диссипации (открытые квадраты), сильно отличаются от коэффициентов прохождения, вычисленных в квантовой модели проницаемости одномерного барьера (линия со сплошными квадратами).
Перейдём теперь к нашей главной цели — сечениям захвата. Экспериментальные точки (открытые кружки) вместе с результатами нашего моделирования (сплошные значки) показаны на рис. 3. Расчётные кривые отличаются значениями диффузности распределения ядерного вещества, время корреляции случайной силы нулевое, амплитуда радиального трения Кк = 3,040-2 МэВ-1зс. Энергетическая зависимость рассчитанных сечений заметно отличается от поведения экспериментальных точек. При сравнительно низких энергиях с экспериментом лучше согласуется расчёт с большой диффузностью (квадраты) , тогда как при самых высоких энергиях наилучшее согласие даёт расчёт с самой малой диффузностью (чёрные кружки). Вряд ли можно ожидать, что диффузность распределения нуклонов в сталкивающихся ядрах изменится при таких незначительных энергиях.
Для количественной оценки степени согласия теории с экспериментом мы используем критерий Пирсона. Значения х/ в зависимости от диффузности аА собраны в табл. 1. Значение диффузности распределения заряда а , при котором достигает наименьших значений, намного больше, чем 0,517 фм, которое приводится в обзоре [12].
В следующей серии расчётов мы варьируем амплитуду радиального трения Кк. В работе [1] было получено хорошее согласие теории с экспериментом для трёх функций возбуждения при Кк = 2,540-2 МэВ-1зс. Поэтому мы варьируем Кк вблизи этого значения. Результаты представлены на рис. 4. Видно, что согласие теории с экспериментом не улучшается при изменении Кк от 3• 10-2 МэВ-1^зс до 2• 10-2 МэВ-1^зс. Основная проблема даже не в абсолютных значениях сечений, а в наклоне функции возбуждения.
Таблица 1
в сравнении с данными [6] в зависимости от свободного параметра ал-Среднеквадратичный зарядовый радиус =3,775 фм [10], К*=3,0-10-2 МэВ-1*зс
Результаты xv -анализа рассчитанных функций возбуждения захвата
aA, фм 0,350 0,370 0,400 0,430 0,450 0,500 0,550 0,600
Ra, фм 4,456 4,419 4,358 4,292 4,245 4,114 3,964 3,793
aq, фм 0,411 0,428 0,454 0,481 0,499 0,544 0,591 0,638
Rb0, фм 10,52 10,53 10,58 10,63 10,68 10,75 10,85 10,92
Ub0, МэВ 101,3 101,2 100,6 99,9 99,4 98,1 97,5 95,5
Xv2 400 334 230 172 103 44 12 15
Последний варьируемый параметр нашей модели это время корреляции случайной силы, которое совпадает с временем запаздывания коэффициента трения. В работе [13] отмечалось, что разумные значения этого времени не превосходят 0,2 зс. Мы провели расчёты, варьируя время корреляции от нуля до этого значения и не обнаружили улучшения согласия теории с экспериментом: рассчитанные функции возбуждения по-прежнему растут с энергией круче, чем экспериментальная зависимость s(E ).
' ст1
Итоги работы можно сформулировать следующим образом. В нашей модели процесс столкновения тяжёлых ионов описывается стохастическими динамическими уравнениями с учётом эффектов памяти. Для силы трения используется квадратичная зависимость от производной ядерной части ион-ионного потенциала (модель поверхностного трения). Эта часть потенциала рассчитывается с помощью модели двойной свёртки. В качестве NN-сил используется хорошо микроскопически обоснованная M3Y версия с конечным радиусом обменного слагаемого и плотностной зависимостью. Ранее с помощью данной модели удалось неплохо описать данные по функциям возбуждения захвата в реакциях 16О + 16О [14], 16О + 92Zr, 16О + 144Sm, 16О + 208РЬ [1], 28Si + 208Pb, 32Si + 208Pb [15]. Однако для реакции 58Ni + 58Ni достичь согласия с экспериментальными сечениями захвата лучше, чем с Xv2= 12, не удалось.
М. В. Чушнякова благодарит фонд Д. Б. Зимина «Династия» за финансовую поддержку.
Библиографический список
1. Chushnyakova, M. V. Heavy ion fusion: Possible dynamical solution of the problem of the abnormally large diffuseness of the nucleus-nucleus potential / M. V. Chushnyakova, I. I. Gontchar // Physical Review. - 2013. - C. 87. - P. 014614.
2. Chushnyakova, M. V. Memory versus fluctuations in heavy ion fusion / M. V. Chushnyakova, I. I. Gontchar // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. — 2013. — V. 40. — № 9. - P. 095108.
3. Newton, J. O. Systematic failure of the woods-saxon nuclear potential to describe both fusion and elastic scattering : possible need for a new dynamical approach to fusion / J. O. Newton, R. D. Butt, M. Dasgupta, D. J. Hinde, I. I. Gontchar, C. R. Morton, K. Hagino // Physical Review. - 2004. - C. 70. - P. 024605.
4. Satchler, G. R. Heavy-ion scattering and reactions near the coulomb barrier and threshold anomalies / G. R. Satchler // Physical Reports. - 1991. - № 199. - P. 147-190.
5. Beckerman, M. Dynamic influence of valence neutrons upon the complete fusion of massive nuclei / M. Beckerman, M. Sa-lomaa, A. Sperduto, H. Enge, J. Ball, A. DiRienzo, S. Gazes, Yan Chen, J. Molitoris, Mao Nai-feng // Physical Review Letters. -1980. - № 45 (18). - P. 1472-1475.
6. Stefanini, A.M. Influence of complex surface vibrations on the fusion of 58Ni + 60Ni / A.M.Stefanini, D.Ackermann, L. Corradi, D. R. Napoli, C. Petrache, P. Spolaore, P. Bednarczyk, H. Q. Zhang,
S. Beghini, G. Montagnoli, L. Mueller, F. Scarlassara, G. F. Segato, F. Soramel, N. Rowley // Physical Review Letters. - 1995. -№ 74. - P. 864.
7. Gontchar, I. I. Double folding nucleus-nucleus potential applied to heavy-ion fusion reactions / I. I. Gontchar, M. Das-gupta, D. J. Hinde, J. O. Newton // Physical Review. - 2004. -
C. 69. - P. 024610.
8. Gontchar, I. I. A C-code for the double-folding interaction potential of two spherical nuclei / I. I. Gontchar, M. V. Chushny-akova // Computer Physics Communications. - 2010. - № 181. -P. 168-182.
9. Satchler, G. R. Folding model potentials from realistic interactions for heavy-ion scattering / G. R. Satchler, W. G. Love // Physics Reports. - 1979. - V. 55. - Is. 3. - P. 183-254.
10. Angeli, I. A consistent set of nuclear rms charge radii: properties of the radius surface R(N,Z) / I. Angeli // Atomic Data and Nuclear Data Tables. - 2004. - V. 87. -Is. 2. - P. 185206.
11. Gross, D. H. E. Friction model of heavy-ion collision /
D. H. E. Gross, H. Kalinowski // Physics Reports. - 1978. -V. 45. - P. 175-210.
12. De Vries, H. Nuclear charge-density-distribution parameters from elastic electron scattering / H. De Vries, C.W. De Jager, C. De Vries // Atomic Data and Nuclear Data Tables. - 1987. -V. 36. - Is. 3. - P. 495-536.
13. Влияние эффектов немарковости на скорость и времена деления / А Е. Гегечкори [и др.] // Ядерная физика. - 2008. -Т. 71. - С. 2041-2051.
14. Чушнякова, М. В. Анализ реакции слияния 16О + 16О с помощью модели DISTODIVE / М. В. Чушнякова, И. И. Гончар, С. Н. Крохин // Вестник Омского университета. - 2013. -№ 4. - С. 75-78.
15. Chushnyakova, M. V. The M3Y double folding dissipative model in agreement with precise fusion cross sections / M. V. Chushnyakova, I. I. Gontchar // Journal of Modern Physics. -2013. - V. 4. - № 5B. - P. 1-4.
ГОНЧАР Игорь Иванович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), профессор кафедры физики и химии Омского государственного университета путей сообщения (ОмГУПС). ЧУШНЯКОВА Мария Владимировна, ассистент кафедры физики Омского государственного технического университета.
ДРОЗДОВА Илга Анатольевна, кандидат физикоматематических наук, доцент (Россия), доцент кафедры физики и химии ОмГУПС.
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 25.10.2013 г.
© И. И. Гончар, М. В. Чушнякова, И. А. Дроздова
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
